ΠΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Π° ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°, Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ (ΡΠΎΡΠΊΠ° A) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ (ΡΠΎΡΠΊΠ° B) ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° (Π ΠΈΡ. 1). ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ:
ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ, ΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ 0 .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. ΠΡΡΡΡ Π² Π΄Π²ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ A (12,6) , Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° - ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ B (12,6). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ.
ΠΠ»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° AB Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Π΅ΠΌ (Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ , Π½ΠΎΡΠΌΠΎΠΉ ) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ |a |. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ . ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ: Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ A ΠΊ B . ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ, ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ .
ΠΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ , Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ . ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ Π ΠΈΡ. 3 ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ, Ρ.ΠΊ. ΠΎΠ½ΠΈ Π»Π°ΠΆΠ°Ρ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, Π° ΡΠΈΠ½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ, Ρ.ΠΊ. ΠΎΠ½ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π½Π° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ . ΠΠ²Π° ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ , Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΎΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Π°. ΠΠ²Π° ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ , Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ ΠΏΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΎΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Π°. ΠΡΠ»ΠΈ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π»ΡΡΠ΅ΠΉ, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ Π»ΡΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ. Π ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ. ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ Π ΠΈΡ.3 ΡΠΈΠ½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ, Π° ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ.
ΠΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»ΠΈ ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ. ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ Π ΠΈΡ.2 Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ Ρ.ΠΊ. ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ , Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΡ .
Π n ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:
(1) |
Π³Π΄Π΅ x 1 , x 2 , ..., x n ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° x .
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ, Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΉ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (1) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ-ΡΡΡΠΎΠΊΠΎΠΉ , Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΉ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅
(2) |
Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ-ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠΌ .
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ n Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ (ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠΌ ) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ (Ρ.ΠΊ. Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ). ΠΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° x ΠΈ y ΡΠ°Π²Π½Ρ ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ.
Π‘ΡΡΠ°Π½ΠΈΡΠ° 1 ΠΈΠ· 2
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 1.
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ? ΠΠ°ΠΊ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ?
ΠΡΠ²Π΅Ρ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ (ΡΠΈΡ. 211). ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ°. ΠΠ° ΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ. ΠΠ»Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΡΡΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π»Π°ΡΠΈΠ½ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π±ΡΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ a, b, c, ... . ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ°. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅. ΠΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠ»ΠΎΠ²Π° "Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ" Π½Π°Π΄ Π±ΡΠΊΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΅ΡΡΠ°. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ 211 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
\(\overline{a}\), \(\overrightarrow{a}\) ΠΈΠ»ΠΈ \(\overline{AB}\), \(\overrightarrow{AB}\).
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 2.
ΠΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ (ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ)?
ΠΡΠ²Π΅Ρ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ \(\overline{AB}\) ΠΈ \(\overline{CD}\) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ AB ΠΈ CD ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ \(\overline{AB}\) ΠΈ \(\overline{CD}\) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ AB ΠΈ CD ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ.
ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ 212 Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ \(\overline{a}\) ΠΈ \(\overline{b}\) ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ, Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ \(\overline{a}\) ΠΈ \(\overline{c}\) ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 3.
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°?
ΠΡΠ²Π΅Ρ.
ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Π΅ΠΌ) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ°, ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\overline{a}\) ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ |\(\overline{a}\)|.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 4.
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ?
ΠΡΠ²Π΅Ρ.
ΠΠ°ΡΠ°Π»ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ Ρ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ. Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ. ΠΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½ΡΠ»ΡΠΌ Ρ ΡΡΡΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ (\(\overline{0}\)). Π Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ. ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 5.
ΠΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ?
ΠΡΠ²Π΅Ρ.
ΠΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠΎΠΌ. ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 6.
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅. Π ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎ: ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅, ΡΠ°Π²Π½Ρ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ.
ΠΡΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΎΡ
ΡΠ°Π½ΡΠ΅Ρ ΡΠ²ΠΎΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ²ΠΎΡ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅.
ΠΡΡΡΡ \(\overline{AB}\) ΠΈ \(\overline{CD}\) β ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅ (ΡΠΈΡ. 213). ΠΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠΉ ΡΠΎΡΠΊΡ C Π² ΡΠΎΡΠΊΡ A, ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΡΡΠΌΡΡ CD Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ AB, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ. Π ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΈ AB ΠΈ CD ΡΠ°Π²Π½Ρ, ΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΎΡΠΊΠ° D ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ B, Ρ.Π΅. ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \(\overline{CD}\) Π² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \(\overline{AB}\). ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ \(\overline{AB}\) ΠΈ \(\overline{CD}\) ΡΠ°Π²Π½Ρ, ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 7.
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΎΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½.
ΠΡΠ²Π΅Ρ.
ΠΡΡΡΡ CD β ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ, Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \(\overline{CD}\) β ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ CD. ΠΡΡΡΡ AB β ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ CD ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠ΅, \(\overline{AB}\) β Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \(\overline{CD}\), Π° Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ \(\overline{AB}\) ΠΈ \(\overline{CD}\) ΡΠ°Π²Π½Ρ, Π° ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ AB ΠΈ CD ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ (ΡΠΌ. ΡΠΈΡ. 213). ΠΠ°ΠΊ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΡΡ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ (Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΡΠΌΡΡ
). ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ A ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΏΡΡΠΌΡΡ, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ CD. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \(\overline{AB}\) β ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ AB, ΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ A ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \(\overline{AB}\), ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ \(\overline{CD}\).
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 8.
Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°? Π§Π΅ΠΌΡ ΡΠ°Π²Π½Π° Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ a 1 , a 2 ?
ΠΡΠ²Π΅Ρ.
ΠΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \(\overline{a}\) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ A 1 (x 1 ; y 1), Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ A 2 (x 2 ; y 2). ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\overline{a}\) Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 . ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΡΠ΄ΠΎΠΌ Ρ Π±ΡΠΊΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ \(\overline{a}\) (a 1 ; a 2) ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ \((\overline{a 1 ; a 2 })\). ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΈΡ
ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ, ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ a 1 , a 2 ΡΠ°Π²Π½Π° \(\sqrt{a^2 1 + a^2 2 }\).
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 9.
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ, Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ.
ΠΡΡΡΡ A 1 (x 1 ; y 1) ΠΈ A 2 (x 2 ; y 2) β Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\overline{a}\). Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ Π΅ΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \(\overline{a"}\) ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\overline{a}\) ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠΎΠΌ, ΡΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ A" 1 (x 1 + c; y 1 + d), A" 2 (x 2 + c; y 2 + d). ΠΡΡΡΠ΄Π° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ±Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \(\overline{a}\) ΠΈ \(\overline{a"}\) ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈ ΠΈ ΡΠ΅ ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ: x 2 - x 1 , y 2 - y 1 .
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² \(\overline{A 1 A 2 }\) ΠΈ \(\overline{A" 1 A" 2 }\) ΡΠ°Π²Π½Ρ. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ.
ΠΡΡΡΡ x" 1 ΠΈ y" 1 - ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ A" 1 , Π° x" 2 , y" 2 - ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ A" 2 . ΠΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ x 2 - x 1 = x" 2 - x" 1 , y 2 - y 1 = y" 2 - y" 1 . ΠΡΡΡΠ΄Π° x" 2 = x 2 + x" 1 - x 1 , y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1 . ΠΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ
x" = x + x" 1 - x 1 , y" = y + y" 1 - y 1 ,
ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΡ A 1 Π² ΡΠΎΡΠΊΡ A" 1 , Π° ΡΠΎΡΠΊΡ A 2 Π² ΡΠΎΡΠΊΡ A" 2 , Ρ.Π΅. Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ \(\overline{A 1 A 2 }\) ΠΈ \(\overline{A" 1 A" 2 }\) ΡΠ°Π²Π½Ρ, ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 10.
ΠΠ°ΠΉΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΌΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΡΠ²Π΅Ρ.
Π‘ΡΠΌΠΌΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² \(\overline{a}\) ΠΈ \(\overline{b}\) Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ a 1 , a 2 ΠΈ b 1 , b 2 Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \(\overline{c}\) Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ a 1 + b 1 , a 2 + b a 2 , Ρ.Π΅.
\(\overline{a} (a 1 ; a 2) + \overline{b}(b 1 ; b 2) = \overline{c} (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π‘ ΡΠ²Π΅ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎ ΠΊΡΠΎ ΠΈΠ· Π»ΡΠ΄Π΅ΠΉ Π·Π°Π΄ΡΠΌΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ°ΡΡ Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ²ΡΡΠ΄Ρ ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΡ Π½Π°ΠΌ Π² ΠΏΠΎΠ²ΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π²Π½ΠΎΠΉ ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΡ: ΠΏΠ°ΡΠ΅Π½Ρ Π½Π°Π·Π½Π°ΡΠΈΠ» Π΄Π΅Π²ΡΡΠΊΠ΅ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ ΠΎΡ ΡΠ²ΠΎΠ΅Π³ΠΎ Π΄ΠΎΠΌΠ°. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΡΡ Π»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ Π΄ΡΡΠ³Π°? ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, Π½Π΅Ρ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ½ΠΎΡΠ° Π·Π°Π±ΡΠ» ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅: Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ-Π½Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ β Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. ΠΠ°Π»Π΅Π΅, Π² ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ΅ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Π½Π°Π΄ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΎΠΌ, Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ Π΅ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅, Ρ ΡΡΠΈΡΠ°Ρ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° β ΡΡΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ°Ρ Π½Π°ΡΠΊΠ°, Π² ΠΏΠΎΠ·Π½Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π½Π΅Ρ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡ. Π― Π²ΡΠ±ΡΠ°Π»Π° ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ Π½Π΅ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΠΎ, ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π·Π°ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΎΠ²Π°Π»ΠΎ ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Β«Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΒ» Π²ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π·Π° ΡΠ°ΠΌΠΊΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π°ΡΠΊΠΈ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ, ΠΈ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ°Π΅Ρ Π½Π°Ρ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π²Π΅Π·Π΄Π΅. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π·Π½Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ, Ρ Π΄ΡΠΌΠ°Ρ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ° ΡΠ΅ΠΌΠ° Π²Π΅ΡΡΠΌΠ° Π°ΠΊΡΡΠ°Π»ΡΠ½Π°. Π ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ, Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ, ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ Π½Π°ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±Π»ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Β«Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΒ». ΠΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΎΠ± ΡΡΠΎΠΌ Ρ ΡΠ°ΡΡΠΊΠ°ΠΆΡ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅.
Π¦Π΅Π»ΡΠΌΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠ° ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π²ΡΠΊΠΎΠ² ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ, ΡΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π² ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎΠΌ, Π²ΡΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠ° Π²Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ°ΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΠΈΡΡ.
ΠΡΡΠΎΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ
ΠΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΡΡΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠΉ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. ΠΠ²ΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΠ»Π°ΡΡ Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°ΡΡ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ Π² ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ, ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ, Π° ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π² ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΠΊΠ΅.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅. Π‘Π°ΠΌ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ Β«Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΒ» Π²ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»ΡΡ Π² 1845 Π³ΠΎΠ΄Ρ Ρ ΠΈΡΠ»Π°Π½Π΄ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΈ Π°ΡΡΡΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ° Π£ΠΈΠ»ΡΡΠΌΠ° ΠΠ°ΠΌΠΈΠ»ΡΡΠΎΠ½Π° (1805 β 1865) Π² ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ, ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΠ°ΠΌΠΈΠ»ΡΡΠΎΠ½Ρ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ Β«ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΒ», Β«ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅Β», Β«Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅Β». ΠΠΎΡΡΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ Π½ΠΈΠΌ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ» Π½Π΅ΠΌΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΠ΅ΡΠΌΠ°Π½ ΠΡΠ°ΡΡΠΌΠ°Π½ (1809 β 1877). ΠΠ½Π³Π»ΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ½ Π£ΠΈΠ»ΡΡΠΌ ΠΠ»ΠΈΡΡΠΎΡΠ΄ (1845 β 1879) ΡΡΠΌΠ΅Π» ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π΄Π²Π° ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄Π° Π² ΡΠ°ΠΌΠΊΠ°Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠΉ Π² ΡΠ΅Π±Ρ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π ΠΎΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π²ΠΈΠ΄ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠ»ΠΎ Π² ΡΡΡΠ΄Π°Ρ Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΊΠ°Π½ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΠΆΠΎΠ·Π°ΠΉΠΈ Π£ΠΈΠ»Π»Π°ΡΠ΄Π° ΠΠΈΠ±Π±ΡΠ° (1839 β 1903), ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π² 1901 Π³ΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠΏΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π» ΠΎΠ±ΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρ.
ΠΠΎΠ½Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΡΠ»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΠ»Π΅ΡΠΈΡ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΈΠΌ ΡΠ°Π·Π²ΠΈΡΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, ΠΎΠ±ΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°. ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠ³ΡΠ°ΡΡ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΎΠ»Ρ Π² ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅.
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ ΡΠ°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π΄Π΅Π»ΠΎ Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΡΡΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΈΠ»Π°, ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Ρ., Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΡΡΡΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Ρ ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Π ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ Ρ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΠΌΠΈ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΡΠ°Π»ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· Π²Π΅Π΄ΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠΉ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΡΠ° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΠ. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΌΠ°Π»ΡΠΌΠΈ Π»Π°ΡΠΈΠ½ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π±ΡΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ ΡΠΎ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ (ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° - ΡΡΡΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ) Π½Π°Π΄ Π½ΠΈΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ .
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΡ (ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΡ), ΡΡΠΎ, ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΏΡΠΎΡΡΠ½ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΡ (Π»Π°Ρ. vector, Π½Π΅ΡΡΡΠΈΠΉ). ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-ΡΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°: ΡΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΠ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡ, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅Ρ Π² ΡΠΎΡΠΊΡ Π, ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡ, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π² Π, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ ΠΠ.
ΠΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΠ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° ΠΠ, Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΠΠ. Π ΠΎΠ»Ρ Π½ΡΠ»Ρ ΡΡΠ΅Π΄ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈΠ³ΡΠ°Π΅Ρ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ; Π΅ΠΌΡ, Π² ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π½Π° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ , Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ. ΠΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΎΠ½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π² ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ.
ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ
ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΠ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° ΠΠ. ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΠ. Π§Π΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ:
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
Π ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ :
){\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})}
ΠΠ»Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΡΠΌΠΌΡ {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}}c = ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° (ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ), ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π²ΡΠ΅ Π΄Π°ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ΠΉ.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠ°. Π―ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠΎΠ² {\displaystyle {\vec {a}}} ΠΈ {\displaystyle {\vec {b}}} Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ΅ΠΌ ΠΆΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π·Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠ° {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}}, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ. ΠΠ»Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²{\displaystyle {\vec {a}}} ΠΈ {\displaystyle {\vec {b}}} ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ±Π° ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΡΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΈΠΌ ΡΠ΅Π±Π΅ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π»ΠΎ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΡΠΌΠΌΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π²ΡΠ΅Π³ΠΎΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΡΠΈΡΡΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
ΠΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎ ΠΈ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Ρ Π² ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π»ΠΎΠΌΠ°Π½ΠΎΠΉ :
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°
ΠΠ°ΡΠ°Π»ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ, Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ - Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΡΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅, ΡΡΠΌΠΌΠ° ΠΆΠ΅ {\displaystyle n} Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ, ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡΠΈΠΌ Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ, ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡΠΈΠΌ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ {\displaystyle n}- Π³ΠΎ (ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠΌ, Π·Π°ΠΌΡΠΊΠ°ΡΡΠΈΠΌ Π»ΠΎΠΌΠ°Π½ΡΡ). Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ Π»ΠΎΠΌΠ°Π½ΠΎΠΉ.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°
ΠΠ»Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² {\displaystyle {\vec {a}}} ΠΈ {\displaystyle {\vec {b}}} ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΎΠ±Π° ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΡΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΈΠΌ ΡΠ΅Π±Π΅ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π»ΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΡΠΌΠΌΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡΡΡ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈΠ· ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π°.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±Π½ΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΡΠ°Π·Ρ ΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΊ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠ΅, ΠΊ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ ΠΎΠ±Π° ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ - ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΌΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ.
ΠΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΠ»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ Π½Π°Π΄ΠΎ Π²ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²:
β {\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{x}-b_{x},a_{y}-b_{y},a_{z}-b_{z})}
ΠΠ»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}} Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡΡΡ ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° {\displaystyle {\vec {c}}} Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ {\displaystyle {\vec {b}}}, Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ - ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ {\displaystyle {\vec {a}}}. ΠΡΠ»ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΠΎ AC-AB=BC{\displaystyle {\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {BC}}}.
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° {\displaystyle {\vec {a}}} Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ {\displaystyle \alpha 0}, Π΄Π°ΡΡ ΡΠΎΠ½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π² {\displaystyle \alpha } ΡΠ°Π· Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° {\displaystyle {\vec {a}}} Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ {\displaystyle \alpha , Π΄Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π² {\displaystyle \alpha } ΡΠ°Π· Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π½Π° ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ:
{\displaystyle \alpha {\vec {a}}=(\alpha a_{x},\alpha a_{y},\alpha a_{z})}
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΡΠΌΠ΅ΠΆΠ½ΡΡ Π½Π°ΡΠΊΠ°Ρ ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π² ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ - ΠΌΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ. ΠΠ° ΡΠ·ΡΠΊΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΡΡΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΡ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΡΡΠΈΡΡΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ. Π ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ β ΡΡΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΌΠ°Π»ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½, ΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΡ ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠΈΠ»Π°, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π²ΡΠ°ΡΠ°ΡΡΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ, ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π² Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ΅ ΠΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ Π±Π°ΡΠ½Ρ ΠΠ²Π°Π½Π° ΠΠ½Π΄ΡΠ΅Π΅Π²ΠΈΡΠ° ΠΡΡΠ»ΠΎΠ²Π° ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Β«Π»Π΅Π±Π΅Π΄Ρ, ΡΠ°ΠΊ Π΄Π° ΡΡΠΊΠ° Π²Π΅Π·ΡΠΈ Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ»Π°ΠΆΠ΅ΠΉ Π²ΠΎΠ· Π²Π·ΡΠ»ΠΈΡΡΒ». ΠΠ°ΡΠ½Ρ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Β«Π²ΠΎΠ· ΠΈ Π½ΡΠ½Π΅ ΡΠ°ΠΌΒ», Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡΠ°Ρ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠΈΠ» ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΊ Π²ΠΎΠ·Ρ ΡΠΈΠ» ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ. Π ΡΠΈΠ»Π°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π² Ρ ΠΈΠΌΠΈΠΈ
ΠΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΊΠΎ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ΅Π½ΡΠΌΠΈ Π²ΡΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π»Π°ΡΡ ΠΌΡΡΠ»Ρ, ΡΡΠΎ Ρ ΠΈΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ΅Π°ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ. ΠΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅-ΡΠΎ, ΠΏΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Β«Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΒ» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅ΡΡΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ΅Π΅ ΡΠ΅ΡΠΊΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΈ Π² ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ , ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ. ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡΠΈΠΌΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΎΡΡΠΌΠΈ, Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π° (Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° β ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ°.
ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Ρ ΠΈΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ΅Π°ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ, Π΄ΠΎ ΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡ Π±ΡΠ»ΠΎ Π½Π΅ΡΠΎΡΠ½ΠΎ. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ: Β«ΠΡΠ±ΠΎΠΉ Ρ ΠΈΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅Π°ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ°Π΅Ρ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Ρ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ² Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ² (ΠΌΠΎΠ»Π΅ΠΉ), ΠΌΠ°ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ²Β».
ΠΡΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ Ρ ΠΈΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ΅Π°ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. ΠΡΠ±ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Π½Π΅ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ, Π½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ Ρ ΠΈΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅Π°ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, ΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Ρ ΠΈΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅Π°ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ. ΠΠ°ΡΠ°Π»ΠΎ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄: Π»ΡΠ±Π°Ρ Ρ ΠΈΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ΅Π°ΠΊΡΠΈΡ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΅Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π² Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ (Π² Π³Π΅Π½Π΅ΡΠΈΠΊΠ΅) - ΠΌΠΎΠ»Π΅ΠΊΡΠ»Π° Π½ΡΠΊΠ»Π΅ΠΈΠ½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠΈΡΠ»ΠΎΡΡ, ΡΠ°ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΠΠ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ Π² Π³Π΅Π½Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΠΈΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°ΡΠΈ Π³Π΅Π½Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΠΊΠ»Π΅ΡΠΊΠ΅.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π² ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΊΠ΅
ΠΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² Π²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°. ΠΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠ°. Π‘ΡΠ΅Π΄ΠΈ Π½ΠΈΡ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». Π§ΠΈΡΠ»Π° Π² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ΅ Ρ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ ΠΈΡ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡ Π² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. ΠΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΡΠΎΠ΄Ρ, Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅ ΠΈ ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°Π±ΡΠΈΠΊΠ° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π²ΡΠΏΡΡΡΠΈΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρ ΡΠΌΠ΅Π½Ρ 30 ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π±Π΅Π»ΡΡ, 150 ΠΏΠΎΠ»ΠΎΡΠ΅Π½Π΅Ρ, 100 Π΄ΠΎΠΌΠ°ΡΠ½ΠΈΡ Ρ Π°Π»Π°ΡΠΎΠ², ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, Π³Π΄Π΅ Π²ΡΡ, ΡΡΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π²ΡΠΏΡΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π±ΡΠΈΠΊΠ° β ΡΡΠΎ ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π² ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ
ΠΠ° ΡΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½ΡΡΠ½ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π½Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ³ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΡ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΏΠΎΠ·Π½Π°Π½ΠΈΡ, Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΠ°Π·Π²ΠΈΡΠΈΡ. Π Π½Π΅ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΠ°Π΅Ρ ΠΏΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡ, Π² Π½Π΅ΠΉ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ 8 Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π² ΠΏΠΎΠ²ΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π²Π½ΠΎΠΉ ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ
Π― ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠ»Π° Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΠΏΠΎΠΌΠΈΠΌΠΎ ΡΠΎΡΠ½ΡΡ Π½Π°ΡΠΊ, Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΌΠ½Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ Π΄Π΅Π½Ρ. Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ»ΠΊΠΈ Π² ΠΏΠ°ΡΠΊΠ΅, Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠ»Π°, ΡΡΠΎ Π΅Π»Ρ, ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅: Π½ΠΈΠΆΠ½ΡΡ Π΅Ρ ΡΠ°ΡΡΡ β Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, Π° Π²Π΅ΡΡ ΡΡΠΊΠ° Π΄Π΅ΡΠ΅Π²Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. Π Π²ΡΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ Ρ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ ΠΌΠ°Π³Π°Π·ΠΈΠ½ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΡ Π½Π°ΠΌ Π±ΡΡΡΡΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠ΄Π΅Π» ΠΈ ΡΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π² Π·Π½Π°ΠΊΠ°Ρ Π΄ΠΎΡΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ Π΄Π΅Π½Ρ, Π²ΡΡ ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· Π΄ΠΎΠΌΠ°, ΠΌΡ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠΌΡΡ ΡΡΠ°ΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π΄ΠΎΡΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠΎΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π° Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² ΡΠΎΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»Ρ. Π Π½Π°ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½Ρ, ΡΡΠΎ, ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ, Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π½Π΅ ΠΎΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡΡΡ Π½Π° Π±Π΅Π·ΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΡΠ°ΡΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π΄ΠΎΡΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°ΡΡ ΠΊΠ°Π·ΡΡΠΎΠ² Π½Π° Π΄ΠΎΡΠΎΠ³Π΅, ΡΡΠΎΠΈΡ ΡΠΎΠ±Π»ΡΠ΄Π°ΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΎΡΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΎ Π½Π΅ ΡΡΠΎΠΈΡ Π·Π°Π±ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ Π² ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ Π²ΡΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ ΠΈ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΠΈΡ Π·Π½Π°ΠΊΠ°Ρ Π΄ΠΎΡΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ β Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΡΠΈ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ (Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ) ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π½Π°ΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π·Π΄Π°, ΠΈ Π΅ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ΅. ΠΡΡ ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊΠ°Ρ Π΄ΠΎΡΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΎΠ±ΠΎΡΠΈΠ½Π°Ρ Π΄ΠΎΡΠΎΠ³.
ΠΠ°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Β«Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΒ», ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΌΠΈ Π΅ΡΡ Π½Π° ΡΡΠΎΠΊΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π² ΡΠΊΠΎΠ»Π΅, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π°Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ Ρ ΠΈΠΌΠΈΠΈ, ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ, ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ Π½Π°ΡΠΊ. Π― Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π°Ρ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π½ΡΠΆΠ½ΡΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ, ΡΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΎΠ½ΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π² Π·Π½Π°ΠΊΠ°Ρ Π΄ΠΎΡΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠ²ΠΎΠ΄Ρ
ΠΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎ ΡΡΠ°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ Π² ΠΏΠΎΠ²ΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π²Π½ΠΎΠΉ ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ Π½Π°ΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ, Π½ΠΎ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ Π½Π°ΡΠΊ.
ΠΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π·Π½Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ.
ΠΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ
ΠΠ°ΡΠΌΠ°ΠΊΠΎΠ² Π.Π. Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ?-2-Π΅ ΠΈΠ·Π΄., ΡΡΠ΅Ρ.- Π.: ΠΠ²Π°Π½Ρ, 1976.-221Ρ.
ΠΡΠ³ΠΎΠ΄ΡΠΊΠΈΠΉ Π.Π―. Π‘ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅.-3-Π΅ ΠΈΠ·Π΄., ΡΡΠ΅Ρ. - Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 1978.-186Ρ.
ΠΡΡΡΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π.Π. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° Π² ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ .-2-Π΅ ΠΈΠ·Π΄., ΡΡΠ΅Ρ.- Π.: ΠΡΡΡΠ°Ρ ΡΠΊΠΎΠ»Π°, 1985.-302Ρ.
ΠΠ°ΠΉΡΠ΅Π² Π.Π. ΠΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°. ΠΠΎΠ²ΡΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΡΡΡ.-3-Π΅ ΠΈΠ·Π΄., ΡΡΠ΅Ρ.- Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°,1976.-156Ρ.
ΠΠΎΠΊΡΠ΅ΡΠ΅Ρ Π.Π‘. ΠΠΎΠ²ΡΠ΅ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠΈ Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠ΅ΠΉ.-2-Π΅ ΠΈΠ·Π΄., ΡΡΠ΅Ρ. - Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°,1978.-324Ρ.
ΠΠΎΠ³ΠΎΡΠ΅Π»ΠΎΠ² Π.Π. ΠΠ½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ.- 3-Π΅ ΠΈΠ·Π΄., ΡΡΠ΅Ρ. - Π.: ΠΠ²Π°Π½Ρ,1968.-235Ρ.
Π‘ΡΠΌΠΌΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. ΠΠΎΡΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π΄ΡΡΠ·ΡΡ, Π² ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π΅ ΡΠΈΠΏΠΎΠ² Π·Π°Π΄Π½ΠΈΠΉ ΡΠΊΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½Π° ΠΏΡΠΈΡΡΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π³ΡΡΠΏΠΏΠ° Π·Π°Π΄Π°Ρ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠ°Π΄Π°Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° (Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ). ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΡΡΠ½ΠΎ. ΠΠΎΠΏΡΠΎΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Ρ Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΡΡΠΌΠΌΡ (ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΈΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΡ ΡΠ΅ΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π΅ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ, ΠΈ Π΅Ρ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΎ ΡΡΠ²ΠΎΠΈΡΡ. Π ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ ΡΠ°Π·Π±Π΅ΡΡΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΡΠΌΠΌΡ (ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ:
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ β ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ.
ΠΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ.
*ΠΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ°Π²Π½Ρ!
Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ Π½Π°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠΎ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠ°Π²Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π±Π΅ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ.
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ Π»Π°ΡΠΈΠ½ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π·Π°Π³Π»Π°Π²Π½ΡΠΌΠΈ Π±ΡΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
ΠΡΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π±ΡΠΊΠ²Π° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΠ°Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π±ΡΠΊΠ²Π° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΠ°Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
ΠΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π±ΡΠΊΠ²ΠΎΠΉ Π»Π°ΡΠΈΠ½ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π»ΡΠ°Π²ΠΈΡΠ° (ΠΏΡΠΎΠΏΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ):
ΠΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅Π· ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ:
Π‘ΡΠΌΠΌΠΎΠΉ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΠ ΠΈ ΠΠ‘ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΠ‘ .
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΠ +ΠΠ‘ =ΠΠ‘ .
ΠΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ β ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° .
Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° β Π½Π°Π·ΠΎΠ²ΡΠΌ ΠΈΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎ (1) ΠΈ (2), ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° (1) ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° (2), ΡΠΎ ΡΡΠΌΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° (1), Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° (2).
ΠΡΠ²ΠΎΠ΄: Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΡΠΎ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ. ΠΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
ΠΠ΅ΡΠ΅Π½Π΅ΡΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ b , ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎ-Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌΡ β ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ Π΅ΠΌΡ:
ΠΠ°ΠΊ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠ° Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²? ΠΠΎ ΡΠΎΠΌΡ ΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΡ:
* * *
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°
ΠΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ΅.
ΠΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Ρ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΌ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΠ° ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ .
ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ b ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π»ΠΎ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a , ΠΈ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΠΎΠΉ:
ΠΡΡ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ, Π½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ:
ΠΡΠ° ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΊΡΠ°ΠΉΠ½Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Π° Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠΎΠΈΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ ΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅, ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΡΠΎ ΡΠ° ΠΆΠ΅ ΡΡΠΌΠΌΠ° Π² ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅.
ΠΡΡΡΡ Π΄Π°Π½Ρ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, Π½Π°ΠΉΠ΄ΡΠΌ ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ:
ΠΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ b, ΠΈ Π½Π°ΡΠ»ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ.
ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° Π²ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Π°:
Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ, ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
ΠΡΠ»ΠΈ
Π ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΈΠ΄:
Π’ΠΎ c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2
ΠΡΠ»ΠΈ
Π’ΠΎ c 1 = a 1 β b 1 c 2 = a 2 β b 2
ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π°, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ°:
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ:
ΠΠ²Π΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ABCD ΡΠ°Π²Π½Ρ 6 ΠΈ 8. ΠΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΠ ΠΈ ΠΠ .
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΠΠ βΠΠ:
ΠΠ βΠΠ =ΠΠ +(βΠΠ )=ΠΠ
Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΠ ΠΈ ΠΠ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΠ. Π Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΡΠ°Π²Π½Π° Π²ΠΎΡΡΠΌΠΈ.
ΠΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΡΠΎΠΌΠ±Π° ABCD ΡΠ°Π²Π½Ρ 12 ΠΈ 16. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΠ +AD .
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² AD ΠΈ AB BC ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ AD . ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ AB +AD =AB +BC =AC
AC ΡΡΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΡΠΎΠΌΠ±Π° ΠΠ‘ , ΠΎΠ½Π° ΡΠ°Π²Π½Π° 16.ΠΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΡΠΎΠΌΠ±Π° ABCD ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ O ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ 12 ΠΈ 16. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΠ +ΠΠ .
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΠ ΠΈ ΠΠ ΠΠ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ OD, Π· Π½Π°ΡΠΈΡ
AD ΡΡΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΠΎΠΌΠ±Π°. ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ·Ρ Π² ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ΅ AOD. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡ:ΠΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ°:
ΠΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΡΠΎΠΌΠ±Π° ABCD ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ O ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ 12 ΠΈ 16. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΠ βΠΠ .
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΠΠ βΠΠ :
ΠΠ ΡΡΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΠΎΠΌΠ±Π°. ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ·Ρ ΠΠ Π² ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ΅ AOB. Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡ:ΠΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ°:
Π‘ΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC ΡΠ°Π²Π½Ρ 3.
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΠ βΠΠ‘ .
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΡΠΌ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²:
Π‘Π ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΡΠΌ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΠ°Π²Π½Ρ 3.27663. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π° (6;8).
27664. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΠ .
ΠΠΠΠ’ΠΠ
Π ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ - ΡΡΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Ρ
Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΌΠ°Π»ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΡ
Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½, ΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΡ
ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠΈΠ»Π°, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π²ΡΠ°ΡΠ°ΡΡΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ, ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ. ΠΡ
ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°ΠΌ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ°ΡΡΠ°, ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ, Π΄Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ° ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ, ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠ½ΠΈ "ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ°ΠΌΠΈ". ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΌΡ Ρ
ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠ° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊΠΈΠ»ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π΄ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠ°, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ ΡΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΎΠ½ Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠ° Ρ
Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² ΠΊΠΈΠ»ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ
) ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΡ
ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ² ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° ΡΠΈΡ. 1. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠΈΠ»Ρ Π² ΠΏΡΡΡ ΠΊΠΈΠ»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΎΠ², Π½Π°Π΄ΠΎ Π½Π°ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π² ΠΏΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΡΠΈΠ»Ρ. Π‘ΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΠ»Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΎΡ A ΠΊ B; Π΅ΡΠ»ΠΈ Π±Ρ ΡΠΈΠ»Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π»Π° ΠΎΡ B ΠΊ A, ΡΠΎ ΠΌΡ Π±Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π»ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΠ»Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ±ΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΆΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΏΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π±ΡΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ (A, B, C ΠΈ ΡΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅); Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ A ΠΈ -A ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ. Π§ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Π΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ A ΠΈΠ»ΠΈ |A|. ΠΡΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ, Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ O.
ΠΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ (ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ), Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΡ
ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»ΠΈ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ. Π ΠΌΠ΅Ρ
Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ Ρ ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π²Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΡΡ
ΡΠΈΠ»Ρ, ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΊ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌ ΡΠ΅Π»Π° Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΊ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ°ΠΌ. Π ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Ρ ΡΡΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ Π½Π° "ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠ΅" ΠΈΠ»ΠΈ "ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΠΈΠ΅", ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ: Π‘Π²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. Π‘Π²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ Π½ΠΈΡ
ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»ΠΈ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΠΈΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ.
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠ΄Π΅Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»Π° ΠΈΠ· ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ Π²ΠΎΠ·Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΈ Π΄Π²Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅. ΠΡΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠΏΠ°ΡΡΡ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ, Π½Π°ΠΌ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΉΡΠΈ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° A ΠΊΠΈΠ»ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ B ΠΊΠΈΠ»ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² Π² Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ Π΄ΠΎΡΡΠΈΡΡ Π½Π°ΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΡΠΎΠΉΠ΄Ρ C ΠΊΠΈΠ»ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² Π² ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ (ΡΠΈΡ. 2). Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΌΡΡΠ»Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ
A + B = C.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ C Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ "ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ" A ΠΈ B, ΠΎΠ½ Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠΌ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅; Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ A ΠΈ B ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ, Π° C - Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Ρ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡΠ°Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ Π ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ Π. ΠΠ· ΡΠΈΡ. 2 Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² "ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ", Ρ.Π΅. A + B = B + A. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ ΠΈΡ "Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠΉ", ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡ. 3 Π΄Π»Ρ ΡΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² D, E ΠΈ F. ΠΠ· ΡΠΈΡ. 3 ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ
(D + E) + F = D + (E + F), Ρ.Π΅. ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ. Π‘ΡΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ. ΠΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, A - B = A + (-B), Π³Π΄Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ»ΠΎΡΡ ΡΠ°Π½Π΅Π΅, -B - Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ Π ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ, Π½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΡΡΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°; ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΈ ΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ ; ΡΠΈΠ»Ρ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ ΠΈΠ· "ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠΈΠ»". ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠ°ΠΊ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ, Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΡΡΡΡ ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ mA ΠΈΠ»ΠΈ Am, Π³Π΄Π΅ m (m β 0) - ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ, Π° A - Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π² m ΡΠ°Π· Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Π΅Π΅ A ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎ ΠΈ A, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ m ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ m ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡ. 4, Π³Π΄Π΅ m ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 2 ΠΈ -1/2 ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, 1A = A, Ρ.Π΅. ΠΏΡΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° 1 Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ. ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° -1A - Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ A ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅, Π½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ -A. ΠΡΠ»ΠΈ Π - Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈ(ΠΈΠ»ΠΈ) m = 0, ΡΠΎ mA - Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΡΠΈΠ±ΡΡΠΈΠ²Π½ΠΎ, Ρ.Π΅.
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ
Π½Π΅ Π²Π»ΠΈΡΠ΅Ρ Π½Π° ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ. ΠΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅: Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ°ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π° Π΄Π²Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ "ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ", Ρ.Π΅. Π½Π° Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅, Π±ΡΠ΄ΡΡΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ, Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π΄Π°Π΄ΡΡ ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π½Π° ΡΠΈΡ. 2, A ΠΈ B - ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ C. ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠΏΡΠΎΡΠ°ΡΡΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΠΏΠΎ ΡΡΠ΅ΠΌ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΠΌ. ΠΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΡΡ
ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Ρ ΠΎΡΡΠΌΠΈ Ox, Oy ΠΈ Oz ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡ. 5. ΠΠΎΠ΄ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΡΠΈ x, y ΠΈ z ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ, ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΈ ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ°Π»ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ. ΠΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΌ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠΠ° ΡΠΈΡ. 5, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ A Π½Π° ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΠΈ ΠΠ½ΠΈ Π² ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ A , ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π±Ρ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΠ° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΊ ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡΡ ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π Π½Π° ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΡΠΈ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Ax, Ay ΠΈ Az Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ "ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ" Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° A:
Π³Π΄Π΅ a, b ΠΈ g - ΡΠ³Π»Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ A ΠΈ ΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΎΡΡΠΌΠΈ. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π²Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ i, j ΠΈ k (ΠΎΡΡΡ), ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΡΠΈ x, y ΠΈ z. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, Π΅ΡΠ»ΠΈ Ax ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° i, ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ - ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ ΠΈ
ΠΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ°Π²Π½Ρ ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, A = B ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz. ΠΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ, ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Ρ ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ:
ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ°:
ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ aA + bB, Π³Π΄Π΅ a ΠΈ b - ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΡ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² A ΠΈ B. ΠΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠΉΡΡ Π² ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΡΠΎ A ΠΈ B; Π΅ΡΠ»ΠΈ A ΠΈ B Π½Π΅ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ, ΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ a ΠΈ b Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ aA + bB Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ (ΡΠΈΡ. 6). ΠΡΠ»ΠΈ A, B ΠΈ C Π½Π΅ Π²ΡΠ΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ aA + bB + cC (a, b ΠΈ c ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ) ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Ρ. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ A, B ΠΈ C - Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ i, j ΠΈ k. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ai Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π½Π° ΠΎΡΠΈ x; Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ai + bj ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ xy; Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ai + bj + ck ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Ρ.
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π±Ρ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° i, j, k ΠΈ l ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ A = Axi + Ayj + Azk + Awl
Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ
Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π±Ρ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°ΡΡ Π΄ΠΎ ΠΏΡΡΠΈ, ΡΠ΅ΡΡΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π₯ΠΎΡΡ Π²ΠΈΠ·ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ
ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ Π·Π΄Π΅ΡΡ Π½Π΅ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ. Π’Π°ΠΊΠ°Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π±ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Π°; Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΡΡΠ΅ΠΉΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ P (x, y, z, px, py, pz), ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ - Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ (x, y, z) ΠΈ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡ (px, py, pz). Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ "ΡΠ°Π·ΠΎΠ²ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎΠΌ"; Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΡΠΎ ΡΠ°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ 12-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΈ, ΡΠΎ 18-ΡΠΈ ΠΈ ΡΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅. Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°ΡΡ; ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌΠΈ ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π΄Π΅Π»ΠΎ, Π²Π΅Π΄ΡΡ ΡΠ΅Π±Ρ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π² ΠΎΡΡΠ°Π²ΡΠ΅ΠΉΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠΈ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, ΡΡΠ΅Ρ
ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ.
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΎ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠ΅Ρ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ
Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΡΡ
ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ Π±ΡΠ»ΠΎ Π±Ρ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠΌΡΡΠ» ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ; ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΆΠ΅Π»Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ». Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ Π΄Π²Π° ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡ ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ. Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ
ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ, ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ "ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ" ΠΈΠ»ΠΈ "Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ" Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ AΠ§B ΠΈΠ»ΠΈ (A, B). Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠΉ "Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ" ΠΈΠ»ΠΈ "Π²Π½Π΅ΡΠ½ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ" ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ A*B ΠΈΠ»ΠΈ []. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Π΄Π»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ-, Π΄Π²ΡΡ
- ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ΅Ρ
ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ΅Ρ
ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΈΠ»Ρ F ΡΠΎΡΠΊΠ°, ΠΊ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠ½Π° ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π°, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ r, ΡΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ r ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ F Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ r. ΠΡΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° F cos Π±F, rΡ, Π³Π΄Π΅ Π±F, rΡ - ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ F ΠΈ r, Ρ.Π΅. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° = Fr cos Π±F, rΡ. ΠΡΠΎ - ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ
Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² A, B ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ
A*B = AB cos Π±A, BΡ.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ - ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΡ, ΡΠΎ A*B = B*A; ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ Π΄ΠΈΡΡΡΠΈΠ±ΡΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ: A*(B + Π‘) = A*B + A*Π‘. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ A ΠΈ B ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ, ΡΠΎ cos Π±A, BΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΈ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ, A*B = 0, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½ΠΈ A, Π½ΠΈ B Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ. ΠΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. ΠΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ A*B = A*C Π½Π° A. ΠΡΠΎ Π΄Π°Π»ΠΎ Π±Ρ B = C, ΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π±Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π±Ρ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠ°Π»ΠΎ Π±Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ A*B = A*C Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ A*(B - C) = 0 ΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ (B - C) - Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ (B - C) Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, B Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ C. ΠΡΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠ²ΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ (ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°: A*A = AA*cos 0Β° = A2;
ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ: A = Ax i + Ayj + Azk. ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ
Π’ΠΎΠ³Π΄Π°,
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ x, y ΠΈ z Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΡ
ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠΎΠ², ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΎΡΡ Π±Ρ, Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΡΡ
ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ
ΠΎΡΠ΅ΠΉ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π½Π΅ΡΠ½ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡ
ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Π΅ΠΉ Π½Π° ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π°, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ ΠΈ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠΉ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΡΠΎΠΉΠΊΡ. ΠΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»Π΅Π³ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ, ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ ΠΈ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ. ΠΠ΅ΡΠ²Π°Ρ - Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ; ΠΌΡ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. Π£Π³Π»ΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π²ΡΠ°ΡΠ°ΡΡΠ΅Π³ΠΎΡΡ ΡΠ΅Π»Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ: Π²ΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π»ΡΠ±ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ Π½Π° ΡΠ΅Π»Π΅ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡ ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π΄ΠΎ ΠΎΡΠΈ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ³Π»ΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ΅Π»Π° - ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΡΠ° Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΠ½ΡΠ»Π°ΡΡ Π·Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ - Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΎΠ½Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π§ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ
Π² ΡΠ΅ΠΊΡΠ½Π΄Ρ, Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² ΡΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Π»ΡΡ Π±Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ½Ρ ΠΏΡΠΈ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π»Π° Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡ ΡΡΡ ΠΎΡΡ Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΡΡΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π² ΡΠ²ΠΎΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ Π·Π°ΠΊΡΠ΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΎ Π½Π° ΠΎΡΠΈ, Π²ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π½ΡΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΡΡΠ°, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠ΄Π°ΡΡ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π»Ρ Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΡΡΠ° Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ w1 ΠΈ Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π·Π°ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠ»ΡΡΠΎ (ΠΈ ΡΠ΅Π»ΠΎ) Π²ΡΠ°ΡΠ°ΡΡΡΡ Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ w2. Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 7 ΠΏΠΎΡΡΠ½ΡΠ΅Ρ ΡΡΡΡ Π΄Π΅Π»Π°; ΠΊΡΡΠ³ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎ - ΡΡΠΎ ΡΠ²Π΅ΡΠ΄Π°Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ° Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌ Π ΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠΎΠΌ r.
Π ΠΈΡ. 7. Π‘Π€ΠΠ Π Π‘ Π¦ΠΠΠ’Π ΠΠ O, Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ w1 Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΡΡΠ° BC, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅, Π² ΡΠ²ΠΎΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ, Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΡΡΠ° DE Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ w2. Π‘ΡΠ΅ΡΠ° Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΡΡ
ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ POP" Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΈ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠΎΡ.
ΠΡΠΈΠ΄Π°Π΄ΠΈΠΌ ΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ΅Π»Ρ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠΎΠΉ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΡΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉ. ΠΡΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎ, Π½ΠΎ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ΅Π»ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π½Π΅ Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π²ΡΠ΅-ΡΠ°ΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΡΠΎ, Π²ΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ P Π½Π° ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ΅Π»Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π² ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠΉ Π½Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π½Π° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΌ ΠΊΡΡΠ³Π΅, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π΄Π²Π΅ ΠΎΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡ. ΠΠΏΡΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΡ ΠΈΠ· P Π½Π° ΠΎΡΠΈ. ΠΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΡ ΡΡΠ°Π½ΡΡ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠ°ΠΌΠΈ PJ ΠΈ PK ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ PQRS ΠΈ PTUW ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΡΠΌΡΡ POPΡ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠ΅Π½ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡ. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° P, Π² ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡΠΌ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΎΠΏΡΠΈΠΊΠ°ΡΠ°ΡΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ P. ΠΠ° ΠΌΠ°Π»ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π» Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Dt, P ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ
Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠΎΡΠΊΠ° P Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΈ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠΎΡ, ΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ POP". ΠΡΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π² Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ (ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π½Π΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΡΡΡ, Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΡΡ). POPΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΡΡ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΡ, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡΠΎΠΌΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠ»Π΅ΡΠΎ, ΠΊΠ°ΡΡΡΠ΅Π΅ΡΡ ΠΏΠΎ Π΄ΠΎΡΠΎΠ³Π΅ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. Π§Π΅ΠΌΡ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΠ³Π»ΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡ? ΠΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ A, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΡΡ w1 ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ
Π½ΠΎΡΡΡ. Π ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ, ΠΎΠ½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π·Π° Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Dt Π½Π° ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅
ΠΠΎ ΠΊΡΡΠ³Ρ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠ° r sin w1. ΠΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ³Π»ΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
ΠΠ· ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ (1) ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ
ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΎ Π²ΡΡΠ΅, ΡΠΎ ΡΡΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Ρ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ²ΡΠ΅. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅; ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ΅Π»ΠΎ, Π²ΡΠ°ΡΠ°ΡΡΠ΅Π΅ΡΡ Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ w. ΠΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π»ΡΠ±ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ P Π½Π° ΡΠ΅Π»Π΅ ΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π½Π° ΠΎΡΠΈ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΡΡΡ r - Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΡ Π ΠΊ P. Π’ΠΎΡΠΊΠ° P Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ V = w r sin (w, r). ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ V ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΊ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π° ΡΠΈΡ. 8.
ΠΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ V ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΎΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² w ΠΈ r. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π½ΠΎΠ²ΡΠΉ Π²ΠΈΠ΄ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ: V = w * r. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ. ΠΠ»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² A ΠΈ B, Π΅ΡΠ»ΠΈ A * B = C, ΡΠΎ C = AB sin Π±A, BΡ, ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° C ΡΠ°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π ΠΈ B ΠΈ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡΠ΅ΠΌ Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠ²ΡΠ°ΡΠ°ΡΡΠ΅Π³ΠΎΡΡ Π²ΠΈΠ½ΡΠ°, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅Π½ C ΠΈ Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡ A ΠΊ B. ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ A, B ΠΈ C, ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π² ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΡΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΠΎΡΠ΅ΠΉ. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π½ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ; Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ B * A ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ, ΡΡΠΎ ΠΈ A * B, Π½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ: A * B = -B * A. ΠΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΡΠΈΠ±ΡΡΠΈΠ²Π½ΠΎ, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ; ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ
ΠΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ, Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° A, A * A = AA sin 0 = 0.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², i * i = j * j = k * k = 0 ΠΈ i * j = k, j * k = i, k * i = j. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°,
ΠΡΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ:
ΠΡΠ»ΠΈ A * B = 0, ΡΠΎ Π»ΠΈΠ±ΠΎ A ΠΈΠ»ΠΈ B ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 0, Π»ΠΈΠ±ΠΎ A ΠΈ B ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ. ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° A * B ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ A ΠΈ B. ΠΡΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ B sin Π±A, BΡ - Π΅Π³ΠΎ Π²ΡΡΠΎΡΠ° ΠΈ A - ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ
ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ. ΠΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΎΠΌΠ°Π³Π½Π΅ΡΠΈΠ·ΠΌΠ° ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΠΎΠΉΡΠΈΠ½Π³Π° P. ΠΡΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ: P = E * H, Π³Π΄Π΅ E ΠΈ H - Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ P ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΠΎΡΠΎΠΊ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠΈ Π² Π²Π°ΡΡΠ°Ρ
Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ΅ΡΡ Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅. ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π΅ΡΠ΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ²: ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΠΈΠ»Ρ F (ΠΊΡΡΡΡΡΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ) ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π° ΡΠΎΡΠΊΡ, ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ r, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ r * F; ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ°, Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΡΡΠ°ΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ r, ΠΌΠ°ΡΡΠΎΠΉ m ΠΈ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ V, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ mr * V ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ; ΡΠΈΠ»Π°, Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡΠ°Ρ Π½Π° ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡ, Π½Π΅ΡΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π·Π°ΡΡΠ΄ q ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅ B ΡΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ V, Π΅ΡΡΡ qV * B.
Π’ΡΠΎΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ· ΡΡΠ΅Ρ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ: Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ (A*B) * C; Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ (A * B) * C; ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ (A * B)*C. ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΠΈΠΏ - ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° C ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ° A*B; ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡΡ
ΠΌΡ ΡΠΆΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠ»ΠΈ. ΠΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΈΠΏ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ; Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ A * B ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π³Π΄Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ A ΠΈ B, ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ (A * B) * C - Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠΉ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ A ΠΈ B ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ C. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, (A * B) * C Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ A * (B * C). ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°Π² A, B ΠΈ C ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΈΡ
ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ (ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ) ΠΏΠΎ ΠΎΡΡΠΌ x, y ΠΈ z ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ², ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ A * (B * C) = B * (A*C) - C * (A*B). Π’ΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΡΠΈΠΏ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ°Ρ
ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π² ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΡΠ²Π΅ΡΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π»Π°, ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° Ρ ΡΠ΅Π±ΡΠ°ΠΌΠΈ A, B, C. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ (A * B)*C = A*(B * C), Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ (A B C). ΠΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ (A B C) = 0, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π = 0 ΠΈΠ»ΠΈ (ΠΈ) Π = 0 ΠΈΠ»ΠΈ (ΠΈ) Π‘ = 0.
ΠΠΠ€Π€ΠΠ ΠΠΠ¦ΠΠ ΠΠΠΠΠΠ ΠΠΠΠ’ΠΠ Π
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ U ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ t. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, U ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΈΠ· Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π΄ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π° t - Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ. ΠΡΡΡΡ t ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ Π½Π° Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡΡΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Dt, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ U Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ DU. ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡ. 9. ΠΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ DU/Dt - Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π² ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΈ DU. ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ U ΠΏΠΎ t, ΠΊΠ°ΠΊ
ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ. Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ U ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ ΠΏΠΎ ΡΡΠ΅ΠΌ ΠΎΡΡΠΌ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ
ΠΡΠ»ΠΈ U - ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ r, ΡΠΎ dr/dt - ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ΠΡΠΎΠ΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π² ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π΅ΡΠ΅ ΡΠ°Π·, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΡΠΈΡ. 10. ΠΡΡΡΡ s - ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅, ΠΏΡΠΎΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ. Π ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π° Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Dt ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΡΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ Ds Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ; ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ Π½Π° Dr. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Dr/Ds - Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ Dr. ΠΠ°Π»Π΅Π΅
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ Dr - ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
Π΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ. ΠΡΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Q ΠΊ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ P, PQ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Dr ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊ Ds. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ; ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π½ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ ΡΠΎΡ
ΡΠ°Π½Π΅Π½. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ,
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΡΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Ρ. ΠΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ.
Π ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π΄Π΅Π»ΠΎ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΊ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ "ΠΏΠΎΠ»ΡΠΌΠΈ". ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ; Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ Π΄Π²ΠΈΠΆΡΡΠ΅ΠΉΡΡ ΠΆΠΈΠ΄ΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΎΡΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π·Π°ΡΡΠ΄ΠΎΠ². ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π»ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, ΡΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ P (x, y, z) Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ r (= xi + yj + zk) ΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ U (r) ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ° f (r), ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΡ
Ρ Π½ΠΈΠΌ. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ U ΠΈ f ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎ; Ρ.Π΅. ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° U ΠΈΠ»ΠΈ f, Ρ
ΠΎΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ, ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ Ρ
ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ, Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ U ΠΈ f ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ. ΠΡΠΎΡΡΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ dU/dx ΠΈ df/dy, Π½Π°Ρ Π½Π΅ ΡΡΡΡΠ°ΠΈΠ²Π°ΡΡ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡ ΠΎΡ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΡΡ
ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ
ΠΎΡΠ΅ΠΉ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡ, Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΠΉ ΠΎΡ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠ° ΠΎΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ; ΡΡΠΎΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ "Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ". ΠΡΡΡΡ ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎ ΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ f. Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΠ½ΡΡ ΠΊΠ°ΡΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΡΡΡΠ°Π½Ρ. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ f - Π²ΡΡΠΎΡΠ° Π½Π°Π΄ ΡΡΠΎΠ²Π½Π΅ΠΌ ΠΌΠΎΡΡ; ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈ ΡΠ΅ΠΌ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ f. ΠΡΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ
Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ f Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ; Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°ΡΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΈΠΌ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡΠΌ, ΡΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ f Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ. ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ f; ΡΠ°ΠΊΠ°Ρ ΠΊΠ°ΡΡΠ° ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ Π½Π° ΡΠΈΡ. 11. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠ΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»Ρ, ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ f. ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ "Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ" f, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ grad f ΠΈΠ»ΠΈ Π‘f (ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» Π‘ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ "Π½Π°Π±Π»Π°").
Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡΠΌΠΈ. ΠΠ°Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Dr (= iDx + jDy + kDz) ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ f, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ
Π³Π΄Π΅ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ»Π΅Π½Ρ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΈΡ
ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ². ΠΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΠΈ Π»Π΅Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π½Π° Ds, ΠΈ ΠΏΡΡΡΡ Ds ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ Π½ΡΠ»Ρ; ΡΠΎΠ³Π΄Π°
Π³Π΄Π΅ dr/ds - Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ. ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΡΡΠ³Π»ΡΡ
ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ
- Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡΠΈΠΉ ΠΎΡ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, df/ds ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° dr/ds ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π² ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎΡΡΠ΅Π΅ Π² ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ
, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ,
- Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ ΠΏΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅ ΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ f ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. ΠΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ f ΡΠ°ΡΡΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅
ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡ Π‘ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΠΌ ΠΏΠΎ ΡΠ΅Π±Π΅. ΠΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ
ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ
ΠΎΠ½ Π²Π΅Π΄Π΅Ρ ΡΠ΅Π±Ρ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈ ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ "Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠΌ" - ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΡ
Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅. ΠΠ΅ΡΠΌΠΎΡΡΡ Π½Π° ΡΠΎ, ΡΡΠΎ Π‘ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ i, j ΠΈ k, Π΅Π³ΠΎ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. ΠΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° ΡΠ²ΡΠ·Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π‘f ΠΈ f? ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ f ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅. ΠΡΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΌ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Dr Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° f ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ Π½Π°
ΠΡΠ»ΠΈ q - Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠ°, Π·Π°ΡΡΠ΄), ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π½Π° Dr, ΡΠΎ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°, Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ q Π½Π° Dr ΡΠ°Π²Π½Π°
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Dr - ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎ qΠ‘f - ΡΠΈΠ»Π°; -Π‘f - Π½Π°ΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ (ΡΠΈΠ»Π° Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π°), ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½Π°Ρ Ρ f. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΡΡΡΡ U - ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΎΡΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»; ΡΠΎΠ³Π΄Π° E - Π½Π°ΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Ρ, Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ E = -Π‘U. ΠΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ U ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ Π·Π°ΡΡΠ΄ΠΎΠΌ Π² q ΠΊΡΠ»ΠΎΠ½ΠΎΠ², ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ U Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ P (x, y, z) Ρ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ r Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ
ΠΠ΄Π΅ e0 - Π΄ΠΈΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ
ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ E Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ r ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΡΠ°Π²Π½Π° q/(4pe0r3). ΠΠ½Π°Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Ρ Π½ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅. Π‘ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΌΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π»Π΅Π³ΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, Π² ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ ΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π² ΡΡΠ΅Ρ
Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ
. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ: Π΄Π°Π½ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π»ΠΈ ΠΌΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Ρ Π½ΠΈΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅?
ΠΠΈΠ²Π΅ΡΠ³Π΅Π½ΡΠΈΡ ΠΈ ΡΠΎΡΠΎΡ.
ΠΡ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π‘ Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. Π§ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π‘ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ? ΠΠΌΠ΅ΡΡΡΡ Π΄Π²Π΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ: ΠΏΡΡΡΡ U (x, y, z) - Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ; ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ
Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ - ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠΉ Π΄ΠΈΠ²Π΅ΡΠ³Π΅Π½ΡΠΈΠ΅ΠΉ U (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ divU); Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ - Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π½Π°Π·Π²Π°Π½Π½ΡΠΉ ΡΠΎΡΠΎΡ U (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ rotU). ΠΡΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π΄ΠΈΠ²Π΅ΡΠ³Π΅Π½ΡΠΈΡ ΠΈ ΡΠΎΡΠΎΡ, ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅. ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΡΡΠ΅, ΡΡΠΎ U - Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈ ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Ρ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ. ΠΡΡΡΡ P - ΡΠΎΡΠΊΠ° Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ, ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ
Π½ΠΎΡΡΡΡ S, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ DV. ΠΡΡΡΡ n - Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΊ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ
Π½ΠΎΡΡΠΈ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (n ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ
Π½ΠΎΡΡΠΈ, Π½ΠΎ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ); ΠΏΡΡΡΡ n Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π½Π°ΡΡΠΆΡ. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
ΠΠ΄Π΅ΡΡ S ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ Π±Π΅ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ
Π½ΠΎΡΡΠΈ, da - ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ
Π½ΠΎΡΡΠΈ S. ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΡΡ ΠΌΡ Π²ΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΡ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡ S Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° (ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡ. 12) ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ Dx, Dy ΠΈ Dz; ΡΠΎΡΠΊΠ° P - ΡΠ΅Π½ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΈΠ· ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (4) ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π³ΡΠ°Π½ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°. ΠΠ»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π½Π΅ΠΉ Π³ΡΠ°Π½ΠΈ n = i (Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅Π½ ΠΎΡΠΈ x); Da = DyDz. ΠΠΊΠ»Π°Π΄ Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π½Π΅ΠΉ Π³ΡΠ°Π½ΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½
ΠΠ° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π³ΡΠ°Π½ΠΈ n = -i; ΡΡΠ° Π³ΡΠ°Π½Ρ Π΄Π°Π΅Ρ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡΠ°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ ΠΎΡ Π΄Π²ΡΡ
Π³ΡΠ°Π½Π΅ΠΉ
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ DxDyDz = DV. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ ΠΎΡ Π΄Π²ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΠΏΠ°Ρ Π³ΡΠ°Π½Π΅ΠΉ. ΠΠΎΠ»Π½ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΡΠ°Π²Π΅Π½
ΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ DV (r) 0, ΡΠΎ ΡΠ»Π΅Π½Ρ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΈΡΡΠ΅Π·Π½ΡΡ. ΠΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (2) Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ
- ΡΡΠΎ divU, ΡΡΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ (4). Π Π°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ (5) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ. ΠΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΡΠΈΡ. 12; ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π½Π΅ΠΉ Π³ΡΠ°Π½ΠΈ Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½
Π, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡΠ°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΌΠΌΠ°ΡΠ½ΡΠΉ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΎΡ Π΄Π²ΡΡ Π³ΡΠ°Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄
Ρ.Π΅. ΡΡΠΎ Π΄Π²Π° ΡΠ»Π΅Π½Π° ΠΈΠ· Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ rotU Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ (3). ΠΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΡΠ΅ΡΠ° Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΎΠ² ΠΎΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ
ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ
Π³ΡΠ°Π½Π΅ΠΉ. Π§ΡΠΎ, Π² ΡΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΡΡΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ? Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ (4). ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ U - ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ (ΠΆΠΈΠ΄ΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° nΠ§U da = Un da, Π³Π΄Π΅ Un ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° U ΠΊ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ
Π½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ, Un da - ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΆΠΈΠ΄ΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· da Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Π°- ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΆΠΈΠ΄ΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π²ΡΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· S Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
Π‘ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠ° Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ ΡΠΎΡΠΊΠΈ P. ΠΡΡΡΠ΄Π° Π΄ΠΈΠ²Π΅ΡΠ³Π΅Π½ΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»Π° ΡΠ²ΠΎΠ΅ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅; ΠΎΠ½Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ, Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΆΠΈΠ΄ΠΊΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ· (Ρ.Π΅. ΡΠ°ΡΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΎΡ) P. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½ΠΈΡΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΎΡΠ° U, ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ
Π½ΠΎΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Π»Π΅Π½ΡΠΊΠΎΠΌΡ ΡΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΡ Π²ΡΡΠΎΡΠΎΠΉ h, ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ°ΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠΎΡΠΊΡ P; ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎ-ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ
Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Ρ Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΡ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ. ΠΡΡΡΡ k -Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ
Π½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΈ ΠΏΡΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ
Π½ΠΎΡΡΠΈ DA; ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ DV = hDA (ΡΠΈΡ. 13). Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»
ΠΠΎΠ΄ΡΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ - ΡΠΆΠ΅ ΡΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π²ΡΠ΅Π΅ΡΡ ΡΠ°Π½Π΅Π΅ ΡΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΡ
ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ
Π½ΠΎΡΡΡΡ
, Π³Π΄Π΅ k ΠΈ n ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ. ΠΠ° ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ
Π½ΠΎΡΡΠΈ
ΠΠ΄Π΅ ds - ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡ. 13. Π‘ΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ ΡΡΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (5), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
ΠΡ ΠΏΠΎ-ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ U - ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ. Π§Π΅ΠΌΡ Π² ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠ΅Π΄Π½ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΆΠΈΠ΄ΠΊΠΎΡΡΠΈ Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ k? ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ
Π΅ΡΠ»ΠΈ DA Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 0. ΠΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° k ΠΈ rotU ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈ ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ; ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ rotU - Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ ΠΆΠΈΠ΄ΠΊΠΎΡΡΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ P. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΆΠΈΠ΄ΠΊΠΎΡΡΡ Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ P, ΡΠΎ rotU β 0, ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ U Π±ΡΠ΄ΡΡ Π²ΡΠ°ΡΠ°ΡΡΡΡ Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ P. ΠΡΡΡΠ΄Π° ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΎΡΠ°. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° Π΄ΠΈΠ²Π΅ΡΠ³Π΅Π½ΡΠΈΠΈ (ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΡΡΡΠΎΠ³ΡΠ°Π΄ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ - ΠΠ°ΡΡΡΠ°) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (4) Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΡ
ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ². ΠΠ½Π° ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠ° V, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ
Π½ΠΎΡΡΡΡ S,