Чем отличаются вынужденные колебания от затухающих. Затухающие и вынужденные колебания

Во всякой реальной колебательной системе обычно имеют место силы трения (сопротивления), действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Сила трения выражается формулой:

где r – коэффициент трения, а знак минус указывает, что на­правление силы всегда противоположно скорости движения.

Если силы трения отсутствуют, формула (2.4) дает диффе­ренциальное уравнение:

которое имеет, решение в виде:

где ω 0 = . Колебания, происходящие при отсутствии сил трения, называются собственными или свободными. Частота собственных колебаний зависит только от свойств системы.

Допустим теперь, что в системе действуют две силы: F УПР и F ТР. Уравнение движения тела будет иметь вид:

Разделим это уравнение на массу тела и обозначим: .

Тогда получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний, энергия которых уменьшается с течением времени:

Этому уравнению удовлетворяет функция: х = А 0 е - d t Cos (wt + j 0),

где Значит, сейчас уже частота колебания зависит от , и . Амплитуда колебания будет с течением време­ни изменяться по экспоненциальному закону . Величина , определяющая быстроту убывания амплитуды колебания с течением времени, называется коэффициентом затухания. Произ­ведение коэффициента затухания на период колебания T, равное логарифму отношения двух соседних амплитуд:

есть безразмерная величина, и называется логарифмическим декре­ментом затухания. Колебания, происходящие в системе при нали­чии сил трения, называются затухающими. Частота этих колебаний зависит от свойств системы и интенсивности потерь (с их увеличением частота уменьшается). Для получения незату­хающих колебаний система должна подвергаться действию еще и внешней силы, непрерывно изменяющейся со временем по какому-нибудь закону. В частности, предположим, что внешняя сила явля­ется синусоидальной:

тогда уравнение движения тела будет иметь вид:

Разделим это уравнение на массу тела и к ранее принятым обозна­чениям добавим . В этом случае уравнение примет вид:

Уравнение характеризует уже вынужденные незатухающие ко­лебания под действием внешней периодической силы. Решение этого уравнения имеет вид:

x = A Cos (ωt-φ),

где А – амплитуда колебания, φ – фаза, равная: φ = аrctg .

Амплитуда вы­нужденных колебаний системы:

где – угловая частота собственных колебаний системы; – угловая частота вынуждающей силы.

При вынужденных колебаниях имеет место явление резонан­са, вызывающее резкое увеличение амплитуды вынужденных колеба­ний при совпадении собственной угловой частоты колебаний и уг­ловой частоты вынуждающей силы. Поскольку вынужденные колеба­ния имеют широкое применение в технике, то явление резонанса должно всегда учитываться, ибо оно может быть полезным в от­дельных процессах, а может быть и опасным явлением.

Важное место в машиностроении занимают вибрации (от лат. vibratio – колебание) – меха­нические колебания упругих тел различной формы. Это понятие обычно применяется по отношению к механическим колебаниям дета­лей машин, конструкций и сооружений, рассматриваемых в инженер­ном деле.

Раздел 5. Физика волновых процессов

Колебательное движение реальной механической системы всегда сопровождается трением, на преодоление которого расходуется часть энергии колебательной системы. Поэтому энергия колебания в процессе колебания уменьшается, переходя в теплоту. Так как энергия колебания пропорциональна квадрату амплитуды, то постепенно уменьшается и амплитуда колебаний (рис. 53; х - смещение, t - время). Когда вся энергия колебания перейдет в теплоту, колебание прекратится (затухнет). Такого рода колебания называются затухающими.

Для того чтобы система совершала незатухающие колебания, необходимо восполнять извне потери энергии колебания на трение. Для этого надо воздействовать на систему периодически изменяющейся силой

где амплитудное (максимальное) значение силы, круговая частота колебаний силы, время. Внешняя сила, обеспечивающая незатухающие колебания системы, называется вынуждающей силой, а колебания системы - вынужденными. Очевидно, что вынужденные колебания происходят с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Определим амплитуду вынужденных колебаний.

Для упрощения расчета пренебрежем силой трения, полагая, что на колеблющееся тело действуют только две силы: вынуждающая и возвращающая Тогда, согласно второму закону Ньютона,

где - масса и ускорение колеблющегося тела. Но, как было показано в § 27, Тогда

где смещение колеблющегося тела. Согласно формуле (9),

где - круговая частота собственных колебаний тела (т. е. колебаний, обусловленных только действием возвращающей силы). Поэтому

Из уравнения (22) следует, что амплитуда вынужденного колебания

зависит от соотношения круговых частот вынужденного и собственного колебаний: при будет В действительности благодаря трению амплитуда вынужденных колебаний

остается конечной. Она достигает максимального значения в том случае, когда частота вынужденных колебаний близка к частоте собственных колебаний системы. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при называется резонансом.

Используя резонанс, можно посредством небольшой вынуждающей силы вызвать колебание с большой амплитудой. Подвесим, например, карманные или ручные часы на нити такой длины, чтобы частота собственных колебаний полученного физического маятника (рис. 54) совпала с частотой колебаний балансира часового механизма. В результате часы сами начнут колебаться, отклоняясь от положения равновесия на угол а 30°.

Явление резонанса имеет место при колебаниях любой природы (механических, звуковых, электрических и др.). Оно широко используется в акустике - для усиления звука, в радиотехнике - для усиления электрических колебаний и т. п.

В некоторых случаях резонанс играет вредную роль. Он может вызвать сильную вибрацию конструкций (зданий, опор, мостов и т. п.) при работе установленных на этих конструкциях механизмов (станков, моторов и т. п.). Поэтому при расчете сооружений необходимо обеспечивать значительное различие между частотами колебаний механизмов и собственных колебаний конструкций.

В технике распространен еще один вид незатухающих колебаний - так называемые автоколебания, отличающиеся от вынужденных тем, что у них потери энергии колебания восполняются за счет постоянного источника энергии, вводимого в действие на очень короткие промежутки времени (в сравнении с периодом колебаний). Причем этот источник «включается» в нужные моменты времени автоматически самой колебательной системой. Примером автоколебательной системы может служить часовой маятник. Здесь потенциальная энергия приподнятого груза (или деформированной пружины) вводится в действие посредством анкерного механизма. Другим примером может служить замкнутый колебательный контур с электронной лампой; с действием этой автоколебательной системы мы познакомимся позже (см. § 112).

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся, случае сила сопротивления F * пропорциональна величине скорости:

(41.1)

Здесь r - постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус обусловлен тем, что сила F * и скорость v имеют противоположные направления; следовательно, их проекции на ось x имеют разные знаки.

Уравнение второго закона Ньютона при наличии сил сопротивления имеет вид

(41.2)

Применив обозначения: (ω 0 ‑ представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды при r = 0), перепишем уравнение (41.2) следующим образом:

(41.3)

При не слишком сильном затухании общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

(41.4)

Здесь a 0 и α - произвольные постоянные, - циклическая частота затухающих колебаний. На рис. 41.1 дан график уравнения затухающих колебаний. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки x.

Рис. 41.1.

В соответствии с видом функции (41.4) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты ω с амплитудой, изменяющейся по закону a (t ) = a 0 e ‑ β ∙ t . Верхняя из пунктирных кривых на рис. 41.1 дает график функции a (t ), причем величина a 0 представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение x 0 зависит, кроме a 0 , также от начальной фазы α: x 0 = a 0 ∙ cos α .

Скорость затухания колебаний определяется величиной β = r /2 m , которую называют коэффициентом затухания. Найдем время τ , за которое амплитуда уменьшается в e раз. По определению e ‑ β ∙ τ = e ‑1 , откуда β ∙ τ = 1. Следовательно, коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в e раз.

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно .

Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм - логарифмическим декрементом затухания: .

Для характеристики колебательной системы обычно используется логарифмический декремент затухания λ. β через λ, и T , можно закон убывания амплитуды со временем записать в виде:

(41.5)

За время τ , за которое амплитуда уменьшается в е раз, система успевает совершить N e = τ / T колебаний. Из условия (41.5) получается, что. Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в e раз.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина , называемая добротностью колебательной системы. Как видно из ее определения, добротность пропорциональна числу колебаний N e , совершаемых системой за то время τ , за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

С ростом коэффициента затухания частота колебаний увеличивается. При β = ω 0 частота колебаний обращается в нуль, т. е. движение перестает быть периодическим. Следовательно, движение носит апериодический (непериодический) характер - выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.

Вынужденные колебания.

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными .

В этом случае внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω 0 .

Если свободные колебания происходят на частоте ω 0 , которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы .

После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Δt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания τ свободных колебаний в колебательной системе.

В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω 0 . Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы.

Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят на частоте внешнего воздействия по закону:

Амплитуда вынужденных колебаний x m и начальная фаза θ зависят от соотношения частот ω 0 и ω и от амплитуды внешней силы.

Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω 0 , возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом . Зависимость амплитуды x m вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис. 41.2).

В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.

У колебательных систем с не очень высокой добротностью резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот.

Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.

Рис. 41.2. Резонансные кривые при различных уровнях затухания: 1 – колебательная система без трения; 2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различной добротностью: Q 2 > Q 3 > Q 4 .

Вынужденные колебания – это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы.

Тема 17 Затухающие и вынужденные колебания

1 Затухающие колебания. Величины их характеризующие.

2 Вынужденные колебания.

3 Резонанс.

Основные понятия по теме

При наличии в системе диссипативных сил амплитуда колебаний убывает с течением времени. Такие колебания принято называть затухающими колебаниями . Формально это означает, что в уравнение движения тела, совершающего свободные колебания, при описании затухающих колебаний, необходимо добавить слагаемые учитывающие диссипативные силы. В первом приближении величину этих сил принято считать пропорциональной скорости движения тела. В этом случае уравнение движения пружинного маятника (16.1) принимает вид

где коэффициент сопротивления.

Разделив обе части уравнения (17.1) на , перепишем его в виде

. (17.2)

В выражении (17.2) введены общепринятые обозначения собственная частота колебаний и коэффициент затухания.

Решение уравнения (17.2) имеет вид

Здесь частота затухающих колебаний, их начальная фаза. Функция описывает убывание амплитуды затухающих колебаний с течением времени. График зависимости смещения частицы из положения равновесия приведен на рисунке 17.1. Из вида приведенного графика следует принципиальный вывод – затухающие колебания являются негармоническими . Следовательно, величины используемые ранее для описания свободных колебаний, при описании затухающих колебаний непригодны. Исключение составляет только начальная фаза колебаний , так как она определяет начальные условия возбуждения колебаний и не связана с их дальнейшим поведением во времени.

Затухающие колебания принято характеризовать следующими величинами:

время релаксации колебаний. Время релаксации затухающих колебаний – это время, в течении которого их амплитуда уменьшается в раз;

коэффициент затухания, который характеризует диссипативные силы в системе. Коэффициент затухания связан с временем релаксации очевидным соотношением

и, следовательно, имеет размерность ;

декремент затухания. Декремент затухания показывает, во сколько раз амплитуда затухающих колебаний убывает за время одного полного колебания, то есть

; (17.5)

логарифмический декремент затухания; (17.6)

добротность колебательной системы, характеризующая ее энергетические потери за время одного полного колебания. Добротность

, (17.7)

где энергия, запасенная в системе в момент времени , потери энергии за время одного полного колебания.

Введенные выше понятия полностью характеризуют затухающие колебания, то есть описывают поведение кривых представленных на рисунке 17.1 в зависимости от времени. Обратное утверждение также является верным. Имея график зависимости , полученный экспериментально, можно определить все вышеназванные величины характеризующие затухающие колебания.

В реальных ситуациях затухание колебаний является неизбежным, но вредным явлением. Устранить его проявления в рассматриваемой колебательной системе можно, если в число сил, под действием которых происходят колебания, дополнительно включить вынуждающие силы, приводящие к компенсации потерь энергии в колебательной системе. Из основного условия, содержащегося в определении колебаний, «повторяемость во времени» следует, что вынуждающая сила должна иметь периодический характер

. (17.8)

В выражении (17.8) амплитуда вынуждающей силы, ее частота.

При добавлении вынуждающей силы в уравнение движения (17.1), последнее, приобретая внешний вид

, (17.9)

одновременно приобретает и качественно новое математическое свойство. В отличие от уравнений (16.1) и (17.1) уравнение (17.9) является неоднородным дифференциальным уравнением. Установившиеся вынужденные колебания описывает только частное решение неоднородного дифференциального уравнения (17.9), которое имеет вид

Из (17.10) следует, что вынужденные колебания, так же как и свободные, являются гармоническими. Однако они отличаются от свободных колебаний рядом особенностей. Во первых, как ясно из выражения (17.10), частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы, то есть вынуждающая сила навязывает колебательной системе свою частоту. Во вторых, амплитуда вынужденных колебаний