Формула для вычисление диагонали треугольника. Геометрические фигуры

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.

Доказательство

Свойство объясняется действием признака 3 параллелограмма (то есть \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Противоположные стороны равны.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Противоположные стороны параллельны.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Прилегающие стороны перпендикулярны друг другу.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB

5. Диагонали прямоугольника равны.

AC = BD

Доказательство

Согласно свойству 1 прямоугольник является параллелограммом, а значит AB = CD .

Следовательно, \triangle ABD = \triangle DCA по двум катетам (AB = CD и AD — совместный).

Если обе фигуры — ABC и DCA тождественны, то и их гипотенузы BD и AC тоже тождественны.

Значит, AC = BD .

Только у прямоугольника из всех фигур (только из параллелограммов!) равны диагонали.

Докажем и это.

ABCD — параллелограмм \Rightarrow AB = CD , AC = BD по условию. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA уже по трем сторонам.

Получается, что \angle A = \angle D (как углы параллелограмма). И \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Выводим, что \angle A = \angle B = \angle C = \angle D . Все они по 90^{\circ} . В сумме — 360^{\circ} .

Доказано!

6. Квадрат диагонали равен сумме квадратов двух прилежащих его сторон.

Это свойство справедливо в силу теоремы Пифагора.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.

AO = BO = CO = DO

9. Точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника и описанной окружности .

10. Сумма всех углов равна 360 градусов.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^{\circ}

11. Все углы прямоугольника прямые.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^{\circ}

12. Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника.

13. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность.

Это свойство справедливо в силу того, что сумма противоположных углов прямоугольника равна 180^{\circ}

\angle ABC = \angle CDA = 180^{\circ},\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^{\circ}

14. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если он имеет одинаковые длины сторон (является квадратом).

Задача на нахождение диагонали прямоугольника может быть сформулирована тремя разными способами. Рассмотрим подробнее каждый из них. Способы зависят от известных данных, итак как найти диагональ прямоугольника?

Если известны две его стороны

В случае, когда известны две стороны прямоугольника a и b, для нахождения диагонали необходимо воспользоваться теоремой Пифагора: a 2 +b 2 =c 2 , здесь a и b - катеты прямоугольного треугольника, с – гипотенуза прямоугольного треугольника. Когда в прямоугольнике прочерчена диагональ, он делится на два прямоугольных треугольника. Две стороны этого прямоугольного треугольника нам известны (a и b). То есть, чтобы найти диагональ прямоугольника, формула нужна следующая: c=√(a 2 +b 2), здесь с – длина диагонали прямоугольника.

По известной стороне и углу, между стороной и диагональю

Пусть известна сторона прямоугольника a и угол, который она образует с диагональю прямоугольника α. Для начала вспомним формулу косинуса: cos α = a/c,здесь с – диагональ прямоугольника. Как рассчитать диагональ прямоугольника из этой формулы: с = a/cos α.

По известной стороне, углу между прилегающей к ней стороне прямоугольника и диагональю.

Так как диагональ прямоугольника делит сам прямоугольник на два прямоугольных треугольника, логично обратиться к определению синуса. Синус - отношение катета, лежащего против этого угла, к гипотенузе.sin α = b/c. Отсюда выводим формулу для нахождения диагонали прямоугольника, которая также является и гипотенузой прямоугольного треугольника: с = b/sin α.

Теперь вы подкованы в этом вопросе. Можете порадовать учителя геометрии уже завтра!

При решении задач по школьной математике часто требуется определить, чему равняется диагональ заданного квадрата. При кажущейся некоторой сложности, эта задача является весьма простой и имеет несколько несложных способов решения. Рассмотрим их, для начала введём некоторые понятия и определения.

  1. Квадрат - это четырёхугольник с равными сторонами, все углы которого являются прямыми, то есть равны 90 градусов. Данная фигура одновременно и ромб, и прямоугольник, поэтому сохраняет все их свойства.
  2. Диагональ многоугольника - это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. В статье её будем обозначать буквой d.
  3. Противоположными называются вершины, не лежащие на одной стороне.
  4. Корень квадратный из числа , это такое число, которое при умножении само на себя даст исходное. В геометрии используются только положительные значения квадратного корня. В статье его будем обозначать сокращением rad (от латинского radical - корень).
  5. Сторону квадрата будем обозначать буквой a.

Как понятно из вышеизложенного, у квадрата только две диагонали. Поскольку квадрат является прямоугольником и сохраняет его свойства, то они равны между собой. Рассмотрим различные методы нахождения её длины.

Вычисление диагонали квадрата по известной стороне

Самым простым способом является вычисление диагонали , если известна сторона квадрата. Здесь действует широко известная теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Запишем эту формулу: c^2 = a^2+b^2.

Отметим, что в нашем случае диагональ квадрата есть гипотенуза треугольника с равными катетами. Перепишем формулу исходя из наших условий: d^2 = a^2+a^2. Преобразуем, получим: d^2 = 2*a^2. Следующим шагом извлечём квадратный корень, получится: d = rad2*a . Это и есть наша конечная формула.

Рассмотрим вычисление на примере. Пусть a = 64. Подставим наше значение в формулу. Получим d = 64*rad2. Это и есть ответ.

Вычисление диагонали квадрата по известной площади

Пусть нам дана площадь квадрата, её обозначают латинской буквой S, найдём его диагональ.

Используем свойства прямоугольника и запишем формулу его площади .

S = a*b. Перепишем для b = a. Получим: s = a^2. Отсюда найдём сторону: a = radS. Итак, нам удалось выразить сторону через площадь. Подставим полученное выражение в конечную формулу из предыдущей части. Формула примет вид: d = rad2*a = rad2*radS .

Пример: допустим, площадь равна 32 квадратных метра. Подставим это число. Получим rad2*rad32 = rad2*4*rad2 = 4*2 = 8 метров.

Вычисление диагонали по известному периметру

Пусть нам известен периметр . В дальнейшем его будем записывать латинской буквой P, найдём его d. Воспользуемся свойствами прямоугольника и запишем формулу его периметра.

P = два*(a + b). Перепишем для b = a. У нас получится: P = два*(a + a) = 2*2a = 4*a. Выразим из последней формулы сторону. Имеем: a = P/4. Воспользуемся тем, что: d = rad2*a. Выразим сторону через периметр. Наша формула примет видd = rad2*P/4.

Примере: пусть периметр равен 128 метров. Проведём несложный расчёт. Имеем, rad =d2*128/4 = 32*rad2 метров.

Вычисление по радиусу описанной и вписанной окружности

Ещё один способ , который на само деле очень простой. Радиус описанной окружности будем обозначать латинской буквой R, радиус вписанной окружности будем обозначать латинской буквой r.

Сначала разберёмся с описанной окружностью. В данной ситуации её радиус составляет ровно половину диагонали (это нетрудно убедиться с использованием построения), таким образом: R = 1/2*d. отсюда имеем: d = два*R . Снова поясним наши рассуждения на примере. Пусть R = 45 километров. Получим, d = два*45 = 90 километров.

И, наконец, рассмотрим метод, связанный с радиусом вписанной окружности. Опять-таки из построения чётко видно, что диаметр вписанной окружности равняется стороне квадрата. Таким образом, её радиус вдвое меньше стороны. Запишем это в виде формулы: r = 1/2*a. Отсюда следует, a = 2*r. Снова воспользуемся формулой из первого метода, подставим вместо стороны её выражение через радиус вписанной окружности. Выражение примет вид: d = rad2*a = rad2*2*r .

Ещё раз воспользуемся помощью примера. Пусть r = 98 метров. Тогда имеем, d = rad2*2*98 = 196*rad2.

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели в статье пять принципиально различных методов вычисления диагонали квадрата. Если, на первый взгляд, задача казалась сложной, то после проведённых нами рассуждений стало очевидно, что особых проблем здесь нет. Сведём все полученные нами формулы в одну таблицу.

  1. d = rad2*a;
  2. d = rad2*radS;
  3. d = rad2*P/4;
  4. d = 2*R;
  5. d = rad2*2*r.

Хочется ещё отметить , что с помощью первой из наших формул очень легко построить отрезок, равный корню квадратному из двух. Для этого строим квадрат со стороной единица, его диагональ и будет равняться искомому отрезку.

Если на полученной диагонали мы построим прямоугольник, используя её как длину, а ширину возьмём равной единице, то получим отрезок равный ещё одному иррациональному числу корень квадратный из трёх.

Видео

Из видео вы узнаете, как найти диагональ квадрата, если известна его площадь.

Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.

Задача 1. Одна сторона прямоугольника меньше другой на 7 см, а диагональ прямоугольника равна 17 см. Найти периметр прямоугольника.

Решение. Пусть АВ=х. Тогда AD=х+7. Зная, что диагональ BD=17, используем теорему Пифагора и составим уравнение:

AB 2 +AD 2 =BD 2 . Получаем: х 2 +(х+7) 2 =17 2 ⇒ х 2 +х 2 +14х+49=289;

2х 2 +14х-240=0; х 2 +7х-120=0, отсюда по теореме Виета х 1 =-15; х 2 =8.

Следовательно, АВ=8 см, AD=8+7=15 см. Периметр прямоугольника:

P□ = 2(AB+AD); P□ = 2(8+15); P□ = 46 см. Ответ: 46 см.

Задача 2. Периметр прямоугольника 94 см, а диагональ 37 см. Найти площадь прямоугольника.

Решение. Периметр прямоугольника P□ = 2(AB+AD) = 94, следовательно, (AB+AD)=47. Пусть АВ=х. Тогда AD=47-х. Зная, что диагональ BD=37, используем теорему Пифагора и составим уравнение:

AB 2 +AD 2 =BD 2 . Получаем: х 2 +(47-х) 2 =37 2 ⇒ х 2 +47 2 -94х+ х 2 =1369;

2х 2 -94х+2209—1369=0; 2х 2 -94х+840=0. Делим обе части равенства на 2. Получаем:

х 2 -47х+420=0. Найдем дискриминант.

D=b 2 -4ac=47 2 -4∙1∙420=2209—1680=529=23 2 >0; 2 д.к.

х 1 = (47-23)/2=12; х 2 = (47+23)/2=35.

Так как АВ=х, то либо АВ=12, тогда AD=47-12=35; либо АВ=35, тогда AD=47-35=12. Таким образом, стороны прямоугольника равны 12 см и 35 см. Площадь прямоугольника S□ = ABAD=1235=420 (см 2). Ответ: 420 см 2 .

Задача 3. Стороны прямоугольника относятся как 3: 4, а площадь прямоугольника равна 108 см 2 . Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Обозначим одну часть через х. Тогда АВ=3х. Тогда AD=4х.

Так как S□ = ABAD и по условию равна 108 см 2 , то можно составить уравнение:

4х=108. Тогда 12х 2 =108, а разделив обе части равенства на 12, получаем:

х 2 =9. Отсюда х=3, так как х – положительное число. Стороны прямоугольника

Тогда АВ=3х=33=9 и AD=4х=43=12. Из прямоугольного треугольника BAD по теореме Пифагора найдем BD – искомую диагональ прямоугольника.

BD 2 =AB 2 +AD 2 =9 2 +12 2 =81+144=225, отсюда BD=15 см. Ответ: 15 см.

Задача 4. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите диагональ прямоугольника, если его меньшая сторона равна 15 см.

Решение. Итак, в прямоугольнике ABCD биссектриса АК делит сторону ВС пополам. АВ=15 см. Требуется найти диагональ АС прямоугольника. В прямоугольном треугольнике АВК один из острых углов равен 45° (биссектриса АК делит прямой угол пополам: ∠ВАК=∠КАD=45°). Тогда и второй острый угол треугольника АВК равен 45°, т.е. ∠АКВ=45°. Углы при основании ∆АВК равны, следовательно, ∆АВК – равнобедренный. Это означает, что ВК=АВ=15 см. А так как биссектриса АК по условию разделила сторону ВС пополам, то ВС=2ВК=30 см. Стороны прямоугольника 15 см и 30 см. Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора найдем АС – искомую диагональ прямоугольника.

АС 2 =AB 2 +ВС 2 =15 2 +30 2 =225+900=1125, отсюда получаем:

Задача 5. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 7 см дальше, чем от большей стороны. Диагональ прямоугольника равна 26 см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение. Пусть точка О – пересечение диагоналей прямоугольника ABCD отстоит от стороны AD на х см, тогда от стороны АВ точка О будет отстоять на (х+7) см, т.е ОМ=х и ОК=х+7. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то АО=АС: 2=26: 2=13 (см). Заметим, что МА=ОК. На основании теоремы Пифагора из прямоугольного треугольника АМО получаем равенство:

ОМ 2 +МА 2 =АО 2 или х 2 +(х+7) 2 =13 2 . Упрощаем равенство:

х 2 +х 2 +14х+49=169; 2х 2 +14х-120=0; х 2 +7х-60=0. Корни этого приведенного квадратного уравнения удобно найти по теореме Виета.

х 1 =-12, х 2 =5. Так как сторона выражается положительным числом, то ОМ=х=5 см. тогда ОК=5+7=12 (см). АК=ОМ=5 см и АМ=ОК=12 см – это половинки сторон прямоугольника. Тогда АВ=2АК=10 см и AD=2МА=24 см. Ответ: 10 см и 24 см.

Страница 1 из 1 1

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.