Как решать системы графическим. уравнения -окружность с

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели и задачи урока:

продолжить работу по формированию навыков решения систем уравнений графическим методом;
провести исследования и сделать выводы о количестве решений системы двух линейных уравнений;
развивать интерес к предмету через игру.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент (Планерка) – 2 мин.

– Добрый день! Начинаем нашу традиционную планерку. Мы рады приветствовать всех, кто сегодня у нас в гостях, в нашей лаборатории (представляю гостей). Наша лаборатория называется: «ТРУД с интересом и удовольствием» (показываю слайд 2). Название служит девизом в нашей работе. «Твори, Решай, Учись, Добивайся с интересом и удовольствием ». Дорогие гости, представляю вам руководителей нашей лаборатории (слайд 3).
Наша лаборатория занимается изучением научных трудов, исследованиями, экспертизой, работает над созданием творческих проектов.
Сегодня тема нашего обсуждения: «Графическое решение систем линейных уравнений». (Предлагаю записать тему урока)

Программа дня: (слайд 4)

1. Планерка
2. Расширенный ученый совет:

Выступления по теме
Допуск к работе

3. Экспертиза
4. Исследования и открытия
5. Творческий проект
6. Отчет
7. Планирование

2. Опрос и устная работа (Расширенный ученый совет) – 10 мин.

– Сегодня мы проводим расширенный ученый совет, на котором присутствуют не только руководители отделов, но и все члены нашего коллектива. Лаборатория только начала работу по теме: «Графическое решение систем линейных уравнений». Мы должны постараться добиться самых высоких достижений в этом вопросе. Наша лаборатория должна славиться качеством исследований по этой теме. Я, как старший научный сотрудник, желаю всем удачи!

Результаты исследований будут сообщены начальнику лаборатории.

Слово для доклада о решении систем уравнений имеет…(вызываю ученика к доске). Даю заданию задание (карточка 1).

А лаборант…(называю фамилию) напомнит, как строить график функции с модулем. Даю карточку 2.

Карточка 1 (решение задания на слайде 7)

Решить систему уравнений:

Карточка 2 (решение задания на слайде 9)

Построить график функции: y = | 1,5x – 3 |

Пока сотрудники готовятся к докладу, я проверю, как вы готовы к выполнению исследований. Каждый из вас должен получить допуск к работе. (Начинаем устный счет с записью ответов в тетрадь)

Допуск к работе (задания на слайдах 5 и 6)

1) Выразить у через x:

3x + y = 4 (y = 4 – 3x)
5x – y = 2 (y = 5x – 2)
1/2y – x = 7 (y = 2x + 14)
2x + 1/3y – 1 = 0 (y = – 6x + 3)

2) Решить уравнение:

5x + 2 = 0 (x = – 2/5)
4x – 3 = 0 (x = 3/4)
2 – 3x = 0 (x = 2/3)
1/3x + 4 = 0 (x = – 12)

3) Дана система уравнений:

Какая из пар чисел (– 1; 1) или (1; – 1) является решением данной системы уравнений?

Ответ: (1; – 1)

Сразу после каждого фрагмента устного счета учащиеся обмениваются тетрадями (с рядом сидящим учеником в одном отделе), на слайдах появляются верные ответы; проверяющий ставит плюс или минус. По окончании работы начальники отделов вносят результаты в сводную таблицу (см ниже); за каждый пример дается 1 балл (возможно получить 9 баллов).
Те, кто набрал 5 и более баллов, получают допуск к работе. Остальные получают условный допуск, т.е. должны будут работать под контролем начальника отдела.

Таблица (заполняет начальник)

(Таблицы выдаются до начала урока)

После получения допуска слушаем ответы учащихся у доски. За ответ ученик получает 9 баллов, если ответ полный (максимальное количество при допуске), 4балла, если ответ не полный. Баллы вносят в графу «допуск».
Если на доске правильное решение, то слайды 7 и 9 можно не показывать. Если решение правильное, но нечетко выполненное или решение неправильное, то слайды демонстрируются обязательно с пояснениями.
Слайд 8показываю обязательно после ответа ученика по карточке 1. На этом слайде выводы важные для урока.

Алгоритм решения систем графическим способом:

Выразить y через x в каждом уравнении системы.
Построить график каждого уравнения системы.
Найти координаты точек пересечения графиков.
Сделать проверку (обращаю внимание учащихся на то, что графический метод обычно дает приближенное решение, но в случае попадания пересечения графиков в точку с целыми координатами, можно выполнить проверку и получить точный ответ).
Записать ответ.

3. Упражнения (Экспертиза) – 5 мин.

Вчера в работе некоторых сотрудников были допущены грубые ошибки. Сегодня вы уже более компетентны в вопросе графического решения. Вам предлагается провести экспертизу предложенных решений, т.е. найти ошибки в решениях. Демонстрируется слайд 10.
Работа идет в отделах. (На каждый стол выдаются ксерокопии заданий с ошибками; в каждом отделе сотрудники должны найти ошибки и подчеркнуть их или исправить; ксерокопии сдать старшему научному сотруднику, т.е. учителю). Тем, кто найдет и исправит ошибку, начальник добавляет 2 балла. Затем обсуждаем допущенные ошибки и указываем их на слайде 10.

Ошибка 1

Решить систему уравнений:

Ответ: решений нет.

Учащиеся должны продолжить прямые до пересечения и получить ответ: (– 2; 1).

Ошибка 2.

Решить систему уравнений:

Ответ: (1; 4).

Учащиеся должны найти ошибку в преобразовании первого уравнения и исправить на готовом чертеже. Получить другой ответ: (2; 5).

4. Объяснение нового материала (Исследования и открытия) – 12 мин.

Учащимся предлагаю решить графически три системы. Каждый ученик решает самостоятельно в тетради. Консультироваться могут только те, у кого условный допуск.

Решение

Без построения графиков понятно, что прямые совпадут.

На слайде 11 показано решение систем; ожидаемо, что учащиеся будут испытывать затруднение при записи ответа в примере 3. После работы в отделах проверяем решение (за верное начальник добавляет 2 балла). Теперь пришло время обсудить, сколько решений может иметь система двух линейных уравнений.
Учащиеся должны сделать выводы самостоятельно и объяснить их, перечислив случаи взаимного расположения прямых на плоскости (слайд 12).

5. Творческий проект (Упражнения) – 12 мин.

Задание дается для отдела. Начальник дает каждому лаборанту по способностям фрагмент его выполнения.

Решить системы уравнений графически:

После раскрытия скобок учащиеся должны получить систему:

После раскрытия скобок первое уравнение имеет вид: y = 2/3x + 4.

6. Отчет (проверка выполнения задания) – 2 мин.

После выполнения творческого проекта учащиеся сдают тетради. На слайде 13 показываю то, что должно было получиться. Начальники сдают таблицу. Последнюю графу заполняет учитель и ставит отметку (отметки можно сообщить ученикам на следующем уроке). В проекте решение первой системы оценивается тремя баллами, а второй – четырьмя.

7. Планирование (подведение итогов и домашнее задание) – 2 мин.

Подведем итоги нашего труда. Мы неплохо поработали. Конкретно о результатах поговорим завтра на планерке. Безусловно, все без исключения лаборанты овладели графическим методом решения систем уравнений, усвоили, какое количество решений может иметь система. Завтра каждого из вас ждет персональный проект. Для дополнительной подготовки: п.36; 647-649(2); повторите аналитические методы решение систем. 649(2) решите и аналитическим методом.

Нашу работу в течение всего дня контролировал директор лаборатории Ноумэн Ноу Мэнович. Ему слово. (Показываю заключительный слайд).

Примерная шкала для выставления оценок

Отметка	Допуск	Экспертиза	Исследование	Проект	Всего
3	5	2	2	2	11
4	7	2	4	3	16
5	9	3	5	4	21

Одним из способов решения уравнений является графический способ. Он основан на построении графиков функции и определения точек их пересечения. Рассмотрим графический способ решения квадратного уравнения a*x^2+b*x+c=0.

Первый способ решения

Преобразуем уравнение a*x^2+b*x+c=0 к виду a*x^2 =-b*x-c. Строим графики двух функций y= a*x^2 (парабола) и y=-b*x-c (прямая). Ищем точки пересечения. Абсциссы точек пересечения и будут являться решением уравнения.

Покажем на примере: решить уравнение x^2-2*x-3=0.

Преобразуем его в x^2 =2*x+3. Строим в одной системе координат графики функции y= x^2 и y=2*x+3.

Графики пересекаются в двух точках. Их абсциссы будут являться корнями нашего уравнения.

Решение по формуле

Для убедительности проверим это решение аналитическим путем. Решим квадратное уравнение по формуле:

D = 4-4*1*(-3) = 16.

X1= (2+4)/2*1 = 3.

X2 = (2-4)/2*1 = -1.

Значит, решения совпадают.

Графический способ решения уравнений имеет и свой недостаток, с помощью него не всегда можно получить точное решение уравнения. Попробуем решить уравнение x^2=3+x.

Построим в одной системе координат параболу y=x^2 и прямую y=3+x.

Опять получили похожий рисунок. Прямая и парабола пересекаются в двух точках. Но точные значения абсцисс этих точек мы сказать не можем, только лишь приближенные: x≈-1,3 x≈2,3.

Если нас устраивают ответы такой точности, то можно воспользоваться этим методом, но такое бывает редко. Обычно нужны точные решения. Поэтому графический способ используют редко, и в основном для проверки уже имеющихся решений.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема:

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

Поповская средняя общеобразовательная школа

имени Героя Советского Союза Н.К. Горбанева

Открытый урок

учителя математики

Ворониной Веры Владимировны,

по математике в 9 классе

по теме: «Графический способ решения систем уравнений»

Тип урока: урок изучения нового материала.

2017/2018 учебный год

Графический способ решения систем уравнений. 9-й класс

Воронина Вера Владимировна, учитель математики.

ли урока:

дидактические:

открыть совместнос учащимися новый способ решения систем уравнений;

вывести алгоритм решения систем уравнений графическим способом;

уметь определять сколько решений имеет система уравнений;

учить находить решения системы уравнений графическим способом;

повторить построение графиков элементарных функций;

создать условия для контроля (самоконтроля) учащихся:

воспитательные:

воспитание ответственного отношения к труду,

аккуратности ведения записей.

Ход урока.

I. Организационный момент.

Что такое функция? (слайд 3-11)

Что называется графиком функции?

Какие виды функций вы знаете?

Какой формулой задается линейная функция? Что является графиком линейной функции?

Какой формулой задается прямая пропорциональность? Что является ее графиком?

Какой формулой задается обратная пропорциональность? Что является ее графиком?

Какой формулой задается квадратичная функция? Что является ее графиком?

Каким уравнением задается уравнение окружности?

Что называют графиком уравнения с двумя переменными; (слайд 12)

Организуется знакомство с уравнениями, используемыми в высшей математике и их графиками (строфоидой, Лемнискатой Бернулли, астроидой, кардиоидой). (слайд 13-16)

Рассказ учителя сопровождается показом слайдов с данными графиками.

Выразите переменную у через переменную х:
а) у - х² = 0
б) х + у + 2 = 0
в) 2х - у + 3 = 0
г) ху = -12

Является ли пара чисел (1; 0) решением уравнения
а) х² +у = 1;
б) ху + 3 = х;
в) у(х +2) = 0.

Что является решением системы уравнений с двумя переменными?

Какая из пар чисел является решением системы уравнений
а) (6; 3)
б) (- 3; - 6)
в) (2; - 1)
г) (3; 0)

Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет пара чисел (2; 1)
а) 2х - у = 3
б) 3х - 2у = 5
в) х² + у² = 4
г) ху = 2

III. Актуализация знаний учащихся по изученному материалу . (слайд 20, 21)

Сегодня мы повторим и закрепим один из способов решения систем уравнений. Закрепление изученного материала осуществляется с помощью наглядного восприятия (на слайде представлено графическое решение системы уравнений):

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя неизвестными весьма разнообразны.

Вопросы по данному слайду:

Что является графиком уравнения x² + y²=25?

Что является графиком уравнения y = - x² +2x +5?

Координаты любой точки окружности будут удовлетворять уравнению x² + y²=25, координаты любой точки параболы будут удовлетворять уравнению y = - x² +2x +5.

Координаты каких точек будут удовлетворять и первому и второму уравнениям?

Сколько точек пересечения у данных графиков?

Сколько решений имеет данная система?

Назвать эти решения?

Что нужно сделать, чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными?

Предлагается слайд, на котором приведен алгоритм графического способа решения систем уравнений с двумя неизвестными.

Графический способ применим к решению любой системы, но с помощью графиков уравнений можно приближенно находить решения системы. Лишь некоторые найденные решения системы могут оказаться точными. В этом можно убедиться, подставив их координаты в уравнения системы.

IV. Применение изученного способа решения систем уравнений.

1. Решить графически систему уравнений (слайд 23)

Что является графиком уравнения ху = 3?

Что является графиком уравнения 3х - у =0?

2. Запишите систему, определяемую этими уравнениями и ее решение. (слайд 24)

Постановка наводящих вопросов:

Запишите систему, определяемую данными уравнениями?

Сколько точек пересечения имеют данные графики?

Сколько решений имеет данная система уравнений?

Назвать решения данной системы уравнений?

3. Выполнение задание из ГИА (слайд 25).

4. Решить графически систему уравнений (слайд 26)

Задание выполняется учащимися в тетрадях. Решение проверяется.

V. Итоги урока.

Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

С каким способом решения систем уравнений с двумя переменными вы познакомились?

В чём его суть?

Дает ли данный способ точные результаты?

В каком случае система уравнений не будет иметь решений?

VI . Домашнее задание.

П. 18, №№ 420 (237), 425 (240)

Графический способ решения систем уравнений

(9-й класс)

Учебник: Алгебра, 9 класс, под редакцией Теляковского С.А.

Тип урока: урок комплексного применения знаний, умений, навыков.

Цели урока:

Образовательные: Выработать умение самостоятельно применять знания в комплексе, переносить их в новые условия, в том числе работать с компьютерной программой для построения графиков функции и нахождения количества корней в заданных уравнениях.

Развивающие : Формировать у учащихся умение выделять основные признаки, устанавливать сходства и различия. Обогащать словарный запас. Развивать речь, усложняя её смысловую функцию. Развивать логическое мышление, познавательный интерес, культуру графического построения, память, любознательность.

Воспитательные : Воспитывать чувство ответственности за результат своего труда. Учить сопереживать успехам и неудачам одноклассников.

Средства обучения : компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал.

План урока:

Организационный момент. Домашнее задание – 2 мин.

Актуализация, повторение, коррекция знаний - 8 мин.

Изучение нового материала – 10 мин.

Практическая работа – 20 мин.

Подведение итогов – 4 мин.

Рефлексия – 1 мин.

ХОД УРОКА

Организационный момент – 2 мин.

Здравствуйте, ребята! Сегодня урок по важной теме: «Решение систем уравнений».

Нет таких областей знаний в точных науках, где бы ни применялась данная тема. Эпиграфом к нашему уроку являются следующие слова: «Ум заключается не только в знании, но и в умении прилагать знания на деле ». (Аристотель)

Постановка темы, целей и задач урока.

Учитель сообщает классу о том, что на уроке будет изучаться и ставит задачу научиться решать системы уравнений с двумя переменными графическим способом.

Задание на дом (П.18 № 416, 418, 419 а).

Повторение теоретического материала – 8 мин.

А) Учитель математики: По готовым чертежам ответить на вопросы и обосновать свой ответ.

1). Найти график квадратичной функции D =0 (Учащиеся отвечают на вопрос и называют график 3в).

2). Найти график обратно - пропорциональной функции при k >0 (Учащиеся отвечают на вопрос, называют график 3 a ).

3). Найти график окружности с центром O (-1; -5). (Учащиеся отвечают на вопрос, называют график 1б).

4). Найти график функции y =3x -2. (Учащиеся отвечают на вопрос и называют график 3б).

5). Найти график квадратичной функции D >0, a >0. (Учащиеся отвечают на вопрос и называют график 1 a ).

Учитель математики: – Для того, что бы успешно решать системы уравнений, давайте вспомним:

1). Что называется системой уравнений? (Системой уравнений называется несколько уравнений, для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем этим уравнениям).

2). Что значит решить систему уравнений? (Решить систему уравнений, значит найти все решения или доказать, что решений нет).

3). Что называется решением системы уравнений? (Решением системы уравнений называют пару чисел (x; у), при которой все уравнения системы обращаются в верные равенства).

4) Выясните, является ли решением системы уравнений
пара чисел: а) х = 1, у = 2; (–) б) х = 2, у = 4; (+) в) х = – 2, у = – 4? (+)

III Новый материал – 10 мин.

П.18 учебника излагается методом беседы .

Учитель математики: В курсе алгебры 7 класса мы рассматривали системы уравнений первой степени. Теперь займёмся решением систем, составленных из уравнений первой и второй степени.

1.Что называется системой уравнений?

2.Что значит решить систему уравнений?

Мы знаем, что алгебраический способ позволяет находить точные решения системы, а графический способ позволяет наглядно увидеть, сколько корней имеет система и найти их приблизительно. Поэтому учиться решать системы уравнений второй степени мы продолжим на следующих уроках, а сегодня основной целью урока будет практическое применение компьютерной программы для построения графиков функции и нахождения количества корней систем уравнений.

IV . Практическая работа – 20 мин. Решение систем уравнений графическим способом. Определение корней уравнений. (Построение графика на компьютере.)

Задания выполняются учащимися на компьютерах. Решения проверяются во время работы.

y = 2x 2 + 5x +3

y = 4

y = -2x 2 +5х+3

y = -3x + 4

y = -2x 2 -5х-3

y = -4+2x

y = 4x 2 + 5x +3

y = 2

y = -4 x 2 +5х+3

y = -3x + 2

y = -4x 2 -5х-3