Свойства фигуры описанной около окружности. Вписанные и описанные многоугольники
Чтобы в общих чертах представить себе, что такое окружность, взгляните на кольцо или обруч. Можно также взять круглый стакан и чашку, поставить вверх дном на лист бумаги и обвести карандашом. При многократном увеличении полученная линия станет толстой и не совсем ровной, и края ее будут размытыми. Окружность как геометрическая фигура не имеет такой характеристики, как толщина.
Окружность: определение и основные средства описания
Окружность - это замкнутая кривая, состоящая из множества точек, расположенных в одной плоскости и равноудаленных от центра окружности. При этом центр находится в той же плоскости. Как правило, он обозначается буквой О.
Расстояние от любой из точек окружности до центра называется радиусом и обозначается буквой R.
Если соединить две любые точки окружности, то полученный отрезок будет называться хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, - это диаметр, обозначаемый буквой D. Диаметр делит окружность на две равные дуги и по длине вдвое превышает размер радиуса. Таким образом, D = 2R, или R = D/2.
Свойства хорд
- Если через две любые точки окружности провести хорду, а затем перпендикулярно последней - радиус или диаметр, то этот отрезок разобьет и хорду, и дугу, отсеченную ею, на две равные части. Верно и обратное утверждение: если радиус (диаметр) делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей.
- Если в пределах одной и той же окружности провести две параллельные хорды, то дуги, отсеченные ними, а также заключенные между ними, будут равны.
- Проведем две хорды PR и QS, пересекающиеся в пределах окружности в точке T. Произведение отрезков одной хорды всегда будет равно произведению отрезков другой хорды, то есть PT х TR = QT х TS.
Длина окружности: общее понятие и основные формулы
Одной из базовых характеристик данной геометрической фигуры является длина окружности. Формула выводится с использованием таких величин, как радиус, диаметр и константа "π", отражающая постоянство отношения длины окружности к ее диаметру.
Таким образом, L = πD, или L = 2πR, где L - это длина окружности, D - диаметр, R - радиус.
Формула длины окружности может рассматриваться как исходная при нахождении радиуса или диаметра по заданной длине окружности: D = L/π, R = L/2π.
Что такое окружность: основные постулаты
- не иметь общих точек;
- иметь одну общую точку, при этом прямая называется касательной: если провести радиус через центр и точку касания, то он будет перпендикулярен касательной;
- иметь две общие точки, при этом прямая называется секущей.
2. Через три произвольные точки, лежащие в одной плоскости, можно провести не более одной окружности.
3. Две окружности могут соприкасаться только в одной точке, которая расположена на отрезке, соединяющем центры этих окружностей.
4. При любых поворотах относительно центра окружность переходит сама в себя.
5. Что такое окружность с точки зрения симметрии?
- одинаковая кривизна линии в любой из точек;
- относительно точки О;
- зеркальная симметрия относительно диаметра.
6. Если построить два произвольных вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу окружности, они будут равны. Угол, опирающийся на дугу, равную половине то есть отсеченную хордой-диаметром, всегда равен 90°.
7. Если сравнивать замкнутые кривые линии одинаковой длины, то получится, что окружность отграничивает участок плоскости наибольшей площади.
Окружность, вписанная в треугольник и описанная около него
Представление о том, что такое окружность, будет неполным без описания особенностей взаимосвязи этой с треугольниками.
- При построении окружности, вписанной в треугольник, ее центр всегда будет совпадать с точкой пересечения треугольника.
- Центр окружности, описанной около треугольника, располагается на пересечении срединных перпендикуляров к каждой из сторон треугольника.
- Если описать окружность около то ее центр будет находиться на середине гипотенузы, то есть последняя будет являться диаметром.
- Центры вписанной и описанной окружностей будут находиться в одной точке, если базой для построения является
Основные утверждения об окружности и четырехугольниках
- Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность лишь тогда, когда сумма его противоположных внутренних углов равняется 180°.
- Построить вписанную в выпуклый четырехугольник окружность можно, если одинакова сумма длин его противоположных сторон.
- Описать окружность вокруг параллелограмма можно, если его углы прямые.
- Вписать в параллелограмм окружность можно в том случае, если все его стороны равны, то есть он является ромбом.
- Построить окружность через углы трапеции можно, только если она равнобедренная. При этом центр описанной окружности будет располагаться на пересечении четырехугольника и срединного перпендикуляра, проведенного к боковой стороне.
Серединный перпендикуляр к отрезку
Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).
Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.
Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны .
Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .
Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,
Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.
Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,
Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2
Окружность, описанная около треугольника
Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
| Фигура | Рисунок | Свойство |
| Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника |  |
пересекаются в одной точке
. |
 |
|
|
| Центр описанной около остроугольного треугольника окружности | Центр описанной около остроугольного внутри треугольника. | |
| Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности |  | Центром описанной около прямоугольного
середина гипотенузы
. |
| Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности |  | Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. |
 |
|
|
| Площадь треугольника |  | S = 2R 2 sin A sin B sin C , |
| Радиус описанной окружности | Для любого треугольника справедливо равенство: |
,| Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника |
Все серединные перпендикуляры , проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке . |
| Окружность, описанная около треугольника |
Около любого треугольника можно описать окружность . Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. |
| Центр описанной около остроугольного треугольника окружности |
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника. |
| Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности |
Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы . |
| Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности |
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. |
Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):
где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности. |
| Площадь треугольника |
Для любого треугольника справедливо равенство: S = 2R 2 sin A sin B sin C , где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности. |
| Радиус описанной окружности |
Для любого треугольника справедливо равенство: где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности. |
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Следовательно, справедливо равенство:
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.
Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность . Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).
При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:
из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Многоугольник называется вписанным в выпуклую кривую, а кривая – описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на кривой (рис. 1). Многоугольник называется описанным вокруг выпуклой кривой, а кривая – вписанной в многоугольник, если каждая его сторона касается кривой. Если же кривая касается всех прямых, на которых лежат стороны многоугольника, причем некоторых из них она касается в точках, не принадлежащих сторонам, то она называется вневписанной. В качестве кривой чаще всего рассматривается окружность. Так, например, всякий треугольник имеет одну описанную окружность, одну вписанную и три вневписанных (рис. 2).
Но уже не всякий четырехугольник имеет вписанную или описанную окружность. Описанная вокруг четырехугольника окружность существует лишь в том случае, если сумма его противоположных углов равна 180°. А для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы каждая сумма длин одной пары противоположных сторон была равна сумме длин второй пары сторон.
Вписанная и описанная окружности существуют у любого правильного многоугольника (рис. 3). Этот факт использовался еще в древности для нахождения отношения длины окружности к ее радиусу.
Нетрудно обнаружить тот факт, что если на плоскости задана замкнутая кривая и равносторонний треугольник, то вокруг всегда можно описать равносторонний треугольник со сторонами, параллельными сторонам данного (рис. 4). Менее очевидным является утверждение о том, что вокруг любой замкнутой кривой можно описать квадрат.
Вписанные и описанные фигуры рассматриваются и в пространстве.
В этом случае вместо многоугольника рассматривается многогранник, а вместо выпуклой линии – выпуклая поверхность, чаще всего сфера.
Сфера называется описанной около многогранника, а многогранник – вписанным в сферу, если все вершины многогранника лежат на сфере. Сфера называется вписанной в многогранник, а многогранник описанным около сферы, если плоскости всех его граней касаются сферы.
У правильных многогранников существуют описанные и вписанные сферы, поскольку вершины правильного многогранника равноудалены от его центра (рис. 5). Для того чтобы у других многогранников существовали описанная и вписанная сферы, требуются определенные условия. Например, около прямой призмы или пирамиды можно описать сферу, если можно описать окружность около ее основания (рис. 6).
Иногда рассматривают конус, вписанный в сферу; сферу, вписанную в конус, цилиндр и т.п. (рис. 7).
На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда о том, что объемы этих тел относятся как 3:2. Когда римский оратор и общественный деятель Цицерон, живший в І в. до н. э., был в Сицилии, он еще видел этот заросший кустами и терновником памятник с шаром и цилиндром.
