Множества и операции над множествами. Счетные и несчетные множества

Множество - это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое. Понятие множества принимается за основное, т. е. не сводимое к другим понятиям. Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Основное отношение между элементом a и содержащим его множеством A обозначается так (a есть элемент множества A ; или a принадлежит A , или A содержит a ). Если a не является элементом множества A , то пишут (a не входит в A , A не содержит a ). Множество можно задать указанием всех его элементов, причем в этом случае употребляются фигурные скобки. Так {a , b , c } обозначает множество трех элементов. Аналогичная запись употребляется и в случае бесконечных множеств, причем невыписанные элементы заменяются многоточием. Так, множество натуральных чисел обозначается {1, 2, 3, ...}, а множество четных чисел {2, 4, 6, ...}, причем под многоточием в первом случае подразумеваются все натуральные числа, а во втором - только четные.

Два множества A и B называются равными , если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. A принадлежит B и, обратно, каждый элемент B принадлежит A . Тогда пишут A = B . Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов. Например, множество из трех элементов a , b , c допускает шесть видов записи:

{a , b , c } = {a , c , b } = {b , a , c } = {b , c , a } = {c , a , b } = {c , b , a }.

Из соображений формального удобства вводят еще так называемое "пустое множество", а именно, множество, не содержащее ни одного элемента. Его обозначают , иногда символом 0 (совпадение с обозначением числа нуль не ведет к путанице, так как смысл символа каждый раз ясен).

Если каждый элемент множества A входит во множество B , то A называется подмножеством B , а B называется надмножеством A . Пишут (A входит в B или A содержится в B , B содержит A ). Очевидно, что если и , то A = B . Пустое множество по определению считается подмножеством любого множества.

Если каждый элемент множества A входит в B , но множество B содержит хотя бы один элемент, не входящий в A , т. е. если и , то A называется собственным подмножеством B , а B - собственным надмножеством A . В этом случае пишут . Например, запись и означают одно и то же, а именно, что множество A не пусто.

Заметим еще, что надо различать элемент a и множество {a }, содержащее a в качестве единственного элемента. Такое различие диктуется не только тем, что элемент и множество играют неодинаковую роль (отношение не симметрично), но и необходимостью избежать противоречия. Так, пусть A = {a , b } содержит два элемента. Рассмотрим множество {A }, содержащее своим единственным элементом множество A . Тогда A содержит два элемента, в то время как {A } - лишь один элемент, и потому отождествление этих двух множеств невозможно. Поэтому рекомендуется применять запись , и не пользоваться записью .


Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть несводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения (так же, как, например, нельзя определить, что такое точка или прямая ).

Теорию множеств создал Георг Кантор. В частности, определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Эти объекты он назвал элементами множества. Т.е. элемент множества – это объект, принадлежащий данному множеству.

Бертран Рассел (также основоположник теории множеств) дал такое определение множества: «Множество есть любое собрание определённых и различимых между собою объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое».

Под множеством понимается класс, совокупность, собрание различных между собой абстрактных объектов (элементов), безразлично какой природы. Каждый составляющий его элемент рассматривается лишь с точки зрения некоторых признаков. Эти объекты считаются неразличимыми. Им приписываются одни и те же признаки, отличие их друг от друга определяется не по свойствам и отношениям, а по их именам.

Множества обозначаются большими латинскими буквами (например, А , В , Х , Y и т.д.), а элементы этих множеств – малыми буквами (например, a , b , x , y ).

Если множество содержит конечное число элементов, его называют конечным , если в нём бесконечно много элементов – бесконечным .

Множества могут состоять из объектов самой различной природы. Этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и её применимость в самых различных областях – математике, механике, физике, химии, биологии, лингвистике и т.д.

Знаком Î обозначается отношение принадлежности некоторого элемента тому или иному множеству. Например, выражение означает, что элемент а принадлежит множеству А . Если же а не является элементом множества А , то это записывается .

Если два множества А и В состоят из одних и тех же элементов, то они считаются равными. Если А и В равны, то пишем А=В , в противном случае - . Например, возьмём множество {1,3,5}, состоящее из трёх положительных нечётных чисел. Поскольку {1,3,5} и{1,5,3} состоят из одних и тех же элементов, они являются равными множествами, т.е. {1,3,5}={1,5,3}. По этой же причине {1,3,5}={1,3,3,5,5,5}.

Элементы какого либо множества сами могут быть множествами. Например, {{1,2},{3,4},{5,6}} – множество из трёх элементов {1,2},{3,4},{5,6}.

Множества {{1,2},{2,3}} и {1,2,3} не равны, т.к. элементами первого являются {1,2} и {2,3}, а элементами второго - 1,2 и 3.

Множества {{1,2}} и {1,2} также не равны, т.к. поскольку первое множество состоит из одного и только одного элемента {1,2} (одноэлементное множество), а второе имеет два элемента 1 и 2. Потому, в общем виде, следует различать объект и множество, единственным элементом которого является этот объект.

Задача 1.1. Среди следующих множеств указать равные:

А = {3, 5, x , y }; B = {3, 2, 5, x , y }; C = {y , y , 5, 3, x , x }; D = {3, 4, 5, x , y }.

Решение. A = C , поскольку качественно оба множества состоят из элементов 3, 5, x и y . Количество элементов множества А равно 4. Множество В , на первый взгляд, содержит больше элементов. Однако среди них есть повторяющиеся: 2 раза х и столько же у . Для множества же неважно, сколько раз повторяется один и тот же элемент, важно лишь, чтобы элементы отличались друг от друга. Что же касается множеств B иD , то они не равны, так как содержат разные элементы.

1.2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ

Множество считают заданным (известным), если имеется способ, позволяющий для любого объекта решить, принадлежит ли он этому множеству или нет, т.е. определить истинно или ложно выражение . Существует несколько способов задания множеств. Множество может быть задано:

1) перечислением (полным списком) своих элементов . Если хотим сказать, что данное множество М состоит из элементов , то записываем: . Данный способ применим лишь к конечным множествам, да и то не ко всем. Например, хотя множество птиц конечно, вряд ли его можно задать списком. Тем более, список невозможен в случае бесконечномерного множества. Тогда применимы другие способы;

2) характеристическим свойством (предикатом) , которым должны обладать все его элементы и не должен обладать ни один объект, не являющийся его элементом. Причём необходимо формулировать описание характеристических свойств элементов множества достаточно корректно, для того, чтобы множество было определено вполне однозначно.

Множество M объектов, обладающих свойством , Г. Кантор обозначил - «множество всех x, обладающих свойством », где - характеристическое свойство(предикат) множества М;

3) порождающей процедурой f , то есть указать правило, по которому формируются элементы данного множества: ;

Замечание. Многие числовые множества могут быть заданы всеми тремя указанными способами (например, множество чётных однозначных чисел).

4) геометрическим способом – с помощью графиков или диаграмм. Этот способ применим как к конечным, так и бесконечным множествам;

Пример 1.1. Некоторые примеры множеств, заданных различными способами.

а) M 1 ={1;2;3;4};

б) M 2 ={x| , -4};

в) M 3 ={x|x=2n+1, };

г) M 4 = {(x,y)ôxÎR, yÎR ; £ 4};

Задача 1.2. Выяснить, каким способом заданы следующие множества и перечислить все элементы этих множеств:

1) { xô x есть делитель числа 100};

2) { xô x есть простой делитель числа 100};

3) { xô x есть простой множитель числа 100};

4) { xô x ÎN; – 1 = 0 и – 4 = 0};

5) { xô x есть буква слова «академия»};

6) { xô x ÎN; 2 = 1};

7) { xô x ÎN; }.

Решение.

1. Данное множество состоит из всех делителей числа 100, то есть в него включаются лишь те числа, которые делят число 100 нацело. Очевидно, что налицо задание множества с помощью характеристического предиката «быть делителем числа 100». Перечислим все эти числа: 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50. Добавив сюда число 1 и самое 100, получим искомое множество. Обозначим его А. Тогда А = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.

2. Множество задано с помощью характеристического предиката «быть простым делителем числа 100». Среди делителей предыдущей задачи отберём лишь простые числа, которыми будут 2 и 5. Все же остальные делители являются составными. Число 1, как известно из курса школьной арифметики, не относится ни к простым, ни к составным числам. Обозначив это множество В, получим: В = {2, 5}.

3. Множество задано с помощью характеристического предиката «быть простым множителем числа 100». Разложим 100 на простые множители. Получим следующее тождество: 100 = 2×2×2×5. Эти числа и будут элементами искомого множества, которое обозначим С = {2, 2, 5, 5}. Ответ можно было бы оставить в таком виде, однако в теории множеств количество одинаковых элементов, как правило, игнорируется. Поэтому будет корректнее ответ представить в виде: С = {2, 5}.

4. Данное множество можно считать заданным с помощью порождающей процедуры, которой является процедура решения квадратных уравнений и отбора корней по признаку принадлежности их к множеству натуральных чисел. Однако, справедливости ради, следует отметить, что часто при определении способа задания множества бывает достаточно трудно утверждать, что множество задано этим и только этим способом. В данном примере вполне можно утверждать, что способ задания множества – с помощью характеристического предиката «отбор корней уравнения по признаку принадлежности к множеству N». Решаем оба уравнения: , его корни +1 и -1; , его корни +2 и -2. Поскольку числа -1 и -2 не являются натуральными, искомое множество, которое мы обозначим D, будет таким: D = {1, 2}.

5. Способ задания – с помощью характеристического предиката. Обозначим множество Е. Получим: Е = {а, к, д, е, м, и, я}, где буква «а» упомянута лишь один раз.

6. Способ задания данного множества аналогичен примеру 4). Решим данное показательно-логарифмическое уравнение 2 = 1. ОДЗ данного уравнения – все х³0. = 1, откуда = 0, корни х равны 2. Натуральным числом является 2. Значит, наше множество, которое обозначим через F, будет состоять только из одного элемента: F = {2}.

7. Способ задания данного множества аналогичен примеру 4). Решаем данное иррациональное неравенство . ОДЗ – все х ³ 1. Обе части возведём в квадрат: х – 1 ³ 4, откуда х ³ 5. Это не противоречит ОДЗ, поэтому область решения данного неравенства х ³ 5. Другими словами, х Î . Очевидно, что натуральных чисел на данном интервале будет бесчисленное множество. Поэтому данное множество G будет бесконечным: G = {5, 6, 7, … n,…}.

Задача 1.3. Записать множества с помощью свойстваP (х ):

2) {1, 3, 9, 27, 81, 243};

3) {s, t, u, d, e, n, t}.

Решение.

1) подобрать характеристический предикат можно, например, так. Перемножим все числа. Получим: 2×3×11 = 66. Тогда

А = {aôa – простой делитель числа 66};

2) все представленные числа являются степенями числа 3 (30=1, 31=3, 32=9 и т.д.). Поэтому множество В можно задать с помощью свойства: В = {bôb – степень числа 3 с показателем от 0 до 5};

3) C = {côc – буква слова «student»}.

Задача 1.4. Изобразить следующие множества графически:

1) А = {(x,y)ôxÎR, yÎR ; £ 4};

2) B = {(x,y)ôxÎR, yÎR ; x + y >0, x + y – 2 £ 0};

3) C = {(x,y)ôxÎR, yÎR ; |x | £ 1 и |y + 2| £ 4};

4) D = {(x,y)ôxÎR, yÎR и };

5) E = {(x,y)ôxÎR, yÎR и y £ |sin x|};

6) F = {(x,y)ôxÎR, yÎR и }.

Решение. Все заданные множества состоят из пар действительных чисел, которые удовлетворяют некоторым условиям. Изображая точки, соответствующие данным парам в декартовой системе координат на плоскости, получим некоторые области, которые и будут геометрическим (графическим) изображением исследуемого множества.

1. Построим границу множества А. Для этого от неравенства перейдём к равенству: = 4. Из курса аналитической геометрии известно, что это уравнение есть уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 2. Она и будет являться границей множества. Далее следует выяснить, какую часть плоскости нам следует выбрать: ту, что лежит внутри окружности либо ту, что лежит извне. Для этого зададимся координатами какой-либо точки, которая явно находится в выбранной области. Например, точка начала координат О(0;0). Подставим значения х = 0 и у = 0 в неравенство £ 4. Получим: £ 4, то есть в точке О (0;0) данное неравенство справедливо. Следовательно, нам нужно выбрать часть плоскости внутри окружности. Если взять координаты других точек внутри окружности и подставить их в неравенство, результат будет таким же. Напротив, для точек извне неравенство будет ложным. Например, точка Q(10;10): = 200, а это никак не меньше 4! Подытоживая всё сказанное, можем утверждать, что множество А – это круг радиуса 2 с центром в начале координат.

2. Для построения границ множества В рассмотрим равенства: x + y =0, x + y – 2 = 0. Первая прямая (её уравнение можно записать как у = - х) есть биссектриса 2-го и 4-го координатных углов. Она разделяет координатную плоскость на две части: ту, которая лежит выше (или правее) прямой и ту, которая ниже (или левее) прямой. Чтобы выбрать нужную часть, возьмем пробную точку с координатами, например, Q(10;10) и подставим её координаты в неравенство x + y > 0. Получим: 10 +10 > 0 то есть неравенство справедливо для части плоскости выше (правее) прямой x + y =0. Вторая прямая (её уравнение x + y – 2 = 0 может быть записано в отрезках на осях ) отсекает на обеих осях отрезки длиной по 2 единицы и проходит параллельно первой прямой через 2-й, 1-й и 3-й квадранты. Она также разделяет координатную плоскость на две части: одна выше (правее) и вторая ниже (левее). Для выбора нужной нам части можно использовать, например, точку О(0;0). Подставляем х = 0 и у = 0 в неравенство x + y – 2 £ 0. Получим: 0 + 0 – 2 £ 0 - справедливо. Следовательно выбираем ту часть плоскости по отношению ко второй прямой, где лежит точка О(0;0). В итоге получаем область, координаты точек которой удовлетворяют обоим неравенствам (например, это точки (1;1), (0;1), (1;0); (2;-1) и т.д.). Это полоса, лежащая между двумя параллельными прямыми, включая и точки, принадлежащие второй прямой (поскольку неравенство нестрогое). Данная область и определяет искомое множество В.

3. Неравенство |x | £ 1 эквивалентно двум: -1 £ х £ 1. Казалось бы, что это множество точек отрезка [-1; 1]. Если бы мы рассматривали множество из одного элемента, это было бы так. Однако наше множество С состоит из пар действительных чисел (х; у). Поэтому геометрически неравенство -1 £ х £ 1 представляет собой множество точек, лежащих внутри вертикальной полосы между прямыми х = 1 и х = -1. Неравенство |y + 2| £ 4 также эквивалентно двум: -4 £ y + 2 £ 4. Перенося 2 влево и вправо, получаем: -6 £ y £ 2. Геометрически это будет множество точек, лежащих внутри горизонтальной полосы между прямыми y = -6 и y = 2. Итак, мы получили две пересекающиеся полосы. Какую же часть необходимо выбрать для искомого множества С? В условии задачи оба неравенства соединены союзом «и». А это значит, что необходимо выбрать те точки из обеих полос, координаты которых одновременно удовлетворяют обоим неравенствам. В результате получаем прямоугольник. Это и есть наше множество С.

4. Рассмотрим неравенство . Чтобы оно стало «узнаваемым», возведём в квадрат левую и правую его части. Это можно сделать потому, что справа - неотрицательная величина арифметического корня. Слева величина у также неотрицательна, ибо в противном случае неравенство теряло бы всякий смысл. После возведения во вторую степень обеих частей и некоторого преобразования получаем: Это неравенство описывает часть координатной плоскости, лежащей вне эллипса Однако исходное неравенство имеет вид , причём, как было сказано, величина у неотрицательна. Значит, описываемая область будет включать лишь верхнюю часть координатной плоскости, лежащей вне эллипса. Рассмотрим последнее неравенство х ³ 0, которое описывает правую часть координатной плоскости. Сопоставляя все выкладки, получим множество точек, расположенных в первом квадранте вне эллипса. Это и будет искомое множество D.

5. Построим график функции у = sin x, а затем ту его часть, которая находится ниже оси абсцисс, зеркально отразим на верхнюю полуплоскость. Получим график у = |sin x|. Неравенство же y £ |sin x| определит искомое множество Е, точки которого будут находиться между осью абсцисс и дугами отраженной вверх синусоиды.

6. В отличие от предыдущих задач, здесь имеем равенство x2 = y2 , которое, как известно, определяет некоторую линию. Для «узнавания» данной линии сделаем ряд тождественных преобразований: = 0, (х – у) (х + у) = 0. Далее приходим к совокупности х – у = 0 и х + у = 0. Получаем пару пересекающихся прямых - биссектрис 1− 3-го и 2 – 4-го квадрантов. Множество F и представляет собой точки этих прямых.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Перечислить все элементы следующих множеств:

а) { x ô x есть делитель чисел 6 и 8}; (ответ: 2);

б) { x ô x ÎN; x 3 - 5x 2 + 4 = 0}; (ответ: 1);

в) { x ô x ÎR; x + 1/x > 2; x > 0}; (ответ: х Î(0, ¥));

г) { x ô x – буква слова «университет»};

д) { x ô x ÎZ; sin x < 0; cos x > 0}; (ответ: -1).

2. Изобразить следующие множества графически:

а) { (x , y )ô y £ 2x 2 };

б) { (x , y )ô y ³ |x | + 1};

в) { (x , y )ô x 2 + y 2 – 25 > 0}.

Два первые способа задания множества предполагают, что мы имеем возможность отождествлять и различать объекты. Но такая возможность существует не всегда, в этом случае мы сталкиваемся с различного рода осложнениями. Так, может быть, что два различных характеристических свойства задают одно и то же множество, т.е. каждый элемент, обладающий одним свойством, обладает и другим, и наоборот. Например, в арифметике свойство «целое число делится на 2» задаёт то же множество, что и свойство «последняя цифра делится на 2». Во многих случаях речь идёт о совпадении двух множеств (например, множества равносторонних треугольников с множеством равноугольных треугольников). Кроме того, при задании множеств характеристическими свойствами (предикатами) трудности возникают из-за недостаточной чёткости, неоднозначности формулировки. Разграничение объектов на принадлежащие и не принадлежащие данному множеству затрудняется наличием большого числа промежуточных форм.

Особо выделяется универсальное (или фундаментальное ) множество , т.е. такое множество, которое состоит из всех элементов исследуемой предметной области (обозначается буквой U и читается «универсум», а в геометрической интерпретации изображается множеством точек внутри некоторого прямоугольника).

Отметим, что «универсальное множество» понятие относительное: оно выбирается для какого-нибудь определенного раздела науки и при том часто даже явно не определяется, а просто подразумевается.

Так, например, в элементарной планиметрии в качестве универсального множества принято рассматривать множество всех точек плоскости.

В элементарной арифметике универсальным множеством считается множество Z всех целых рациональных чисел и т. д.

1.3. ПУСТОЕ МНОЖЕСТВО

Пустое множество – множество, которое не содержит ни одного элемента (обозначается символом ). Пустое множество можно определить любым противоречивым свойством, например Y не является множеством.

В математике понятие множества является одним из основных, фундаментальным, однако единого определения множества не существует. Одним из наиболее устоявшихся определений множества является следующее: под множеством понимают любое собрание определённых и отличных друг от друга объектов, мыслимых как единое целое. Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) говорил так: "Множество есть многое, мыслимое нами как целое".

Множества как тип данных оказались очень удобными для программирования сложных жизненных ситуаций, так как с их помощью можно точно моделировать объекты реального мира и компактно отображать сложные логические взаимоотношения. Множества применяются в языке программирования Паскаль и один из примеров решения мы ниже разберём. Кроме того, на основе теории множества создана концепция реляционных баз данных, а на основе операций над множествами - реляционная алгебра и её операции - используемые в языках запросов к базам данных, в частности, SQL.

Пример 0 (Паскаль). Существует набор продуктов, продаваемых в нескольких магазинах города. Определить: какие продукты есть во всех магазинах города; полный набор продуктов в городе.

Решение. Определяем базовый тип данных Food (продукты), он может принимать значения, соответствующие названиями продуктов (например, hleb). Объявляем тип множества, он определяет все подмножества, составленные из комбинаций значений базового типа, то есть Food (продукты). И формируем подмножества: магазины "Солнышко", "Ветерок", "Огонёк", а также производные подмножества: MinFood (продукты, которые есть во всех магазинах), MaxFood (полный набор продуктов в городе). Далее прописываем операции для получения производных подмножеств. Подмножество MinFood получается в результате пересечения подмножеств Solnyshko, Veterok и Ogonyok и включает те и только те элементы этих подмножеств, которые включены в каждое их этих подмножеств (в Паскале операция пересечения множеств обозначается звёздочкой: A * B * C, математическое обозначение пересечения множеств дано далее). Подмножество MaxFood получается в результате объединения тех же подмножеств и включает элементы, которые включены во все подмножества (в Паскале операция объединения множеств обозначается знаком "плюс": A + B + C, математическое обозначение объединения множеств дано далее).

Код PASCAL

Program Shops; type Food=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, maslo, ryba); Shop = set of Food; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Shop; Begin Solnyshko:=; Veterok:=; Ogonyok:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; End.

Какие бывают множества

Объекты, составляющие множества - объекты нашей интуиции или интеллекта - могут быть самой различной природы. В примере в первом параграфе мы разобрали множества, включающие набор продуктов. Множества могут состоять, например, и из всех букв русского алфавита. В математике изучаются множества чисел, например, состоящие из всех:

Натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, ...

Простых чисел

Чётных целых чисел

и т.п. (основные числовые множества рассмотрены в этого материала).

Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Можно сказать, что множество - это "мешок с элементами". Очень важно: в множестве не бывает одинаковых элементов.

Множества бывают конечными и бесконечными. Конечное множество - это множество, для которого существует натуральное число, являющееся числом его элементов. Например, множество первых пяти неотрицательных целых нечётных чисел является конечным множеством. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел является бесконечным множеством.

Если M - множество, а a - его элемент, то пишут: a ∈M , что означает "a принадлежит множеству M ".

Из первого (нулевого) примера на Паскале с продуктами, которые есть в тех или иных магазинах:

hleb ∈VETEROK ,

что означает: элемент "hleb" принадлежит множеству продуктов, которые есть в магазине "VETEROK".

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.

Множество можно задать, перечислив все его элементы, например:

VETEROK = {hleb , syr , maslo } ,

A = {7 , 14 , 28 } .

Перечислением можно задать только конечное множество. Хотя можно сделать это и описанием. Но бесконечные множества можно задать только описанием.

Для описания множеств используется следующий способ. Пусть p (x ) - некоторое высказывание, которое описывает свойства переменной x , областью значений которых является множество M . Тогда через M = {x | p (x )} обозначаентся множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, для которых высказывание p (x ) истинно. Это выражение читается так: "Множество M , состоящее из всех таких x , что p (x ) ".

Например, запись

M = {x | x ² - 3x + 2 = 0}

Пример 6. Согласно опросу 100 покупателей рынка, купивших цитрусовые, апельсины купили 29 покупателей, лимоны - 30 покупателей, мандарины - 9, только мандарины - 1, апельсины и лимоны - 10, лимоны и мандарины - 4, все три вида фруктов - 3 покупателя. Сколько покупателей не купили ни одного вида перечисленных здесь цитрусовых? Сколько покупателей купили только лимоны?

Операция декартова произведения множеств

Для определения ещё одной важной операции над множествами - декартова произведения множеств введём понятие упорядоченного набора длины n .

Длиной набора называется число n его компонент. Набор, составленный из элементов , взятых именно в этом порядке, обозначается . При этом i я () компонента набора есть .

Сейчас последует строгое определение, которое, возможно, не сразу понятно, но после этого определения будет картинка, по которой станет понятно, как получить декартово произведение множеств.

Декартовым (прямым) произведением множеств называется множество, обозначаемое и состоящее из всех тех и только тех наборов длины n , i -я компонента которых принадлежит .

Например, если , , ,


Из огромного многообразия всевозможных множеств особый интерес представляют так называемые числовые множества , то есть, множества, элементами которых являются числа. Понятно, что для комфортной работы с ними нужно уметь их записывать. С обозначений и принципов записи числовых множеств мы и начнем эту статью. А дальше рассмотрим, как числовые множества изображаются на координатной прямой.

Навигация по странице.

Запись числовых множеств

Начнем с принятых обозначений. Как известно, для обозначения множеств используются заглавные буквы латинского алфавита. Числовые множества, как частный случай множеств, обозначаются также. Например, можно говорить о числовых множествах A , H , W и т.п. Особую важность имеют множества натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел и т.п., для них были приняты свои обозначения:

  • N – множество всех натуральных чисел;
  • Z – множество целых чисел;
  • Q – множество рациональных чисел;
  • J – множество иррациональных чисел;
  • R – множество действительных чисел;
  • C – множество комплексных чисел.

Отсюда понятно, что не стоит обозначать множество, состоящее, к примеру, из двух чисел 5 и −7 как Q , это обозначение будет вводить в заблуждение, так как буквой Q обычно обозначают множество всех рациональных чисел. Для обозначения указанного числового множества лучше использовать какую-нибудь другую «нейтральную» букву, например, A .

Раз уж мы заговорили про обозначения, то здесь напомним и про обозначение пустого множества, то есть множества, не содержащего элементов. Его обозначают знаком ∅.

Также напомним про обозначение принадлежности и непринадлежности элемента множеству. Для этого используют знаки ∈ - принадлежит и ∉ - не принадлежит. Например, запись 5∈N означает, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел, а 5,7∉Z – десятичная дробь 5,7 не принадлежит множеству целых чисел.

И еще напомним про обозначения, принятые для включения одного множества в другое. Понятно, что все элементы множества N входят в множество Z , таким образом, числовое множество N включено в Z , это обозначается как N⊂Z . Также можно использовать запись Z⊃N , которая означает, что множество всех целых чисел Z включает множество N . Отношения не включено и не включает обозначаются соответственно знаками ⊄ и ⊅. Также используются знаки нестрогого включения вида ⊆ и ⊇, означающие соответственно включено или совпадает и включает или совпадает.

Про обозначения поговорили, переходим к описанию числовых множеств. При этом затронем лишь основные случаи, которые наиболее часто используются на практике.

Начнем с числовых множеств, содержащих конечное и небольшое количество элементов. Числовые множества, состоящие из конечного числа элементов, удобно описывать, перечисляя все их элементы. Все элементы-числа записываются через запятую и заключаются в , что согласуется с общими правилами описания множеств . Например, множество, состоящее из трех чисел 0 , −0,25 и 4/7 можно описать как {0, −0,25, 4/7} .

Иногда, когда число элементов числового множества достаточно велико, но элементы подчиняются некоторой закономерности, для описания используют многоточие. Например, множество всех нечетных чисел от 3 до 99 включительно можно записать как {3, 5, 7, …, 99} .

Так мы плавно подошли к описанию числовых множеств, число элементов которых бесконечно. Иногда их можно описать, используя все тоже многоточие. Для примера опишем множество всех натуральных чисел: N={1, 2. 3, …} .

Также пользуются описанием числовых множеств посредством указания свойств его элементов. При этом применяют обозначение {x| свойства} . Например, запись {n| 8·n+3, n∈N} задает множество таких натуральных чисел, которые при делении на 8 дают остаток 3 . Это же множество можно описать как {11,19, 27, …} .

В частных случаях числовые множества с бесконечным числом элементов представляют собой известные множества N , Z , R , и т.п. или числовые промежутки. А в основном числовые множества представляются как объединение составляющих их отдельных числовых промежутков и числовых множеств с конечным числом элементов (о которых мы говорили чуть выше).

Покажем пример. Пусть числовое множество составляют числа −10 , −9 , −8,56 , 0 , все числа отрезка [−5, −1,3] и числа открытого числового луча (7, +∞) . В силу определения объединения множеств указанное числовое множество можно записать как {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Такая запись фактически означает множество, содержащее в себе все элементы множеств {−10, −9, −8,56, 0} , [−5, −1,3] и (7, +∞) .

Аналогично, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, можно описать любое числовое множество (состоящее из действительных чисел). Здесь становится понятно, почему были введены такие виды числовых промежутков как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч: все они в купе с обозначениями множеств отдельных чисел позволяют описывать любые числовых множества через их объединение.

Обратите внимание, что при записи числового множества составляющие его числа и числовые промежутки упорядочиваются по возрастанию. Это не обязательное, но желательное условие, так как упорядоченное числовое множество проще представить и изобразить на координатной прямой. Также отметим, что в подобных записях не используются числовые промежутки с общими элементами, так как такие записи можно заменить объединением числовых промежутков без общих элементов. Например, объединение числовых множеств с общими элементами [−10, 0] и (−5, 3) есть полуинтервал [−10, 3) . Это же относится и к объединению числовых промежутков с одинаковыми граничными числами, например, объединение (3, 5]∪(5, 7] представляет собой множество (3, 7] , на этом мы отдельно остановимся, когда будем учиться находить пересечение и объединение числовых множеств .

Изображение числовых множеств на координатной прямой

На практике удобно пользоваться геометрическими образами числовых множеств – их изображениями на . Например, при решении неравенств , в которых необходимо учитывать ОДЗ, приходится изображать числовые множества, чтобы найти их пересечение и/или объединение. Так что полезно будет хорошо разобраться со всеми нюансами изображения числовых множеств на координатной прямой.

Известно, что между точками координатной прямой и действительными числами существует взаимно однозначное соответствие, что означает, что сама координатная прямая представляет собой геометрическую модель множества всех действительных чисел R . Таким образом, чтобы изобразить множество всех действительных чисел, надо начертить координатную прямую со штриховкой на всем ее протяжении:

А часто даже не указывают начало отсчета и единичный отрезок:

Теперь поговорим про изображение числовых множеств, представляющих собой некоторое конечное число отдельных чисел. Для примера, изобразим числовое множество {−2, −0,5, 1,2} . Геометрическим образом данного множества, состоящего из трех чисел −2 , −0,5 и 1,2 будут три точки координатной прямой с соответствующими координатами:

Отметим, что обычно для нужд практики нет необходимости выполнять чертеж точно. Часто достаточно схематического чертежа, что подразумевает необязательное выдерживание масштаба, при этом важно лишь сохранять взаимное расположение точек относительно друг друга: любая точка с меньшей координатой должна быть левее точки с большей координатой. Предыдущий чертеж схематически будет выглядеть так:

Отдельно из всевозможных числовых множеств выделяют числовые промежутки (интервалы, полуинтервалы, лучи и т.д.), что представляют их геометрические образы, мы подробно разобрались в разделе . Здесь не будем повторяться.

И остается остановиться лишь на изображении числовых множеств, представляющих собой объединение нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел. Здесь нет ничего хитрого: по смыслу объединения в этих случаях на координатной прямой нужно изобразить все составляющие множества данного числового множества. В качестве примера покажем изображение числового множества (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ {log 2 5, 5}∪(17, +∞) :

И остановимся еще на достаточно распространенных случаях, когда изображаемое числовое множество представляет собой все множество действительных чисел, за исключением одной или нескольких точек. Такие множества частенько задаются условиями типа x≠5 или x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 и т.п. В этих случаях геометрически они представляют собой всю координатную прямую, за исключением соответствующих точек. Иными словами, из координатной прямой нужно «выколоть» эти точки. Их изображают кружочками с пустым центром. Для наглядности изобразим числовое множество, соответствующее условиям (это множество по сути есть ):

Подведем итог. В идеале информация предыдущих пунктов должна сформировать такой же взгляд на запись и изображение числовых множеств, как и взгляд на отдельные числовые промежутки: запись числового множества сразу должна давать его образ на координатной прямой, а по изображению на координатной прямой мы должны быть готовы с легкостью описать соответствующее числовое множество через объединение отдельных промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел.

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

Что такое множество в математике? Математическое множество - это несколько отдельных элементов, рассматриваемых, как единое целое. Если обозначить такой элемент буквой a, а само множество - буквой А, то запись будет выглядеть следующим образом:

проговаривается эта запись так: a принадлежит А, или А содержит а, или а - элемент А.

Для перечисления элементов множества используются фигурные скобки - {}. То есть, например, множество, в котором а ∈ А, b ∈ A и c ∈ A, будет записываться в таком виде:

Виды множеств.

Пустые множества.

Пустое множество – это то множество, которое вообще не содержит никаких элементов. Обозначается оно цифрой 0 или специальным значком ∅.

Примером пустого множества может служить любое нелогичное понятие , противоречащее самому себе - «множество птиц, живущих на дне океана», или «множество деревьев на Луне». Поскольку оба множества лишены смысла и не отвечают реальности, то, следовательно, они являются пустыми. Скажем, количество деревьев на Луне – 0, поэтому «множество деревьев на Луне» будет пустым (не будет содержать ни одного элемента).

Равные множества.

Равные множества – это два или более множеств, состоящих из равных наборов элементов. Приведём пример. Скажем, все члены Вашей семьи находятся на кухне. Таким образом, Множество «Члены семьи на кухне» будет равно множеству «Члены семьи в квартире».

Если два множества - А и B - состоят из одинакового набора элементов, то они будут равны, то есть А = B. Элементы множеств могут перечисляться в любой последовательности, на результат это никак не влияет. Множество {a, b, c} можно с тем же успехом записать, как {a, c, b}, или {с, b, a}, или {b, c, a}.

Подмножества и надмножества.

Если множества А и B состоят из одинаковых элементов {a, b, c}, то А будет считаться подмножеством B, а B - надмножеством А. Записывается это следующим образом:

A ⊆ B, B ⊇ A.

Бывает так, что множество В содержит в себе каждый из элементов множества А, но в то же время в нем присутствуют и другие элементы, множеству А не принадлежащие. В этом случае множество В становится собственным надмножеством А, в то время как множество А становится собственным подмножеством В.

Иначе говоря, если А ⊆ В, но при этом А ≠ В, то А ⊂ В, В ⊃ А.

Похожие публикации