Постройте сечение прямоугольного. Учимся строить сечения

А вы знаете, что называется сечением многогранников плоскостью? Если вы пока сомневаетесь в правильности своего ответа на этот вопрос, то можете довольно просто себя проверить. Предлагаем пройти небольшой тест, представленный ниже.

Вопрос. Назовите номер рисунка, на котором изображено сечение параллелепипеда плоскостью?

Итак, правильный ответ – на рисунке 3.

Если вы ответите правильно, это подтверждает то, что вы понимаете, с чем имеете дело. Но, к сожалению, даже правильный ответ на вопрос-тест не гарантирует вам наивысших отметок на уроках по теме «Сечения многогранников». Ведь самым сложным является не распознавание сечений на готовых чертежах, хотя это тоже очень важно, а их построении.

Для начала сформулируем определение сечения многогранника. Итак, сечением многогранника называют многоугольник, вершины которого лежат на ребрах многогранника, а стороны – на его гранях.

Теперь потренируемся быстро и безошибочно строить точки пересечения данной прямой с заданной плоскостью. Для этого решим следующую задачу.

Построить точки пересечения прямой MN с плоскостями нижнего и верхнего оснований треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 , при условии, что точка M принадлежит боковому ребру CC 1 , а точка N – ребру BB 1 .

Начнем с того, что продлим на чертеже прямую MN в обе стороны (рис. 1). Затем, чтобы получить необходимые по уловию задачи точки пересечения, продлеваем и прямые, лежащие в верхнем и нижнем основаниях. И вот наступает самый сложный момент в решении задачи: какие именно прямые в обоих основаниях необходимо продлить, так как в каждом из них имеется по три прямые.

Чтобы правильно сделать заключительный шаг построения, необходимо определить, какие из прямых оснований находятся в той же плоскости, что и интересующая нас прямая MN. В нашем случае – это прямая CB в нижнем и C 1 B 1 в верхнем основаниях. И именно их и продлеваем до пересечения с прямой NM (рис. 2).

Полученные точки P и P 1 и есть точки пересечения прямой MN с плоскостями верхнего и нижнего оснований треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 .

После разбора представленной задачи можно перейти непосредственно к построению сечений многогранников. Ключевым моментом здесь будут рассуждения, которые и помогут прийти к нужному результату. В итоге постараемся в итоге составить шаблон, который будет отражать последовательность действий при решении задач данного типа.

Итак, рассмотрим следующую задачу. Построить сечение треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 плоскостью, проходящей через точки X, Y, Z, принадлежащие ребрам AA 1 , AC и BB 1 соответственно.

Решение: Выполним чертеж и определим, какие пары точек лежат в одной плоскости.

Пары точек X и Y, X и Z можно соединить, т.к. они лежат в одной плоскости.

Построим дополнительную точку, которая будет лежать в той же грани, что и точка Z. Для этого продлим прямые XY и СС 1 , т.к. они лежат в плоскости грани AA 1 C 1 C. Назовем полученную точку P.

Точки P и Z лежат в одной плоскости – в плоскости грани CC 1 B 1 B. Поэтому можем их соединить. Прямая PZ пересекает ребро CB в некоторой точке, назовем ее T. Точки Y и T лежат в нижней плоскости призмы, соединяем их. Таким образом, образовался четырехугольник YXZT, а это и есть искомое сечение.

Подведем итог. Чтобы построить сечение многогранника плоскостью, необходимо:

1) провести прямые через пары точек, лежащих в одной плоскости.

2) найти прямые, по которым пересекаются плоскости сечения и грани многогранника. Для этого нужно найти точки пересечения прямой, принадлежащей плоскости сечения, с прямой, лежащей в одной из граней.

Процесс построения сечений многогранников сложен тем, что в каждом конкретном случае он различен. И никакая теория не описывает его от начала и до конца. На самом деле есть только один верный способ научиться быстро и безошибочно строить сечения любых многогранников – это постоянная практика. Чем больше сечений вы построите, тем легче в дальнейшем вам будет это делать.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Сегодня еще раз разберем, как построить сечение тетраэдра плоскостью .
Рассмотрим самый простой случай (обязательный уровень), когда 2 точки плоскости сечения принадлежат одной грани, а третья точка - другой грани.

Напомним алгоритм построения сечений такого вида (случай: 2 точки принадлежат одной грани).

1. Ищем грань, которая содержит 2 точки плоскости сечения. Проводим прямую через две точки, лежащие в одной грани. Находим точки ее пересечения с ребрами тетраэдра. Часть прямой, оказавшаяся в грани, есть сторона сечения.

2. Если многоугольник можно замкнуть - сечение построено. Если нельзя замкнуть, то находим точку пересечения построенной прямой и плоскости, содержащей третью точку.

1. Видим, что точки E и F лежат в одной грани (BCD), проведем прямую EF в плоскости (BCD).
2. Найдем точку пересечения прямой EF c ребром тетраэдра BD, это точка Н.
3. Теперь следует найти точку пересечения прямой EF и плоскости, содержащей третью точку G, т.е. плоскости (ADC).
Прямая CD лежит в плоскостях (ADC) и (BDC), значит она пересекается с прямой EF, и точка К является точкой пересечения прямой EF и плоскости (ADC).
4. Далее находим еще две точки, лежащие в одной плоскости. Это точки G и K, обе лежат в плоскости левой боковой грани. Проводим прямую GK, отмечаем точки, в которых эта прямая пересекает ребра тетраэдра. Это точки M и L.
4. Осталось "замкнуть" сечение, т.е.соединить точки, лежащие в одной грани. Это точки M и H, и также L и F. Оба этих отрезка - невидимы, проводим их пунктиром.

В сечении получился четырехугольник MHFL. Все его вершины лежат на ребрах тетраэдра. Выделим получившееся сечение.

Теперь сформулируем "свойства" правильно построенного сечения:

1. Все вершины многоугольника, которое является сечением, лежат на ребрах тетраэдра (параллелепипеда, многоугольника).

2. Все стороны сечения лежат в гранях многогранника.
3. В каждой грани многоранника может находиться не более одной (одна или ни одной!) стороны сечения

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ И РАЗРЕЗОВ НА ЧЕРТЕЖАХ

Формирование чертежа детали производится путем последовательного добавления необходимых проекций, разрезов и сечений. Первоначально создается произвольный вид с указанной пользователем модели, при этом задается ориентация модели, наиболее подходящая для главного вида. Далее по этому и следующим видам создаются необходимые разрезы и сечения.

Главный вид (вид спереди) выбирается таким образом, чтобы он давал наиболее полное представление о формах и размерах детали.

Разрезы на чертежах

В зависимости от положения секущей плоскости различают следующие виды разрезов:

А) горизонтальные, если секущая плоскость располагается параллельно горизонтальной плоскости проекций;

Б) вертикальные, если секущая плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций;

В) наклонные - секущая плоскость наклонена к плоскостям проекций.

Вертикальные разрезы подразделяются на:

· фронтальные - секущая плоскость параллельна фронтальной плоскости проекций;

· профильные - секущая плоскость параллельна профильной плоскости проекций.
В зависимости от числа секущих плоскостей разрезы бывают:

· простые - при одной секущей плоскости (рис.107);

· сложные - при двух и более секущих плоскостях (рис.108)
Стандартом предусмотрены следующие виды Сложных разрезов:

· ступенчатые, когда секущие плоскости располагаются параллельно (рис.108 а) и ломаные - секущие плоскости пересекаются (рис.108 б)

Рис.107 Простой разрез

А) б)

Рис.108 Сложные разрезы

Обозначение разрезов

В случае, когда в простом разрезе секущая плоскость совпадает с плоскостью симметрии предмета, разрез не обозначается (рис.107). Во всех остальных случаях разрезы обозначаются прописными буквами русского алфавита, начиная с буквы А, например А-А.

Положение секущей плоскости на чертеже указывают линией сечения – утолщенной разомкнутой линией. При сложном разрезе штрихи проводят также у перегибов линии сечения. На начальном и конечном штрихах следует ставить стрелки, указывающие направление взгляда, стрелки должны находиться на расстоянии 2-3 мм от наружных концов штрихов. С наружной стороны каждой стрелки, указывающей направление взгляда, наносят одну и ту же прописную букву.

Для обозначения разрезов и сечений в системе КОМПАС используется одна и та же кнопка Линия разреза, расположенная на странице Обозначения (рис.109).

Рис.109 Кнопка Линия разреза

Соединение половины вида с половиной разреза

Если вид и разрез представляют собой симметричные фигуры (рис.110), то можно соединять половину вида и половину разреза, разделяя их штрихпунктирой тонкой линией, являющейся осью симметрии. Часть разреза обычно располагают справа от оси симметрии, разделяющей часть вида с частью разреза, или снизу от оси симметрии. Линии невидимого контура на соединяемых частях вида и разреза обычно не показываются. Если с осевой линией, разделяющий вид и разрез, совпадает проекция какой-либо линии, например, ребра гранной фигуры, то вид и разрез разделяются сплошной волнистой линией, проводимой левее оси симметрии, если ребро лежит на внутренней поверхности, или правее, если ребро наружное.

Рис. 110 Соединение части вида и разреза

Построение разрезов

Построение разрезов в системе КОМПАС изучим на примере построения чертежа призмы, задание для которого изображено на рис.111.

Последовательность построения чертежа следующая:

1. По заданным размерам построим твердотельную модель призмы (рис.109 б). Сохраним модель в памяти компьютера в файле с именем «Призма».

Рис.112 Панель Линии

3. Для построения профильного разреза (рис.113) начертим линию разреза А-А на главном виде с помощью кнопки Линия разреза.

Рис.113 Построение профильного разреза

Направление взгляда и текст обозначения можно выбрать на панели управления командой внизу экрана (рис.114). Завершается построение линии разреза нажатием на кнопку Создать объект.

Рис.114 Панель управления командой построения разрезов и сечений

4. На панели Ассоциативные виды (рис.115) выберем кнопку Линия разреза, затем появившейся на экране ловушкой укажем линию разреза. Если все сделано верно (линия разреза должна быть обязательно построена в активном виде), то линия разреза окрасится в красный цвет. После указания линии разреза А-А на экране появится фантом изображения в виде габаритного прямоугольника.

Рис.115 Панель Ассоциативные виды

С помощью переключателя Разрез/сечение на Панели свойств выбирается тип изображения – Разрез (рис.116) и масштаб отображаемого разреза.

Рис.116 Панель управления командой построения разрезов и сечений

Профильный разрез построится автоматически в проекционной связи и со стандартным обозначением. При необходимости проекционную связь можно отключать переключателем Проекционная связь (рис.116). Для настройки параметров штриховки, которая будет использована в создаваемом разрезе (сечении) используется элементы управления на вкладке Штриховка.

Рис.117 Построение горизонтального разреза Б-Б и сечения В-В

Если выбранная секущая плоскость при построении разреза совпадает с плоскостью симметрии детали, то в соответствии со стандартом такой разрез не обозначается. Но если просто стереть обозначение разреза, то из-за того, что вид и разрез в памяти компьютера связаны между собой, то сотрется и весь разрез. Поэтому для того, чтобы удалить обозначение, вначале следует разрушить связь вида и разреза. Для этого щелчком левой кнопки мыши выделяется разрез, а затем щелчком правой кнопки мыши вызывается контекстное меню, из которого выбирается пункт Разрушить вид (рис.97). Теперь обозначение разреза можно удалить.

5. Для построения горизонтального разреза проведем через нижнюю плоскость отверстия на виде спереди линию разреза Б-Б. Предварительно обязательно двумя щелчками левой кнопки мыши вид спереди следует сделать текущим. Затем строится горизонтальный разрез (рис.117).

6. При построении фронтального разреза совместим часть вида и часть разреза, т.к. это симметричные фигуры. На линию разделяющую вид и разрез проецируется наружное ребро призмы, поэтому разграничим вид и разрез сплошной тонкой волнистой линией, проводимой правее оси симметрии, т.к. ребро наружное. Для построения волнистой линии используется кнопка Кривая Безье, расположенной на панели Геометрия, вычерчиваемая стилем Для линии обрыва (рис.118). Последовательно указывайте точки, через которые должна пройти кривая Безье. Закончить выполнение команды следует нажатием на кнопку Создать объект.

Рис.118 Выбор стиля линии для обрыва

Построение сечений

Сечением называется изображения предмета, которые получаются при мысленном рассечении предмета плоскостью. На сечении показывают только то, что расположено в секущей плоскости.

Положение секущей плоскости, с помощью которой образуется сечение, на чертеже указывают линией сечения, так же как для разрезов.

Сечения в зависимости от расположения их на чертежах разделяются на вынесенные и наложенные. Вынесенные сечения располагаются чаще всего на свободном поле чертежа и обводятся основной линией. Наложенные сечения располагают непосредственно на изображении предмета и обводят тонкими линиями (рис.119).

Рис.119 Построение сечений

Рассмотрим последовательность построения чертежа призмы с вынесенным наклонным сечением Б-Б (рис.117).

1. Сделаем вид спереди активным двойным щелчком левой кнопкой мыши по виду и начертим линию разреза с помощью кнопки Линия разреза. Выберем текст надписи В-В.

2. С помощью кнопки Линия разреза, расположенной на панели Ассоциативные виды (рис.115), появившейся ловушкой укажем линию секущей плоскости В-В. С помощью переключателя Разрез/сечение на Панели свойств следует выбрать тип изображения – Сечение (рис.116), масштаб отображаемого сечения выбирается из окна Масштаб.

Построенное сечение располагается в проекционной связи, что ограничивает его перемещение по чертежу, но проекционную связь можно отключать с помощью кнопки Проекционная связь.

На готовом чертеже следует прочертить осевые линии, при необходимости проставить размеры.

Сечение - изображение фигуры, получающееся при мысленном рассечении предмета одной или несколькими плоскостями.
На сечении показывается только то, что получается непосредственно в секущей плоскости .

Сечения обычно применяют для выявления поперечной формы предмета. Фигуру сечения на чертеже выделяют штриховкой. Штриховые линии наносят в соответствии с общими правилами.

Порядок формирования сечения:
1. Вводится секущая плоскость в том месте детали, где необходимо более полно выявить ее форму. 2. Мысленно отбрасывается часть детали, расположенная между наблюдателем и секущей плоскостью. 3. Фигура сечения мысленно поворачивается до положения, параллельного основной плоскости проекций P. 4. Изображение сечения формируют в соответствии с общими правилами проецирования.

Сечения, не входящие в состав , разделяют на:

Вынесенные;
- наложенные.

Вынесенные сечения являются предпочтительными и их допускается располагать в разрыве между частями одного и того же вида.
Контур вынесенного сечения, а также сечения, входящего в состав разреза, изображают сплошными основными линиями.

Наложенным называют сечение , которое располагают непосредственно на виде предмета. Контур наложенного сечения выполняют сплошной тонкой линией. Фигуру сечения располагают в том месте основного вида, где проходит секущая плоскость, и заштриховывают.

Наложение сечений: а) симметричное; б) несимметричное

Ось симметрии наложенного или вынесенного сечения указывают штрихпунктирной тонкой линией без обозначения буквами и стрелками и линию сечения не проводят.

Сечения в разрыве. Такие сечения располагают в разрыве основного изображения и выполняют сплошной основной линией.
Для несимметричных сечений, расположенных в разрыве или наложенных линию сечения проводят со стрелками, но буквами не обозначают.

Сечение в разрыве: а) симметричное; б) несимметричное

Вынесенные сечения располагают:
- на любом месте поля чертежа;
- на месте основного вида;
- с поворотом с добавлением знака «повернуто»

Если секущая плоскость проходит через ось поверхности вращения, ограничивающие отверстие или углубления, то их контур в сечении показывают полностью, т.е. выполняют по правилу разреза.

Если сечение получается состоящим из двух и более отдельных частей, то следует применить разрез, вплоть до изменения направления взгляда.
Секущие плоскости выбирают так, чтобы получить нормальные поперечные сечения.
Для нескольких одинаковых сечений, относящихся к одному предмета, линию сечения обозначают одной буквой и вычерчивают одно сечение.

Выносные элементы.
Выносной элемент - отдельное увеличенное изображение части предмета для представления подробностей, не указанных на соответствующем изображении; может отличаться от основного изображения по содержанию. Например, основное изображение является видом, а выносной элемент - разрезом.

На основном изображении часть предмета выделяют окружностью произвольного диаметра, выполненной тонкой линией, от нее идет линия-выноска с полочкой, над которой ставят прописную букву русского алфавита, высотой более, чем высота размерных чисел. Над выносным элементом пишут эту же букву и справа от нее в круглых скобках, без буквы М, указывают масштаб выносного элемента.

В этом методе мы первым действием (после нахождения вторичных проекций данных точек) строим след секущей плоскости на плоскости верхнего или нижнего основания призмы или усечённой пирамиды или на основании пирамиды

Зад 2. Дано изображение треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 и трёх точек M , N , P , которые лежат соответственно на ребре СС 1 и гранях ABB 1 A 1 , BCC 1 B 1 . Построить сечение призмы плоскостью , проходящей через M , N , P .

Решение. Мы уже имеем одну точку на верхнем основании призмы, поэтому и след мы будем строить на верхнем основании. Строим вторичные проекции точек N и P на верхнее основание.Затем: 1 .N P N 3 P 3 =X ; 2 .M X =p –след; 3 .p B 1 C 1 =D .

Дальнейшие действия уже были показаны выше на чертеже.

Зад 3. Реш. Мы будем строить след секущей плоскости на нижнем основании призмы.

Строим:1. M N E D =X , M P EP 3 =Y ;

2. p =XY – след;3. p B C =G , p D C =H .

Нам нужно найти точку на ребре BB 1 или на ребре AA 1 .

ВграниABB 1 A 1 мы уже имеем одну точку P . Поэтому нижнее ребро этой грани, т.е. AB , мы продолжаем до пересечения со следом.

4. A B p =Z .

5. P Z AA 1 =F ; P Z BB 1 =K .Дальнейшие действия уже показаны выше.

Если окажется, что линия AB не пересекается со следом, то искомая FK тоже будет параллельна следу. Зад 4. Реш. 1. P N P o N o =X ;

2. M N CN o =Y ;3. p =XY – след;

3. C B p =Z ;4. Z M S B =E ;

5. E N S A =G 6. GEMF – иск сечение.

17. Построение сечения цилиндра.

Если секущая плоскость задана тремя точками, то мы всегда можем найти её след на плоскости основания цилиндра или конуса и точку (P , O ) на его оси. Поэтому считаем, что секущая плоскость задана именно этими элементами.

Сначала рас-им случай, когда плоскость пересекает только боковую поверхность цилиндра. Тогда сечением цилиндра будет эллипс (;¯ и его изображение – тоже эллипс. Мы знаем способ построения эллипса, если известны два его сопряжённых диаметра. Мы сейчас покажем, как можно найти изображение главных диаметров эллипса (;¯.

Пусть  и  1 – эллипсы, изображающие нижнее и верхнее основания цилиндра, O и O 1 – их центры. Проведём диаметр A 3 B 3 нижнего основания, параллельный следу и сопряжённый ему диаметр C 3 D 3 . Для построения C 3 D 3 мы используем хорду K 3 L 3 , один конец которой принадлежит контурной образующей. Напомним, что A 3 B 3 и C 3 D 3 изображают перпендикулярные диаметры. Продолжим C 3 D 3 до пересечения со следом. Получим точ X . Прям.PX наз-ём осью сечения.

Поднимем точки C 3 и D 3 до оси сечения. Получим C и D . Отрезок CD является изображением большогодиаметра сечения. Поднимем отрезок A 3 B 3 на высоту OP . Получим отрезок AB , который является изображением малого диаметра сечения. Отр-и AB и CD –сопряж-ые диам. эллипса .

Найти ещё точки, в которых эллипс переходит с видимой стороны цилиндра на невидимую, а значит, сплошная линия переходит в пунктир. Это точки пересечения секущей плоскости с контурными образующими. ПустьY 3 =K 3 L 3 C 3 D 3 . Поднимем Y 3 до оси сечения. Получим точку Y . Поднимем хорду K 3 L 3 на высоту YY 3 . Получим отрезок KL . Мы нашли требуемую точку K , а попутно, ещё одну дополнительную точку L . Точка M , изобр-щая пересечение секущей плоск-и со второй контурной образующей симметрична точкеK относительно точкиP .Допол-но построим точN , симметричнуюL относ-нточки P

Покажем способ, как можно найти любое кол-во точек на сечении без испол-ия этих диаметров.

выбираем люб. точкуV 3 на эллипсе . Проводим диаметрV 3 T 3 и продолжаем его до пересечения со следом.Получим точкуU . Поднимаем точки V 3 и T 3 до прямой UP . Получаем две точки V и T на сечении. Выбирая вместо V 3 другую точку, получим др. 2 точки на сеч.Если выбрать точку K 3 , лежащую на контурно образующей, мы найдём точки K и M , в которых сплошная линия на сечении должна перейти в пунктирную.