Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅. ΠΠ»Π°Π²Π° II
ΠΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΡΡ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ΅ΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ.
ΠΡΡΡΡ Π΄Π°Π½Π° ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ . ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ l ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ, Ρ. Π΅. Π΄Π»Ρ Π½ΠΈΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅:
.
ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ.
Π§ΠΈΡΠ»Π° m , n ΠΈ p ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΡΠΈ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ, ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° m , n ΠΈ p Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΡΡΡΡΡ Π½ΡΠ»Ρ. ΠΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²Π° ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ Π½ΡΠ»Ρ. Π Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ Π΄ΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°Π΅ΡΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ°ΠΊΠ°Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ:
,
ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΎΡΠΈ Oy ΠΈ Oz ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ , ΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Π°Ρ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ ΠΎΡΡΠΌ Oy ΠΈ Oz , Ρ. Π΅. ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ yOz .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1.
Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅,
ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡ
ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Ρ ΠΎΡΡΡ Oz
.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΡΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Ρ ΠΎΡΡΡ Oz
. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΡΠ±Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ°Ρ Π½Π° ΠΎΡΠΈ Oz
, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ , ΡΠΎ, ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ x = y =
0
, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ 4z
- 8 = 0
ΠΈΠ»ΠΈ z
= 2
. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Ρ ΠΎΡΡΡ Oz
ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ (0; 0; 2)
. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠ°Ρ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠ½Π° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π΅Ρ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈ . ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ A = (0; 0; 2) Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° :
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π΄Π²Π΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ
ΠΡΡΠΌΠ°Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Π΄Π²ΡΠΌΡ Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠΌΠΈ Π½Π° Π½Π΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ
Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΡΡ Π²ΠΈΠ΄
.
ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π΄Π²Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2. Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΈ .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅, ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ΅ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΏΡΠ°Π²ΠΊΠ΅:
.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ , ΡΠΎ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠ°Ρ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Π° ΠΎΡΠΈ Oy .
ΠΡΡΠΌΠ°Ρ ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ
ΠΡΡΠΌΠ°Ρ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π½Π΅ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈ , Ρ. Π΅. ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3. Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π΄Π²Π΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ -Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ. ΠΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Ρ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌΠΈ-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ yOz ΠΈ xOz .
Π’ΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΡ yOz ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΡ x = 0 . ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ, ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ x = 0 , ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ:
ΠΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ y = 2 , z = 6 Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ x = 0 ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΡ A (0; 2; 6) ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ. ΠΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ y = 0 , ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ
ΠΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x = -2 , z = 0 Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ y = 0 ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΡ B (-2; 0; 0) ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΡ xOz .
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΠΈ A (0; 2; 6) ΠΈ B (-2; 0; 0) :
,
ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ Π½Π° -2:
,
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ°Π·Π±Π΅ΡΡΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ.
ΠΡΡΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Π΅ΡΡΡ ΡΡΠΈ ΡΠΆΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ Π½Π°ΠΌ ΠΎΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ - Ox , Oy ΠΈ Oz . ΠΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΠΌ Π»ΠΈΡΡ Π±ΡΠΌΠ°Π³ΠΈ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ½ ΠΎΡΡΠ°Π²Π°Π»ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΌ. ΠΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°ΠΌ Π»ΠΈΡΡ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ .
ΠΡΡΡΡ P ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅. ΠΡΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ Π΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈ ΠΊ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ. ΠΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΡΠ΅ΡΡ ΠΈΠ΄ΡΡ ΠΎ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ΅.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠ°Ρ-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ P ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈ ΠΊ Π½Π΅ΠΉ, ΡΠΎ ΡΡΠΈΠΌΠΈ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° (ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ). ΠΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΈΠ΄:
ΠΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π΅ΡΡΡ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ , ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΡΠΉ Π²ΡΡΠ΅ Π²ΠΈΠ΄, Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΡΠΌ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ P ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ M Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ x , y , z . ΠΡΠ° ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ (ΡΠΈΡ. 1). ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π±ΡΠ»ΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ ΠΏΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ.
ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π°ΠΉΠ΄ΡΠΌ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅
:
.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ,
Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅:
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΡΠΊΠ° M(x; y; z) Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π° Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ P . ΠΠ»Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ N , Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, , Ρ.Π΅. ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ (1) Π½Π°ΡΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1. Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (1), Π΅ΡΠ΅ ΡΠ°Π· ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° Π½Π΅Ρ:
Π ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΡΠΈΡΠ»Π° A , B ΠΈ C ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° , Π° ΡΠΈΡΠ»Π° x 0 , y 0 ΠΈ z 0 - ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ .
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅: ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π²ΡΡ, ΡΡΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΈ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° (ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π±Π΅Π· Π±ΡΠΊΠ²). Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ:
.
Π’ΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΎΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ x, y, z ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°
Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2.
ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π² ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ,
Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ»Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΡΠΈ Π΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Ρ ΠΎΡΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ? Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΎΡΡΡ Oz , Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ, Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΠΈΠΊΡ ΠΈ ΠΈΠ³ΡΠ΅ΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π½ΡΠ»ΠΈ: x = y = 0 . ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ z = 6 . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΎΡΡ Oz Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ A (0; 0; 6) .
Π’ΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Ρ ΠΎΡΡΡ Oy . ΠΡΠΈ x = z = 0 ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ y = β3 , ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ B (0; β3; 0) .
Π, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ, Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Ρ ΠΎΡΡΡ Ox . ΠΡΠΈ y = z = 0 ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ x = 2 , ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ C (2; 0; 0) . ΠΠΎ ΡΡΡΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌ Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌ A (0; 0; 6) , B (0; β3; 0) ΠΈ C (2; 0; 0) ΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ . ΠΡΠΎ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (2) ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°ΡΡΡΡ Π² Π½ΡΠ»Ρ.
1. ΠΡΠΈ D =
0 ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΠΏΡΠΎΡ
ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ 0
(0; 0; 0)
ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΡΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ.
2. ΠΡΠΈ A =
0 ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΡΠΈ Ox
, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈ
ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΎΡΠΈ Ox
(Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π½Π° ΠΎΡΡ Ox
ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ).
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, ΠΏΡΠΈ B =
0 ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ
ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΡΠΈ
Oy
, Π° ΠΏΡΠΈ C =
0 ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ
ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° ΠΎΡΠΈ Oz
.
3. ΠΡΠΈ A = D = 0 ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΎΡΡ Ox , ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ½Π° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° ΠΎΡΠΈ Ox (A = D = 0). ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΎΡΡ Oy , Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΎΡΡ Oz .
4. ΠΡΠΈ A = B = 0 ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ xOy , ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ½Π° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° ΠΎΡΡΠΌ Ox (A = 0) ΠΈ Oy (B = 0). ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ yOz , Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ - ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ xOz .
5. ΠΡΠΈ A = B = D = 0 ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΈΠ»ΠΈ z = 0) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ xOy , ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½Π° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ xOy (A = B = 0) ΠΈ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ (D = 0). ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ y = 0 Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ xOz , Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ x = 0 - ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ yOz .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3. Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ P , ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΎΡΡ Oy ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΡ .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΎΡΡ Oy . ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π² Π΅Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ y = 0 ΠΈ ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ . ΠΠ»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² A ΠΈ C Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ P .
ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠ΅Π΄ΠΈ Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΡ ΡΠΆΠ΅ Π²ΡΠ²Π΅Π»ΠΈ (). Π‘ΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π΅ΡΡ ΡΠ°Π· Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ:
M 0 (2; β4; 3) .
Π‘ΡΠ΅Π΄ΠΈ Π½ΠΈΡ x = 2 , z = 3 . ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΡ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π½Π°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ:
2A + 3C = 0 .
ΠΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ 2A Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠΈΠΌ 3C Π² ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
A = β1,5C .
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠ² Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ A Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ , ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ
ΠΈΠ»ΠΈ .
ΠΡΠΎ ΠΈ Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ Π² ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°.
Π Π΅ΡΠΈΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ Π½Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ) ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΠΎΡΠ΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ (ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ) Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠΏΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π±ΡΠ²Π°ΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Ρ - Π² ΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΈΠΈ "ΠΠ°Π΄Π°ΡΠΈ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ: ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅" .
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ
ΠΠ°ΠΊ ΡΠΆΠ΅ ΡΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΡΡ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠΌ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ.
ΠΡΡΡΡ Π΄Π°Π½Ρ ΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ,
ΠΈ ,
Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈ
Π½Π΅ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ, Π° ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ
Π»ΡΠ±Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ
Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ , ΠΈ
ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ
, ΠΈ
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½Ρ, Ρ.Π΅. ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°,
ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ , ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ
(3)
ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠ°ΡΠΊΡΡΡΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π° (2), Ρ.Π΅. ΠΎΠ±ΡΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 5. Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΡΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ:
ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (3) ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
ΠΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ. Π Π°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π΄ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ
ΠΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΅Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ
F(x,y,z)=0
.
ΠΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΈ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ
ΠΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ, Π·Π°Π΄Π°Π² ΠΊΠ°ΠΊΡΡ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ
ΡΠΎΡΠΊΡ Π0 Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ
Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. ΠΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΊ ΡΡΠΎΠΉ
ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.ΠΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π0(Ρ 0,Ρ0,z0) Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π² ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ
ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π(Ρ ,Ρ,z).
z
n (A,B,C)
M
y
M0
xΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ n(A, B, C) ΠΈ M 0 M (x x0 , y y0 , z z0)
ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Ρ.
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΈ
Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ.ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1:
ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ Π(2,3,-1)
ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ n(1,2, 3)
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅: 1(Ρ -2)+2(Ρ-3)-3(z+1)=0
ΠΈΠ»ΠΈ Ρ +2Ρ-3z-11=0ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2:
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ,
ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ Π(1,0,0)
ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ n(2,0,1) .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ: 2(Ρ -1)+0(Ρ-0)+1(z-0)=0
ΠΈΠ»ΠΈ 2Ρ +z-2=0.
ΠΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, ΡΠ°ΡΠΊΡΠΎΠ΅ΠΌ Π² Π½Π΅ΠΌΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ βAΡ 0-ΠΡ0-Π‘z0=D.
ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ
ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρ:
Ax+By+Cz+D=0 - ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ Π,Π,Π‘ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ
ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.
Π§Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ
1. ΠΡΡΡΡ Π=0, Π,Π‘,Dβ 0. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°: By+Cz+D=0.ΠΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ n(0, B, C)
ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΎΡΠΈ ΠΠ₯ ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° ΠΎΡΠΈ ΠΠ₯.
z
y
xΠ£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ax+Cz+D=0 ΠΈ Ax+By+D=0
Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΡΡΠΌ ΠΠ£
ΠΈ OZ.
2. D=0, Π,Π,Π‘β 0. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ:
Ax+By+Cz=0. Π’ΠΎΡΠΊΠ° Π(0,0,0) ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ
ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ
ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ
ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
3. Π=0, D=0, Π,Π‘β 0. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ:
By+Cz=0. ΠΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ
ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° ΠΎΡΠΈ ΠΠ₯ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ
ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, Ρ.Π΅. ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΎΡΡ ΠΠ₯.ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ax+Cz=0 ΠΈ Ax+By=0
Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΎΡΠΈ
OY ΠΈ OZ.
4. Π=0, Π=0, Π‘,Dβ 0. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ:
Cz+D=0. ΠΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ
ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° ΠΎΡΡΠΌ ΠΠ₯ ΠΈ ΠΠ£, Ρ.Π΅. ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ
ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΠ₯Π£. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
By+D=0, ΠΈ Ax+D=0 Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ,
ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΠΌ OXZ
ΠΈ OYZ.ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
Z=3
z
3
y
xΠ=0, Π=0, D=0, Π‘β 0.
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ: Cz=0 ΠΈΠ»ΠΈ z=0. ΠΡΠΎ
ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π°Ρ
ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΠ₯Π£, Ρ.Π΅. ΡΠ°ΠΌΠ°
ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΠ₯Π£. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ:
Ρ=0 ΠΈ Ρ =0 β ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ OXZ ΠΈ OYZ.
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΡΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ
Π’ΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉM1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3).M(x,y,z) β ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.
z
M2
Π1
Π3
ΠΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ M1M , M 1M 2 , M 1 M 3 ,
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½Ρ. ΠΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ.
x x1
x2 x1
y y1
y2 y1
z z1
z 2 z1 0
x3 x1
y3 y1
z3 z1
ΠΡΠΎ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ,
ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΡΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ.ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ,
ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΠΈ M1(1,2,1),
M2(0,1,4), M3(-3,3,2).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅
ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
x 1 y 2 z 1
1
4
2
1
3 0
1
ΠΠ»ΠΈ 4Ρ +11Ρ+5z-31=0
Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΠΌΠΈ, ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ
ΠΠ²Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ: A1x+B1y+C1z+D1=0 ΠΈA2x+B2y+C2z+D2=0. ΠΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ n1 (A1 , B1 , C1) , n2 (A2 , B2 , C2)
Π£Π³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΠΌΠΈ
Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΈΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ
n1 n2
CosΟ=
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ, ΡΠΎ ΠΈΡ
Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠΎΠΆΠ΅
ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ, ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΈΡ
ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ:
Π1ΞΠ2+Π1ΞΠ2+Π‘1ΞΠ‘2=0.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ, ΡΠΎ
ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ ΠΈΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, Π°
Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ:
A1 B1 C1
A2 B2 C2ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ,
ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ M(0,1,4)
ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ 2Ρ -4Ρ-z+1=0.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ
ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ΅
ΠΈ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ:
2(Ρ -0)-4(Ρ-1)-(z-4)=0 ΠΈΠ»ΠΈ 2Ρ -4Ρ-z+8=0.
.Π Π°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π΄ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ
Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π(Ρ 0,Ρ0,z0) Π΄ΠΎΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ: Ax+By+Cz+D=0. ΠΠΏΡΡΡΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠΊΠΈ
Π ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡ ΠΠ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ (d).
z
M
n
K
x
yΠΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Ρ 1,Ρ1,z1
n KM n KM d n
ΠΠ»ΠΈ n KM Π(Ρ 0-Ρ 1)+Π(Ρ0-Ρ1)+Π‘(z0-z1)=
= Ax0+By0+Cz0-(Ax1+By1+Cz1).
Π’ΠΎΡΠΊΠ° Π Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π΅Π΅
ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Ax1+By1+Cz1+D=0.Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΡΡΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ: n KM
Ax0+By0+Cz0+D-(Ax1+By1+Cz1+D)=
Ax0+By0+Cz0+D.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π°: Ax0+By0+Cz0+D= d n ;
d
Ax0 By 0 Cz0 D
A B C
2
2
2ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π (-1,2,3) Π΄ΠΎ
ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ 2Ρ -6Ρ-3z+2=0.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π²
ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ
Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ:
d
2 (1) (6) 2 3 (3) 2
2 2 (6) 2 32
21
=
=3
7
ΠΠ±ΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅
ΠΡΡΠΌΠ°Ρ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡΠΊΠ°ΠΊ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ.
A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2 0
Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΠΏΡΡΠΌΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ
ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ,
A1 B1 C1
A2 B2 C 2
ΠΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅
ΠΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ L Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Π°
ΠΊΠ°ΠΊΠ°Ρ-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π0(Ρ 0,Ρ0,z0), Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ°Ρ Π½Π°
ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ L, ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ
S (m, n, p)
S
M
M0Π(Ρ ,Ρ,z) β ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π½Π° ΡΡΠΎΠΉ
ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ
M 0 M =(Ρ -Ρ 0, Ρ-Ρ0, z-z0) ΠΈ S (m, n, p)
Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ:
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
- ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π²
ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠΎ
ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ΅ΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ.ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1:
ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ Π(1,2,3), ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ
x 1 y 7 z
2
5
3
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ, ΡΠΎ S (2,5,3)
ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠΉ
ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ:
x 1 y 2 z 3
2
5
3ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2:
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ L, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ
ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ Π(1,2,3), ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ
Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ S (2,0,5)
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ:
x 1 z 3
ΠΈ
2
5
Ρ-2=0,
ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ 5Ρ -2z+1=0 ΠΈ Ρ=2. ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ
ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Ρ=2
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡΠΌ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌ
ΠΠ°Π΄Π°Π½Ρ Π΄Π²Π΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π1(Ρ 1,Ρ1,z1) ΠΈ Π2(Ρ 2,Ρ2,z2).ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ
ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π΄Π²Π΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ.
Π1
Π2ΠΡΡΠΌΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ Π1 ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²
ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° M 1M 2
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄:
x x1
y y1
z z1
x2 x1 y 2 y1 z 2 z1
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ,
ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π1(1,4,-3) ΠΈ
Π2(2,1,1).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ
x 2 y 1 z 1
1
3
4
ΠΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ: x x0 y y0 z z 0
m
n
p
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ t:
x x0 y y 0 z z 0
t
m
n
p
-β < t <+β.ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
x x0
t
y m y
0
t
n
z z0 t
p
ΠΈΠ»ΠΈ
x x0 mt
y y0 nt
z z pt
0
ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π²
ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅. Π ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ
ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ Π² ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ t,
ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ, Π²ΡΠ΅ΠΌΡ.
ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΊ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Ρ
ΠΠ°Π΄Π°Π½Ρ ΠΎΠ±ΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π²ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅
A1 x B1 y C1 z D1 0 (1)
A2 x B2 y C2 z D2 0
ΠΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΈΡ ΠΊ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Ρ
x x0 y y 0 z z 0
m
n
pΠΠ»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ:
1. Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ (Ρ 0,Ρ0,z0) ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ
ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ,
2. Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ (m,n,p) Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π0 ΠΏΡΠΈΠ΄Π°Π΄ΠΈΠΌ
ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅
Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ Ρ =Ρ 0. ΠΠ½Π΅ΡΡ Π΅Π³ΠΎ
Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (1), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ
ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ Ρ ΠΈ z. Π Π΅ΡΠ°Π΅ΠΌ Π΅Π΅.
Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° ΡΠΎΡΠΊΠ°
Π0(Ρ 0,Ρ0,z0).Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΠΌ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ.
S (m, n, p) n1 n2
i
A1
j
B1
A2
B2
k
B1
C1
B2
C2
C1
C2
i
A1
C1
A2
C2
j
A1
B1
A2
B2
kΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°:
A1 B1
A1 C1
B1 C1
p
n
m
A2 B2
A2 C2
B2 C2
ΠΠ±ΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠ΅ Π²
ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:
x x0
y y0
z z0
B1 C1
C1 A1
A1 B1
B2
C2
C2
A2
A2
B2ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ
x 2 y z 5 0
x y z 1 0
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ z0=0. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°:
x 2 y 5
x y 1
ΠΡΡΡΠ΄Π°: : Ρ0=-6, Ρ 0=7. Π’ΠΎΡΠΊΠ° Π0, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ°Ρ Π½Π°
ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ: (7,-6,0).ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. ΠΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ
n1 (1,2, 1)
Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
n2 (1,1,1)
i j k
S n1 n2 1 2 1 3i 2 j k
1 1
1
ΠΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΈΠ΄:
x 7 y 6 z
3
2
1
Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅, ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΡΠΌΡΡ
ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ L1 ΠΈ L2 Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ Π² ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠ½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ
S 1 (m1 , n1 , p1) ΠΈ S 2 (m2 , n2 , p2)
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y 2 z z 2
m2
n2
p2Π£Π³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ»
ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΈΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ.
S1 S 2
cos (L1 , L2) cos(S1 , S 2)
S1 S 2
cos(L1 , L2)
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22ΠΡΡΠΌΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ
ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ ΠΈΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ:
Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ S1 S2 0 , ΠΈΠ»ΠΈ
m1m2+n1n2+p1p2=0.
ΠΡΡΠΌΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ ΠΈΡ
Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ:
m1 n1
p1
m2 n 2 p 2ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌΠΈ
x 2 y 7
z
1
3
2
ΠΈ
x 10 y 3 z 5
4
1
2
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ
ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ: (1,3,-2) ΠΈ (4,1,2).
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
1 4 3 1 (2) 2
3
cos(L1 , L2)
1 9 4 16 1 4 7 16
3
(L1 , L2) arccos
7 16
Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΡ
ΠΠ°Π΄Π°Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ Π : ΠΡ +ΠΡ+Π‘z+D=0, ΠΈΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ L:
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
n
S
Ο
ΟΠ£Π³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΡ
Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ» Ο ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ
Π΅Π΅ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ.
Ο - ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ
ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ
ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ. Ο=Ο/2-Ο. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° sinΟ=cos(Ο/2-Ο)=
=cosΟ. ΠΠΎ cosΟ=cos (n, S)
Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
n S
sinΟ= cos (n, S)
n SsinΟ =
Am Bn Cp
m 2 n 2 p 2 A2 B 2 C 2
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ:
x 2 y 1 z
3
2
6
ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΡ: 2Ρ +Ρ+2z-5=0.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ
ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ: (2,1,2), Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠΉ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ: (3,2,-6).
sin
6 2 12
4
2
2
2
2
2
2
21
2 1 2 3 2 6
Π£ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.
x x0 y y 0 z z 0m
n
p
P
ΠΠ°Π΄Π°Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ L:
ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ Π : ΠΡ +ΠΡ+Π‘z+D=0.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎ
Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ
ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ
ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.
S
n
LΠ‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ: AΞm+BΞn+CΞp=0.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎ
ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ.
S
n
Π
L
Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅:
A B C
m n pΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ,
ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ Π(1,2,-3),
ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ
4Ρ +2Ρ-z+5=0.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Π°
ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΡΠΎ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈ
Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ:
x 1 y 2 z 3
4
2
1Π Π°Π·Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΈΠΏΠΎΠ²ΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ.
ΠΠ°Π½Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ ΠΏΠΈΡΠ°ΠΌΠΈΠ΄Ρ ABCD: Π(1,0,0);
B(0,2,0); C(0,0,3), D(2,3,4). ΠΠ°ΠΉΡΠΈ:
1. ΠΠ»ΠΈΠ½Ρ ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π±ΡΠ° ΠΠ,
2. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ Π³ΡΠ°Π½ΠΈ ΠΠΠ‘,
3. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²ΡΡΠΎΡΡ, ΠΎΠΏΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
ΠΈΠ· Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ D Π½Π° Π³ΡΠ°Π½Ρ ΠΠΠ‘,
4. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠ΅Π±ΡΠΎΠΌ AD ΠΈ Π³ΡΠ°Π½ΡΡ ΠΠΠ‘,
5. ΠΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΈΡΠ°ΠΌΠΈΠ΄Ρ.Π§Π΅ΡΡΠ΅ΠΆ:
z
D
C
B
A
x
y1. ΠΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π² ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ AB . ΠΠ³ΠΎ
ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ: (0-1;2-0;0-0), ΠΈΠ»ΠΈ (-1;2;0). ΠΠ»ΠΈΠ½Π°
ΡΠ΅Π±ΡΠ° ΠΠ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
ΠΠ= 1 4 0 5
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΠ (ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠΎ
Π΄Π²ΡΠΌ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌ):
x 1 y
1 2
ΠΠ»ΠΈ 2Ρ +Ρ-2=02. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°Π½ΠΈ ΠΠΠ‘ (ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠΎ ΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌ):
x 1 y z
1 2 0 0
1
0 3
ΠΡΡΡΠ΄Π°: (Ρ -1)β6-Ρβ(-3)+zβ2=0,
ΠΈΠ»ΠΈ 6Ρ +3Ρ+2z-6=0.
ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΠΠ‘ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Ρ
ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² AB ΠΈ ACΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° AB =(-1;2;0),
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° AC =(-1,0,3).
1
SΞABC= AB AC
ΠΊΠ².Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ.
2
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅:
i
j k
AB AC 1 2 0 6i 3 j 2k
1 0 3Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
1
S ABC 6i 3 j 2k
2
1
7
36 9 4 3,5 ΓͺΓ’.Γ₯Γ€.
2
2Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠΎΡΡ - ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠΎ
ΡΠΎΡΠΊΠ΅ D(2,3,4) ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ΅ΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ. Π
ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° β
Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π³ΡΠ°Π½ΠΈ ΠΠΠ‘: n (6,3,2)
x 2 y 3 z 4
6
3
2
ΠΠ»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²ΡΡΠΎΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ
ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ:
Ax0 By 0 Cz0 D
d
A2 B 2 C 2ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
d
6 2 3 3 2 4 6
36 9 4
27
3
4. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠ΅Π±ΡΠΎΠΌ AD ΠΈ Π³ΡΠ°Π½ΡΡ ΠΠΠ‘.
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°Π½ΠΈ ΠΠΠ‘: 6Ρ +3Ρ+2z-6=0,
Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ:
(6,3,2). ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ,
ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π(1,0,0) ΠΈ D(2,3,4):
x 1 y 0 z 0
2 1 3 0 4 0ΠΡΠ° ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Ρ
ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ:(1,3,4). Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
sin
=
Am Bn Cp
m n p A B C
2
2
2
2
6 1 3 3 2 4
12 32 4 2 6 2 32 2 2
arcsin
2
23
7 26
2
=
23
23
26 7 7 265. ΠΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΈΡΠ°ΠΌΠΈΠ΄Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 1/6 ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠ°
ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ , ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°Ρ . ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ
ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²: AB =(-1,2,0),
ACβ =(-1,0,3), AD =(1,3,4)
β VΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°
1 2 0
1 0 3 23
1
3 4
β VΠΏΠΈΡΠ°ΠΌΠΈΠ΄Ρ=23/6 ΠΊΡΠ±.Π΅Π΄.
ΠΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄. ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ (x;y)
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠΌ Π²ΡΠ·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ΅ΡΡΠ΅Π·Π½ΡΠ΅ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠ°. ΠΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ - ΡΡΠΎ, ΠΏΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Ρ, ΠΊΡΠ°ΡΠΊΠ°Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π―ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΠΉΡΡΠ²Π° Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π½ΠΎ, ΡΠ΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎ. ΠΠ΅Π³ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°.
ΠΠ° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°. ΠΠ°Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΊ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΠΌ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΠΉΡΡΠ²Π° (ΡΠΌ. , , , , , , ).
ΠΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ . ΠΠ»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ . ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248138/image250.png)
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ. ΠΡΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° ΠΎΡΠΈ ΠΠ₯.
ΠΡΠ²Π΅Ρ . ΠΡΠ»ΠΈ, ΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ;
Π΅ΡΠ»ΠΈ, ΡΠΎ 3 ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ;
Π΅ΡΠ»ΠΈ, ΡΠΎ 2 ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ;
Π΅ΡΠ»ΠΈ, 4 ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ
Π‘ΡΠ°Π·Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ±ΠΎΡ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΠΉΡΡΠ²Π° ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ Π½Π΅ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠ΅ΠΌ (Π² ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΠ°ΠΌΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ), Π° ΡΠΎΡΠ½Π΅Π΅ ΠΎΠ½ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½: Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ - ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅. ΠΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ° ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ . ΠΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅?
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248138/image252.png)
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ . Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈ. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ - ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠΎΠΌ =1 (ΡΠΈΡ. 2).
ΠΡΠ³Π° ΠΠ.
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248138/image254.png)
ΠΡΠ΅ Π»ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΠ ΠΈ ΠΠ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅, ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΡΡ ΠΠ ΠΈ ΠΠ (ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ). Π£Π³Π»ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠΈΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΠ ΠΈ ΠΠ ΡΠ°Π²Π½Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. Π£Π³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π²Π΅Π½. ΠΠ΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248138/image255.png)
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΠΉΡΡΠ²Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Ρ Π΄ΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΎΠ±ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΏΡΠΈ.
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248138/image256.png)
ΠΡΠ²Π΅Ρ . .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ . ΠΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅?
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248138/image257.png)
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ . Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΡ Π΅Π΅ Π½Π° ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΡ ΡΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½Π° Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ ΠΈ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π°. Π’ΠΎΡΠΊΠ° - ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΆΠ΅ - ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΡΡ , ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠΌΡΡ ΠΊ ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΡ 2. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΡΠ³Π° ΠΠ. ΠΡΡΠΌΡΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π±ΡΠ΄ΡΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌΠΈ ΠΠ ΠΈ ΠΠ, ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ. ΠΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΠ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π° ΠΠ -- .
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248138/image258.png)
ΠΡΠ²Π΅Ρ . ΠΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ 1 ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅;
ΠΏΡΠΈ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ.
ΠΠΎΠΌΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡ. Π‘ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248138/image259.png)
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ . ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π²ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎΠ²Π½ΠΎ 8 ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248138/image260.png)
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ . ΠΠΌΠ΅Π΅ΠΌ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. ΠΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ, Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΡΠΈ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡ.
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ 8 ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ. ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΡΡ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ . ΠΈΠ»ΠΈ.
ΠΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄. ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ (x;a)
ΠΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ , ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ, Π½Π΅ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½Ρ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ, ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΎΡΠΎΡΠΌΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΈΡΠΊΠ°ΡΡ Π½Π° ΠΎΡΡΠΏΡ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π±ΠΎΡΠΎΠΌ, ΡΠ΅ΡΠ°Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π½Π΅ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ²Π°Π΅Ρ ΡΡΠΏΠ΅Ρ Π² ΠΎΡΡΡΠΊΠ°Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ, Π΄Π²Π° ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ°ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΡΠ΅ΡΡΡΡΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π»ΠΈΡΠ½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡΡΡ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΡΡΠ΄Π½ΡΠΌ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄, ΡΠΏΡΠΎΡΠ°ΡΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠΌ. ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ
1. ΠΠ· ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° a Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΡ x : .
2. Π ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ x Oa ΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
3. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ ΠΈ Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ ΠΎΡΠΈ Oa , Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠΈ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ: a) Π½Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π±) ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅, Π²) Π² Π΄Π²ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ , Π³) Π² ΡΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ ΠΈ ΡΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.
4. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π° Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ x , ΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ x ΡΠ΅ΡΠ΅Π· a Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΎΠ² Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ a Π² ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠ·Π³Π»ΡΠ΄ Π½Π° ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΏΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°Ρ . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ. ΠΠ°Π·Π°Π»ΠΎΡΡ Π±Ρ, ΡΠ°ΠΊΠ°Ρ Π½Π΅Π·Π½Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ Π΄Π΅ΡΠ°Π»Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΠΊΠ°Π· ΠΎΡ ΡΡΠ°Π΄ΠΈΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π±ΡΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ x ΠΈ y ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½Π΅ΠΉΡΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ.
ΠΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π΅Π½. ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π² Π½Π΅ΠΌ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΠΊΡΡΡΠ° Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π» Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. ΠΠ°Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΡΡ Π½Π°Π±ΠΎΡ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΡ Ρ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ: ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ°, Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡ ΠΈ Ρ . Π΄. (ΡΠΌ. , , ).
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248138/image263.png)
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ . ΠΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΡΠ½Ρ?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ . ΠΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅
ΠΠ· Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ 2 ΠΊΠΎΡΠ½Ρ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ . ΠΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΡΠ½Ρ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ . ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠΈΡΠ΅Π», Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π²Π° ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ . ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΡΠΏΡΡΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ, ΠΈ - ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠΎ, ΡΡΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ 5 ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΡΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ - ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ. ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ Β«ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡΒ» Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌΠΈ.
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248138/image269.png)
ΠΡΠ²Π΅Ρ . ΠΡΠΈ, ΠΈΠ»ΠΈ, ΠΈΠ»ΠΈ.
ΠΡΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)
Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡΠΎΡ: Π²ΡΡΠΊΠ°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (3.1), ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ .
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ n (A, B, C), ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ. Π ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ (3.1) ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ A, B, C ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½Ρ 0.
ΠΡΠΎΠ±ΡΠ΅ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (3.1):
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 - ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° ΠΎΡΠΈ Oz.
3. C = D = 0, Ax +By = 0 - ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΎΡΡ Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Oyz.
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ: x = 0, y = 0, z = 0.
ΠΡΡΠΌΠ°Ρ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π°:
1) ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ,Ρ.Π΅. ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)
2) Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ΠΈ M 2 (x 2 , y 2 , z 2), ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ°Ρ, Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ:
= ; (3.3)
3) ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ M 1 (x 1 , y 1 , z 1), Π΅ΠΉ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ, ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ a (m, n, Ρ), Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΠΌ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ:
. (3.4)
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (3.4) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ .
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ a Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ .
ΠΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ, ΠΏΡΠΈΡΠ°Π²Π½ΡΠ² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ (3.4) ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡ t:
x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + Ρt. (3.5)
Π Π΅ΡΠ°Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (3.2) ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ x ΠΈ y , ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π² ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ :
x = mz + a, y = nz + b. (3.6)
ΠΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (3.6) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΊ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌ, Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄Ρ z ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΡΠΈΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ:
.
ΠΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (3.2) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΊ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΡΡ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠΎΡΠΊΡ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈ Π΅Π΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠΉ n = [n 1 , n 2 ], Π³Π΄Π΅ n 1 (A 1 , B 1 , C 1) ΠΈ n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ m, n ΠΈΠ»ΠΈ Ρ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΡ (3.4) ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ Π½ΡΠ»Ρ, Ρ.Π΅. ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°
ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡΠ½Π° ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ; ΡΠ°ΠΊΠ°Ρ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Π° ΠΊ ΠΎΡΠΈ ΠΡ
.
Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡΠ½Π° ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ x = x 1 , y = y 1 ; ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° ΠΎΡΠΈ Oz.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1.15 . CΠΎΡΡΠ°Π²ΡΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π·Π½Π°Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π(1,-1,3) ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ°, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΊ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΠ
(1,-1,3) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅
x-y+3z+D=0. ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠ² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π(1,-1,3), ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ D: 1-(-1)+3Γ3+D = 0 , D = -11. ΠΡΠ°ΠΊ, x-y+3z-11=0.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1.16 . Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΡΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΎΡΡ Πz ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡΠ΅ΠΉ Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΡ 2x+y- z-7=0 ΡΠ³ΠΎΠ» 60 ΠΎ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΠΏΡΠΎΡ
ΠΎΠ΄ΡΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΎΡΡ Oz, Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ax+By=0, Π³Π΄Π΅ Π ΠΈ Π ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°ΡΡΡΡ Π² Π½ΡΠ»Ρ. ΠΡΡΡΡ Π Π½Π΅
ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 0, A/Bx+y=0. ΠΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΠΌΠΈ
.
Π Π΅ΡΠ°Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3m 2 + 8m - 3 = 0, Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ
m 1 = 1/3, m 2 = -3, ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ 1/3x+y = 0 ΠΈ -3x+y = 0.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1.17.
Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΡΡΠ΅ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΈΠ΄:
Π³Π΄Π΅ m, n, Ρ - ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, x 1 , y 1 , z 1 - ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ. ΠΡΡΠΌΠ°Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΡ, ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ (ΠΏΡΠΎΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, x=0) ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ. ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΡΡΡΡ x=0, ΡΠΎΠ³Π΄Π° y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° y=-1, z=1. ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π(x 1 , y 1 , z 1), ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΌΡ Π½Π°ΡΠ»ΠΈ: M (0,-1,1). ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ, Π·Π½Π°Ρ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ n 1 (5,1,1) ΠΈ n 2 (2,3,-2). Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
ΠΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΈΠ΄: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1.18 . Π ΠΏΡΡΠΊΠ΅, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΠΌΠΈ 2Ρ -Ρ+5z-3=0 ΠΈ Ρ +Ρ+2z+1=0, Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΄Π²Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ Π(1,0,1).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΊΠ°, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΠΌΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ u(2Ρ -Ρ+5z-3) + v(Ρ +Ρ+2z+1)=0, Π³Π΄Π΅ u ΠΈ v Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°ΡΡΡΡ Π² Π½ΡΠ»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΊΠ° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.
ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΠ· ΠΏΡΡΠΊΠ° Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ Π, ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΊΠ°. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
(2u+v)Γ1 + (-u + v)Γ0 + (5u + 2v)Γ1 -3u + v =0, ΠΈΠ»ΠΈ v = - u.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ M, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ, ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠ² v = - u Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΊΠ°:
u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.
Π’.ΠΊ. uΒΉ0 (ΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ v=0, Π° ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΊΠ°), ΡΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ x-2y+3z-4=0. ΠΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ°Ρ ΠΏΡΡΠΊΡ, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±ΡΡΡ Π΅ΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Π°. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ:
(2u+ v)Γ1 + (v - u)Γ(-2) + (5u +2v)Γ3 = 0, ΠΈΠ»ΠΈ v = - 19/5u.
ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄:
u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 ΠΈΠ»ΠΈ 9x +24y + 13z + 34 = 0.