Лекция: Математическое моделирование. Форма и принципы представления математических моделей

Для теории математического моделирования необходимо знать цель моделирования и представить в математическом виде объект моделирования. Слово «модель» происходит от латинского modus (копия, образ, очертание). Наиболее про­стым и наглядным примером моделирования являются гео­графические и топографические карты. Моделями являются структурные формулы в химии. Модель как средство позна­ния стоит между логическим мышлением и изучаемым про­цессом, явлением.

Моделирование - это замещение некоторого объекта А другим объектом В. Замещаемый объект называется ориги­налом, замещающий - моделью. Таким образом, модель - это заместитель оригинала. В зависимости от цели замеще­ния модель одного и того же оригинала может быть различ­ной. В науке и технике основной целью моделирования яв­ляется изучение оригинала при помощи более простой его модели. Замещение одного объекта другим имеет смысл только в случае их определенного сходства, аналогии.

Математическая модель является приближенным, выраженным в математических терминах, представлением объектов, концепций, систем или процессов. Объекты, кон­цепции, системы или процессы, подлежащие моделирова­нию, называют объектами моделирования (ОМ).

Все объекты и явления в большей или меньшей степени взаимосвязаны, но при моделировании пренебрегают боль­шинством взаимосвязей и объект моделирования рассматри­вают как отдельную систему. Если объект моделирования определен как отдельная система, то необходимо ввести принцип селективности, обеспечивающий выбор требуемых связей с внешней средой. Например, при моделировании электронных схем пренебрегают тепловым, акустическим, оптическим и механическим взаимодействием с внешней средой и рассматривают только электрические переменные. Принцип селективности вводит в систему ошибку, т. е. раз­ницу в поведении модели и объекта моделирования. Сле­дующим важным фактором моделирования является прин­цип причинности, связывающий в системе входные и вы­ходные переменные.

Для количественной оценки системы вводят понятие «состояния». Например, под состоянием электронной схемы понимают значения напряжений и токов в электронной схе­ме в данный момент времени.

При выводе математической модели аналитически чаще всего используются широко известные категории: законы, структуры и параметры.

Если какая-либо переменная величина у зависит от другой переменной х, то первая величина является функцией второй. Эта зависимость записывается в виде у = f(x) или у = у(х). В такой записи переменная х называется аргументом. Важной характеристикой функции является ее производная, процесс нахождения которой называется дифференцированием. Урав­нения, которые по математическим правилам связывают неиз­вестную функцию, ее производные и аргументы, называются дифференциальными. Процесс, обратный дифференцирова­нию, позволяющий по заданной производной найти саму фун­кцию, называется интегрированием.

Рассмотрим частный случай, когда функцией является путь, зависящий от аргумента - времени. Тогда производ­ная пути по времени - это скорость, а производная от ско­рости (или вторая производная от пути) - ускорение. Если йзвестна, например, скорость, то интегрированием находят путь, пройденный телом при движении за определенное вре­мя. Если известно только ускорение, то для нахождения пути операцию интегрирования производят дважды. При этом после вычисления первого интеграла становится изве­стной скорость.

Конечная цель создания математических моделей - установление функциональных зависимостей между пере­менными. Функциональная зависимость для каждой конк­ретной модели может принимать строго определенный вид. Когда моделируется устройство, на вход которого поступает сигнал х у а на выходе появляется сигнал у, то связь можно записать в виде таблицы. Для этого весь диапазон измене­ния входного и выходного сигналов разбивается на некото­рое число участков. Каждому участку диапазона изменения входного сигнала будет соответствовать определенный учас­ток диапазона изменения выходного сигнала. В сложных си­стемах, где имеется несколько входов и несколько выходов, аналитические зависимости выражаются системами диффе­ренциальных уравнений.

* Законы обычно формулируются для частных областей, Как, например, законы Кирхгофа, Ньютона. Применение этих законов к системе обычно фокусирует наше внимание на единственной области науки и техники. Используя зако­ны Кирхгофа и уравнения Максвелла для анализа электри­ческой системы, исследователь игнорирует другие (напри­мер, тепловые) процессы в системе.

Создание математической модели требует знания присут­ствующих в системе элементов и их взаимосвязей. Парамет­рами математической модели (ММ) являются входящие в системы уравнений различные коэффициенты. Эти ко­эффициенты вместе с уравнениями и граничными условия­ми образуют законченную ММ.

Любую математическую модель можно получить в результате: 1) прямого наблюдения явления, прямого его изучения и осмысливания (модели являются феноменоло­гическими); 2) некоторого процесса дедукции, когда новая модель получается как частный случай из некоторой более общей модели (такие модели называются асимптотически­ми); 3) некоторого процесса индукции, когда новая модель является естественным обобщением элементарных моделей (такие модели называются составными, или моделями ан­самблей).

Все системы существуют во времени и в пространстве. Математически это значит, что время и три пространствен­ные переменные могут рассматриваться в качестве незави­симых переменных.

Существует много признаков классификации математи­ческих моделей по признаку использования тех или иных переменных в качестве независимых, представленных в не­прерывной или дискретной форме; ММ классифицируют следующим образом:

1) модели с распределенными параметрами (все независи­мые переменные берутся в непрерывной форме);

2) модели с сосредоточенными параметрами (все независи­мые пространственные переменные дискретные, а вре­менная переменная непрерывна);

3) модели с дискретными параметрами (все независимые переменные берутся в дискретной форме).

На рис. 3.10, а...ж показана примерная классификация моделей. Все модели можно разделить на вещественные и идеальные (рис. 3.10, а). В данной главе рассматриваются только идеальные модели, которые объективны по своему содержанию (отражая реальную действительность), но субъ­ективны по форме и не могут существовать вне ее. Идеаль­ные модели существуют лишь в познании людей и функцио­нируют по законам логики. К логическим моделям относят­ся различные знаковые модели. Существенным моментом создания любой знаковой модели является процедура фор­мализации (формулы, алфавит, системы счислений).

В настоящее время в ряде областей науки и техники по­нятие модели трактуется не в духе классической физики, как наглядная, например, механическая система, а в духе современного этапа познания как абстрактная логико-мате­матическая структура.

В современном моделировании наряду с возрастанием в познании роли абстрактно-логических моделей существует другая тенденция, связанная с широким применением ки­бернетических функционально-информационных моделей.

Своеобразие кибернетического моделирования состоит в том, что объективное сходство модели и моделируемого объ­екта касается только их функций, областей применения, связи с внешней средой. Основа информационного подхода к изучению кибернетических процессов - абстрагирование.

Рассмотрим модели, которые имеют место в САПР БИС: структурные, функциональные, геометрические, знаковые, мысленные, аналитические, численные и имитационные.

Структурные модели воспроизводят состав элементов объекта или системы, их расположение в пространстве и взаимосвязи, т. е. структуру системы. Структурные модели могут быть и вещественными (макеты), и идеальными (на- | пример, машиностроительные чертежи, топология печатной | платы и топология ИС).

Функциональные модели имитируют только способ пове­дения оригинала, его функциональную зависимость от внешней среды. Наиболее характерным примером служат модели, построенные на концепции «черного ящика».

В этих моделях удается воспроизвести функционирование £ оригинала, полностью отвлекаясь от его содержимого и структуры, связывая с помощью математического соотношения различные входные и выходные величины.

Рис. 3.10. Общая классификация моделей (а), а также моделей натурных (б), физических (в), вещественных математических (г), наглядных (д), знаковых (е), идеальных математических (ж)

Геометрические модели отражают только структуру объ­екта и имеют большое значение в связи с проектированием электронных систем. Эти модели, построенные на основе геометрического подобия, позволяют решать задачи, связан­ные с оптимальным размещением объектов, прокладкой трасс на печатных платах и интегральных схемах.

Знаковые модели представляют собой упорядоченную за­пись символов (знаков). Знаки взаимодействуют между со­бой не по физическим законам, а по правилам, установлен­ным в той или иной области знаний, или, как принято гово­рить, согласно природе знаков. Знаковые модели имеют в настоящее время чрезвычайно широкое распространение. Практически каждая область знаний - лингвистика, про­граммирование, электроника и многие другие - выработала свою символику для описания моделей. Таковыми являются программы, схемы и т. п.

Мысленные модели являются продуктом чувственного восприятия и деятельности абстрактного мышления. К мысленным моделям можно отнести известную планетар­ную модель атома Бора. Для передачи этих моделей их пред­ставляют в виде словесного или знакового описания, т. е. мысленные модели могут фиксироваться в виде различных знаковых систем.

Аналитические модели позволяют получить явные зави­симости необходимых величин от параметров и перемен­ных, характеризующих изучаемое явление. Аналитическое решение математического соотношения является обобщен­ным описанием объекта

Численные модели характеризуются тем, что значения необходимых величин можно получить в результате приме­нения соответствующих численных методов. Все численные методы позволяют получить только частную информацию относительно искомых величин, поскольку для своей реали­зации требуют задания конкретных значений всех парамет­ров, входящих в математическое соотношение. Для каждой искомой величины приходится по-своему преобразовывать математическую модель и применять соответствующую чис­ленную процедуру.

Имитационные модели реализуются на ЭВМ в виде мо­делирующих алгоритмов (программ), позволяющих вычис­лять значения выходных переменных и определять новое состояние, в которое переходит модель при заданных значе­ниях входных переменных, параметров и исходного состоя­ния модели. Имитационное моделирование в отличие от численного характеризуется независимостью моделирую­щего алгоритма от типа информации, которую необходимо получить в результате моделирования. Достаточно универ­сальной, гибкой и эффективной является математическая модель, которая представляется в абстрактной математиче­ской форме посредством переменных, параметров, уравне­ний и неравенств.

В ММ входят следующие элементы: переменные (зависи­мые и независимые); константы или фиксированные пара­метры (определяющие степень связи переменных между со­бой); математические выражения (уравнения или/и нера­венства, объединяющие между собой переменные и параметры); логические выражения (определяющие различ­ные ограничения в математической модели); информация (алфавитно-цифровая и графическая).

Математические модели классифицируют по следующим критериям: 1) поведению моделей во времени; 2) видам входной информации, параметров и выражений, составляю­щих математическую модель; 3) структуре математической модели; 4) типу используемого математического аппарата.

Применительно к интегральным схемам можно предло­жить следующую классификацию.

В зависимости от характера свойств интегральной схемы математические модели делятся на функциональные и струк­турные.

Функциональные модели отображают процессы функци­онирования объекта, эти модели имеют форму систем урав­нений.

При решении ряда задач проектирования широкое при­менение находят математические модели, отображающие только структурные свойства проектируемого объекта; та­кие структурные модели могут иметь форму матриц, гра­фов, списков векторов и выражать взаимное расположение элементов в пространстве, наличие непосредственной связи в виде проводников и т. д. Структурные модели используют в том случае, когда задачи структурного синтеза удается формализовать и решать, абстрагируясь от особенности фи­зических процессов в объекте.

Рис. 3.11. Структурная модель инвертора = ит. д.)

По методу получения функциональные математические модели делятся на теоретические и формальные.

Теоретические модели получаются на основе изучения физических закономерностей, причем структура уравнений и параметры моделей имеют четкое физическое обоснование.

Формальные модели получаются при рассмотрении свойств реального объекта как черного ящика.

Теоретический подход позволяет получать более универ­сальные модели справедливые для различных режимов ра­боты и для широких диапазонов изменения внешних пара­метров.

Ряд признаков в классификации связан с особенностями уравнений, составляющих математическую модель; в зави­симости от линейности или нелинейности уравнений модели делят на линейные и нелинейные.

В зависимости от мощности множества значений пере­менных модели делят на непрерывные и дискретные (рис. 3.12).

В непрерывных моделях фигурирующая в них перемен­ная непрерывна или кусочно-непрерывна.

Переменные в дискретных моделях - дискретные вели­чины, множество которых счетно.

Рис. 3.12. Непрерывные и дискретные переменные

По форме связи между выходными, внутренними и внешними параметрами различают модели в виде систем уравнений и модели в виде явной зависимости выходных па­раметров от внутренних и внешних. Первые из них называ­ются алгоритмическими, а вторые - аналитическими.

В зависимости от того, учитывают ли уравнения модели инерционность процессов в объекте проектирования, разли­чают модели динамические и статические.

Моделирование, общие понятия

Задача моделирования – исследование сложных объектов или процессов на их физических или математических моделях. Цель моделирования – найти оптимальное (наилучшее по каким-либо критериям) техническое решение. Виды моделирования:

Ø физическое;

Ø математическое;

Ø графическое (геометрическое).

При моделировании происходит замена наиболее важных свойств изучаемой системы строгими, но упрощенными по отношению к исходному природному явлению научными формулировками – моделями. Модель обеспечивает возможность точного описания и предсказания поведения системы, но только в строго ограниченной области применения - пока справедливы те исходные упрощения, на основе которых модель и строилась.

Например, при моделировании полета спутника вокруг Земли его стенки можно считать абсолютно твердым, а при моделировании столкновения того же спутника с микрометеоритом даже сверхтвердое железо можно с очень большой точностью описывать как идеальную несжимаемую жидкость. В этом парадоксальная особенность моделирования – его точность, вызванная к жизни принципиально неточными, по самой своей сущности приближенными, годными только в определенной области явлений, моделями реальной системы.

Процессы функционирования и структуру системы можно описать посредством математического моделирования. Математическое моделирование – процесс создания математической модели и действий с ней с целью получения сведений о реальной системе. Математическая модель – совокупность математических объектов и связей между ними, которая адекватно отражает важнейшие свойства системы. Математические объекты – числа, переменные, матрицы и т.п. Связи между математическими объектами – уравнения, неравенства и т.п. Любые научно-технические расчеты являются специализированными видами математического моделирования.

Система – множество закономерно связанных друг с другом элементов, образующих единую целостность, с указанием связей между ними и цели функционирования. Свойства системы отличаются от суммы свойств ее элементов. Примеры: Станок ¹ å(детали + узлы); Человек ¹ å(мозг + печень + позвоночник).

Классификация математических моделей

По способу анализа математические модели разделяют на аналитические, алгоритмические и имитационные.

Аналитические модели могут быть:

1) качественными, когда определяется характер зависимости выходных параметров от входных, само существование решения и т.д. Например, возрастет или падает сила резания с увеличением скорости, возможно ли движение со скоростью большей скорости света и т.д. Построение такой модели является необходимым шагом при изучении сложной системы.

2) счетные (аналитические) модели представляют собой явные математические зависимости между входными, внутренними и выходными характеристиками системы. Такие модели всегда предпочтительней, поскольку наиболее эффективны при анализе законов функционирования системы, оптимизации и т.д. К сожалению, получить их возможно не всегда и только при существенном упрощении изучаемой системы. Помимо счетных (аналитических) моделей, построенных на основании понимания процессов, происходящих в системе, это могут быть также и модели, построенные на основе анализа результатов экспериментов с «черным ящиком». Пример – зависимость силы резания от скорости, подачи и глубины резания.

3) численными, когда получают числовые значения выходных параметров для заданных значений входных. Пример – конечно-элементные расчеты. Численные модели универсальны, но дают лишь частные результаты, по которым трудно делать обобщенные выводы.

Алгоритмическая модель представлена в форме алгоритма вычислений. В отличие от аналитических моделей ход расчета зависит от промежуточных результатов.

Имитационное моделирование основано на прямом описании моделируемого объекта. При построении имитационной модели описывают законы функционирования каждого элемента в отдельности и связи между ними. В отличие от аналитического, для него характерно структурное подобие объекта и модели. Наиболее часто имитационное моделирование используется при изучении сложных случайных процессов. Например, на вход модели автоматической линии (АЛ) подают заготовки, размеры которых имеют случайный разброс. При этом модель обработки на каждом станке АЛ чувствительна к фактическим размерам заготовки. После виртуальной «обработки» сотен тысяч заготовок возможно найти то стечение обстоятельств, при котором АЛ остановится и избежать его еще при проектировании.

По характеру функционирования и виду параметров системы математические модели также подразделяются на

непрерывные и дискретные;

статические и динамические;

детерминированные и стохастические (вероятностные).

В непрерывных системах параметры изменяются постепенно, в дискретных - скачкообразно, импульсно. Например, в модели токарного резца износ постоянно возрастает, а поломка (выкрашивание пластины) происходит мгновенно – дискретно.

В статических моделях все входящие в модель параметры имеют постоянные значения и расчетные параметры на выходе системы изменяется одновременно с изменением параметров на входе. Такие модели описывают системы с быстрозатухающими переходными процессами.

Динамические модели учитывают инерционность системы. В результате изменение выходного параметра отстает от изменения входного. Такие модели более точно описывают реальную систему, но сложней в реализации.

Выход детерминированных систем однозначно определяется их входом и текущим состоянием. Возможными случайными изменениями параметров системы или входных параметров пренебрегают. В стохастических системах, наоборот, учитывается вероятностный характер изменения параметров системы, принимающих случайные значения в соответствии с каким-либо законом распределения.

Классификация математических моделей до настоящего времени остается открытым вопросом и дается разными учеными в своей, значительно или незначительно отличающейся интерпретации. Существует несколько признаков классификации моделей, а следовательно, и систем. В большинстве научных источников на верхнем уровне разделения они классифицируются по следующим признакам (рис. 2.2): 1) цели создания; 2) способу представления; 3) сфере применения; 4) фактору времени.

Учебные модели разрабатываются как наглядные пособия, тренажеры, обучающие программы.

Опытные модели представляют собой уменьшенные или увеличенные копии реального объекта. Часто их называют натурными и используют для исследования объекта и прогнозирования его будущих характеристик до создания реального объекта. Это могут быть макеты зданий, уменьшенная копия корабля, программа, имитирующая работу магазина, и т.д.

Рис. 2.2.

Исследовательские модели предназначены для исследования процессов и явлений. Они могут быть представлены прибором, стендом, формулами и т.д.

Игровые модели - это военные, экономические, спортивные, деловые игры. Применяются для отработки поведения объекта в различных условиях, проигрывая их с учетом возможной реакции со стороны конкурента, союзника или противника. Распространено их применение в военном деле и при подготовке пилотов, водителей, моряков и т.д.

Знаете ли вы?

Игровая модель может выглядеть так: первая сторона (игрок А) выбирает один из трех типов вооружения - А, А 2 , А 3 , а противник (игрок В) - один из трех видов самолетов: B t , В 2 , В у Цель В - прорыв фронта обороны, цель А - поражение самолета. Вероятность поражения самолета В } вооружением А , равна 0,5; самолета В 2 вооружением А , равна 0,6; самолета В } вооружением А , равна 0,8 и т.д. Необходимо определить наилучшие стратегии поведения каждого игрока.

Статическая модель - это модель, учитывающая основные показатели на текущий момент времени без учета их изменения в дальнейшем.

Динамическая модель - как правило, учитывает фактор времени и ее показатели в каждый момент времени зависят от показателей, полученных на предыдущем этапе моделирования.

На втором уровне классификации рассматривают деление моделей в группе признака «Способ представления». Отдельно классифицируют идеальные и материальные модели.

Материальные (физические) модели - это предметные модели (рис. 2.3), которые могут отражать внешнее свойство и внутреннее устройство реальных объектов, процессов и явлений внутри объекта-оригинала или инициируемых им. В материальной модели устройство, свойства и связи объекта-оригинала точно воспроизводят по степени необходимости для экспериментального познания поведения объекта и его реакции.

Рис. 2.3.

Идеальные (абстрактные) модели не имеют реального воплощения (рис. 2.4). Эти модели основаны не на материальной аналогии между моделью и изучаемым объектом, а на идеальной, т.е. мыслимой, связи между ними (чучела птиц, географические карты, игрушечный трактор, макет многоступенчатой ракеты и др. - это материальные модели. Ноты, химические формулы, формула расчета прибыли, схемы, графики, устные и письменные описания объекта, в том числе с использованием иллюстраций, - это идеальные модели). Идеальные модели предназначены для теоретического познания окружающей среды, их основу составляет информация.

Натурная модель - это реальные исследуемые объекты, которые являются макетами и опытными образцами. Натурные модели имеют полную адекватность с объектом-оригиналом, что обеспечивает высокую точность и достоверность результатов моделирования; другими словами, модель натурная, если она есть, - это материальная копия объекта моделирования 1 . В то же время создание и эффективное исследование таких моделей возможно лишь для сравнительно узкого класса систем ввиду дороговизны данного подхода и возможности присутствия у реальной системы свойств, затрудняющих анализ требуемых характеристик.

Рис. 2.4.

Квазинатурная модель - это соединение физической и математической моделей. Этот вид моделей используется, когда математическая или физическая модель части исследуемого объекта не является удовлетворительной или есть необходимость исследования взаимодействия объекта с другими частями системы, которые

Замятина О.М. Компьютерное моделирование: учеб, пособие. Томск: Изд- во ТПУ, 2007.

еще не разработаны. Примерами квазинатурных моделей могут служить вычислительные полигоны, на которых отрабатывается программное обеспечение различных систем, или реальные автоматические системы управления, исследуемые совместно с математическими моделями соответствующих производств. Примером натурной модели может служить глобус как модель земного шара.

Пространственная модель имеет ту же физическую природу, что и оригинал, но отличается от него размерами. Примером могут разнообразные макеты (зданий, устройств и т.д.).

Аналоговая модель - физическая природа таких моделей отличается от природы объектов-оригиналов, но вместе с тем они описываются сходными математическими соотношениями, т.е. связь между моделью и объектом основывается на аналогии описания их поведения. В качестве аналоговых моделей применяют механические, гидравлические, пневматические, но наиболее широкое применение получили электрические и электронные аналоговые модели, в которых сила тока или напряжение является аналогами физических величин другой природы.

Интуитивные модели - модели, не поддающиеся формализации, основаны на принципе функционирования мыслительного процесса человека, на его опыте и приобретенных знаниях. Они подразделяются на мысленные модели и вербальные.

Мысленные модели - это модели, которые формируются в воображении человека в результате раздумий, умозаключений, иногда в виде некоторого образа. Это модель сопутствует сознательной деятельности человека.

Вербальные модели - модели, выраженные в разговорной форме; используются для передачи мыслей.

Вторая группа идеальных моделей - информационные модели, которые представляют собой специально отобранную и представленную в определенной форме информацию об объекте, отражающую наиболее существенные для исследователя свойства этого объекта. В идеальном (формализованном) моделировании моделями могут служить системы знаков или образов. Разнообразие представления таких моделей настолько велико, насколько развиты возможности каждого человека, его знания и способности.

Анализируя научную и учебную литературу, можно сделать вывод, что разделение информационных моделей на образные и знаковые достаточно условно. Многие авторы объединяют их в одну группу, которую называют образно-знаковой. Но мы дадим определения и представление каждой группы в отдельности. Так, в нашем понимании, к образным моделям можно отнести незначительную группу моделей, которые представляют собой зрительные образы объектов, зафиксированные на каком-либо носителе информации (бумаге, фото- и кинопленке, учебные плакаты и т.д.).

Знаковые модели - это уже более крупная подгруппа в группе информационных, которая объединяет все модели, представленные в виде системы знаков. Знаковые модели окружают нас повсюду.

Лингвистическая модель представляет собой некоторый объект, формализованной с помощью языковой системы, т.е. зафиксированный с помощью естественного языка. Например, правила дорожного движения, система философских понятий, система этических норм поведения, система государственного устройства и т.д.

Графическая, или визуальная, модель отображает в схематических образах моделируемый объект, отношения и связи моделируемой системы, в том числе в динамике развития. Примерами могут служить схематичный рисунок, чертеж, план, карта, граф, схема, диаграмма и т.д.

Специальные модели - это модели, как правило, отображающие поведение или свойства объекта, какой-либо процесс, описанный на специально разработанном языке. Например, компьютерные программы, химические формулы, ноты и т.д.

Табличные модели отображают связи внутри системы или с внешней средой, представленные в виде упорядоченных определенным образом значений, характеризующих эти связи в текущий момент времени или в динамике. В качестве примера можно привести табличное представление показателей экономической эффективности работы предприятия за ряд лет или таблицу химических элементов.

Важное место среди знаковых моделей отводится подгруппе математических моделей. Так как дальнейшее изучение изложенного материала будет связано непосредственно с этими моделями, то остановимся на их классификации более подробно.

Математическая модель - это результат процесса моделирования, когда исследуемые свойства объекта или процесса моделирования, взаимосвязи внутри него и с внешней средой описываются в виде совокупности математических формул, преобразуемых на основе правил логики и математики. Любую формулу, например формулу расчета рентабельности производства, можно назвать математической моделью. Математическое моделирование достаточно широко применяется в различных научных областях знаний. Математические модели, в свою очередь, подразделяются по ряду признаков (рис. 2.5).

Рис. 2.5.

В зависимости от характера отображаемых свойств объекта выделяют модели:

• функциональные (отображают процессы функционирования объекта, например, протекающего технологического процесса);
• структурные (отражают структурные свойства проектируемого объекта). Делятся, в свою очередь, на сетевые и иерархические. По способу получения функциональных зависимостей модели

• теоретические (на основе изучения физических закономерностей, позволяют получать универсальные модели);
• формальные (на основе выявленных свойств объекта по отношению к внешней среде без учета его строения и процессов, происходящих внутри него);
• эмпирические (на основе замера параметров на входе и выходе функционирования объекта и их дальнейшая обработка).

По виду функциональных зависимостей: линейные; нелинейные.

По области определения независимых переменных:

• непрерывные (значения непрерывны на определенном интервале измерения);
• дискретные (значения дискретны на определенном интервале измерения с заданным шагом);
• непрерывно-дискретные (значения на отдельных интервалах дискретны, а на отдельных непрерывны).

По форме представления свойств объекта:

• алгоритмические (задается алгоритмом, описывающим функционирование и развитие объекта, например вычисление с определенной точностью или вычисление геометрической прогрессии);
• аналитические (представляют собой явные математические зависимости выходных параметров от входных и имеют единственные решения при любых начальных условиях). Как разновидность выделяют численные модели, когда задаются конкретные начальные значения входных параметров, и вычисление выходных параметров на основе численных методов;
• имитационные (расчет выходных параметров в зависимости от варьирования входных параметров для изучения путей развития).

По учету фактора времени выделяют динамические и статические модели.

По учету фактора неопределенности входных параметров и случайных помех:

• детерминированные (неопределенности отсутствуют);
• стохастические (присутствует вероятность наступления события, присваивания входному параметру определенного заранее неизвестного значения).

По области научных знаний модели могут быть физическими,

химическими, социологическими, экономическими и др.

По цели моделирования:

• дескриптивные (описательные) модели (предназначены для описания и объяснения наблюдаемых фактов или прогноза поведения объектов, на которое нет возможности влиять);
• оптимизационные однокритериальные модели (описывают процессы и связи, в которых можно влиять на один или несколько входных параметров с целью получения желаемого результата по заданному критерию отбора, например, варьировать дозы внесения удобрений с целью получения наибольшей урожайности);
• оптимизационные многокритериальные модели (описывают процессы и связи, в которых можно влиять на один или несколько входных параметров с целью получения желаемого результата в соответствии с несколькими целями);
• игровые модели (позволяют на основе математических зависимостей просчитывать варианты развития ситуации при неполной или неопределенной входной информации).

Одной из разновидностей математического моделирования выступает экономико-математическое. Применение математических методов существенно расширяет возможности экономического анализа, позволяет сформулировать новые постановки экономических задач, повышает качество принимаемых управленческих решений. Экономико-математические модели, отражая с помощью математических соотношений основные свойства экономических процессов и явлений, представляют собой эффективный инструмент исследования сложных экономических проблем. В современной научно-технической деятельности математические модели являются важнейшей формой моделирования, а в экономических исследованиях и практике планирования и управления - доминирующей формой. Математические модели экономических процессов и явлений называют экономико-математическими моделями.

Экономико-математические модели группируются в соответствии с общей классификацией математических моделей, приведенной ранее. Классификация ЭММ позволяет, с одной стороны, их упорядочить, систематизировать, а с другой - более детально разобраться в самой сущности моделирования экономических процессов.

Дополнительно ЭММ можно классифицировать по следующим признакам:

• 1) по глубине временного горизонта модели подразделяются на долгосрочного прогнозирования, перспективные, среднесрочные и текущие;
• 2) по проецированию результатов на будущие процессы следует разделять такие модели, как изыскательские и нормативные. Первые основаны на продолжении в будущем тенденций, взаимосвязей, сложившихся в прошлом и настоящем. Вторые определяют пути, ресурсы, сроки достижения в будущем возможных состояний объекта, отвечающих поставленным целям;
• 3) по наличию обратных связей. По соотношению эндогенных (внутренних) и экзогенных (внешних) переменных модели могут разделяться на открытые и закрытые. Особое место занимают равновесные модели, широко используемые в рыночной экономике. Они дескриптивны, описательны;
• 4) по степени структуризации. Модели делятся на однопродуктовые и многопродуктовые, на многоотраслевые и одноотраслевые, на одноэтапные и многоэтапные;
• 5) по степени детализации делятся на агрегированные (макромодели) и детализированные (микромодули);
• 6) по уровню исследуемых экономических процессов делятся на производственно-технологические и социально-экономические;
• 7) по методу решения.

Знаете ли вы?

Первая работа, в которой применялись математические модели для исследования экономических процессов, - «Математические основы теории богатства» (1838) Огюста Курно. Однако нельзя сказать, что с этого момента математические методы стали быстро развиваться; в то время еще не было соответствующих объективных предпосылок. Хозяйство даже развитых стран было относительно несложным, характеризовалось небольшим количеством связей и простой структурой. Экономические отношения между отдельными экономическими субъектами можно было увидеть невооруженным глазом.

Опираясь на представленную классификацию экономико-математических моделей и поставленные цели моделирования, для разработки модели и последующего ее исследования подбирается соответствующий математический аппарат. В зависимости от выбранного экономико-математического метода модели также подвергаются классификации (рис. 2.6). Каждый из представленных методов может быть применен для решения различных по специфике задач.

Задачи сетевого планирования и управления рассматривают соотношения между сроками окончания одних работ и моментами начала других. Цель этих задач - нахождение слабых мест в планируемом комплексе работ и его оптимизация.

Задачи массового обслуживания посвящены изучению и анализу систем обслуживания с очередями заявок или требований и состоят в определении показателей эффективности работы систем, их оптимальных характеристик, например, в определении числа каналов обслуживания, времени обслуживания и т.п.

Задачи управления запасами состоят в отыскании оптимальных значений уровня запасов (точки заказа) и размера заказа. Особенность таких задач заключается в том, что с увеличением уровня запасов, с одной стороны, увеличиваются затраты на их хранение, но, с другой стороны, уменьшаются потери вследствие возможного дефицита запасаемого продукта .

Рис. 2.6.

Задачи распределения ресурсов позволяют спланировать производственный цикл при ограниченных наличных ресурсах.

Задачи ремонта и замены оборудования актуальны в связи с износом и старением оборудования и необходимостью его замены с течением времени. Задачи сводятся к определению оптимальных сроков, числа профилактических ремонтов и проверок, а также моментов замены устаревшего оборудования.

Задачи календарного планирования позволяют построить оптимальный план по очередности выполнения операций на различных видах оборудования.

Задачи планировки и размещения объектов могут применяться для определения наиболее удачного места размещения промежуточных складов для хранения продукции.

Задачи выбора маршрута, или сетевые задачи, обычно применяются для решения задач на транспорте и состоят в определении наиболее экономичных маршрутов.

И наоборот, одна и та же задача может решаться различными методами. Задачи, которые решаются с применением экономико-математических моделей, можно разделить на прогнозирование, стратегическое и календарное планирование, логистические расчеты, балансовые расчеты, анализ производства и результатов, управление запасами, управление предприятиями массового обслуживания, разрешение конфликтных ситуаций, подготовку производства, оценку инвестиционных решений, принятие управленческих решений.

Многие задачи оптимального планирования и подготовки производства в агропромышленном комплексе решаются на основе методов математического программирования (рис. 2.7). Наиболее изученным и широко применяемым из них в АПК является метод линейного программирования.

Линейное программирование (англ, linear programming) - это совокупность математических методов решения задач экстремального типа, характеризующихся линейной зависимостью между входными и выходными переменными.

Рис. 2.7.

Большинство разработанных экономико-математических моделей сельского хозяйства основаны на отыскании оптимальных параметров производства методом линейного программирования. В целом все задачи, решаемые методами линейного программирования, можно условно отнести к одной из следующих групп:

• задачи оптимального производственного планирования;
• задачи о смесях;
• задачи о рюкзаке;
• задачи о раскрое;
• транспортная задача;
• задача о назначениях;
• задача замены оборудования;
• задача загрузки мощностей.

Каждая из этих задач имеет свои разновидности и отличается от других видом искомых переменных, набором ограничений и методом решения. Многие экономико-математические модели, в которых требуется оптимизация параметров, например, балансовые или теории игр, могут сводиться к решению задачи линейного программирования (ЗЛП).

Знаете ли вы?

Одними из первых исследователей задач линейного программирования были Джон фон Нейман - математик и физик, доказавший основную теорему о матричных играх и изучивший экономическую модель, названную его именем, и Леонид Витальевич Канторович - советский академик, лауреат Нобелевской премии (1975), сформулировавший ряд задач линейного программирования и предложивший в 1939 г. метод их решения (метод разрешающих множителей). Кроме этого, наряду с Л.В. Канторовичем и фон Нейманом, одним из основоположников линейного программирования считается и американский математик Джордж Бернард Данциг. Хотя Данциг сделал свое открытие много позже, к своим находкам он пришел самостоятельно и назвал алгоритм решения задач линейного программирования симплекс-методом.

Из всех методов экономико-математического моделирования в сельском хозяйстве наибольшее распространение получили балансовые, математико-статистические и метод линейного программирования. Далее будет подробно рассмотрено практическое применение данных методов в исследовании производственных процессов в растениеводстве.

• Стариков А.В., Кущева И.С. Экономико-математическое и компьютерноемоделирование: учеб, пособие. Воронеж, 2008.

Список вопросов

1. Основные понятия и определения.
(ИТО, моделирование, физическая модель, математическая модель, входные и выходные переменные)

2. Классификация математических моделей.

3. ВидыДУ, описывающих процессы в конструкциях РЭА

4. Основные требования, предъявляемые к математическим моделям ИТО.

5. Внешние и внутренние факторы ИТО.

6. Краевая задача (определение и пример).

7. Задача с начальными условиями (определение и пример).

8. Численные методы решения и их сравнение.

9. Метод конечных разностей

10. Основные положения метода конечных разностей

11. Процедура построения разностной схемы

12. Оценка погрешности дискретной модели непрерывного процесса

13. Постановка задач расчета теплового процесса на дискретной модели

14. Метод конечных элементов

15. Основные положения метода конечных элементов

16. Этапы решения в МКЭ.

17. Типы элементов, используемых в МКЭ.

18. Одномерный симплекс-элемент.

19. Двумерный симплекс-элемент.

20. Трёхмерный симплекс-элемент.

21. Функции формы.

22. Интерполяционные полиномы для дискретизированной области.

23. Матрица трансформации узла.

24. Решение краевых задач методом конечных элементов

25. Метод граничных элементов.

26. Типы граничных элементов.

Наш ответ ему

Основные понятия и определения (ИТО, моделирование, физическая модель, математическая модель, входные и выходные переменные)

Термин объект обозначает то, с чем взаимодействует человек (субъект) в своей познавательной, предметно-практической деятельности – компьютером, радаром, автомобилем. Термин техника означает совокупность средств человеческой деятельности, создаваемых как для осуществления процессов производства, так и для обслуживания непроизводственных потребностей общества.

Технический объект или техническая система – это любое изделие (элемент, устройство, подсистема, функциональная единица или система), которое можно рассматривать в отдельности.

Техническая система - это определенная совокупность упорядочение связанных между собой элементов, предназначенных для удовлетворения определенных потребностей, для выполнения определенных полезных функций. Как видим, понятие технический объект (ТО) – это более широкое понятие, поскольку технические системы являются лишь их разновидностью.

Термин «технический объект» предпочтительно использовать, когда речь о нем идет вообще, без всякой структурной, функциональной и конструктивной конкретизации, в то время как термин «техническая система» используется при обсуждении его внутреннего содержания, изучении, анализе, синтезе и конструировании.

Модель (ММ) – это условный образ исследуемого технического объекта (ИТО) , конструируемый исследователем так, чтобы отобразить его характеристики (свойства, взаимосвязи, параметры), существенные для исследователя.

Модель может быть физическим объектом (ФО) (макет, стенд) или спецификацией – функциональная, поведенческая, структурная и др.

Моделирование – метод исследования процессов или явлений в ИТО на моделях (физических или математических).

Математические модели могут быт геометрическими, топологическими, динамическими, логическими и др.

Информационные модели – таблицы и диаграммы вида «сущность-отношение»

Функциональная математическая модель – это алгоритм вычисления вектора выходных параметров Y при заданных векторах параметров элементов X и внешних параметров Q.

Физическая модель – устройство или приспособление, воспроизводящее в том или ином масштабе ИТО при сохранении физического подобия процессов в ФО процессам в ИТО.

Для оценки адекватности результатов исследования на ФМ реальному процессу вводится критерий подобия , содержащий комбинацию значений физических параметров, характеризующих ИТО.

Физическое моделирование – исследование процессов и явлений в ИТО с помощью ФМ при равенстве критерия подобия ФМ и ИТО.

Изоморфность ММ – одинаковое по форме математическое описание для разных по природе физических явлений.

Переменные в ММ – координаты пространства поведения ММ – это величины, подлежащие изменению или определению при решении задач ИТО.

Выходные переменные – величины, характеризующие состояние ИТО и подлежащие определению в процессе моделирования ИТО.

Входные переменные – величины, целенаправленно изменяемые самим исследователем (в соответствии с алгоритмом моделирования) при решении задач ИТО с помощью ММ.

Классификация математических моделей.

1. По характеру отображаемых свойств объекта математические модели делятся на структурные и функциональные модели.

Структурные ММ предназначены для отображения структурных геометрических или топологических свойств объекта.

В топологических ММ отображаются состав и взаимосвязи элементов объекта. Их применяют для описания объектов, состоящих из большого числа элементов, при решении задач привязки конструктивных элементов к определённым пространственным позициям или к относительным моментам времени. Могут иметь форму графов, таблиц, матриц, списков и т. п.

В геометрических ММотображаются геометрические свойства ТО, в которых дополнительно к сведениям о взаимном расположении элементов есть сведения о форме деталей, выражаемые либо совокупностью уравнений линий и поверхностей либо алгебрологическими формулами, описывающими области, составляющие тело объекта. Геометрические ММ также могут иметь форму графов и списков, отражающих конструкции из типовых конструктивных элементов.

Аналитические и алгебрологические модели используются для отображения геометрических свойств деталей со сравнительно несложными поверхностями. Аналитические модели – это уравнения поверхностей и линий. В алгебрологических моделях тела описываются системами логических выражений, отражающих условия принадлежности точек внутренним областям тел. В машиностроении для отображения геометрических свойств деталей со сложными поверхностями вместо них применяют каркасные и кинематические ММ.

Каркасные (сеточные) ММ представляют собой конечные множества точек или кривых, принадлежащих моделируемой поверхности. Каркас выбирается в виде линий, образующих сетку на описываемой поверхности. Кусочно-линейная аппроксимация на этой сетке устраняет главный недостаток аналитических моделей, так как в пределах каждого из участков, имеющих малые размеры, возможна удовлетворительная по точности аппроксимация поверхностями с простыми уравнениями. Коэффициенты этих уравнений рассчитываются исходя из условий плавности сопряжений участков.

Кинематическая математическая модель – набор законов и правил в виде математических формул описывающих движение тел или механизмов.

Функциональные ММ предназначены для отображения физических или информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении. Обычно функциональные ММ представляют собой системы уравнений, связывающих фазовые переменные, внутренние, внешние и выходные параметры.

2. Принадлежность к иерархическому уровню. Деление описаний объектов на иерархические уровни непосредственно касается математических моделей. Использование принципов блочно-иерархического подхода к проектированию приводит к появлению иерархии ММ проектируемых объектов. Количество иерархических уровней при моделировании определяется сложностью проектируемых объектов и возможностью средств проектирования. Математические модели делятся на модели, относящиеся к микро-, макро- и мета- уровням.

Особенностью математических моделей на микроуровне является отражение физических процессов, протекающих в непрерывных пространстве и времени. Типичные модели на микроуровне – дифференциальные уравнения (ДУ) в частных производных. В них независимыми переменными являются пространственные координаты и время. Решая ДУ в частных производных, определяют поля механических напряжений, деформаций, давлений, температур и др. Попытки анализировать с их помощью процессы в многокомпонентных средах, сборочных единицах, электронных схемах не дают результатов из-за чрезмерного роста затрат машинного времени и памяти.

На макроуровне используют укрупнённую дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных ДУ. В этих уравнениях независимой переменной является время, а вектор зависимых переменных составляют фазовые переменные, характеризующие состояние укрупнённых элементов дискретизированного пространства. Фазовыми переменными являются силы и скорости механических систем, давления и расходы гидравлических и пневматических систем и т. п. Системы обыкновенных ДУ являются универсальными моделями на макроуровне, однако, если порядок системы приближается к 10 3 , то работать с моделью становится затруднительным и переходят к представлениям ММ на метауровне.

На метауровне в качестве элементов моделирования принимают достаточно сложные совокупности деталей. Метауровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ. Для многих объектов ММ на метауровне так же представляются системами обыкновенных ДУ, в которых фигурируют фазовые переменные, относящиеся только к взаимным связям элементов. Поэтому укрупнение элементов на метауровне означает получение ММ приемлемой размерности для гораздо более сложных объектов, чем на макроуровне.

Рассмотренные выше структурные модели также делятся на модели различных иерархических уровней, причем на низших иерархических уровнях преобладает использование геометрических моделей, на высших уровнях – используются топологические модели.

3. По степени детализации описания в пределах каждого иерархического уровня выделяют полные модели и макромодели.

В полной ММ фигурируют фазовые переменные, характеризующие состояния всех межэлементных связей.

В макромодели отображаются состояния значительно меньшего числа межэлементных связей, что соответствует описанию объекта при укрупнённом выделении элементов. Понятия «полная математическая модель » и «макромодель» относительны и отображают различную степень детальности описания свойств объекта.

4. По способу представления свойств объекта . В инвариантной форме математическая модель представляется системой уравнений вне связи с методом решения этих уравнений.

Функциональные аналитические ММ – это численные ММ, которые можно представить в виде явно выраженных зависимостей выходных параметров от параметров внутренних и внешних. Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных ДУ.

В функционально-алгоритмической форме соотношения в ММ связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма - последовательности вычислений.

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени и в пространстве, причем имитируются элементарные явления процесса с сохранением его логической и временной структуры.

Имитационное моделирование основано на прямом описании моделируемого объекта. Существенной характеристикой таких моделей является структурное подобие объекта и модели. Это значит, что каждому существенному с точки зрения решаемой задачи элементу объекта ставится в соответствие элемент модели. При построении имитационной модели описываются законы функционирования каждого элемента объекта и связи между ними. Ценным качеством имитации является возможность управлять масштабом времени.

Графические модели используются тогда, когда задачу удобно представить в виде графической структуры.

5. По способу получения. Теоретические ММ создаются в результате исследования процессов и их закономерностей, присущих рассматриваемому классу объектов и явлений. Для их получения используют неформальные и формальные методы. Эмпирические ММ создаются в результате изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерений фазовых переменных на внешних входах и выходах обработки результатов измерений и обработки их результатов методами математической статистики.

Расчеты напряженно - деформированного состояния балки

Выполнил студент гр. 6-См-1 Мельников Р. В.

Руководитель Семенов А. А.

Санкт-Петербург

Введение……………………………………………………………………………………………………….2

1. Классификация математических моделей………………………………………………3

2. Метод Ритца………………………………………………………………………………………..……5

3. Расчеты напряженно - деформированного состояния балки………….…….7

3.1. Расчет линейно-упругой задачи для стальной балки…………….…….7

3.2. Расчет нелинейно-упругой задачи для стальной балки……….….…..9

3.3. Расчет линейно-упругой задачи для бетонной балки………….…….12

3.4. Расчет задачи ползучести для бетонной балки………………………….13

Заключение………………………………………………………………………………..……………….15

Список используемой литературы…………………………………………………………….16

Введение

С появлением электронно-вычислительных машин был разработан новый способ теоретического исследования сложных процессов, т.е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики.

Суть вычислительного эксперимента состоит в составлении математической модели изучаемого процесса или явления, которая представляет собой некоторые математические уравнения, затем разрабатывается вычислительный алгоритм для решения этих уравнений, составляется программа для ЭВМ и проводится расчет конкретных вариантов состояния объекта при изменении входящих в уравнение параметров. Т. о. основой изучения различных объектов является построение математической модели их функционирования.

Целью курсовой работы является разработка математических моделей деформирования элементов строительных конструкций, построение методики исследования напряженно-деформированного состояния стальной и бетонной балок.

Классификация математических моделей

Математическая модель – математическое представление реальности, один из вариантов модели, как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе.

Процесс построения и изучения математических моделей называется математическим моделированием.

Математические модели можно классифицировать по нескольким основным признакам.

1. Статические и динамические модели

Модель называется статической, если значение выхода зависит от значения входа в один и тот же момент времени. В динамических моделях значение выхода может зависеть от всего прошлого входного процесса. Для динамических моделей предметом изучения является изменение исследуемого объекта во времени.

2. Детерминированные и вероятностные модели.

Если математическая модель включает случайные величины, подчиняющиеся статистическим законам, то она называется вероятностной или стохастической. Математическая модель, не содержащая случайных компонентов, называется детерминированной.

3. Дискретные и непрерывные модели.

Величины могу быть двух типов – дискретные, т. е. принимающие отдельные значения, допускающие естественную нумерацию, и, непрерывные, принимающие все значения из некоторого интервала. Возможный также смешанный случай, например, когда на одном интервале величина ведет себя как дискретная, а на другом – непрерывная. Подобным образом и математические модели могут быть либо дискретными, либо непрерывными, либо смешанными. Надо учитывать возможность применения либо дискретного, либо непрерывного аппаратов при построении математической модели и способа ее исследования.

4. Линейные и нелинейные модели.

Линейная зависимость одной величины от другой – это пропорциональность их приращений, т. е. зависимость вида y=ax+b, откуда получаем △y=a△x. Аналогично, определяется понятие и линейной модели. Если модель рассматривать как преобразователь, для которого каждому входу соответствует некоторый выход. Тогда модель называется линейной, если в ней выполняется принцип суперпозиции, т.е. при сложении входов складываются и выходы, при умножении входа на любое число выход умножается на то же число. Пользуясь принципом суперпозиции, нетрудно, найдя решение в каком – либо случае, построить решение в более общей ситуации. Поэтому о качественных свойствах общего случая можно судить по свойствам частного – различие между двумя решениями носит лишь количественный характер.

Одним из важнейших свойств математических моделей является их универсальность. Его сущность заключается в том, что одними и теми же математическими моделями могут описываться совершенно различные по природе процессы, т.е. одни и те же приемы и методы построения и исследования математических моделей пригодны для различных задач.

Однако решение таких задач требует интегрирования сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных и сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при решении прямой задачи часто используют приближенные методы, например прямые методы вариационных задач (метод Ритца), а также метод конечных элементов.

Метод Ритца

Метод Ритца - прямой метод нахождения приблизительного решения краевых задач вариационного исчисления.

Метод предусматривает выбор пробной функции, которая должна минимизировать определенный функционал, в виде суперпозиций известных функций, которые удовлетворяют граничным условиям. При этом задача сводится к поиску неизвестных коэффициентов суперпозиции. Пространственный оператор в операторном уравнении, который описывает краевую задачу, должен быть линейным, симметрическим и положительно-определенным.

Метод Ритца позволяет найти неизвестные функции перемещений из условия минимума функционала полной энергии деформации.

Рассмотрим функционал энергии:

Требуется найти минимум функционала (3.1), т. е. найти функции u (x , y ), v (x , y ) , w (x , y ) , заданные в некоторой области D = {0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b }, удовлетворяющие некоторым однородным краевым условиям на границе Γ , при которых функционал (1) имеет минимальное значение. Приближенное решение поставленной задачи будем искать в виде:

u(x,y)=u N = ,

v(x,y)=v N = ,

w(x,y)=w N= .

Чтобы избежать двух индексов, представим перемещения в виде:

Здесь U (I ), V (I ), W (I ) – неизвестные числовые параметры; X 1(I ), X 2(I ), X 3(I )– известные аппроксимирующие функции переменной x , удовлетворяющие при x = 0, x = a заданным краевым условиям; Y 1(I ), Y 2(I ), Y 3(I ) – известные аппроксимирующие функции переменной y , удовлетворяющие при y = 0, y = b заданным краевым условиям. Функции X 1(I ) − X 3(I ) , Y 1(I ) − Y 3(I ) называются базисными функциями.

Подставляя (2) в (1) и выполняя интегрирование от известных функций, сведем функционал (1) к функции:

J=J(U(I),V(I),W(I)) (3)

параметров U (I ), V (I ), W (I ), I =1,…,N .

Чтобы функция (3.3) имела минимум, ее частные производные по переменным U (l ),V (l ),W (l ), l =1,.., N должны обращаться в нуль:

Система (4) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, для решения которой можно применять метод Гаусса. Найденные значения параметров U (I ), V (I ), W (I ) подставляем в разложения (2) и получаем приближенное решение поставленной задачи. Существование минимума функционалов полной энергии деформации элементов строительных конструкций (стержень, плита, оболочка) доказано.