Теорема пирамиды. Правильная пирамида
Как можно построить пирамиду? На плоскости р построим какой-либо многоугольник, например пятиугольник ABCDE. Вне плоскости р возьмем точку S. Соединив точку S отрезками со всеми точками многоугольника, получим пирамиду SABCDE (рис.).
Точка S называется вершиной , а многоугольник ABCDE - основанием этой пирамиды. Таким образом, пирамида с вершиной S и основанием ABCDE - это объединение всех отрезков , где М ∈ ABCDE.
Треугольники SAB, SBC, SCD, SDE, SEA называются боковыми гранями пирамиды, общие стороны боковых граней SA, SB, SC, SD, SE - боковыми ребрами .
Пирамиды называются треугольными, четырехугольными, п-угольными в зависимости от числа сторон основания. На рис. даны изображения треугольной, четырехугольной и шестиугольной пирамид.
Плоскость, проходящая через вершину пирамиды и диагональ основания, называется диагональной , а полученное сечение - диагональным. На рис. 186 одно из диагональных сечений шестиугольной пирамиды заштриховано.
Отрезок перпендикуляра, проведенного через вершину пирамиды к плоскости ее основания, называется высотой пирамиды (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).
Пирамида называется правильной , если основание пирамиды-правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в его центр.
Все боковые грани правильной пирамиды - конгруэнтные равнобедренные треугольники. У правильной пирамиды все боковые ребра конгруэнтны.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой пирамиды. Все апофемы правильной пирамиды конгруэнтны.
Если обозначить сторону основания через а , а апофему через h , то площадь одной боковой грани пирамиды равна 1 / 2 ah .
Сумма площадей всех боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды и обозначается через S бок.
Так как боковая поверхность правильной пирамиды состоит из n конгруэнтных граней, то
S бок. = 1 / 2 ahn = Ph / 2 ,
где Р - периметр основания пирамиды. Следовательно,
S бок. = Ph / 2
т. е. площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле
S = S ocн. + S бок. .
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания S ocн. на высоту Н:
V = 1 / 3 S ocн. Н.
Вывод этой и некоторых других формул будет дан в одной из последующих глав.
Построим теперь пирамиду другим способом. Пусть дан многогранный угол, например, пятигранный, с вершиной S (рис.).
Проведем плоскость р так, чтобы она пересекала все ребра данного многогранного угла в разных точках А, В, С, D, Е (рис.). Тогда пирамиду SABCDE можно рассматривать как пересечение многогранного угла и полупространства с границей р , в котором лежит вершина S.
Очевидно, что число всех граней пирамиды может быть произвольным, но не меньшим четырех. При пересечении трехгранного угла плоскостью получается треугольная пирамида, у которой четыре грани. Любую треугольную пирамиду иногда называют тетраэдром , что означает четырехгранник.
Усеченную пирамиду можно получить, если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания.
На рис. дано изображение четырехугольной усеченной пирамиды.
Усеченные пирамиды также называются треугольными, четырехугольными, n-угольными в зависимости от числа сторон основания. Из построения усеченной пирамиды следует, что она имеет два основания: верхнее и нижнее. Основания усеченной пирамиды - два многоугольника, стороны которых попарно параллельны. Боковые грани усеченной пирамиды - трапеции.
Высотой усеченной пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из любой точки верхнего основания к плоскости нижнего.
Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и плоскостью сечения, параллельной основанию. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды (трапеции) называется апофемой .
Можно доказать, что у правильной усеченной пирамиды боковые ребра конгруэнтны, все боковые грани конгруэнтны, все апофемы конгруэнтны.
Если в правильной усеченной n -угольной пирамиде через а и b n обозначить длины сторон верхнего и нижнего оснований, а через h - длину апофемы, то площадь каждой боковой грани пирамиды равна
1 / 2 (а + b n ) h
Сумма площадей всех боковых граней пирамиды называется площадью ее боковой поверхности и обозначается S бок. . Очевидно, что для правильной усеченной n -угольной пирамиды
S бок. = n 1 / 2 (а + b n ) h .
Так как па = Р и nb n = Р 1 - периметры оснований усеченной пирамиды, то
S бок. = 1 / 2 (Р + Р 1) h ,
т. е. площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна половине произведения суммы периметров ее оснований на апофему.
Сечение, параллельное основанию пирамиды
Теорема. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то:1) боковые ребра и высота разделятся на пропорциональные части;
2) в сечении получится многоугольник, подобный основанию;
3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.
Теорему достаточно доказать для треугольной пирамиды.
Так как параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым, то (АВ) || (А 1 В 1), (BС) ||(В 1 C 1), (AС) || (A 1 С 1) (рис.).
Параллельные прямые рассекают стороны угла на пропорциональные части, и поэтому
$$ \frac{\left|{SA}\right|}{\left|{SA_1}\right|}=\frac{\left|{SB}\right|}{\left|{SB_1}\right|}=\frac{\left|{SC}\right|}{\left|{SC_1}\right|} $$
Следовательно, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 и
$$ \frac{\left|{AB}\right|}{\left|{A_{1}B_1}\right|}=\frac{\left|{SB}\right|}{\left|{SB_1}\right|} $$
ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 и
$$ \frac{\left|{BC}\right|}{\left|{B_{1}C_1}\right|}=\frac{\left|{SB}\right|}{\left|{SB_1}\right|}=\frac{\left|{SC}\right|}{\left|{SC_1}\right|} $$
Таким образом,
$$ \frac{\left|{AB}\right|}{\left|{A_{1}B_1}\right|}=\frac{\left|{BC}\right|}{\left|{B_{1}C_1}\right|}=\frac{\left|{AC}\right|}{\left|{A_{1}C_1}\right|} $$
Соответственные углы треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 конгруэнтны, как углы с параллельными и одинаково направленными сторонами. Поэтому
ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1
Площади подобных треугольников относятся, как квадраты соответствующих сторон:
$$ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1 B_1 C_1}}=\frac{\left|{AB}\right|^2}{\left|{A_{1}B_1}\right|^2} $$
$$ \frac{\left|{AB}\right|}{\left|{A_{1}B_1}\right|}=\frac{\left|{SH}\right|}{\left|{SH_1}\right|} $$
Следовательно,
$$ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1 B_1 C_1}}=\frac{\left|{SH}\right|^2}{\left|{SH_1}\right|^2} $$
Теорема. Если две пирамиды с равными высотами рассечены на одинаковом расстоянии от вершины плоскостями, параллельными основаниям, то площади сечений пропорциональны площадям оснований.
Пусть (черт. 84) В и В 1 - площади оснований двух пирамид, H - высота каждой из них, b и b 1 - площади сечений плоскостями, параллельными основаниям и удалёнными от вершин на одно и то же расстояние h .
Согласно предыдущей теореме мы будем иметь:
$$ \frac{b}{B}=\frac{h^2}{H^2}\: и \: \frac{b_1}{B_1}=\frac{h^2}{H^2} $$
откуда
$$ \frac{b}{B}=\frac{b_1}{B_1}\: или \: \frac{b}{b_1}=\frac{B}{B_1} $$
Следствие. Если В = В 1 , то и b = b 1 , т. е. если у двух пирамид с равными высотами основания равновелики, то равновелики и сечения, равноотстоящие от вершины.
Другие материалыДанный видеоурок поможет пользователям получить представление о теме Пирамида. Правильная пирамида. На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение. Рассмотрим, что такое правильная пирамида и какими свойствами она обладает. Затем докажем теорему о боковой поверхности правильной пирамиды.
На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение.
Рассмотрим многоугольник А 1 А 2 ...А n , который лежит в плоскости α, и точку P , которая не лежит в плоскости α (рис. 1). Соединим точку P с вершинами А 1 , А 2 , А 3 , … А n . Получим n треугольников: А 1 А 2 Р , А 2 А 3 Р и так далее.
Определение . Многогранник РА 1 А 2 …А n , составленный из n -угольника А 1 А 2 ...А n и n треугольников РА 1 А 2 , РА 2 А 3 …РА n А n -1 , называется n -угольной пирамидой. Рис. 1.
Рис. 1
Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 2).
Р - вершина пирамиды.
ABCD - основание пирамиды.
РА - боковое ребро.
АВ - ребро основания.
Из точки Р опустим перпендикуляр РН на плоскость основания АВСD . Проведенный перпендикуляр является высотой пирамиды.
Рис. 2
Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания:
S полн = S бок + S осн
Пирамида называется правильной, если:
- ее основание - правильный многоугольник;
- отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.
Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды
Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 3).
Р - вершина пирамиды. Основание пирамиды АВСD - правильный четырехугольник, то есть квадрат. Точка О , точка пересечения диагоналей, является центром квадрата. Значит, РО - это высота пирамиды.
Рис. 3
Пояснение : в правильном n -угольнике центр вписанной и центр описанной окружности совпадает. Этот центр и называется центром многоугольника. Иногда говорят, что вершина проектируется в центр.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой и обозначается h а .
1. все боковые ребра правильной пирамиды равны;
2. боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
Доказательство этих свойств приведем на примере правильной четырехугольной пирамиды.
Дано : РАВСD - правильная четырехугольная пирамида,
АВСD - квадрат,
РО - высота пирамиды.
Доказать :
1. РА = РВ = РС = РD
2. ∆АВР = ∆ВCР =∆СDР =∆DAP См. Рис. 4.
Рис. 4
Доказательство .
РО - высота пирамиды. То есть, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС , а значит, и прямым АО, ВО, СО и DО , лежащим в ней. Значит, треугольники РОА, РОВ, РОС, РОD - прямоугольные.
Рассмотрим квадрат АВСD . Из свойств квадрата следует, что АО = ВО = СО = DО.
Тогда у прямоугольных треугольников РОА, РОВ, РОС, РОD катет РО - общий и катеты АО, ВО, СО и DО равны, значит, эти треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников вытекает равенство отрезков, РА = РВ = РС = РD. Пункт 1 доказан.
Отрезки АВ и ВС равны, так как являются сторонами одного квадрата, РА = РВ = РС . Значит, треугольники АВР и ВCР - равнобедренные и равны по трем сторонам.
Аналогичным образом получаем, что треугольники АВР, ВCР, СDР, DAP равнобедренны и равны, что и требовалось доказать в пункте 2.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:
Для доказательства выберем правильную треугольную пирамиду.
Дано : РАВС - правильная треугольная пирамида.
АВ = ВС = АС.
РО - высота.
Доказать : . См. Рис. 5.
Рис. 5
Доказательство.
РАВС - правильная треугольная пирамида. То есть АВ = АС = ВС . Пусть О - центр треугольника АВС , тогда РО - это высота пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС . Заметим, что .
Треугольники РАВ, РВC, РСА - равные равнобедренные треугольники (по свойству). У треугольной пирамиды три боковые грани: РАВ, РВC, РСА . Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна:
S бок = 3S РАВ
Теорема доказана.
Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Дано : правильная четырехугольная пирамида АВСD ,
АВСD - квадрат,
r = 3 м,
РО - высота пирамиды,
РО = 4 м.
Найти : S бок. См. Рис. 6.
Рис. 6
Решение .
По доказанной теореме, .
Найдем сначала сторону основания АВ . Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м.
Тогда, м.
Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:
Рассмотрим треугольник BCD . Пусть М - середина стороны DC . Так как О - середина BD , то (м).
Треугольник DPC - равнобедренный. М - середина DC . То есть, РМ - медиана, а значит, и высота в треугольнике DPC . Тогда РМ - апофема пирамиды.
РО - высота пирамиды. Тогда, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС , а значит, и прямой ОМ , лежащей в ней. Найдем апофему РМ из прямоугольного треугольника РОМ .
Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:
Ответ : 60 м 2 .
Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен м. Площадь боковой поверхности равна 18 м 2 . Найдите длину апофемы.
Дано : АВСP - правильная треугольная пирамиды,
АВ = ВС = СА,
R = м,
S бок = 18 м 2 .
Найти : . См. Рис. 7.
Рис. 7
Решение .
В правильном треугольнике АВС дан радиус описанной окружности. Найдем сторону АВ этого треугольника с помощью теоремы синусов.
Зная сторону правильного треугольника ( м), найдем его периметр.
По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды , где h а - апофема пирамиды. Тогда:
Ответ : 4 м.
Итак, мы рассмотрели, что такое пирамида, что такое правильная пирамида, доказали теорему о боковой поверхности правильной пирамиды. На следующем уроке мы познакомимся с усечённой пирамидой.
Список литературы
- Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е изд., испр. и доп. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
- Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
- Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с.: ил.
- Интернет портал «Якласс» ()
- Интернет портал «Фестиваль педагогических идей «Первое сентября» ()
- Интернет портал «Slideshare.net» ()
Домашнее задание
- Может ли правильный многоугольник быть основанием неправильной пирамиды?
- Докажите, что непересекающиеся ребра правильной пирамиды перпендикулярны.
- Найдите величину двугранного угла при стороне основания правильной четырехугольной пирамиды, если апофема пирамиды равна стороне ее основания.
- РАВС - правильная треугольная пирамида. Постройте линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.
ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ОБЪЕМЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ
§ 114. ПИРАМИДА.
1. Определения.
Пирамидой называется геометрическое тело, ограниченное многоугольником, называемым основанием пирамиды, и треугольниками с общей вершиной, которые называются боковыми гранями.
Общая вершина всех боковых граней называется вершиной пирамиды.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на её основание (черт. 426).
Пирамида, у которой основанием служит правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания, называется правильной. Боковые грани правильной пирамиды - равные между собой равнобедренные треугольники.
Выcота боковой грани правильной пирамиды, опущенная из вершины на сторону основания, называется апофемой пирамиды.
На чертежах 427, 428, 429 даны изображения и развёртки правильных пирамид: треугольной, четырёхугольной и шестиугольной. На чертеже 430 изображены египетские пирамиды.
Упражнения.
Сделать развёртки правильных пирамид, изображённых на чертежах 427, 428, 429, и изготовить из них модели пирамид.
2. Площадь поверхности пирамиды.
Чтобы определить площадь боковой поверхности пирамиды, надо найти сумму площадей всех её боковых граней.
Если к площади боковой поверхности пирамиды прибавить площадь её основания, получится площадь полной поверхности пирамиды.
Для краткости говорят: боковая поверхность пирамиды и полная поверхность пирамиды, опуская слово «площадь».
Упражнения.
1. В основании правильной пирамиды - треугольник со стороной в 12 см. Апофема пирамиды - 20 см.
Вычислить:
а) площадь основания,
б) боковую поверхность,
в) полную поверхность этой пирамиды.
2. Боковые грани правильной треугольной пирамиды - равносторонние треугольники. Сторона основания равна а см. Вычислить боковую и полную поверхность этой пирамиды (черт. 431).
3. Решить вторично эту задачу, расположив грани пирамиды в виде параллелограмма (черт. 432).
3. Объём пирамиды.
В старших классах средней школы доказывается, что объём пирамиды составляет 1 / 3 объёма призмы, имеющей одинаковое основание с пирамидой и одну и ту же высоту (черт. 433).
Следовательно, объём пирамиды вычисляется по формуле:
где V-объём пирамиды, S - площадь основания, H - высота пирамиды.
Для иллюстрации этой формулы рекомендуется сделать из картона прямую четырёхугольную призму и четырёхугольную пирамиду, имеющие равные основания и равные высоты. Если эту пирамиду заполнить, например, песком и затем пересыпать этот песок в сделанную призму, то песок заполнит только 1 / 3 вместимости призмы. Чтобы заполнить призму песком, необходимо трижды пересыпать в неё песок из заполненной пирамиды (черт. 434).
Упражнения.
По указанной выше формуле решить ряд задач по данным, помещённым в нижеследующей таблице.
Данный видеоурок поможет пользователям получить представление о теме Пирамида. Правильная пирамида. На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение. Рассмотрим, что такое правильная пирамида и какими свойствами она обладает. Затем докажем теорему о боковой поверхности правильной пирамиды.
На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение.
Рассмотрим многоугольник А 1 А 2 ...А n , который лежит в плоскости α, и точку P , которая не лежит в плоскости α (рис. 1). Соединим точку P с вершинами А 1 , А 2 , А 3 , … А n . Получим n треугольников: А 1 А 2 Р , А 2 А 3 Р и так далее.
Определение . Многогранник РА 1 А 2 …А n , составленный из n -угольника А 1 А 2 ...А n и n треугольников РА 1 А 2 , РА 2 А 3 …РА n А n -1 , называется n -угольной пирамидой. Рис. 1.
Рис. 1
Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 2).
Р - вершина пирамиды.
ABCD - основание пирамиды.
РА - боковое ребро.
АВ - ребро основания.
Из точки Р опустим перпендикуляр РН на плоскость основания АВСD . Проведенный перпендикуляр является высотой пирамиды.
Рис. 2
Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания:
S полн = S бок + S осн
Пирамида называется правильной, если:
- ее основание - правильный многоугольник;
- отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.
Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды
Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 3).
Р - вершина пирамиды. Основание пирамиды АВСD - правильный четырехугольник, то есть квадрат. Точка О , точка пересечения диагоналей, является центром квадрата. Значит, РО - это высота пирамиды.
Рис. 3
Пояснение : в правильном n -угольнике центр вписанной и центр описанной окружности совпадает. Этот центр и называется центром многоугольника. Иногда говорят, что вершина проектируется в центр.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой и обозначается h а .
1. все боковые ребра правильной пирамиды равны;
2. боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
Доказательство этих свойств приведем на примере правильной четырехугольной пирамиды.
Дано : РАВСD - правильная четырехугольная пирамида,
АВСD - квадрат,
РО - высота пирамиды.
Доказать :
1. РА = РВ = РС = РD
2. ∆АВР = ∆ВCР =∆СDР =∆DAP См. Рис. 4.
Рис. 4
Доказательство .
РО - высота пирамиды. То есть, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС , а значит, и прямым АО, ВО, СО и DО , лежащим в ней. Значит, треугольники РОА, РОВ, РОС, РОD - прямоугольные.
Рассмотрим квадрат АВСD . Из свойств квадрата следует, что АО = ВО = СО = DО.
Тогда у прямоугольных треугольников РОА, РОВ, РОС, РОD катет РО - общий и катеты АО, ВО, СО и DО равны, значит, эти треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников вытекает равенство отрезков, РА = РВ = РС = РD. Пункт 1 доказан.
Отрезки АВ и ВС равны, так как являются сторонами одного квадрата, РА = РВ = РС . Значит, треугольники АВР и ВCР - равнобедренные и равны по трем сторонам.
Аналогичным образом получаем, что треугольники АВР, ВCР, СDР, DAP равнобедренны и равны, что и требовалось доказать в пункте 2.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:
Для доказательства выберем правильную треугольную пирамиду.
Дано : РАВС - правильная треугольная пирамида.
АВ = ВС = АС.
РО - высота.
Доказать : . См. Рис. 5.
Рис. 5
Доказательство.
РАВС - правильная треугольная пирамида. То есть АВ = АС = ВС . Пусть О - центр треугольника АВС , тогда РО - это высота пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС . Заметим, что .
Треугольники РАВ, РВC, РСА - равные равнобедренные треугольники (по свойству). У треугольной пирамиды три боковые грани: РАВ, РВC, РСА . Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна:
S бок = 3S РАВ
Теорема доказана.
Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Дано : правильная четырехугольная пирамида АВСD ,
АВСD - квадрат,
r = 3 м,
РО - высота пирамиды,
РО = 4 м.
Найти : S бок. См. Рис. 6.
Рис. 6
Решение .
По доказанной теореме, .
Найдем сначала сторону основания АВ . Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м.
Тогда, м.
Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:
Рассмотрим треугольник BCD . Пусть М - середина стороны DC . Так как О - середина BD , то (м).
Треугольник DPC - равнобедренный. М - середина DC . То есть, РМ - медиана, а значит, и высота в треугольнике DPC . Тогда РМ - апофема пирамиды.
РО - высота пирамиды. Тогда, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС , а значит, и прямой ОМ , лежащей в ней. Найдем апофему РМ из прямоугольного треугольника РОМ .
Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:
Ответ : 60 м 2 .
Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен м. Площадь боковой поверхности равна 18 м 2 . Найдите длину апофемы.
Дано : АВСP - правильная треугольная пирамиды,
АВ = ВС = СА,
R = м,
S бок = 18 м 2 .
Найти : . См. Рис. 7.
Рис. 7
Решение .
В правильном треугольнике АВС дан радиус описанной окружности. Найдем сторону АВ этого треугольника с помощью теоремы синусов.
Зная сторону правильного треугольника ( м), найдем его периметр.
По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды , где h а - апофема пирамиды. Тогда:
Ответ : 4 м.
Итак, мы рассмотрели, что такое пирамида, что такое правильная пирамида, доказали теорему о боковой поверхности правильной пирамиды. На следующем уроке мы познакомимся с усечённой пирамидой.
Список литературы
- Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е изд., испр. и доп. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
- Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
- Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с.: ил.
- Интернет портал «Якласс» ()
- Интернет портал «Фестиваль педагогических идей «Первое сентября» ()
- Интернет портал «Slideshare.net» ()
Домашнее задание
- Может ли правильный многоугольник быть основанием неправильной пирамиды?
- Докажите, что непересекающиеся ребра правильной пирамиды перпендикулярны.
- Найдите величину двугранного угла при стороне основания правильной четырехугольной пирамиды, если апофема пирамиды равна стороне ее основания.
- РАВС - правильная треугольная пирамида. Постройте линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.