Приближенное решение уравнений разными инструментальными средствами. Приближенные методы решения уравнений
Главная > Урок- Представляемые материалы: Конспекты уроков Краткая аннотация: Некоторые темы курса алгебры и математического анализа могут быть изложены с использованием методов информатики. К таким темам относятся «Квадратичная функция и ее свойства», «Приближенные методы решения уравнений». В моем конспекте Предмет: алгебра и математический анализ + информатика Уровень образования школьников – класс с углубленным изучением математики. Форма учебной работы – классно-урочная.
- Организационный момент. Объявление темы, цели и задач урока.
Актуализация знаний, необходимых для изучения нового материала:
- Что называется уравнением? Что называется корнем уравнения? Что значит «решить уравнение»? (Использовать интерактивную доску) Объяснить, как можно графически решить уравнение.(Использовать интерактивную доску, на которой строится график в заранее заготовленной системе координат) Как построить график функции в Excel? (использовать интерактивную доску и файл «график»
) Использование функции поиск решения
в Excel.
- Изучение нового материала.
Дано : - область определения, е – точность приближения.
Требуется найти
: с – приближенное решение, |f(c)| метод поиска приближений построен на вычислении середины отрезка с=(а+b)/2 и анализе значения функции f(c) в этой точке. Если значение функции в этой точке меньше заданного е, то приближенное решение найдено. Если же значение функции в середине отрезка больше е, то из отрезков и [с; b] выбирается тот, на котором функция f(х) имеет разные знаки на концах, и решение ищется на этом отрезке. если
f(а)·f(b)≤0 то
с=(а+b)/2 пока
|f(c)|>e нц
если
f(а)·f(b)<0 то
b=c иначе
а=с конец ветвления
конец ветвления
Цель: способствовать развитию навыка решать уравнения графическим способом с помощью электронных таблиц.
Ход урока: 2) Дайте определение электронной таблицы. Тема
:
Оборудование: компьютерный класс, проектор
1) Применение электронных таблиц 3. Изучение нового материала (10 мин) Найдем в электронных таблицах корень уравнения x 3 – cos x = 0, используя метод подбора параметра. Ведем значения аргумента – 1,4 до 1,4 с шагом 0, 2
Подготовить уравнения для решения графическим способом и методом подбора параметра. Тема
:
Приближенное решение уравнений методом подбора параметра.
Цель: способствовать развитию навыка решать уравнения, используя метод подбора параметра.
Оборудование: компьютерный класс, проектор
1. Организационный момент (2 мин) 2. Актуализация знаний (8 мин) 1) Применение электронных таблиц 2) Дайте определение электронной таблицы.
3. Практическая работа № 51 (30 мин) 1) Найти в электронных таблицах корень уравнения x 2 = cos x , используя метод подбора параметра. Ведем значения аргумента – 3 до 3 с шагом 0, 2
Действительные корни уравнения f(x)=0 (как алгебраического, так и трансцендентного) можно приближенно найти графически или посредством отделения корней. Для графического решения уравнения f(x)=0 строят график функции у=f(x); абсциссы точек пересечения и точек касания графика с осью абсцисс являются корнями уравнения. Метод отделения корней состоит в том, что находят таких два числа a и b, при которых функция f(x), предполагаемая непрерывной, имеет различные знаки - в этом случае между а и b заключен, по крайней мере, один корень; если производная f"(x) сохраняет знак в интервале от а до b, значит, f(x) - монотонная функция, то этот корень единственный (рис. 1). Более совершенными приемами, позволяющими найти корень с любой точностью, являются следующие. Пусть найдены такие два значения аргумента х=а, x=b (а По способу хорд: значение корня х 1 уравнения f(х) = 0 в интервале [а, b] в первом приближении находится по формуле Затем выбирается тот из интервалов , , на концах которого значения f(x) имеют различные знаки и находится корень х 2 во втором приближении по той же формуле, но с заменой числа х 1 на х 2 , а числа b или а на x 1 (в зависимости от того, взят ли интервал или [х 1 , b]). Аналогично находятся последующие приближения (рис. 2). По способу касательных (или способу Ньютона) рассматривают тот из концов интервала [а, b], где f(x) и f""(х) имеют одинаковые знаки (рис. 3). В зависимости от того, выполняется ли это условие на конце х=а или на конце х=b, значение корня x 1 в первом приближении определяется по одной из формул Затем рассматривается интервал (если была использована первая из указанных формул) или (если была использована вторая формула) и аналогичным путем находится значение корня x 2 по второму приближению и т. д. Совместное применение способа хорд и способа касательных заключается в следующем. Устанавливают, на каком конце интервала [а, b] величины f(x) и f"(x) имеют одинаковые знаки. Для этого конца интервала применяют соответственно одну из формул способа касательных, получая значение x 1 . Применяя для одного из интервалов , формулу по способу хорд, получают значение x 2 . Затем таким же образом проводят вычисления для интервала и т. д. Пример 1:
y=f(х)=х 3 +2х-6=0. Путем проб находим 1,4<х< 1,5. Определяем корень по способу хорд: a=1,4; f(a)=-0,456; b=1,5; f(b)=0,375. Повторяем операцию, заменяя значения а, f(a) на x 1 =1,455; f(x 1)=-0,010. Второе приближение: Пример 2:
x-1,5 cos x=0. Первое приближение находим с помощью табл. 1.35
: если задаться x 1 =0,92, то cos x 1 =0,60582 и 0,92≈1,5?0,61. Уточняем корень по способу касательных: y"=1+1,5 sin x; y""=1,5 cos x. По той же таблице имеем: Окончательно К приближенным приемам решения уравнений относится также способ итераций. Он состоит в том, что каким-либо способом уравнение приводится к виду x=φ(x). Найдя приближенно х 1 , подставляют найденное значение в правую часть уравнения и находят уточненные приближенные значения x 2 =φ(x 1), x 3 =φ(x 2) и т.д.; числа х 2 , х 3 , … приближаются к искомому корню (процесс сходится), если?φ?(х)?<1.Закрепление материала. Проверка качества усвоения материала.
Работа на компьютерах. На каждый компьютер заранее установлена программа решения уравнений методом половинного деления. Учащиеся получают на карточках задание решить уравнения в Excel и проверить правильность выполнения задания, используя эту программу. Поскольку этот урок – урок изучения нового материала, на каждом рабочем месте лежит инструкция по приближенному решению уравнений на компьютере в Excel. Примеры карточек-заданий, предлагаемых для решения: tgx+x 2 =0, x 3 +x=-1, log(x 2 -x)=x. По итогам выполнения работы можно судить о качестве усвоения материала учащимися. Домашнее задание.
Составить программу на языке VB, реализующую алгоритм решения уравнений методом половинного деления. Используя программу, решить уравнения из №323 учебника (задание дается с учетом того, что все учащиеся класса имеют возможность работать на компьютерах в кабинете информатики школы или дома). Инструкция
Графическое решение уравнения
Задание
: решить уравнение х 3 /10 = sin x графическим методом.
Протабулировать функции y
1
= х
3
/10
и
y
2
=
sin
x
на интервале от –2,5 до 2,5 с шагом 0,5. (Использовать автозаполнение и копирование формул. Обратить внимание на количество десятичных знаков на образце.) Графики функций построить как диаграмму типа График с маркерами
. Определите приближенные значения корней уравнения.
Задание: решить уравнение х 3 /10 = sin x методом подбора параметра.
При подборе параметра изменяется значение в ячейке аргумента функции до тех пор, пока число в ячейке значения функции не станет равным заданному. Точность подбора зависит от заданной точности представления чисел в ячейках таблицы.
Протабулировать функцию y
= х
3
/10 -
sin
x
на интервале от -2,5 до 2,5 с шагом 0,5. (Использовать автозаполнение и копирование формулы.) Установить точность представления чисел в ячейках с точностью до 4 знаков после запятой. Выделить ячейку, содержащую значение функции наиболее близкое к нулю, например, К3. Найдите в главном меню команду Сервис/ Подбор параметра
. В окне Подбор параметра
в поле Значение
задайте требуемое значение функции (0) и в поле Изменяя значение ячейки
задайте имя ячейки К2. После появления окна Результат подбора параметра
нажмите Ок
и считайте в таблице новое значение в ячейке К2. Аналогично выполните подбор другого корня уравнения.
Приложение файл график.xls
программа, реализующая метод половинного деления.
Тема:
Приближенное графическое решение уравнений.
Организационный момент (2 мин)
Актуализация знаний (8 мин)
Адрес ячейки.
Ввод формул
Логические функции
Найдем в электронных таблицах корень уравнения x 3 – sin x = 0 графическим способом. Ведем значения аргумента – 1,4 до 1,4 с шагом 0, 2
Изучение нового материала (10 мин)
2) С помощью электронной таблицы решить графическим способом уравнение sin(x)=1/x на отрезке с точностью 0,1
Практическая работа № 51 (20 мин)
Подготовить уравнения для решения графическим способом
Домашнее задание (2 мин)
Итоги урока (3 мин)
Ход урока:
Адрес ячейки.
Основные типы данных электронных таблиц.
Текст в электронных таблицах.
Ввод формул
Относительные, абсолютные и смешанные ссылки.
Какие категории встроенных функций вам известны?
Приведите примеры математических функций.
Логические функции
4. Практическая работа № 51 (20 мин)
2) С помощью электронной таблицы решить уравнение cos(x)=1/(x+1) на отрезке с точностью 1 графическим способом и используя метод подбора параметра.
5. Домашнее задание (2 мин)
Итоги урока (3 мин)
Ход урока:
Адрес ячейки.
Основные типы данных электронных таблиц.
Текст в электронных таблицах.
Ввод формул
Относительные, абсолютные и смешанные ссылки.
Какие категории встроенных функций вам известны?
Приведите примеры математических функций.
Логические функции
3) С помощью электронной таблицы решить уравнение sin(x)=1/
Решить уравнение sinx - 2x = 0, используя метод подбора параметра. Значения аргумента – -3 до 3 с шагом 0,5
на отрезке с точностью 1 графическим способом и используя метод подбора параметра.
5. Домашнее задание (2 мин)
Рисунок 1.
Рисунок 2.
Рисунок 3.
Первое приближение:
