Решение нелинейных уравнений методом хорд. Численные методы

Метод хорд - один из распространенных итерационных методов. Его еще называют методом линœейного интерполирования, методом пропорциональных частей.

Идея метода хорд в том, что на достаточно малом отрезке дуга кривой у =f (x) заменяется хордой и абсцисса точки пересечения хорды с осью Ox является приближенным значением корня.

Рисунок 2 – Геометрическая интерпретация метода Ньютона.

Пусть для определœенности f" (х)> 0, f"" (x) >0, f (а) <0, f (b)> 0 (рис. 3, а). Возьмем за начальное приближение искомого корня х* значения х 0 =а. Через точки а 0 и В проведем хорду и за первое приближение корня х* возьмем абсциссу x 1 точки пересечения хорды с осью ОХ. Теперь приближенное значение х 1 корня можно уточнить если применить метод хорд на отрезке [х 1 ; b ]. Абсцисса х 2 точки пересечения хордыА 1 В будет другим приближением корня. Продолжая данный процесс далее, получим последовательность х 0 , х 1 , х 2 ,..., х k , ... приближенных значений корня х* данного уравнения.

Таким образом метод хорд можно записать так:

, k=0, 1.2, …, (8)

В общем случае неподвижным будет тот конец отрезка изолированного корня, в которой знак функции f(х) совпадает со знаком второй производной, а за начальное приближение x 0 можно взять точку отрезка [а; b ], в которой f(x 0)×f"’(x 0) < 0.

К примеру, когда f (a) >0, f (b) <0, f"(х)< 0, f"(х)< 0 (рис. .3, б) конец b отрезка [а; b ] является неподвижным.

В случае если f (а)>0, f (b)< 0, f" (х)< 0, f"(x) >0 (рис.3, в), или f (а) <0, f (b) >0, f’ (х) >0, f"’ (x) <0 (рис. 3, г), точка а является неподвижным концом отрезка [а; b ].

Достаточные условия сходимости метода хорд дает такая теорема.

Рисунок 3. – Геометрическая интерпретация метода хорд

Теорема. Пусть на отрезке [а; b ] функция f (х) непрерывна вместе со своими производными второго порядка включительно, причем f(a)×f(b)<0, а производные f" (x) и f" (х) сохраняют свои знаки на [а; b ], тогда существует такая окружность корня х* уравнения f (x) =0, что для любого начального приближения х 0 этой окружности последовательность {х k }, вычисленная по формуле (8), сходится к корню х*.

Метод хорд. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Метод хорд." 2017, 2018.

Метод итераций

Метод простых итераций для уравнения f (x ) = 0 заключается в следующем:

1) Исходное уравнение преобразуют к виду, удобному для итераций:

x = φ (х ). (2.2)

2) Выбирают начальное приближение х 0 и вычисляют последующие приближения по итерационной формуле
x k = φ (х k -1), k =1,2, ... (2.3)

Если существует предел итерационной последовательности, он является корнем уравнения f (x ) = 0, т. е. f (ξ ) =0.

y = φ (х )

a x 0 x 1 x 2 ξ b

Рис. 2. Сходящийся процесс итераций

На рис. 2 показан процесс получения очередного приближения по методу итераций. Последовательность приближений сходится к корню ξ .

Теоретические основы для применения метода итера­ций дает следующая теорема.

Теорема 2.3 . Пусть выполняются условия:

1) корень уравнения х = φ(х) принадлежит отрезку [а , b ];

2) все значения функции φ (х ) принадлежат отрезку [а , b ],т. е. а ≤ φ (х )≤ b ;

3) существует такое положительное число q < 1, что производная φ "(x ) во всех точках отрезка [а , b ] удовлет­воряет неравенству |φ "(x ) | ≤ q .

1) итерационная последовательность х п = φ (х п- 1)(п = 1, 2, 3, ...) сходится при любом x 0 Î [а , b ];

2) предел итерационной последовательности является корнем уравнения

х = φ (x ), т. е. если x k = ξ, то ξ= φ (ξ);

3) справедливо неравенство, характеризующее ско­рость сходимости итерационной последовательности

| ξ-x k | ≤ (b-a )×q k . (2.4)

Очевидно что, эта теорема ставит, довольно, жесткие условия, которые необходимо проверить перед примене­нием метода итераций. Если производная функции φ (x ) по модулю больше единицы, то процесс итераций расхо­дится (рис. 3).

y = φ (x ) y = x

Рис. 3. Расходящийся процесс итераций

В качестве условия сходимости итерационных методов чисто используется неравенство

|x k - x k - 1 | ≤ ε . (2.5)

Метод хорд заключается в замене кривой у = f (x ) отрезком прямой, проходящей через точки (а , f (a )) и (b , f (b )) рис. 4). Абсцисса точки пересечения прямой с осью ОХ принимается за очередное приближение.

Чтобы получить расчетную формулу метода хорд, за­пишем уравнение прямой, проходящей через точки (a , f (a )) и (b , f (b )) и, приравнивая у к нулю, найдем х :

Þ

Алгоритм метода хорд :

1) пусть k = 0;

2) вычислим следующий номер итерации: k = k + 1.

Найдем очередное k -e приближение по формуле:

x k = a - f (a )(b - a )/(f (b ) - f (a )).

Вычислим f (x k );

3) если f (x k )= 0 (корень найден), то переходим к п. 5.

Если f (x k ) ×f (b )>0, то b = x k , иначе a = x k ;

4) если |x k – x k -1 | > ε , то переходим к п. 2;

5) выводим значение корня x k ;

Замечание . Действия третьего пункта аналогичны действи­ям метода половинного деления. Однако в методе хорд на каж­дом шаге может сдвигаться один и тот же конец отрезка (пра­вый или левый), если график функции в окрестности корня выпуклый вверх (рис. 4, а ) или вогнутый вниз (рис. 4, б ).Поэтому в критерии сходимости используется разность сосед­них приближений.

Рис. 4. Метод хорд

4. Метод Ньютона (касательных )

Пусть найдено приближенное значение корня уравнения f (x )= 0, и обозначим его х п .Расчетная формула метода Ньютона для определения очередного приближения x n +1 может быть получена двумя способами.

Первый способ выражает геометрический смысл метода Ньютона и состоит в том, что вместо точки пересечения графика функции у = f (x )с осью Оx ищем точку пересечения с осью Оx касательной, проведенной к графику функции в точке (x n , f (x n )),как показано на рис. 5. уравнение касательной имеет вид у - f (x n )= f " (x n )(x - x n ).

Рис. 5. Метод Ньютона (касательных)

В точке пересечения касательной с осью Оx переменная у = 0. Приравнивая у к нулю, выразим х и получим формулу метода касательных :

(2.6)

Второй способ: разложим функцию f (x )в ряд Тейлора в окрестности точки х = х n :

Ограничимся линейными слагаемыми относительно (х - х п ),приравняем к нулю f (x ) и, выразив из получен­ного уравнения неизвестное х ,обозначив его через х n +1 получим формулу (2.6).

Приведем достаточные условия сходимости метода Ньютона.

Теорема 2.4 . Пусть на отрезке [а , b ]выполняются ус­ловия:

1) функция f (x )и ее производные f " (х )и f "" (x )непре­рывны;

2) производные f " (x)и f ""(x )отличны от нуля и сохра­няют определенные постоянные знаки;

3) f (a )× f (b ) < 0 (функция f (x )меняет знак на отрезке).
Тогда существует отрезок [α , β ], содержащий искомый корень уравнения f (x ) = 0, на котором итерационная пос­ледовательность (2.6) сходится. Если в качестве нулевого приближения х 0 выбрать ту граничную точку [α , β ], в ко­торой знак функции совпадает со знаком второй произ­водной,

т.е. f (x 0)× f" (x 0)>0, то итерационная последо­вательность сходится монотонно

Замечание . Отметим, что метод хорд как раз идет с противо­положной стороны, и оба этих метода могут друг друга допол­нять. Возможен и комбинированный метод хорд-касательных.

5. Метод секущих

Метод секущих может быть получен из метода Ньютона при замене производной приближенным выражени­ем – разностной формулой:

, ,

. (2.7)

В формуле (2.7) используются два предыдущих при­ближения х п и x n - 1 .Поэтому при заданном начальном приближении х 0 необходимо вычислить следующее приближение x 1 , например, методом Ньютона с приближенной заменой производной по формуле

,

Алгоритм метода секущих :

1) заданы начальное значение х 0 и погрешность ε . Вычислим

;

2) для п = 1, 2, ... пока выполняется условие |x n – x n -1 | > ε , вычисляем х п+ 1 по формуле (2.7).

Метод хорд (метод также известен как Метод секущих ) один из методов решения нелинейных уравнений и основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения . Итерационный процесс выполняется до того момента, пока не будет достигнута заданная точность .

В отличие от метода половинного деления, метод хорд предлагает, что деление рассматриваемого интервала будет выполняться не в его середине, а в точке пересечения хорды с осью абсцисс (ось - Х). Следует отметить, что под хордой понимается отрезок, который проведен через точки рассматриваемой функции по концам рассматриваемого интервала. Рассматриваемый метод обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод половинного деления, при условии задания одинакового рассматриваемого интервала.

Геометрически метод хорд эквивалентен замене кривой хордой, проходящей через точки и (см. рис.1.).

Рис.1. Построение отрезка (хорды) к функции .

Уравнение прямой (хорды), которая проходит через точки А и В имеет следующий вид:

Данное уравнение является типовым уравнением для описания прямой вы декартовой системе координат. Наклон кривой задается по ординате и абсциссе с помощью значений в знаменателе и , соответственно.

Для точки пресечения прямой с осью абсцисс записанное выше уравнение перепишется в следующем виде:

В качестве нового интервала для прохождения итерационного процесса выбираем один из двух или , на концах которого функция принимает значения разных знаков. Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Один из множества этих способов - умножение значений функции на концах отрезка и определение знака произведения путём сравнения результата умножения с нулём:

или .

Итерационный процесс уточнения корня заканчивается, когда условие близости двух последовательных приближений станет меньше заданной точности, т.е.

Рис.2. Пояснение к определению погрешности расчета.

Следует отметить, что сходимость метода хорд линейная, однако более быстрая, чем сходимость метода половинного деления.

Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения по методу хорд

1. Найти начальный интервал неопределенности одним из методов отделения корней. З адать погрешность расчета (малое положительное число ) и начальный шаг итерации () .

2. Найти точку пересечения хорды с осью абсцисс:

3. Необходимо найти значение функции в точках , и . Далее необходимо проверить два условия:

Если выполняется условие , то искомый корень находится внутри левого отрезка положить, ;

Если выполняется условие , то искомый корень находится внутри правого отрезка принять , .

В результате находится новый интервал неопределенности, на котором находится искомых корень уравнения:

4. Проверяем приближенное значение корня уравнения на предмет заданной точности, в случае:

Если разность двух последовательных приближений станет меньше заданной точности , то итерационный процесс заканчивается. Приближенное значение корня определяется по формуле:

Если разность двух последовательных приближений не достигает необходимой точности , то необходимо продолжить итерационный процесс и перейти к п.2 рассматриваемого алгоритма.

Пример решения уравнений методом хорд

В качестве примера, рассмотрим решение нелинейного уравнения методом хорд. Корень необходимо найти в рассматриваемом диапазоне с точностью .

Вариант решения нелинейного уравнения в программном комплексе MathCAD .

Результаты расчетов, а именно динамика изменения приближенного значения корня, а также погрешности расчета от шага итерации представлены в графической форме (см. рис.1).

Рис.1. Результаты расчета по методу хорд

Для обеспечения заданной точности при поиске уравнения в диапазоне необходимо выполнить 6 итераций. На последнем шаге итерации приближенное значение корня нелинейного уравнения будет определяться значением: .

Примечание:

Модификацией данного метода является метод ложного положения (False Position Method ), который отличается от метода секущих только тем, что всякий раз берутся не последние 2 точки, а те точки, которые находятся вокруг корня.

Следует отметить, что в случае если от нелинейной функции можно взять вторую производную алгоритм поиска может быть упрощен. Предположим, что вторая производная сохраняет постоянный знак, и рассмотрим два случая:

Случай №1:

Из первого условия получается, что неподвижной стороной отрезка является – сторона a .

Случай №2:

Инструкция . Введите выражение F(x) , нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word . Также создается шаблон решения в Excel . Ниже представлена видеоинструкция.

Правила ввода функции

Рассмотрим более быстрый способ нахождения корня на интервале , в предположении, что f(a)f(b)<0.
f’’(x)>0 f’’(x)<0
f(b)f’’(b)>0 f(a)f’’(a)>0


Рис.1а Рис. 1б

Рассмотрим рис.1а. Проведем через точки А и В хорду. Уравнение хорды
.
В точке x=x 1 , y=0, в результате получим первое приближение корня
. (3.8)
Проверяем условия
(а) f(x 1)f(b)<0,
(б) f(x 1)f(a)<0.
Если выполняется условие (а), то в формуле (3.8) точку a заменяем на x 1 , получим

.

Продолжая этот процесс, получим для n-го приближения
. (3.9)
Здесь подвижен конец a, то есть f(x i)f(b)<0. Аналогичная ситуация на рис 2а.
Рассмотрим случай, когда неподвижен конец a .
f’’(x)<0 f’’(x)>0
f(b)f’’(b)<0 f(a)f’’(a)<0


Рис.2а Рис.2б

На рис 1б,2б выполняется f(x i)f(a)<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x 1 (см. (3.8)). Здесь выполняется f(x 1)f(a)<0. Затем вводим b 1 =x 1 (в формуле (3.8) точку b заменяем на x 1), получим
.

Продолжая процесс, придем к формуле
. (3.10)
Останов процесса

|x n – x n-1 |<ε; ξ≈x n

Рис. 3
На рис.3 f’’(x) меняет знак, поэтому подвижными будут оба конца.
Прежде чем перейти к вопросу о сходимости итерационного процесса метода хорд введем понятие выпуклой функции.

Определение. Непрерывная на функция называется выпуклой (вогнутой), если для любых двух точек x 1 ,x 2 , удовлетворяющих a≤x 1 f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - выпуклая.
f(αx 1 + (1-α)x 2) ≥ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - вогнутая
Для выпуклой функции f’’(x)≥0.
Для вогнутой функции f’’(x)≤0

Теорема 3. Если функция f(x) выпукла (вогнута) на отрезке , то на любом отрезке график функции f(x) лежит не выше (не ниже) хорды, проходящей через точки графика с абсциссами x 1 и x 2 .

Доказательство:

Рассмотрим выпуклую функцию. Уравнение хорды: проходящей через x 1 и x 2 имеет вид:
.
Рассмотрим точку c= αx 1 + (1-α)x 2 , где aÎ

С другой стороны, по определению выпуклой функции имеем f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf 1 + (1-α)f 2 ; поэтому f(c) ≤ g(c) ч.т.д.

Для вогнутой функции доказательство аналогично.
Доказательство сходимости итерационного процесса рассмотрим для случая выпуклой (вогнутой) функции.

Теорема 4. Пусть задана непрерывная: дважды дифференцируемая функция f(x) на и пусть f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют свои знаки на (см. рис 1а,1б и рис 2а,2б). Тогда итерационный процесс метода хорд сходится к корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
Доказательство: Рассмотрим для примера случай f(a)f’’(a)<0 (см рис 1а и 2а). Из формулы (9) следует, что x n > x n -1 так как (b-x n -1)>0, а f n -1 /(f b -f n -1)<0. Это справедливо для любого n, то есть получаем возрастающую последовательность чисел
a≤x 0 Докажем теперь, что все приближения x n < ξ, где ξ - корень. Пусть x n -1 < ξ. Покажем, что x n тоже меньше ξ. Введем
. (3.11)
Имеем
(3.12)
(то есть значение функции y(x) в точке x n на хорде совпадает с f(ξ)).
Так как , то из (3.12) следует
или
. (3.13)
Для рис. 1а , следовательно
или
значит что и т.д. (см. (3.11)).
Для рис 2а . Следовательно, из (3.12) получим
значит
так как ч.т.д.
Аналогичное доказательство для рис.1б и рис.2б. Таким образом, мы доказали, что последовательность чисел является сходящейся.
a≤x 0 a≤ ξЭто значит, что для любого ε можно указать такое n, что будет выполняться |x n - ξ |<ε. Теорема доказана.
Сходимость метода хорд линейная с коэффициентом .
, (3.14)
где m 1 =min|f’(x)|, M 1 =max|f’(x)|.
Это вытекает из следующих формул. Рассмотрим случай неподвижного конца b и f(b)>0.
Имеем из (3.9) . Отсюда
. Учитывая, что , мы можем записать или
.
Заменяя в знаменателе правой части (ξ-x n -1) на (b-x n -1) и учитывая, что (ξ-x n -1)< (b-x n -1), получим , что и требовалось доказать (см. неравенство (3.14)).
Доказательство сходимости для случая рис.3 (f’’(x) меняет знак; в общем случае как f’, так и f’’ могут менять знаки) более сложное и здесь не приводится.

В задачах определить количество действительных корней уравнения f(x) = 0, отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенные значения с точностью до 0.001.