Доказательство как средство математического мышления. Представления о доказательности и эволюция понятия доказательства

1. Способы математического доказательства

2. Прямые и косвенные доказательства. Доказательство методом от противного.

3. Основные выводы

Способы математического доказательства

В обыденной жизни часто, когда говорят о доказательстве, имеют в виду просто проверку высказанного утверждения. В математике проверка и доказательство – это разные вещи, хотя и связанные между собой. Пусть, например, требуется доказать, что если в четырехугольнике три угла прямые, то он – прямоугольник.

Если мы возьмем какой-либо четырехугольник, у которого три угла прямые, и, измерив четвертый, убедимся в том, что он действительно прямой, то эта проверка сделает данное утверждение более правдоподобным, но еще не доказанным.

Чтобы доказать данное утверждение, рассмотрим произвольный четырехугольник, в котором три угла прямые. Так как в любом выпуклом четырехугольнике сумма углов 360⁰, то и в данном она составляет 360⁰. Сумма трех прямых углов равна 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), и, значит, четвертый имеет величину 90⁰ (360⁰ - 270⁰). Если все углы четырехугольника прямые, то он – прямоугольник Следовательно, данный четырехугольник будет прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Заметим, что сущность проведенного доказательства состоит в построении такой последовательности истинных утверждений (теорем, аксиом, определений), из которых логически следует утверждение, которое нужно доказать.

Вообще доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений .

В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обоснованно и также истинно, как и последние.

Таким образом, основой математического доказательства является дедуктивный вывод. А само доказательство – это цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений.

Например, в приведенном выше доказательстве можно выделить следующие умозаключения:

1. В любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360⁰; данная фигура – выпуклый четырехугольник, следовательно, сумма углов в нем 360⁰.

2. Если известна сумма всех углов четырехугольника и сумма трех из них, то вычитанием можно найти величину четвертого; сумма всех углов данного четырехугольника равна 360⁰, сумма трех 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), то величина четвертого 360⁰ - 270⁰ = 90⁰.

3. Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник – прямоугольник; в данном четырехугольнике все углы прямые, следовательно, он прямоугольник.

Все приведенные умозаключения выполнены по правилу заключения и, следовательно, являются дедуктивными.

Самое простое доказательство состоит из одного умозаключения. Таким, например, является доказательство утверждения о том, что 6 < 8.

Итак, говоря о структуре математического доказательства, мы должны понимать, что она, прежде всего, включает в себя утверждение, которое доказывается, и систему истинных утверждений, с помощью которых ведут доказательство.

Следует еще заметить, что математическое доказательство – это не просто набор умозаключений, это умозаключения, расположенные в определенном порядке.

По способу ведения (по форме) различают прямые и косвенные доказательства. Рассмотренное ранее доказательство было прямым – в нем, основываясь на некотором истинном предложении и с учетом условия теоремы, строилась цепочка дедуктивных умозаключений, которая приводила к истинному заключению.

Примером косвенного доказательства является доказательство методом от противного . Сущность его состоит в следующем. Пусть требуется доказать теорему

А ⇒ В. При доказательстве методом от противного допускают, что заключение теоремы (В) ложно, а, следовательно, его отрицание истинно. Присоединив предложение «не В» к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых находится и условие А), строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок и, в частности, условию А. Как только такое противоречие устанавливают, процесс доказательства заканчивают и говорят, что полученное противоречие доказывает истинность теоремы

Задача 1. Доказать, что если а + 3 > 10, то а ≠ 7. Метод от противного.

Задача 2. Доказать, что если х² - четное число, то х – четно. Метод от противного.

Задача 3. Даны четыре последовательных натуральных числа. Верно ли, что произведение средних чисел этой последовательности больше произведения крайних на 2? Метод неполной индукции.

Полная индукция – это такой метод доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях.

Задача 4. Доказать, что каждое составное натуральное число, большее 4, но меньшее 20, представимо в виде суммы двух простых чисел.

Задача 5. Верно ли, что если натуральное число n не кратно 3, то значение выражения n² + 2 кратно 3? Метод полной индукции.

Основные выводы

В этом пункте познакомились с понятиями: умозаключение, посылка и заключение, дедуктивные (правильные) умозаключения, неполная индукция, аналогия, прямое доказательство, косвенное доказательство, полная индукция.

Мы выяснили, что неполная индукция и аналогия тесно связаны с дедукцией: выводы, полученные с помощью неполной индукции и аналогии, надо либо доказывать, либо опровергать. С другой стороны, дедукция не возникает на пустом месте, а является результатом предварительного индуктивного изучения материала.

Дедуктивные умозаключения позволяют из уже имеющегося знания получать новые истины, и притом с помощью рассуждения, без обращения к опыту, интуиции и т.д.

Мы выяснили, что математическое доказательство – это цепочка дедуктивных умозаключений, выполняемых по определенным правилам. Познакомились с простейшими из них: правилом заключения, правилом отрицания, правилом силлогизма. Узнали, что проверять правильность умозаключений можно с помощью кругов Эйлера.

ТЕКСТОВАЯ ЗАДАЧА И ПРОЦЕСС ЕЕ РЕШЕНИЯ

Лекция 11. Текстовая задача и процесс ее решения

1. Структура текстовой задачи

2. Методы и способы решения текстовых задач

3. Этапы решения задачи и приемы их выполнения

Кроме различных понятий, предложений, доказательств в любом математическом курсе есть задачи. В обучении математике младших школьников преобладают такие, которые называют арифметическими, текстовыми, сюжетными. Эти задачи сформулированы на естествен­ном языке (их называют текстовыми): в них обычно описывается количественная сторона каких-то явлений, событий (поэтому их часто называют арифметическими или сюжетными); они представ­ляют собой задачи на разыскание искомого и сводятся к вычислению неизвестного значения некоторой величины (поэтому их иногда назы­вают вычислительными).

В данном пособии мы будем применять термин «текстовые задачи», поскольку он чаще других используется в методике обучения математике младших школьников.

Решению текстовых задач при начальном обучении уделяется ог­ромное внимание. Связано это с тем, что такие задачи часто являются не только средством формирования многих математических понятий, но и главное - средством формирования умений строить математические модели реальных явлений, а также средством развития мышления детей.

Существуют различные методические подходы к обучению детей решению текстовых задач. Но какую бы методику обучения ни вы брал учитель, ему надо знать, как устроены такие задачи, и уметь их решать различными методами и способами.

Структура текстовой задачи

Как было сказано выше, любая текстовая задача представляет собой описание какого-либо явления (ситуации, процесса). С этой точки зре­ния текстовая задача есть словесная модель явления (ситуации, процесса). И, как во всякой модели, в текстовой задаче описывается не все явление в целом, а лишь некоторые его стороны, главным образом, его количественные характеристики. Рассмотрим, например, такую задачу: «Автомобиль выехал из пункта А со скоростью 60 км/ч. Через 2 ч вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 90 км/ч. На каком рас­стоянии от А второй автомобиль догонит первый?»

В задаче описывается движение двух автомобилей. Как известно, любое движение характеризуется тремя величинами: пройденным расстоянием, скоростью и временем движения. В данной задаче из­вестны скорости первого и второго автомобилей (60 км/ч и 90 км/ч), известно, что они прошли одно и то же расстояние от пункта А до места встречи, количественную характеристику которого и надо найти. Кро­ме того, известно, что первый автомобиль был в пути на 2 ч больше, чем второй.

Обобщая, можно сказать, что текстовая задача есть описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требо­ванием дать количественную характеристику какого-либо компонен­та этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого от­ношения между компонентами или определить вид этого отношения.

Рассмотрим еще одну задачу из начального курса математики: «Свитер, шапку и шарф связали из I кг 200 г шерсти. На шарф по­требовалась на 100 г шерсти больше, чем на шапку, и на 400 г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?»

В задаче речь идет о расходовании шерсти на свитер, шапку и шарф. Относительно этих объектов имеются определенные утверждения и требования.

Утверждения:

1. Свитер, шапка и шарф связаны из 1200 г шерсти.

2. На шарф израсходовали на 100 г больше, чем на шапку.

3. На шарф израсходовали на 400 г меньше, чем на свитер.

Требования:

1. Сколько шерсти израсходовали на свитер?

2. Сколько шерсти израсходовали на шапку?

3. Сколько шерсти израсходовали на шарф?

Утверждения задачи называют условиями (или условием, как в на­чальной школе). В задаче обычно не одно условие, а несколько элемен­тарных условий. Они представляют собой количественные или каче­ственные характеристики объектов задачи и отношений между ними. Требований в задаче может быть несколько. Они могут быть сформу­лированы как в вопросительной, так и утвердительной форме. Усло­вия и требования взаимосвязаны.

Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи.

Таким образом, чтобы понять, какова структура задачи, надо вы­явить ее условия и требования, отбросив все лишнее, второстепенное, не влияющее на ее структуру. Иными словами, надо построить высказывательную модель задачи.

Чтобы получить эту модель, надо текст задачи развернуть (сделать это можно письменно или устно), так как текст задачи, как правило, дается в сокращенном, свернутом виде. Для этого можно перефрази­ровать задачу, построить ее графическую модель, ввести какие-либо обозначения и т.д.

Кроме того, вычленение условий задачи можно производить с раз­ной глубиной. Глубина анализа условий и требований задачи зависит главным образом от того, знакомы ли мы с видом задач, к которому принадлежит заданная, и знаем ли мы способ решения таких задач.

Пример 1. Сформулируйте условия и требования задачи:

Две девочки одновременно побежали навстречу друг другу по спортивной дорожке, длина которой 420 м. Когда они встретились, первая пробежала на 60 м больше, чем вторая. С какой скоростью бежала каждая девочка, если они встретились через 30 с?

В задаче речь идет о движении двух девочек навстречу друг другу. Как известно, движение характеризуется тремя величинами: расстоя­нием, скоростью и временем.

Условия задачи:

1. Две девочки бегут навстречу друг другу.

2. Движение они начали одновременно.

3. Расстояние, которое они пробежали, - 420 м.

4. Одна девочка пробежала на 60 м больше, чем другая.

5. Девочки встретились через 30 с.

6. Скорость движения одной девочки больше скорости движения
другой.

Требования задачи:

1. С какой скоростью бежала 1-я девочка?

2. С какой скоростью бежала 2-я девочка?

По отношению между условиями и требованиями различают:

а) определенные задачи - в них заданных условий столько, сколько
необходимо и достаточно для выполнения требований;

б) недоопределенные задачи - в них условий недостаточно для получения ответа;

в) переопределенные задачи - в них имеются лишние условия.

В начальной школе недоопределенные задачи считают задачами с недостающими данными, а переопределенные - задачами с избыточ­ными данными.

Например, задача «Возле дома росло 5 яблонь, 2 вишни и 3 березы. Сколько фруктовых деревьев росло возле дома?» является переопре­деленной, так как содержит лишнее условие.

Задача «Из зала вынесли сначала 12 стульев, потом еще 5. Сколько стульев осталось в зале?» является недоопределенной - в ней условий недостаточно, чтобы ответить на поставленный вопрос.

Уточним теперь смысл термина «решение задачи». Так сложилось, что этим термином обозначают разные понятия:

1) решением задачи называют результат, т.е. ответ на требование
задачи;

2) решением задачи называют процесс нахождения этого результата, причем этот процесс рассматривают двояко: и как метод нахождения результата (например, говорят о решении задачи арифметическим способом) и как последовательность тех действий, которые выполняет решающий, применяя тот или иной метод (т.е. в данном случае под
решением задачи понимается вся деятельность человека, решающего задачу).

Упражнения

1. В следующих задачах выделите условия и требования:

а) Два автобуса отправились одновременно из города в село, расстояние до которого 72 км. Первый автобус прибыл в село на 15 мин раньше второго. С какой скоростью шел каждый автобус, если скорость одного из них на 4 км/ч больше скорости другого?

б) Сумма двух чисел равна 199. Найдите эти числа, если одно из них больше другого на 61.

2. Задачи из упражнения 1 сформулируйте таким образом, чтобы предложение, содержащее требование, не содержало условий.

3. В задачах из упражнения 1 повелительную форму требований замените вопросительной, вопросительную - повелительной.

4. Решите задачи из упражнения I.

5. Даны условия задачи: «Собрали 42 кг огурцов и 5/7 всех огурцов засолили».

Из нижеследуемого списка выберите требования к данному усло­вию и решите полученную задачу:

а) Сколько килограммов огурцов осталось незасоленными?

б) Сколько килограммов помидор осталось незасоленными?

в) Что больше - масса огурцов, которые посолили или масса огурцов, которые остались незасоленными?

6. Сформулируйте возможные требования к условию задачи:

а) Купили 12 м ткани и третью часть ткани израсходовали на платье.

б) Из деревни вышел пешеход, а через 2 ч вслед за ним выехал велосипедист. Скорость велосипедиста 10 км/ч, а скорость пешехода 5 км/ч.

7. Какие данные необходимы для ответа на следующее требование
задачи:

а) Какая часть урока использована на решение задачи?

б) Сколько платьев сшили из купленной ткани?

в) Найдите периметр прямоугольника.

8. Ученику была предложена задача: «Велосипедист ехал 2 часа с
некоторой скоростью. После того как он проедет 60 км с такой же
скоростью, его путь станет равным 48 км. С какой скоростью ехал
велосипедист?» Он решил ее так:

1)60-48= 12 (км)

2) 12:2 = 6 (км/ч)

Ответ: 6 км/ч - скорость велосипедиста.

Согласны ли вы с таким решением данной задачи?

9. Можете ли вы дать ответ на требование следующей задачи:

а) За 3 м ткани заплатили 60000 р. Во второй раз купили 6 м ткани. Сколько денег заплатили за ткань, купленную во второй раз?

б) Два мотоциклиста едут навстречу друг другу. Скорость одного них 62 км/ч, а скорость другого 54 км/ч. Через сколько часов мотоциклисты встретятся?

В случае если нельзя ответить на требование задачи, дополните ее условие и решите задачу.

10. Есть ли среди нижеприведенных задачи с лишними данными:

а) Объем комнаты равен 72 м³. Высота комнаты 3 м. Найдите площадь пола комнаты, если ее длина 6 м.

5) Для посадки леса выделили участок, площадь которого 300 га. Ду6ы посадили на 7/10 участка, а сосны на 3/10 участка. Сколько гектаров занято дубами и соснами?

В случае если в задаче есть лишние данные, то исключите их и реш­нте задачу.

Основным методом в математических исследованиях являются математические доказательства - строгие логические рассуждения. В силу объективной необходимости, указывает член-корреспондент РАН Л.Д.Кудрявцев Кудрявцев Л.Д. - Современная математика и ее преподавание, Москва, Наука, 1985 год., логические рассуждения (которые по своей природе, если они правильные, являются и строгими) представляют метод математики, без них математика немыслима. Следует отметить, что математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенных из них и для выбора способа ее решения необходима еще математическая интуиция, позволяющая предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен, наметить путь исследования с помощью правдоподобных рассуждений. Но справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой ее на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов (что само по себе играет большую роль в математических исследованиях), а чисто логическим путем, по законам формальной логики.

Считается, что математическое доказательство является истиной в последней инстанции. Решение, которое основано на чистой логике просто не может быть неправильным. Но с развитием науки и задачи перед математиками ставятся всё более сложные.

“Мы вошли в эпоху, когда математический аппарат стал настолько сложным и громоздким, что с первого взгляда уже нельзя сказать - правдива или нет встреченная задача”, полагает Кейт Девлин из Стенфордского Университета Калифорнии, США. Он приводит в пример “классификацию простых конечных групп”, которую сформулировали еще в 1980 году, а полного точного доказательства не привили до сих пор. Скорее всего, теорема верна, но совершенно точно об этом говорить нельзя.

Компьютерное решение тоже невозможно назвать точным, ибо такие вычисления всегда имеют погрешность. В 1998 году Хейлс предложил решение теоремы Кеплера при помощи компьютера, сформулированной еще в 1611 году. Эта теорема описывает наиболее плотную упаковку шаров в пространстве. Доказательство было представлено на 300 страницах и содержало в себе 40000 строк машинного кода. 12 рецензентов проверяли решение в течение года, но стопроцентной уверенности в правильности доказательства они так и не достигли, и исследование отправили на доработку. В результате оно было опубликовано только через четыре года и без полной сертификации рецензентов.

Все последние вычисления для прикладных задач производятся на компьютере, но ученые считают, что для большей достоверности математические выкладки должны быть представлены без погрешностей.

Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, законов и т.п. соответствующей науки) и демонстрация (сама процедура развертывания доказательства; последовательная цепь умозаключений, когда n -ное умозаключение становится одной из посылок n+1 -го умозаключения). Выделяются правила доказательства, указаны возможные логические ошибки.

Математическое доказательство имеет много общего с теми принципами, которые устанавливаются формальной логикой. Более того, математические правила рассуждений и операций, очевидно, послужили одной из основ в разработке процедуры доказательства в логике. В частности, исследователи истории становления формальной логики считают, что в свое время, когда Аристотель предпринял первые шаги по созданию законов и правил логики, он обратился к математической и к практике юридической деятельности. В этих источниках он и находил материал для логических построений задуманной теории.

В XX веках понятие доказательства утратило строгий смысл, что произошло в связи с обнаружением логических парадоксов, таившихся в теории множеств и особенно в связи с результатами, которые принесли теоремы К. Геделя о неполноте формализации.

Прежде всего, это коснулось самой математики, в связи, с чем было высказано убеждение, что термин "доказательство" не имеет точного определения. Но если уж подобное мнение (имеющее место и поныне) затрагивает саму математику, то приходят к выводу, согласно которому доказательство следует принять не в логико-математическом, а в психологическом смысле. При том подобный взгляд обнаруживают и у самого Аристотеля, считавшего, что доказать означает провести рассуждение, которое убедило бы нас в такой степени, что, используя его, убеждаем других в правоте чего-либо. Определенный оттенок психологического подхода находим у А.Е.Есенина-Вольпина. Он резко выступает против принятия истины без доказательства, связывая это с актом веры, и далее пишет: "Доказательством суждения я называю честный прием, делающий это суждение неоспоримым". Есенин-Вольпин отдает отчет, что его определение нуждается еще в уточнениях. Вместе с тем, сама характеристика доказательства как "честного приема" не выдает ли апелляцию к нравственно-психологической оценке?

Вместе с тем обнаружение теоретико-множественных парадоксов и появление теорем Геделя как раз содействовали и разработке теории математического доказательства, предпринятой интуиционистами, особенно конструктивистского направления, и Д.Гильбертом.

Иногда считают, что математическое доказательство носит всеобщий характер и представляет идеальный вариант научного доказательства. Однако оно - не единственный метод, есть и другие способы доказательных процедур и операций. Верно лишь то, что у математического доказательства немало сходного с формально-логическим, реализуемом в естествознании, и что математическое доказательство имеет определенную специфику, равно, как и набор приемов-операций. На этом мы и остановимся, опуская то общее, что роднит его с другими формами доказательств, то есть, не развертывая во всех шагах (даже и основных) алгоритм, правила, ошибки и т.п. процесса доказательства.

Математическое доказательство представляет рассуждение, имеющее задачей обосновать истинность (конечно, в математическом, то есть как выводимость, смысле) какого-либо утверждения.

Свод правил, применяемых в доказательстве, сформировался вместе с появлением аксиоматических построений математической теории. Наиболее четко и полно это было реализовано в геометрии Эвклида. Его "Начала" стали своего рода модельным эталоном аксиоматической организации математического знания, и долгое время оставались таковыми для математиков.

Высказывания, представляемые в виде определенной последовательности, должны гарантировать вывод, который при соблюдении правил логического оперирования и считается доказанным. Необходимо подчеркнуть, что определенное рассуждение является доказательством только относительно некоторой аксиоматической системы.

При характеристике математического доказательства выделяют две основные особенности. Прежде всего, то, что математическое доказательство исключает какие-либо ссылки на эмпирию. Вся процедура обоснования истинности вывода осуществляется в рамках принимаемой аксиоматики. Академик А.Д.Александров в связи с этим подчеркивает. Можно тысячи раз измерять углы треугольника и убедиться, что они равны 2d. Но математику этим ничего не докажешь. Ему докажешь, если выведешь приведенное утверждение из аксиом. Повторимся. Здесь математика и близка методам схоластики, которая также принципиально отвергает аргументацию опытно данными фактами.

К примеру, когда была обнаружена несоизмеримость отрезков, при доказательстве этой теоремы исключалось обращение к физическому эксперименту, поскольку, во-первых, само понятие "несоизмеримость" лишено физического смысла, а, во-вторых, математики и не могли, имея дело с абстракцией, привлекать на помощь вещественно-конкретные протяженности, измеряемы чувственно-наглядным приемом. Несоизмеримость, в частности, стороны и диагонали квадрата, доказывается, опираясь на свойство целых чисел с привлечением теоремы Пифагора о равенстве квадрата гипотенузы (соответственно - диагонали) сумме квадратов катетов (двух сторон прямоугольного треугольника). Или когда Лобачевский искал для своей геометрии подтверждение, обращаясь к результатам астрономических наблюдений, то это подтверждение осуществлялось им средствами сугубо умозрительного характера. В интерпретациях неэвклидовой геометрии, проведенных Кэли - Клейном и Бельтрами, также фигурировали типично математические, а не физические объекты.

Вторая особенность математического доказательства - его наивысшая абстрактность, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках. И опять же, как в случае с понятием математического объекта, речь идет не просто о степени абстракции, а о ее природе. Дело в том, что высокого уровня абстрагирования доказательство достигает и в ряде других наук, например, в физике, космологии и, конечно, в философии, поскольку предметом последней становятся предельные проблемы бытия и мышления. Математику же отличает то, что здесь функционируют переменные, смысл которых - в отвлечении от любых конкретных свойств. Напомним, что, по определению, переменные - знаки, которые сами по себе не имеют значений и обретают последние только при подстановке вместо них имен определенных предметов (индивидные переменные) или при указании конкретных свойств и отношений (предикатные переменные), или, наконец, в случаях замены переменной содержательным высказыванием (пропозициональная переменная).

Отмеченной особенностью и обусловлен характер крайней абстрактности используемых в математическом доказательстве знаков, равно, как и утверждений, которые, благодаря включению в свою структуру переменных, превращаются в функции высказывания.

Сама процедура доказательства, определяемая в логике как демонстрация, протекает на основе правил вывода, опираясь на которые осуществляется переход от одних доказанных утверждений к другим, образуя последовательную цепь умозаключений. Наиболее распространены два правила (подстановки и вывода заключений) и теорема о дедукции.

Правило подстановки. В математике подстановка определяется как замена каждого из элементов a данного множества каким-либо другим элементом F (a ) из того же множества. В математической логике правило подстановки формулируется следующим образом. Если истинная формула M в исчислении высказываний содержит букву, скажем A , то, заменив ее повсюду, где она встречается, произвольной буквой D , мы получим формулу, также истинную, как и исходная. Это возможно, и допустимо потому именно, что в исчислении высказываний отвлекаются от смысла высказываний (формул)... Учитываются только значения "истина" или "ложь". Например, в формуле M : A--> (B UA ) на место A подставляем выражение (A UB ), в результате получаем новую формулу (A UB ) -->[(B U(A UB ) ].

Правило вывода заключений соответствует структуре условно-категорического силлогизма modus ponens (модус утверждающий) в формальной логике. Он имеет следующий вид:

a--> b

a .

Дано высказывание (a-> b ) и еще дано a . Из этого следует b .

К примеру: Если идет дождь, то мостовая мокрая, дождь идет (a ), следовательно, мостовая мокрая (b ). В математической логике этот силлогизм записывается таким образом (a-> b ) a-> b .

Умозаключение определяется, как правило, отделения для импликации. Если дана импликация (a-> b ) и ее антецедент (a ), то мы вправе присоединить к рассуждению (доказательству) также и консеквент данной импликации (b ). Силлогизм носит принудительный характер, составляя арсенал дедуктивных средств доказательства, то есть, абсолютно отвечая требованиям математических рассуждений.

Большую роль в математическом доказательстве играет теорема о дедукции - общее название для ряда теорем, процедура которых обеспечивает возможность установить доказуемость импликации: A-> B , когда налицо логический вывод формулы B из формулы A . В наиболее распространенном варианте исчисления высказываний (в классической, интуиционистской и др. видах математики) теорема о дедукции утверждает следующее. Если дана система посылок G и посылка A , из которых, согласно правилам, выводимо B Г, A B (- знак выводимости), то следует, что только из посылок G можно получить предложение A--> B.

Мы рассмотрели тип, который является прямым доказательством. Вместе с тем в логике используются и так называемые косвенные, есть не прямые доказательства, которые развертываются по следующей схеме. Не имея, в силу ряда причин (недоступность объекта исследования, утрата реальности его существования и т.п.) возможности провести прямое доказательство истинности какого-либо утверждения, тезиса, строят антитезис. Убеждаются, что антитезис ведет к противоречиям, и, стало быть, является ложным. Тогда из факта ложности антитезиса делают - на основании закона исключенного третьего (a v ) - вывод об истинности тезиса.

В математике широко используется одна из форм косвенного доказательства - доказательство от противного. Оно особенно ценно и, по сути, незаменимо в принятии фундаментальных понятий и положений математики, например, понятия актуальной бесконечности, которое никак иначе ввести невозможно.

Операция доказательства от противного представлена в математической логике следующим образом. Дана последовательность формул G и отрицание A (G , A ). Если из этого следует B и его отрицание (G , A B, не-B ), то можно сделать вывод, что из последовательности формул G вытекает истинность A . Иначе говоря, из ложности антитезиса следует истинность тезиса.

Теория математических доказательства разработана в формальной логике и включает три структурных компоненты.

• 1. Тезис, т.е. то, что предполагается доказать.
• 2. Аргументы, т.е. совокупность фактов, общепринятых понятий, законов и т.п. соответствующей науки.
• 3. Демонстрация, т.е. сама процедура развертывания доказательства; последовательная цепь умозаключений, когда /7-е умозаключение становится одной из посылок (я + 1)-го умозаключения. Выделяются правила доказательства, указаны возможные логические ошибки.

Математическое доказательство имеет много общего с теми принципами, которые устанавливаются формальной логикой. Более того, математические правила рассуждений и операций, очевидно, послужили одной из основ в разработке процедуры доказательства в логике.

В математике доказательством называется цепочка логических умозаключений, показывающая, что при каком-то наборе аксиом и правил вывода верно некоторое утверждение. Таким образом, математическое доказательство представляет рассуждение, имеющее задачей обосновать истинность (конечно, в математическом, т.е. как выводимость, смысле) какого-либо утверждения.

Как правило, в математике выделяют следующие понятия:

• теоремы как доказуемые утверждения;
• гипотезы, если ни утверждение, ни его отрицание еще не доказаны;
• леммы как менее сложные утверждения, которые доказываются.

В математике существуют нерешенные проблемы, решение которых ученым очень хотелось бы найти. За доказательства особенно интересных и важных утверждений математические общества назначают премии.

В зависимости от контекста может иметься в виду формальное доказательство (построенная по специальным правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, по которому при желании можно восстановить формальное доказательство. Формальными доказательствами занимается специальная ветвь математики - теория доказательств.

Сами формальные доказательства математики почти никогда не используют, поскольку для человеческого восприятия они очень сложны и часто занимают очень много места. Обычно доказательство имеет вид текста, в котором автор, опираясь на аксиомы и доказанные ранее теоремы, с помощью логических средств показывает истинность некоторого утверждения. В отличие от других наук в математике недопустимы эмпирические доказательства: все утверждения доказываются исключительно логическими способами.

В математике важную роль играют математическая интуиция и аналогии между разными объектами и теоремами; тем не менее все эти средства используются учеными только при поиске доказательств, сами доказательства не могут основываться на таких средствах. Доказательства, написанные на естественных языках, могут быть не очень подробными в расчете на то, что подготовленный читатель сам сможет восстановить детали. Строгость доказательства гарантируется тем, что его можно представить в виде записи на формальном языке (это и происходит при компьютерной проверке доказательств).

Ошибочным доказательством называется текст, содержащий логические ошибки, т.е. такой, по которому нельзя восстановить формальное доказательство. Ошибочным может быть только признание «доказательства» на естественном или формальном языке доказательством; формальное доказательство ошибочным не может быть по определению.

При характеристике математического доказательства выделяют две особенности.

• 1. Математическое доказательство исключает какие-либо ссылки на эмпирию. Вся процедура обоснования истинности вывода осуществляется в рамках принимаемой аксиоматики.
• 2. Наивысшая абстрактность математического доказательства, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках.

В этом случае речь идет не просто о степени абстракции, а о ее природе. Дело в том, что высокого уровня абстрагирования доказательство достигает и в ряде других наук, например в физике, космологи и, конечно, в философии, поскольку предметом последней становятся предельные проблемы бытия и мышления.

Математику же отличает то, что здесь функционируют переменные, смысл которых - в отвлечении от любых конкретных свойств. Напомним, что по определению переменные - знаки, которые сами по себе не имеют значений и обретают последние только при подстановке вместо них имен определенных предметов (индивидные переменные), или при указании конкретных свойств и отношений (предикатные переменные), или, наконец, в случаях замены переменной содержательным высказыванием (пропозициональные переменные).

Сама процедура доказательства, определяемая в логике как демонстрация, протекает на основе правил вывода, опираясь на которые осуществляется переход от одних доказанных утверждений к другим, образуя последовательную цепь умозаключений. Таким образом, мы устанавливаем истинность высказывания А -> В.

К наиболее часто используемым приемам относятся два правила (подстановки и вывода заключений) и теорема о дедукции, которые мы рассматривали на примере исчисления высказываний.

Правило подстановки. В математике подстановка определяется как замена каждого из элементов а данного множества каким-либо другим элементом Р(а) из того же множества. В математической логике правило подстановки формулируется следующим образом: «Если истинная формула М в исчислении высказываний содержит букву, скажем А, то, заменив ее повсюду, где она встречается, произвольной буквой /), мы получим формулу, так же истинную, как и исходная».

Это возможно и допустимо именно потому, что в исчислении высказываний отвлекаются от смысла высказываний (формул). Учитываются только значения «истина» или «ложь». Например, в формуле Я:А^(В V А)) на место Л подставляем выражение (В V А), в результате получаем новую формулу Я: (Ач В)^(В V (А V В)).

Правило вывода заключений (иногда называют правилом отделения) соответствует структуре условно-категорического силлогизма modus ponens (модус утверждающий) в формальной логике. Он имеет следующий вид:

а, а -> b b

Дано высказывание а и еще дано а -> Ь. Из этого следует Ь. Например: «Если идет дождь, то мостовая мокрая , дождь идет (а), следовательно, мостовая мокрая (b )». В математической логике это высказывание записывается таким образом :

((а -> Ь) & а) -> Ь.

Умозаключение определяется как правило отделения для импликации. Если дана импликация {а -> Ь) и ее посылка (а), то мы вправе присоединить к рассуждению (доказательству) также и следствие данной импликации (b ). Силлогизм носит принудительный характер, составляя арсенал дедуктивных средств доказательства, т.е. абсолютно отвечая требованиям математических рассуждений.

Большую роль в математическом доказательстве играет теорема дедукции - общее название для ряда теорем, процедура которых обеспечивает возможность установить доказуемость импликации: А -> В, когда налицо логический вывод формулы В из формулы А. В наиболее распространенном варианте исчисления высказываний (в классической, интуиционистской и других видах математики) теорема о дедукции утверждает следующее: «Если дана система посылок G и посылка А, из которых согласно правилам выводимо В (G, Ah В, где I- - знак выводимости), то следует, что только из посылок G можно получить предложение А -э В».

Выделяется два вида доказательств - прямое и косвенное.

При прямом доказательстве доказывается тезис, а при косвенном используется антитезис.

Наиболее используемые виды прямых доказательств:

• прямой логический вывод;
• обратное рассуждение;
• доказательство по индукции;
• доказательство с помощью трансфинитной индукции. Рассмотрим несколько примеров прямых доказательств.

Прямой логический вывод. При прямом логическом выводе, устанавливая истинность А -» В, мы предполагаем, что А - истинно, и показываем истинность В. Такой способ доказательства исключает ситуацию (согласно таблице истинности импликации), когда А - истинно, а В - ложно.

Задача 4.9. Прямой вывод.

Доказать общезначимость формулы VxR(x) -> 3xR(x).

Доказательство.

• 1. Предположим, что формула общезначима.
• 2. Тогда, используя равносильности для двойственности исчисления предикатов, получим тождественно истинную формулу

/xR{x) -> 3xR{x) = /xR(x) v 3xR(x) = /xR(x) v 3xR(x) =

• - 3xR(x) v 3xR(x) = 3x(R(x) v R(x)) = 3x1 = 1.
• 3. Раз формула тождественно истинна, так она общезначима.

Ч.т.д.

Доказательство через обратное рассуждение. Доказывая истинность Л -> В, мы предполагаем, что В - ложно, и на основе аргументированных предположений доказываем ошибочность Л. То есть фактически прямым способом проверяем истинность импликации

A^B = ?vB = Bv?=B^?.

Задача 4.10. Обратное рассуждение.

Доказать общезначимость формулы R = (/хР(х) -> ЗхР(х)) через обратное рассуждение.

Доказательство.

Давайте определим, какое высказывание А -» В мы здесь должны доказать: «Из формулы R следует, что она общезначима». Таким образом, высказывание А - «формула R», высказывание В - «общезначимость R».

Отрицанием высказывания, что формула общезначима, является: «Формула R тождественно ложна». Отрицанием от формулы R является формула R.

Таким образом, мы должны доказать следующее высказывание:

«Из того, что формула R тождественно ложна, следует, что R равна нулю».

• 1. Предположим, что это так.
• 2. Тогда, используя равносильность для двойственности и равносильность для импликации, получаем

R = (/хР(х) -> ЗхР(х)) = /хР(х) v ЗхР(х) = ЗхР(х) v ЗхР(х).

3. Внесем квантор существования под скобку и получим, что R = 0:

R = Зх(Р(х) V Р(х)) = Id = Т = 0.

4. т.д.

Математическая индукция - один из методов прямого доказательства. Обычно используется, когда нужно доказать некое утверждение для всех элементов множества, равномощного множеству натуральных чисел. Для этого доказывается «первое утверждение» - база индукции, и затем, доказывая, что если любое утверждение в бесконечной последовательности утверждений верно, то верно и следующее, - шаг индукции.

Задача 4.11. Прямое доказательство по индукции.

Пусть Р(п) - предикат, определенный для всех натуральных п. Требуется установить справедливость бесконечной последовательности утверждений, занумерованных натуральными числами : Р(1), Р( 2), ..., Р(п), ... .

Доказательство.

Допустим, что:

• 1. Установлено, что Р( 1) верно. (Это утверждение называется базой индукции.)
• 2. Для любого п доказано, что если верно Р(п), то верно Р(п + 1), т.е. /k > 1 импликация Р(п) -> Р(п + 1) верна. (Это утверждение называется индукционным переходом.)
• 3. Тогда все утверждения нашей последовательности верны, т.е. Р(п) = 1 для любого натурального п. Ч.т.д.

Задача 4.12. Доказательство по индукции.

Доказать, что бинарное отношение T(N) = {res(Z> + 1, а) = 1}, заданное на множестве натуральных чисел N > 1, обладает свойством рефлексивности.

Доказательство.

• 1. База индукции. Пусть а = 2, b = 2. Тогда res(2 + 1, 2) = 1 и пара (2, 2) принадлежит бинарному отношению Т.
• 2. Индукционный переход. Рассмотрим Ь- а - /". Тогда res(/ + 1, /) = = (/ + 1) - / = 1 и пара (/, /) принадлежит бинарному отношению Т. Возьмем Ь- а - / + 1, res(/ + 1 + 1, / + 1) = (/ + 1 + 1) - (/ + 1) = 1 и пара (/+ 1, /+ 1) принадлежит бинарному отношению Гдля любого /.
• 3. Тогда наша последовательность верна и все рефлексивные пары на натуральных числах N > 1 принадлежат нашему бинарному отношению Т. Ч.т.д.

Трансфинитная индукция - метод доказательства, обобщающий математическую индукцию на случай несчетного числа значений параметра.

Трансфинитная индукция основана на следующем утверждении.

Пусть М - упорядоченное множество, Р(х ) при х е М - некоторое утверждение. Пусть для любого X Е М из того, что Р(у) истинно для всех у ос, следует, что верно Р(х), и пусть верно утверждение Р(х), если х - минимальный элемент М, тогда утверждение Р(х) верно для любого X.

Косвенные доказательства. Не имея в силу ряда причин (недоступность объекта исследования, утрата реальности его существования и т.п.) возможности провести прямое доказательство истинности какого-либо утверждения, тезиса, строят антитезис. Убеждаются, что антитезис ведет к противоречиям и, стало быть, является ложным. Тогда из факта ложности антитезиса делают - на основании закона исключенного третьего (?v?)- вывод об истинности тезиса.

Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса. Оно особенно ценно и незаменимо в принятии фундаментальных понятий и положений математики, например понятия актуальной бесконечности, которое никак иначе ввести невозможно.

Известны следующие схемы косвенных доказательств:

• доказательство от противного;
• доказательство через контрпример.

Доказательство от противного в математике - один из самых часто используемых методов доказательства утверждений. Дана последовательность формул G и отрицание А (G, А). Если из этого следует В

и его отрицание (G , А, В , В, не-В), то можно сделать вывод, что из последовательности формул G вытекает истинность А. Иначе говоря, из ложности антитезиса следует истинность тезиса.

То есть, доказывая истинность А -> В, мы предполагаем, что И - истинно, В - ложно, и на основе аргументированных предположений получаем противоречие.

Этот способ доказательства основывается на истинности формулы ((А -> В) & В) -> А в классической логике и законе двойного отрицания А - А.

Доказательство утверждения А проводится следующим образом.

• 1. Сначала принимают предположение, что утверждение А неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение В, которое заведомо неверно.
• А = А, которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению А

Задача 4.13. Доказательство от противного.

Доказать равносильность формул

/хР(х) & /xQ(x) = /х(Р(х) & Q(x)).

Доказательство.

• 1. Предположим, что это не так, что формулы неравносильны, т.е. УхР(х) & /xQ(x) Ф /х(Р(х) & Q(x)).
• 2. Тогда должны найтись Р(х) и Q(x) такие, что равносильность не выполняется. В этом случае возможно три варианта:
  • Р(х) и Q(x) оба тождественно истинные;
  • один предикат тождественно истинен, другой - нет, например Р(х) тождественно истинен, а Q(x) - нет;
  • Р(х) и Q(x) оба не тождественно истинные.
• 3. Рассмотрим случай, когда Р(х) и Q(x) оба тождественно истинные (табл. 4.6).

Таблица 4.6

Таблица для задачи 4.3 (шаг 3)

• 4. Рассмотрим случай, когда Р(х) тождественно истинен, а Q(x) - нет (табл. 4.7).
• 5. Рассмотрим случай, когда Р(х) и Q(x) оба не тождественно истинные (табл. 4.8).

Во всех трех случаях обе формулы принимают одинаковые значения при одинаковых условиях, следовательно, наше предположение о неравносильных формулах было неверным.

6. Следовательно, указанные формулы равносильны. Ч.т.д.

Таблица для задачи 4.3 (шаг 4)

Таблица 4.8

Таблица для задачи 4.3 (шаг 5)

Задача 4.14. Доказательство от противного. Доказать общезначимость формулы

Vx(/?(x) v Pix)) -> (Зх/?(х) v ЗхР(х)).

Доказательство.

• 1. Предположим, что это не так, что формула не общезначима, т.е. должны найтись Р(х) и Q(x) такие, на которых формула равна нулю.
• 2. Тогда

Vx(/?(x) v Pix)) -> (3xR(x) v ЗхР(х)) =

Vx(/?(x) v Р(х)) v 3xR(x) v ЗхР(х) =

= 3x(R(x) & Р(х)) v 3xR(x) v Зх/ > (х) =

3x(R(x) & Р(х) v R(x) v Р(х) = Зх(1) = 1.

Таким образом, мы получили тождественно истинное высказывание для любых R(x) и Q(x).

3. Следовательно, наше предположение об отсутствии общезначимости было неверным и наша формула - общезначима. Ч.т.д.

Доказательство через контрпример строится по другой схеме.

• 1. Сначала принимается предположение, что утверждение А верно, а затем рассматривается особый случай - контрпример , при котором данное утверждение А неверно.
• 2. Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение А.

Задача 4.15. Использование контрпримера.

Исследовать , является ли формула

УхР(х) v VxQ(x) = Vx(P(x) v Q(x))

общезначимой.

Решение.

• 1. Предположим, что формула общезначима. Тогда она тождественно истинная для любой области.
• 2. Приведем контрпример. Положим, 0(х) = Р(х), оба не тождественно истинные. Тогда:

/х(Р(х) v Р(х)) = /х = 1 - тождественно истинное высказывание;

/хР(х) v /хР(х) = 0 v 0 = 0 - тождественно ложное высказывание.

• 3. Правая и левая части формулы не равны между собой. Это означает, что мы получили противоречие и на данном контрпримере рассматриваемая формула ложна.
• 4. Следовательно, наше предположение об общезначимости было неверным.
• 5. Значит, рассматриваемая формула не является общезначимой.

Рассмотрим несколько задач на построение доказательств для

свойства делимости.

Задача 4.16

Доказать методом математической индукции , что число п 3 - п делится на 3 для всех натуральных п.

Доказательство.

• 1. База индукции. Пусть п = 1, тогда I 3 - 1 =0. Число 0 делится нацело на любое натуральное число, в том числе и на 3.
• 2. Индукционный переход. Предположим, что п 3 - п делится на 3 при каком-то натуральном к. Тогда
• (к + I) 3 ~(к +) = (к + 1 )((к + I) 2 - 1) =

= (к + 1 )(к + 1 + )(к + !-!) = (* + 2 )(к +1 )к.

Из трех последовательных натуральных чисел одно обязательно кратно трем.

3. Следовательно, наше выражение кратно трем для любого натурального п. Р(п) для любого п. Ч.т.д.

Задача 4.17

Доказать методом математической индукции, что число 7" - 1 делится на 6 для всех натуральных п.

Доказательство.

Вспомним несколько утверждений, которые касаются делимости целых чисел друг на друга:

• целое число а делится на целое число b тогда и только тогда, когда а = kb при каком-то целом числе к;
• сумма чисел, делящихся на Ь, также делится на Ь.
• 1. База индукции. Пусть п = 1, тогда 7 1 - 1 = 6. Число нацело делится на 6.
• 2. Индукционный переход. Предположим, что 7" - 1 делится на 6 при каком-то натуральном к. Тогда
• 7* +| -1 = 7- 1 к -1 + 6- 6 = 7(7* - 1) + 6.

Число 7* - 1 делится на 6 в соответствии с нашим предположением. Делится на 6 и 7(7* - 1). Сумма чисел, кратных шести, также кратна шести.

3. Следовательно, наше выражение кратно шести для любого натурального п. Индуктивным рассуждением мы доказали истинность предиката Р(п ) для любого п. Ч.т.д.

Формальными доказательствами занимается специальная ветвь математики - теория доказательств . Сами формальные доказательства математики почти никогда не используют, поскольку для человеческого восприятия они очень сложны и часто занимают очень много места. Обычно доказательство имеет вид текста, в котором автор, опираясь на аксиомы и доказанные ранее теоремы, с помощью логических средств показывает истинность некоторого утверждения. В отличие от других наук, в математике недопустимы эмпирические доказательства: все утверждения доказываются исключительно логическими способами. В математике важную роль играют математическая интуиция и аналогии между разными объектами и теоремами; тем не менее, все эти средства используются учёными только при поиске доказательств, сами доказательства не могут основываться на таких средствах. Доказательства, написанные на естественных языках, могут быть не очень подробными в расчёте на то, что подготовленный читатель сам сможет восстановить детали. Строгость доказательства гарантируется тем, что его можно представить в виде записи на формальном языке (это и происходит при компьютерной проверке доказательств).

Ошибочным доказательством называется текст, содержащий логические ошибки, то есть такой, по которому нельзя восстановить формальное доказательство. В истории математики были случаи, когда выдающиеся учёные публиковали неверные «доказательства», однако обычно их коллеги или они сами довольно быстро находили ошибки (одна из наиболее часто неправильно доказывавшихся теорем - Великая теорема Ферма . До сих пор встречаются люди, не знающие о том, что она доказана, и предлагающие новые неверные «доказательства» ). Ошибочным может быть только признание доказательством «доказательства» на естественном или формальном языке; формальное доказательство ошибочным не может быть по определению.

В математике существуют нерешённые проблемы, решение которых учёным очень хотелось бы найти. Некоторые из них можно найти в статье «Гипотеза ». За доказательства особенно интересных и важных утверждений математические общества назначают премии.

Теория называется полной , если для любого утверждения доказуемо оно или его отрицание, и непротиворечивой , если в ней не существует утверждений, которые можно доказать вместе с их отрицаниями (или, эквивалентно, если в ней существует хотя бы одно недоказуемое утверждение). Большинство «достаточно богатых» математических теорий, как показывает первая теорема Гёделя о неполноте , являются неполными либо противоречивыми. Самым распространённым набором аксиом в наше время является аксиоматика Цермело - Френкеля с аксиомой выбора (хотя некоторые математики выступают против использования последней). Теория на основе этой системы аксиом не полна (например, континуум-гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута в ней - в предположении, что эта теория непротиворечива). Несмотря на повсеместное использование этой теории в математике, её непротиворечивость не может быть доказана методами её самой. Тем не менее, подавляющее большинство математиков верит в её непротиворечивость, считая, что в противном случае противоречия уже давно были бы обнаружены.

Исторический очерк

Первые доказательства использовали простейшие логические построения. В частности Фалес Милетский , доказавший что диаметр делит круг пополам, углы при основании равнобедренного треугольника равны, две пересекающиеся прямые образуют равные углы, видимо, использовал в своих доказательствах методы перегибания и наложения фигур. По словам греческого философа Прокла (V век н. э.) «Иногда он рассматривал вопрос несколько общо, иногда опираясь на наглядность». Уже при Пифагоре доказательство переходит от конкретных представлений к чисто логическим заключениям . Известно, что доказательство несоизмеримости стороны и диагонали квадрата, которое является основой понятия иррациональности , скорее всего принадлежит пифагорейцам , хотя впервые приведено в Началах Евклида (X), происходит от противного и основано на теории делимости чисел на два . Возможно, что расхождение во взглядах на роль математического доказательство явилось одной из причин конфликта между Евдоксом и Платоном .

Что и требовалось доказать

Традиционно окончание доказательства обозначалось сокращением «Q.E.D. », от латинского выражения лат. Quod Erat Demonstrandum («Что и требовалось доказать»).

Сейчас для обозначения окончания доказательства чаще используется знак □ или ■ , ‣ , //, а также русская аббревиатура «ч. т. д. ».

Литература

• С древнейших времён до начала Нового времени // История математики / Под редакцией Юшкевича А. П. , в трёх томах. - М .: Наука, 1970. - Т. I.

Примечания

См. также

• Конструктивное доказательство (англ. )

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

на тему: Доказательство как средство математического мышления. Представления о доказательности и эволюция понятия доказательства

Введение

1.2 Виды доказательств

Заключение

Список литературы

Введение

Большую часть знаний об окружающей действительности человек получает с помощью рассуждений. Выводы в них будут истинными, если они являются результатами правильных рассуждений, а такими считают рассуждения, построенные по правилам логики. Рассуждения лежат в основе доказательства. математический логика аксиоматический

Понятие доказательства является довольно-таки распространённым во многих областях знания, например, в юриспруденции, филологии, истории, но наиболее тесно понятие доказательства связано с математикой. Именно доказуемость математических утверждений, наличие в математических текстах доказательств нагляднее всего отличает математику от других областей знания.

В 1939 году Николя Бурбаки свой трактат «Начала математики» открыл такими словами: «Со времён греков говорить «математика»- значит говорить «доказательство». Таким образом, эти два слова являются почти синонимами.

Отличием математического доказательства от доказательств в других областях знания является то, что в математике порог убедительности значительно выше. Математическое доказательство, в отличие от доказательств в других областях знаний, признаётся эталоном бесспорности. Убедительность математических доказательств поддерживается отчётливостью, недвусмысленностью математических утверждений. Учитывая то, что доказательство занимает такое важное место в математике, данная тема является весьма важной, интересной и актуальной.

Цель курсовой работы: рассмотреть понятие доказательства и историю его развития.

1. Теоретические сведения, связанные с понятием доказательства

1.1 Основные понятия математической логики, связанные с понятием доказательства

Для того чтобы говорить об основных понятиях математической логики, следует дать определение данному термину.

Подобно тому, как умение говорить существовало до возникновения науки грамматики, так и искусство правильно мыслить существовало задолго до появления науки логики.

Математическая логика -- раздел математики, посвящённый изучению способов математических доказательств, математических утверждений, вопросов оснований математики. Математическая логика возникла, в сущности, на стыке двух столь разных наук, как философия, или точнее - философская логика, и математика. И, тем не менее, взаимосвязь новой логики с философией не только не оборвалась, но, напротив, парадоксальным образом даже окрепла. Обращение к философии является необходимым условием прояснения логикой своих оснований. С другой стороны, использование в философии понятий, методов и аппарата современной логики несомненно способствует более ясному пониманию самих философских понятий, принципов и проблем.

Основной вопрос математической логики - насколько верно рассуждение, выведенное из сделанных посылок.

Основной задачей логики является отделение правильных способов рассуждения (выводов, умозаключений) от неправильных.

Слово «логика» происходит от греческого «логос», что, с одной стороны, означает «слово» или «речь», а с другой - то, что выражается в речи, т.е. мышление. Появление математической логики уточнило и по-новому осветило понятия и методы традиционной формальной логики, существенно расширило её возможности и сферу применимости. Сегодня математическая логика используется в биологии, медицине, лингвистике, педагогике, психологии, экономике, технике.

Логика является именем особой науки о мышлении, называемой также формальной логикой.

Трудно найти более многогранное и сложное явление, чем человеческое мышление. Оно изучается многими науками, и логика - одна из них. Ее предмет - логические законы и логические операции мышления. Принципы, устанавливаемые логикой, необходимы, как и все научные законы. Мы можем не осознавать их, но вынуждены следовать им.

Формальная логика - наука о законах и операциях правильного мышления.

Теперь раскроем основные понятия математической логики, связанные с понятием доказательства.

Определение доказательства включает два центральных понятия логики: понятие истины и понятие логического следования. Оба эти понятия не являются в достаточной мере ясным и, значит, определяемое через них понятие доказательства также не может быть отнесено к ясным.

Понимание того, что такое математическая истина, вызывает серьёзные затруднения. Ведь математические объекты, в отличие от объектов физических, не присутствуют в природе, они существуют лишь в умах людей. Поэтому говорить, что истина - это то, что соответствует реальному положению вещей, можно, в применении к математическим истинам лишь с натяжкой.

Не существует, далее, единого понятия логического следования. Логических систем, претендующих на определение этого понятия, в принципе бесконечно много, например: «Логическое следование - это отношение, существующее между посылками и обоснованно выводимыми из них заключениями». Но ни одно из имеющихся в современной логике определений логического закона и логического следования не свободно от критики и от того, что принято называть «парадоксами логического следования».

Умозаключение - способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося. При этом мы не обращаемся к исследованию предметов и явлений самой действительности, а открываем такие связи и отношения между ними, которые невозможно увидеть непосредственно.

Умозаключение состоит из посылок и заключения.

Посылки - это высказывания, содержащие исходные знания.

Заключение - высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного .

Умозаключения бывают разными. В случае, когда заключение логически следует из посылок, и мы не сомневаемся в его истинности, то такое заключение является дедуктивным.

Кроме дедуктивного умозаключения в математике существует понятие неполной индукции.

Неполная индукция - это умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определённым свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса. Выводы, полученные с помощью неполной индукции, носят характер предположения, поэтому они нуждаются в доказательстве, либо опровержении.

Аналогия - умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта .

Вывод по аналогии, также носит характер гипотезы и нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении.

Высказывания и высказывательные формы.

Высказывание - грамматически правильное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом (содержанием) и являющееся истинным или ложным.

Высказывание считается истинным, если даваемое им описание соответствует реальной ситуации, и ложным, если не соответствует ей. «Истина» и «ложь» называются истинностными значениями высказывания.

Но не всякое предложение является высказыванием. К высказываниям не относятся вопросительные и восклицательные предложения, поскольку говорить об их истинности или ложности нет смысла. Не являются высказываниями и предложения, содержащие в себе оценку, например «Математика - скучный предмет», поскольку нет единого мнения о том, истинно данное предложение или ложно.

Высказывательной формой называется предложение, которое содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием при подстановке вместо всех переменных их значений. Например, предложение «Число делится на 2» не содержит переменной в явном виде, но тем не менее является высказывательной формой. Оно становится высказыванием, если на место слова «число» подставлять целые числа. Иначе это предложение можно записать так « Число х делится на 2».

Высказывания делятся на элементарные и составные.

Составные высказывания получаются из элементарных при помощи союзов и словосочетаний.

Поиски большей убедительности математических доказательств привели к появлению так называемого аксиоматического метода. Вкратце он состоит в следующем. Выбираются основные положения рассматриваемой математической теории, которые принимаются без доказательств, а из них уже все остальные положения рассматриваемой математической теории, которые принимаются без доказательств, а из них уже все остальные положения выводят чисто логическими рассуждениями. Эти основные положения получили название аксиом, а те, которые из них выводятся, - теорем. Ясно, что всякая аксиома также выводится из списка аксиом, поэтому удобно аксиомы рассматривать как частный случай теорем (в противном случае слову «теорема» надо было бы дать такое длинное определение: теорема - это то, что выводится из списка аксиом, однако в этот список не входит. В аксиомах вместо определений основных понятий формулируются их главные, исходные свойства - неформальный аксиоматический метод.

Формальный аксиоматический метод отличается от неформального тем, что в нём совершенно чётко перечисляются не только исходные понятия, но и дозволенные способы рассуждения. Точно указываются те логически переходы, которые разрешается делать. Более того: и аксиомы, и разрешённые логические переходы должны быть оформлены таким образом, чтобы первые могли использоваться, а вторые делаться чисто механически. Для этого нужно уметь оперировать с участвующими в доказательствах утверждениями, опираясь только на их внешний вид, а не на содержание.

Простейшие правила вывода. С их помощью устанавливается зависимость логической структуры заключения от логической структуры посылок.

Правило заключения (Modus ponens) - первый не подлежащий доказательству силлогизм стоической логики: если A и A>B -- выводимые формулы, то B также выводима. Форма записи: , где A, B -- любые формулы.

Правило отрицания Modus tollens -- второй не подлежащий доказательству силлогизм. «Если есть первое, то есть и второе, но второго нет, следовательно, нет и первого» .

Форма записи:

Предикат -- это функция с множеством значений (или {ложь, истина}), определённая на множестве. Таким образом, каждый набор элементов множества M характеризуется либо как «истинный», либо как «ложный». Согласно Авиценне предикат - лишь часть содержания субъекта.

С понятием предиката теснейшим образом связано понятие квантора.

Высказывание, заключающееся в том, что предикат P(x) принимает значение только истина на множестве М, называется квантором общности.

Высказывание, заключающееся в том, что существует хотя бы один элемент х (из области определения М), на котором предикат Р (х) принимает значение «истина», называется квантором существования и обозначается

Выражения вида: хотя бы n, по меньшей мере n, n и только n, называют численными кванторами. Эти кванторы можно выразить через кванторы общности и существования и логические операции над предикатами.

Правило контрапозиции утверждает, что в том случае, если некая посылка A влечёт некое следствие B, то отрицание этого следствия влечёт отрицание этой посылки.

Правило силлогизма или цепного заключения: если формулы P

окажутся выводимыми, то применив правило заключения к последней формуле, мы найдём, что формула также выводима .

Существуют также правила: введения дизъюнкции: ;

удаления дизъюнкции: ;

введения конъюнкции: ;

удаления конъюнкции: ;

перестановки посылок: .

Зная основные правила вывода, можем поговорить о видах доказательств.

1.2 Виды доказательств

Доказать какое-либо утверждение - это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.

В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обоснованно и также истинно, как и последние.

Таким образом, основой математического доказательства является дедуктивный вывод. А само доказательство - это цепочка умозаключений, причём заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой из последующих умозаключений.

Самое простое доказательство состоит из одного умозаключения. Таким, например, является доказательство умозаключения о том, что 6<8.

В доказательстве различаются тезис - утверждение, которое нужно доказать, основание (аргументы) - те положения, с помощью которых доказывается тезис, и логическая связь между аргументами и тезисом. Понятие доказательства всегда предполагает, таким образом, указание посылок, на которые опирается тезис, и тех логических правил, по которым осуществляются преобразования утверждений в ходе доказательства. Задача доказательства - исчерпывающе утвердить обоснованность доказываемого тезиса.

Следует заметить, что математическое доказательство - это не просто набор умозаключений, это умозаключения, расположенные в определённом порядке. Самый естественный способ доказать, что объект с заданными свойствами существует, - это его указать, назвать, построить (и, разумеется, убедиться, что он действительно обладает нужными свойствами). Чтобы доказать, например, что уравнение имеет решение, достаточно указать какое-то его решение. Такие доказательства существования чего-нибудь называются прямыми или конструктивными. В них, основываясь на некотором истинном предложении и с учётом условия теоремы, строится цепочка дедуктивных умозаключений, которая приводит к истинному заключению. Но бывают и косвенные доказательства, когда обоснование того факта, что искомый объект существует, происходит без прямого указания такого объекта. При прямых доказательствах задача состоит в том, чтобы найти убедительные аргументы, из которых логически вытекает тезис. Косвенные доказательства устанавливают справедливость тезиса тем, что вскрывают ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса.

В построении прямого доказательства можно выделить два связанных между собою этапа: отыскание тех признанных обоснованными утверждений, которые способны быть убедительными аргументами для доказываемого положения; установление логической связи между найденными аргументами и тезисом. Нередко первый этап считается подготовительным, и под доказательством понимается дедукция, связывающая подобранные аргументы и доказываемый тезис.

В косвенном доказательстве рассуждение идет как бы окольным путем. Вместо того, чтобы прямо отыскивать аргументы для выведения из них доказываемого положения, формулируется антитезис, отрицание этого положения. Далее тем или иным способом показывается несостоятельность антитезиса. По закону исключенного третьего, если одно из противоречащих друг другу утверждений ошибочно, второе должно быть верным. Антитезис ошибочен, значит, тезис является верным.

Примером косвенного доказательства является метод от противного.

Данный метод основан на законе контрапозиции, то есть вместо прямой доказывается теорема противоположная обратной: .

Для доказательства предполагаем, что верно утверждение противоположное заключению теоремы. Приходим к тому, что это утверждение противоречит условию, то есть верно. Приходим к противоречию с условием.

Таким образом, косвенное доказательство проходит следующие этапы: выдвигается антитезис и из него выводятся следствия с намерением найти среди них хотя бы одно ложное; устанавливается, что в числе следствий действительно есть ложное; делается вывод, что антитезис неверен; из ложности антитезиса делается заключение, что тезис является истинным.

Так же разновидностью данного метода является сведение к абсурду - Логический закон противоречия говорит о недопустимости одновременного утверждения и отрицания. Абсурдное высказывание представляет собой прямое нарушение этого закона.

Принцип Дирихле.

Данный приём назван по имени знаменитого немецкого математика XIX века

Петера Густава Лежёна Дирихле. Вот общая формулировка этого принципа:

Если имеется n ящиков, в которых находятся в общей сложности, по меньшей мере, n+1 предметов, то непременно найдётся ящик, в котором лежат, по меньшей мере, два предмета.

Доказательство с помощью силлогизма.

Пусть есть теорема P, можно подобрать такое утверждение R, что возможно доказать две следующих теоремы:

Тогда по правила силлогизма верна и теорема.

Принцип полной дизъюнкции.

Пусть справедливы теоремы: , …, и из посылок

, …, хотя бы одна выполняется, следствия, …, попарно взаимоисключают друг друга, тогда все обратные теоремы верны.

Метод индукции.

Индукция - это такой метод доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях. В полной индукции заключение с необходимостью, а не с некоторой вероятностью вытекает из посылок. Эта «индукция» является, таким образом, разновидностью дедуктивного умозаключения. Множество А состоит из элементов, …, . имеет признак В, имеет признак В, значит, все элементы от до имеют признак В, следовательно, все элементы множества А имеют признак В.

Методы доказательства теорем в логике предиката.

Наиболее часто используемые приёмы логических рассуждений были разработаны Аристотелем и называются Аристотилевы силлогизмы.

1. Все М являются К, все К являются N, следовательно, все М являются N.

2. Никакое P не является M, некоторое S является M,значит, некоторое S не является P.

Таким образом, нами были рассмотрены основные понятия математической логики, относящиеся к определению доказательства и виды доказательств. Как мы можем видеть, понятие доказательства прошло длительный путь своего развития. Им занимались: Аристотель - основатель логики как науки (разработал Аристотилевы силлогизмы), в III в до н.э. Евклид пытался разработать теорему аксиом, в 1939 году Николя Бурбаки (на самом деле такого математика не существовало, это коллективный псевдоним группы математиков) в своём трактате, подобно грекам, практически отождествил понятия « математика» и «доказательство». Поэтому далее логично будет подробнее поговорить об истории развития данного понятия.

2. Понятие доказательства в математике

2.1 История развития понятия доказательства

Историю развития понятия доказательства нельзя проследить без развития логики как науки.

Логика - одна из самых старых наук. Ее богатая событиями история началась еще в Древней Греции и насчитывает две с половиной тысячи лет. В конце прошлого - начале нынешнего века в логике произошла научная революция, в результате которой в корне изменились стиль рассуждений, методы, и наука как бы обрела второе дыхание. Теперь логика - одна из наиболее динамичных наук, образец строгости и точности даже для математических теорий.

Говорить о логике и легко, и одновременно сложно. Легко потому, что ее законы лежат в основе нашего мышления. Интуитивно они известны каждому. Всякое движение мысли, постигающей истину и добро, опирается на эти законы и без них невозможно. В этом смысле логика общеизвестна.

История логики охватывает около двух с половиной тысячелетий. «Старше» формальной логики, пожалуй, только философия и математика.

В длинной и богатой событиями истории развития логики отчетливо выделяются два основных этапа. Первый - от древнегреческой логики до возникновения во второй половине прошлого века современной логики. Второй - с этого времени до наших дней.

На первом этапе, обычно называемом традиционной логикой, формальная логика развивалась очень медленно. Обсуждавшиеся в ней проблемы мало чем отличались от проблем, поставленных еще Аристотелем. Это дало повод немецкому философу И.Канту в свое время придти к выводу, что формальная логика является завершенной наукой, не продвинувшейся со времени Аристотеля ни на один шаг. Кант не заметил, что еще с XVII в. стали назревать предпосылки для научной революции в логике. Именно в это время получила ясное выражение идея представить доказательство как вычисление, подобное вычислению в математике.

Данная идея связана главным образом с именем немецкого философа и математика Г.Лейбница. По Лейбницу, вычисление суммы или разности чисел осуществляется на основе простых правил, принимающих во внимание только форму чисел, а не их смысл. Результат вычисления однозначно предопределяется этими, не допускающими разночтения правилами, и его нельзя оспорить. Лейбниц мечтал о времени, когда умозаключение будет преобразовано в вычисление. Идеи Лейбница не оказали, однако, заметного влияния на его современников. Энергичное развитие логики началось позже, в XIX в.

Немецкий математик и логик Г.Фреге в своих работах стал применять формальную логику для исследования оснований математики. Фреге был убежден, что «арифметика есть часть логики и не должна заимствовать ни у опыта, ни у созерцания никакого обоснования». Пытаясь свести математику к логике, он реконструировал последнюю. Логическая теория Фреге - провозвестник всех нынешних теорий правильного рассуждения.

Среди российских учёных вклад в развитие логики внесли: П.С.Порецкий, Н.А.Васильев, А.Н.Колмогоров, В.А.Гливенко, А.А. Макаров и другие.

Великий французский математик Анри Пуанкаре писал: «Если мы читаем книгу, написанную пятьдесят лет назад, то рассуждения, которые мы в ней находим, кажутся нам большей частью лишёнными логической строгости».

Нельзя не согласиться с учёным, ведь действительно понимание того, что является, а что не является доказательством, меняется со временем. Если вдуматься, ничего удивительного в этом нет. Ведь понятие доказательства основано на представлении об убедительности, а это представление исторически обусловлено. В странах Древнего Востока (Вавилоне, Древнем Египте, Древнем Китае) решение математических задач приводилось, как правило, без обоснования и было догматичным. Первые математические доказательства, в современном их понимании, приписывают древнегреческим мыслителям Фалесу и Пифагору. Считается, что именно в Древней Греции в VII - VI веках до н.э. возник обычай сопровождать математический факт его обоснованием. Появилась потребность не просто сообщать данный факт, но и убеждать слушателя в его истинности, то есть проводить доказательство. По-видимому, сама идея необходимости убеждать слушателей появилась в дискуссиях, в народных собраниях и в судах. Таким образом, логическое доказательство становится основным методом установления истины. В это время были построены первые математические теории и математические модели мира, которые имели вполне современный вид, то есть строились из конечного числа посылок с помощью логических умозаключений.

Древнегреческие доказательства были, можно сказать, безупречны с современной точки зрения. Положение вещей стало меняться с XVII века, когда в математику вошли переменные величины, а вместе с ними - представление о предельном переходе. С сегодняшней точки зрения эти понятия и представления не были достаточно чёткими, а потому и относящиеся к ним доказательства XVII и XVIII веков кажутся теперь нетрогими. Замечательно, однако, что эти нестрогие доказательства приводили к строгим результатам, прочно вошедшим в арсенал современной математики. Примечательно то, что доказательства, содержащиеся в трудах Евклида и Аристотеля не потеряли своей убедительности за прошедшие тысячи лет.

2.2 Понятие математического мышления, доказательство как средство математического мышления

Мышление в общем смысле - есть процесс обобщённого и опосредованного отражения действительности в её существенных связях и отношениях.

Выделяют три вида мышления:

Наглядно-действенное;

Наглядно-образное;

Словесно - логическое, к данному типу как раз и относится математическое мышление.

К формам мышления относятся:

Понятие - форма мышления, отражающая существенные свойства, связи и отношения предметов и явлений, выраженная словом или группой слов.

Суждение - форма мышления, отражающая связи между предметами и явлениями; утверждение или отрицание чего-либо.

Умозаключение - форма мышления, при которой на основе нескольких суждений делается определённый вывод.

Аналогия - форма мышления, в которой на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

К мыслительным операциям относят:

Анализ - мыслительная операция расчленения сложного объекта на составляющие его части или характеристики.

Синтез - мыслительная операция, позволяющая в едином аналитико- синтетическом процессе мышления переходить от частей к целому.

Сравнение - мыслительная операция, основанная на установлении сходства и различия между объектами.

Абстрагирование - мыслительная операция, основанная на выделении существенных свойств и связей предмета и отвлечение от других, несущественных, свойств.

Обобщение - мысленное объединение предметов и явлений по их общим и существенным признакам.

Конкретизация - процесс восстановления в мышлении объективной целостности, существующей через связи единичных вещей.

К сожалению, единого мнения по вопросу определения понятия математического мышления в психолого-педагогической и методической литературе нет.

При его характеристике возникают сложные вопросы о взаимосвязи этого понятия с понятиями мышление вообще и конкретные виды мышления.

Одни исследователи считают, что математического мышления как такового, обладающего своими специфическими формами мыслительных действий, нет; своеобразие такого мышления связано, по их мнению, лишь с характером собственно математического материала. Другими словами, представители первого подхода отрицают специфику математического мышления (Л.С. Трегуб, Г. Фрейдепталь и др.).

Так, Л.С. Трегуб полагает, что демонстрация единых принципов человеческого познания означает, что нет особых методов математического мышления, своеобразного по методу и по способу своего функционирования. З.И. Слепкань считает неправомерными попытки введения этого понятия с выделением в нем своих особенностей и компонентов и его отождествление с логическим мышлением, а Г. Фрейдепталь пишет, что пока невозможно убедительно раскрыть суть математического мышления.

Вот что о данном термине говорил Г. Вейль: «Под математическим способом мышления я понимаю, во-первых, особую форму рассуждений, посредством которых математика проникает в науки о внешнем мире -- в физику, химию, биологию, экономику и т.д. и даже в наши размышления о повседневных делах и заботах, и, во-вторых, ту форму рассуждений, к которой прибегает в своей собственной области математик, будучи предоставленным самому себе».

Второй подход представлен исследованиями Ж. Пиаже и его сторонников. Согласно этим ученым, под математическим мышлением понимается собственно логико-математическое мышление, имеющее так называемые "абстракции действия".

Л. К. Максимов считает, что хотя методы математического мышления сейчас широко применяются в других науках и имеют статус общих методов познания, все-таки оно имеет свои особенности, которые отличают его от мышления в других научных областях. Специфику математического мышления следует искать не в его методах, а в его объектах, - так как первые порождаются вторыми, а также в своеобразии его предметного содержания.

Также можно сказать, что под математическим мышлением понимается, прежде всего, форма, в которой проявляется мышление в процессе познания конкретной науки - математики.

Математическому мышлению свойственны те качества, которые присущи научному мышлению, т.е. гибкость, активность, целенаправленность, готовность памяти к воспроизведению усвоенного, широта, глубина, критичность и самокритичность, ясность, точность, лаконичность, оригинальность, доказательность.

Можно выделить следующие признаки математического мышления:

Доминирование логической схемы рассуждения;

Лаконизм мышления: предельная скупость, суровая строгость мысли и ее изложения;

Четкая расчлененность хода рассуждения;

Точность символики.

Основным определяющим признаком культуры математического мышления считается полноценность аргументации, которая предполагает:

Освоение идеи доказательства;

Умение пользоваться определениями понятий (осознавать их логическую структуру, уметь выполнять действия подведения под понятие и выведение следствий);

Умение работать с теоремами (понимать их логическое строение, сущность прямой и обратной теорем и т.д.);

Владение общими логическими методами доказательства: аналитическим, синтетическим, методом от противного, полной индукцией, математической индукцией;

Владение частными методами и приемами, характерными для той или иной темы.

Совершенно очевидно, что логика, а, следовательно, и доказательство, теснейшим образом связаны с понятием математического мышления. Вспомним высказывание Джона Локка: «Логика - анатомия мышления». Являясь основой мышления, логика посредством доказательств, рассуждений, умозаключений способствует развитию математического мышления.

2.3 Опровержение и ошибки в доказательстве

Важно уметь не только доказать правильное положение, но и опровергнуть ошибочное. Операция опровержения столь же распространенна, как и операция доказательства, и является как бы зеркальным отображением последней.

Опровержение - это рассуждение, направленное против выдвинутого тезиса и имеющее целью установление его ложности или недоказанности.

Наиболее распространенный прием опровержения - выведение из опровергаемого утверждения следствий, противоречащих истине. Хорошо известно, что если даже одно-единственное логическое следствие некоторого положения ложно, то ложным является и само положение.

Другой прием установления ложности тезиса - доказательство истинности его отрицания. Утверждение и его отрицание не могут быть одновременно истинными. Как только удается показать, что верным является отрицание тезиса, вопрос об истинности самого тезиса автоматически отпадает.

Если тезис выдвигается с каким-то обоснованием, операция опровержения может быть направлена также против обоснования. В этом случае нужно показать, что приводимые аргументы ложны или несостоятельны.

Ошибочность аргументов выявляется так же, как и ошибочность тезиса: выведением из них следствий, оказывающихся в итоге несостоятельными, или доказательством утверждений, противоречащих аргументам.

Следует иметь в виду, что дискредитация доводов, приводимых в поддержку какого-то положения, не означает еще неправильности самого этого положения. Утверждение, являющееся по сути дела верным, может отстаиваться с помощью случайных или слабых аргументов. Выявив это, мы показываем именно ненадежность предполагаемого обоснования, а не ошибочность опирающегося на него утверждения.

Опровержение может быть направлено, наконец, на саму связь аргументов и тезиса. В этом случае надо показать, что тезис не вытекает из доводов, приведенных в его подтверждение. Если между аргументами и тезисом нет логической связи, то нет и доказательства тезиса с помощью приводимых аргументов. Из этого не вытекает, конечно, ни то, что аргументы ошибочны, ни то, что тезис ложен.

Логическая культура предполагает не только умение рассуждать последовательно и доказательно, с соблюдением требований логики, но и способность обнаруживать в рассуждении логические ошибки и подвергать их квалифицированному анализу.

Такие ошибки многообразны по сути. Рассмотрим наиболее характерные и часто встречающиеся.

Доказательство представляет собой логически необходимую связь аргументов и выводимого из них тезиса. Ошибки в доказательстве подразделяются на относящиеся к аргументам, к тезису и их связи.

Ошибки в отношении аргументов. Наиболее частой является содержательная ошибка - попытка обосновать тезис с помощью ложных аргументов (посылок). Законы логики гарантируют истинное заключение, только когда все принимаемые посылки верны. Если хотя бы одна из них ошибочна, уверенности в истинности выводимого тезиса нет, а значит, нет и доказательства. Неверное положение делает несостоятельным всякое доказательство, в котором оно используется. Употребление ложных, недоказанных или непроверенных аргументов нередко сопровождается оборотами: «как известно», «давно установлено», «совершенно очевидно», «никто не станет отрицать» и т.п.

Довольно распространенной ошибкой является круг в доказательстве: справедливость доказываемого положения обосновывается посредством этого же положения, высказанного, возможно, в несколько иной форме. Если за предпосылку доказательства принимается то, что еще нужно доказать, доказываемая мысль выводится из самой себя и получается не доказательство, а пустое хождение по кругу. Эту ошибку иногда так и называют: порочный круг.

Избежать ошибок, связанных с аргументами доказательства, помогает выполнение следующих трех простых требований:

* в качестве аргументов следует использовать только истинные утверждения;

* их истинность должна устанавливаться независимо от тезиса;

* в своей совокупности аргументы должны быть достаточными для того, чтобы из них с логической необходимостью вытекал тезис.

Последнее требование показывает, что принцип «Чем больше аргументов, тем лучше» не всегда оправдывает себя. Дело не в количестве доводов, а в их силе и их связи с отстаиваемым тезисом. Если последний вытекает из одного-единственного истинного положения, то оно вполне достаточно для его доказательства. Как говорит латинская пословица: «Доказательства ценятся по качеству, а не по количеству».

Характерной ошибкой является подмена тезиса, замещение его в ходе доказательства каким-то другим, чаще всего близким ему по форме или содержанию положением. Эта ошибка ведет к тому, что явно высказанный тезис остается без доказательства, но вместе с тем создается впечатление, будто он надежно обоснован.

Потерянная логическая связь. Если хотя бы одна из посылок доказательства неверна, оно теряет силу, в сущности, его нет. Оно может не состояться и по причине формальной ошибки. Она имеет место тогда, когда умозаключение не опирается на логический закон и заключение не вытекает из принятых посылок.

Лучшее средство предупреждения формальных ошибок - изучение теории умозаключения, знание законов логики и совершенствование практических навыков их применения.

2.4 Примеры различных видов доказательств

В данном пункте приведём примеры доказательств, описанных в пункте 1.2 нашей работы.

1. Метод от противного.

Данный пример встречается в «Началах» Евклида и в современных школьных учебниках. Пусть дан треугольник и два его неравных угла. Требуется доказать утверждение А: против большего угла лежит большая сторона. Делаем противоположное предположение В: сторона, лежащая в треугольнике против большего угла, меньше или ровно стороне лежащей против меньшего угла. Предположение В вступает в противоречие с ранее доказанной теоремой о том, что в любом треугольнике против равных сторон лежат равные углы, а если стороны неравны, то против большей стороны лежит больший угол. Значит, предположение В неверно, а верно утверждение А. Интересно, что прямое (то есть не «от противного») доказательство теоремы А оказывается намного более сложным.

2.Сведение к абсурду. Представим себе, что на некотором острове живут только рыцари и лжецы. Причем лжецы всегда только лгут, а рыцари всегда говорят только правду. Приехавший на остров человек встречает двух местных жителей и спрашивает, кто они такие. На что один из них отвечает: «По крайней мере, один из нас лжец». Необходимо узнать, кем является отвечавший.

Предположим, что он является лжецом. Суждение «Ответивший - лжец» обозначим А. Но тогда он сказал неправду, следовательно, ни один из них не является лжецом, и оба они - рыцари. Мы получили противоречие: отвечавший в одно и то же время рыцарь (В) и не рыцарь (). Значит, наше предположение неверно, и тот, кто отвечал, на самом деле является не лжецом, а рыцарем.

3. Принцип Дирихле.

В самолёте летит 380 пассажиров. Докажите, что какие-то два из них отмечают свой день рождения в один и тот же день года. Рассуждаем так. Всего имеется 366 (включая 29 февраля) возможных дат для празднования дня рождения. А пассажиров больше; значит, не может быть, чтобы у всех у них дни рождения приходились на различные даты, и непременно случится так, что какая-то дата является общей по крайней мере для двух человек. Ясно, что этот эффект будет обязательно наблюдаться, начиная с 367 пассажиров. А вот при 366 пассажирах не исключено, что даты (числа и месяцы) их дней рождения будут для всех различны, хотя это и чрезвычайно маловероятно. (Кстати, теория вероятностей учит, что если случайно выбранная группа людей состоит более чем из 22 человек, то более вероятно, что у кого-нибудь из них будет общий день рождения, нежели что у всех у них дни рождения приходятся на разные дни года.)

Как известно, в общем виде данный принцип можно записать так: если имеется n ящиков, в которых находятся в общей сложности, по меньшей мере, n+1 предметов, то непременно найдётся ящик, в котором лежат, по меньшей мере, два предмета. Чтобы увидеть как приведённая формулировка используется в данном примере, нужно мысленно представить себе 366 ящиков и написать на каждом одну из 366 дат года, а затем, мысленно же, разместить по ящикам 380 пассажиров, помещая каждого пассажира в ящик с его датой рождения. Тогда в каком-то из ящиков окажется более одного пассажира, и у этих пассажиров будет общий день рождения.

4.Доказательство с помощью силлогизма.

Если треугольник равносторонний, то все его угла равны. Если все углы равны, то каждый из них равен 60, значит, если треугольник равносторонний, то все его углы равны 60.

5. Принцип полной дизъюнкции.

В школьном курсе геометрии доказываются следующие теоремы: «Квадрат длины стороны, лежащей против острого угла треугольника, меньше суммы квадратов длин двух других сторон этого треугольника"; "Квадрат длины стороны, лежащей против прямого угла треугольника, равен сумме квадратов длин двух других сторон этого треугольника" (теорема Пифагора); "Квадрат длины стороны, лежащей против тупого угла треугольника, больше суммы квадратов длин двух других сторон этого треугольника". Проанализируем данные утверждения в аспекте применимости к ним данного принципа. Введем следующие обозначения для высказываний:

"В треугольнике угол острый";

"В треугольнике угол прямой";

"В треугольнике угол тупой";

где -- длины сторон треугольника; -- его угол, лежащий против стороны длины а. Тогда сформулированные три теоремы можно записать символически:

Ясно, что из трех посылок этих утверждений, по меньшей мере, одна истинна (угол в треугольнике непременно должен быть либо острым, либо прямым, либо тупым), а следствия попарно исключают друг друга. Поэтому заключаем, что истинны и все три обратные импликации:

Например, теорема, обратная теореме Пифагора, читается так: "Если в треугольнике квадрат длины некоторой стороны равен сумме квадратов длин двух других его сторон, то этот треугольник прямоугольный, причем прямым углом является угол, лежащий против первой стороны".

6. Метод индукции.

При n = 1 равенство примет вид 1=1, следовательно, P(1) истинно. Предположим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место

Следует проверить (доказать), что P(n + 1), то есть

истинно. Поскольку (используется предположение индукции)

то есть, P(n + 1) - истинное утверждение.

Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

7. Методы доказательства теорем в логике предиката.

А) Все ромбы являются параллелограммами, у всех параллелограммов противолежащие углы равны, значит, у всех ромбов противолежащие углы раны.

Б) Никакой квадрат не является окружностью. Фигура F является квадратом, следовательно, фигура F не является окружностью.

Заключение

Мы пришли к выводу о том, что тенденция включать математическую логику в число математических дисциплин и видеть в ней только теорию математического доказательства является ошибочной. На самом деле задачи логики гораздо шире. Она исследует основы всякого правильного рассуждения, а не только строгого математического доказательства, и ее интересует связь между посылками и следствиями в любых областях рассуждения и познания.

Нами были рассмотрены основные виды математических доказательств, их примеры. Была изучена эволюция понятия доказательства.

Также мы выяснили, что в доказательствах могут существовать ошибки, и, следовательно, некоторые доказательства можно опровергнуть.

Подводя итог работы, можем сказать, что такие понятия как логика, доказательство являются достаточно сложными, объёмными. Они имеют связь с философией. Вместе с тем, они составляют основу математического мышления, как части мышления вообще. Нельзя не согласиться с тем, что данные понятия являются не просто научными терминами, так как мы сталкиваемся с ними не только в своей интеллектуальной деятельности, но и в повседневной жизни: рассуждаем; приходим к каким-либо выводам; споря с кем-то, аргументируем свою точку зрения, то есть, приводим доказательства.

Список литературы

1. Вейль Г. Математическое мышление: Пер. с англ. И нем. / Под ред. Б.В. Бирюкова и А. Н. Паршина. - М.: Наука,1989. - 400с.

2. Ивин А.А. Логика / А.А. Ивин. - М.: Высш. школа,2004. - 304с.

3.Ивин А. А. Словарь по логике / А.А. Ивин, А.Л. Никифоров. - М.: ВЛАДОС, 1997. - 384 с.

4. Кондаков Н.И. Введение в логику/ Н.И. Кондаков - М.: Наука, 1967. - 467с.

5. Максимов Л.К. Зависимость развития математического мышления школьников от характера обучения / Л.К. Максимов // Вопросы психологии. - 2002. -№ 2.

6. Марков А.А. Элементы математической логики / А.А. Марков. - Изд-во МГУ,1984. - 80с.

7. Мендельсон Э. Введение в математическую логику / Э. Мендельсон. - М.: Наука, 1971. - 320с.ил.

8. Никольская И.Л. Математическая логика: Учебник / И.Л. Никольская. -М.: Высш. школа,1981. -127с.,ил.

9.Новиков П.С. Элементы математической логики / П.С. Новиков. -М.: Наука, 1973. - 400с.,ил.

10. Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений / Л.П. Стойлова. - М.: Издательский центр «Академия», 2002. - 424с.

11.Стяжкин Н. И. Формирование математической логики / Н.И. Стяжкин. -М.: Наука,1967. - 508с.

12. Попов П. С. История логики нового времени / П.С. Попов. -М.: Изд-во МГУ, 1960. -265с.

13.Успенский В.А. Простейшие примеры математических доказательств / В.А. Успенский.- М.: Изд-во МЦНМО, 2009. -56с.

14. Шень А. Математическая индукция / А. Шень. - М.: Изд-во МЦНМО, 2004. - 36 с.

15. История математики В 3 т. Т. 1. С древнейших времён до нового времени / Под ред. А.П. Юшкевича. - М.: Наука, 1970. - 353с.

16. История математики В 3 т. Т. 2. С древнейших времён до нового времени / Под ред. А.П. Юшкевича. - М.: Наука, 1970. - 303с.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Греческая математика. Средние века и Возрождение. Начало современной математики. Современная математика. В основе математики лежит не логика, а здравая интуиция. Проблемы оснований математики являются философскими.

реферат , добавлен 06.09.2006


Математическая логика (бессмысленная логика), логика "здравого смысла" и современная логика. Математические суждения и умозаключения, их направления. Математическая логика и "Здравый смысл" в XXI веке. Неестественная логика в основаниях математики.

реферат , добавлен 21.12.2008


Графическая интерпретация множеств и операций над ними. Математическая логика, булева алгебра. Совершенная конъюнктивная нормальная форма. Равносильные формулы и их доказательство. Полнота системы булевых функций. Логика предикатов, теория графов.

лекция , добавлен 01.12.2009


Значение математики в нашей жизни. История возникновения счета. Развитие методов вычислительной математики в настоящее время. Использование математики в других науках, роль математического моделирования. Состояние математического образования в России.

статья , добавлен 05.01.2010


Геометрия Евклида как первая естественнонаучная теория. Структура современной математики. Основные черты математического мышления. Аксиоматический метод. Принципы аксиоматического построения научных теорий. Математические доказательства.

реферат , добавлен 10.05.2011


Предлагается к обсуждению официальным лицам из института им. В.А. Стеклова и любителям математики из Интернета компактный, практически на 2-х страницах способ элементарного доказательства теоремы Ферма в общем виде.

реферат , добавлен 05.07.2006


Исторический процесс развития взглядов на существо математики как науки, основные этапы формирования аксиоматического метода. Теории групп, множеств, отображений и конгруэнтности (равенства) отрезков. Основные аксиоматические теоремы и их доказательства.

курсовая работа , добавлен 24.05.2009


Применение методов математической логики и других разделов высшей математики в задачах теоретической лингвистики при анализе письменной речи на русском и английском языках. Исследование и распознавание речевых единиц. Методы математической логики.

реферат , добавлен 01.11.2012


История становления математики как науки. Период элементарной математики. Период создания математики переменных величин. Создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрельного исчисления. Развитие математики в России в XVIII-XIX столетиях.

реферат , добавлен 09.10.2008


Введение понятия переменной величины. Развитие интегральных и дифференциальных методов. Математическое обоснование движения планет. Закон всемирного тяготения Ньютона. Научная школа Лейбница. Теория приливов и отливов. Создание математического анализа.