Системы уравнений с параметром. Матрица и ее разновидности
Свободная и вынужденная составляющие переходного процесса и показатели, их характеризующие
2. Два подхода к определению выходного сигнала системы автоматического управления
3. Точность систем автоматического управления и различные способы ее оценки
4. Представление сигнала ошибки замкнутой системы через входной сигнал и его производные. Коэффициенты ошибок
5. Представление выходного сигнала замкнутой системы через входной сигнал и его производные
6. Определение коэффициентов ошибок выходного сигнала через импульсную переходную функцию
7. Соотношение между коэффициентами ошибки замкнутой системы и коэффициентами разложения в ряд Тейлоравыходного сигнала
8. Метод вычисления коэффициентов ошибок через коэффициенты передаточной функции разомкнутой системы
9. Коэффициенты ошибки для систем автоматического управления различного порядка астатизма.
10. Практический способ вычисления коэффициентов ошибок по выражению передаточной функции ошибки
11. Добротность систем автоматического управления
11.1 Сигнал ошибки и коэффициенты добротности для статической системы.
11.2 Сигнал ошибки и коэффициенты добротности для астатической системы первого порядка.
11.3 Сигнал ошибки и коэффициенты добротностидля астатической системы второго порядка.
1. Свободная и вынужденная составляющие переходного процесса и показатели, их характеризующие
При исследовании систем автоматического управления приходится решать задачу обеспечения требуемых показателей качества переходного процесса: быстродействия,колебательности, перерегулирования. Качественные показатели (качество) переходных процессов в системах автоматического управления обычно рассматривается на основе анализа переходных процессов, вызванных внешним воздействием.
Будем полагать, что система автоматического управления описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
При изменении внешнего воздействия на входе системы выходную величину можно записать следующим образом: .
где - решение дифференциального уравнения, описывающего систему ;
- свободная составляющая переходного процесса, соответствующая общему решению однородного дифференциального уравнения.
- вынужденная (установившаяся) составляющая переходного процесса, обусловленная законом изменения .
Если дифференциальное уравнениене имеет кратных корней, то свободная составляющая переходного процесса может быть представлена в следующем виде:
где - постоянная интегрирования, значение которой определяют параметры системы и начальные условия;
s, - корни характеристического уравнения замкнутой системы
Качество переходногопроцесса можно оценить по его составляющим и .
В этом смысле различают две группы показателей:
первая- показатели качества переходного процесса ;
вторая - показатели, характеризующие вынужденную (установившуюся) составляющую , по которой определяют точность системы.
Показатели качества, определяемые непосредственно по кривой переходного процесса, называют прямыми оценками качества. Кривая переходного процесса может быть получена теоретически или экспериментально.
В тех случаях, когда расчет переходного процесса связан с большими трудностями, используют косвенные оценки качества. Например, обращаются к косвенным оценкам качества по вещественной частотной характеристике замкнутой системы.
Помимо статистических ошибок, которые будут рассмотрены позже, точность работы систем автоматического управления характеризуетсядинамическимиипереходными ошибками.
§2. Задачи на исследование решений линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными
Пример 1 . Определить, при каких значениях параметра m система уравнений
имеет единственное решение.
Решение
Система имеет единственное решение, если отношение коэффициентов при х неравно отношению коэффициентов при у:
.
Перейдем от сравнения отношений к сравнению произведений. Тогда в рассмотрение включаются и нулевые значения коэффициентов, зависящих от параметре m .
Решая полученное безразличное неравенство, найдем
3 + 8m + 4m 2 ≠ 4 + 5m ; 4m 2 + 3m – 1 ≠ 0.
Если m 1 и m 2 корни многочлена 4m 2 + 3m – 1 ≠ 0, то
m
1 = – 1; m
2 = position:absolute;z-index:1;left:0px;margin-left:11px;margin-top:2px; width:14px;height:74px">
m ≠
или в виде объединения промежутков:
m (– ∞; – 1) (– 1; )(;+∞).
Еще раз отметим, что при m = –EN-US">m = – или при m = –EN-US">m , так же как и при бесчисленном множестве других, удовлетворяющих полученному числовому множеству, данная система будет иметь единственное решение.
Ответ : Система имеет единственное решение, если
m (– ∞; – 1) (– 1; 0,25)EN-US">m и n система уравнений
имеет бесчисленное множество решений.
Решение
Система имеет бесчисленное множество решений, если отношение коэффициентов при х равно отношению коэффициентов при у и равно отношению свободных членов, то есть
Заменим полученную цепочку равенств системой уравнений
Переходя от дробных уравнений к целым. Включаем в рассмотрение и нулевые значения коэффициентов данной системы. (Следует отметить, что не все коэффициенты данной системы могут обращаться в нуль. Один из них EN-US">n ≠ 0. Очевидно, что искомый ответ должен этому условию удовлетворять.)
EN-US">n 2 + n – 6 = 0,
n (n 2 + m ) = 10.
Разрешая относительно и m 1-е и 2-е уравнения системы, получим
n 1 = – 3; n 2 = 2,
m = – n 2.
Откуда
Если n 1 = – 3; Если n 2 = 2,
то m 1 = –– 9 = –; то m 2 = EN-US">m и n в алфавитном порядке, имеем
Ответ: {(–; –3); (1; 2)}
Пример3 . Определить при каких значениях параметра m система уравнений
(2m – 3)x – my = 3m – 2,
(2m + 3)y – 5x + 5 = 0
не имеет решений.
Решение
Система уравнений не имеет решений, если отношение коэффициентов при х равно отношению коэффициентов при у, но неравно отношению свободных членов. Это правило, как и предыдущие, предлагает, что в записи данных уравнений неизвестные находятся в одной (например левой) части равенств и чередуются одинаково. Предполагается так же, что и свободные члены находятся в одной (например правой) части равенств. Удовлетворяя эти требования
(2m – х)x – my = 3m – 2,
– 5x + (2m + 3)у = – 5
и используя признак несовместимости системы, получим
Система удовлетворяется при m = EN-US">m = 2,25.
Упражнения
1. Определить, при каких значениях параметра m система уравнений
2х + my =5
имеет единственное решение.
Ответ: m (– ∞; – 1,5) position:absolute;z-index:9;left:0px;margin-left:59px;margin-top:23px; width:14px;height:62px"> При каких значениях параметра m система уравнений
(2m + 1)x +7y = 2m ,
Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.
Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.
Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.
Линейное уравнение
Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.
Виды систем линейных уравнений
Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.
F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.
Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.
Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.
Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.
Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.
Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.
Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.
Простые и сложные методы решения систем уравнений
Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.
Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода
Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.
Решение систем методом подстановки
Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе
Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:
Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.
Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.
Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:
Решение с помощью алгебраического сложения
При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.
Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.
Алгоритм действий решения:
- Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
- Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
- Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.
Способ решения введением новой переменной
Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.
Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.
Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.
Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.
Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.
Наглядный метод решения систем
Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.
Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.
Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.
Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.
В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.
Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.
Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.
Матрица и ее разновидности
Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n - строк и m - столбцов.
Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.
Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.
Правила преобразования системы уравнений в матрицу
Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.
Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.
Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.
При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.
Варианты нахождения обратной матрицы
Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.
Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.
Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом
Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.
В примере a nm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор x n - переменные, а b n - свободные члены.
Решение систем методом Гаусса
В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.
Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.
После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.
В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:
Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .
Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.
Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.
Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:
Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.
Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.
В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.
Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.
Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.
1. Системы линейных уравнений с параметром
Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.
Пример 1.
Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.
{х + (а 2 – 3)у = а,
{х + у = 2.
Решение.
Рассмотрим несколько способов решения данного задания.
1 способ . Используем свойство: система не имеет решений, если отношение коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а 1 = b/b 1 ≠ c/c 1). Тогда имеем:
1/1 = (а 2 – 3)/1 ≠ а/2 или систему
{а 2 – 3 = 1,
{а ≠ 2.
Из первого уравнения а 2 = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.
Ответ: а = -2.
2 способ . Решаем методом подстановки.
{2 – у + (а 2 – 3)у = а,
{х = 2 – у,
{(а 2 – 3)у – у = а – 2,
{х = 2 – у.
После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:
{(а 2 – 4)у = а – 2,
{х = 2 – у.
Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть
{а 2 – 4 = 0,
{а – 2 ≠ 0.
Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.
Ответ: а = -2.
Пример 2.
Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.
{8х + ау = 2,
{ах + 2у = 1.
Решение.
По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а 1 = b/b 1 = c/c 1). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.
Ответ: а = 4.
2. Системы рациональных уравнений с параметром
Пример 3.
{3|х| + у = 2,
{|х| + 2у = a.
Решение.
Умножим первое уравнение системы на 2:
{6|х| + 2у = 4,
{|х| + 2у = a.
Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).
Ответ: а = 4.
Пример 4.
Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.
{х + у = а,
{у – х 2 = 1.
Решение.
Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1)
. Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:
1,25 = 0,5 + а;
Ответ: а = 0,75.
Пример 5.
Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.
{ах – у = а + 1,
{ах + (а + 2)у = 2.
Решение.
Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:
{у = ах – а – 1,
{ах + (а + 2)(ах – а – 1) = 2.
Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:
ах + а 2 х – а 2 – а + 2ах – 2а – 2 = 2;
а 2 х + 3ах = 2 + а 2 + 3а + 2.
Квадратный трехчлен а 2 + 3а + 2 представим в виде произведения скобок
(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:
(а 2 + 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).
Очевидно, что а 2 + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,
а 2 + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.
Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.
Пример 6.
Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.
{х 2 + у 2 = 9,
{у – |х| = а.
Решение.
Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы
х 2 + у 2 = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2
рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.
Ответ: а = 3.
Остались вопросы? Не знаете, как решать системы уравнений?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
58. Способ сложения и вычитания или способ уравнения коэффициентов . Решим совместно следующие 2 уравнения:
7x + 5y = 47 и 7x – 5y = 9 (1)
Мы видим, что в левой части одного уравнения входит член +5y, а в левой части другого - член –5y. Если бы пришлось эти части сложить между собою, то эти члены уничтожились бы. И этого достигнуть легко: из данных двух уравнений составим вытекающее из них новое, для чего сложим и левые части обоих уравнений между собою, и правые части между собою – результаты этих сложений, очевидно, должны быть равны между собою, т. е. получим:
(члены +5y и –5y взаимно уничтожились). Отсюда получим x = 4. Умножим затем обе части второго уравнения на –1; получим:
7x + 5y = 47
–7x + 5y = –9
и теперь опять сложим левые части между собою и правые между собою (говорят: сложим эти 2 уравнения по частям). Получим, так как члены +7x и –7x взаимно уничтожаются:
10y = 38, откуда y = 3,8
Мы могли бы взамен этого сделать и так: вернемся к уравнениям (1) и вычтем по частям (т. е. из левой части левую часть и из правой части правую часть) из первого уравнения второе. Тогда надо у всех членов 2-го уравнения переменить знаки - результат получится тот же самый.
В разобранном примере абсолютные величины коэффициентов при каждом неизвестном в каждом уравнении были равны; рассмотрим теперь пример, когда абсолютные величины этих коэффициентов неравны.
3x + 4y = 23 и 9x + 10y = 65.
Рассматривая эти уравнения, мы видим, что коэффициенты при x не равны, но что их легко сделать равными, если обе части первого уравнения умножим на 3. Сделав это, получим:
9x + 12y = 69
9x + 10y = 65
Теперь вычтем по частям из первого уравнения второе (надо у всех членов 2-го уравнения переменить знаки). Получим:
2y = 4, откуда y = 2.
Рассматривая данные уравнения, мы теперь приходим к возможности уравнять коэффициенты при y, для чего можно поступить по разному: 1) обе части 1-го уравнения умножить на 2 ½ - тогда получим:
7 ½ x + 10y = 57 ½
9x + 10y = 65
Вычтем теперь из 2-го уравнения по частям 1-е, для чего переменим знаки у всех членов 1-го уравнения (мы вычитаем из 2-го первое, а не наоборот, только для того, чтобы в левой части коэффициент при x получился положительный), получим:
1 ½ x = 7 ½, откуда x = 7 ½: 1 ½ = 5.
2) Обе части 2-го уравнения умножим на 2/5, - получим:
3x + 4y = 23 (первое оставляем без изменения).
3 3/5 x + 4y = 26
Вычитая по частям из 2-го уравнения первое, получим:
3/5 x = 3, откуда x = 3: 3/5 = 5.
3) Если не желаем иметь дело с дробными коэффициентами, то найдем общее наименьшее кратное для коэффициентов при y, т. е. для чисел 4 и 10 – оно есть 20 и, умножением обеих частей 1-го уравнения и обеих частей 2-го, сведем дело к тому, чтобы в каждом уравнении коэффициентом при y служило это общее наименьшее кратное. В нашем примере для этого умножим обе части 1-го уравнения на 5 и обе части 2-го уравнения на 2. Получим:
15x + 20y = 115
18x + 20y = 130.
Опять вычтем по частям из 2-го уравнения первое, - получим:
3x = 15, откуда x = 5.
Заметим еще, что когда одно неизвестное определено, можно подстановкою получить другое. Так, мы сначала нашли y = 2. Подставим это значение в 1-ое уравнение:
3x + 4 · 2 = 23
3x = 23 – 8 = 15, откуда x = 5.
Коротко выполним еще один пример:
6x – 15y = 32 | · 3 | · 2
4x + 9y = 34 | · 5 | · 3
Сбоку мы отметили, что надо обе части 1-го уравнения умножить на 3 и обе части 2-го на 5 - мы имеем в виду уравнять абсолютные величины коэффициентов при y. Получим:
18x – 45y = 96.
20x + 45y = 170.
Сложим эти уравнения по частям, получим:
38x = 266 и x = 7.
Теперь умножим обе части 1-го уравнения на 2 и обе части второго на 3 (отмечено сбоку). Получим:
12x – 30y = 64
12x + 27y = 102.
Вычтем по частям из 2-го уравнения первое; получим:
57y = 38 и y = 38/57 = 2/3.
Примем этот способ к решению двух уравнений с двумя неизвестными в общем виде:
ax + by = m | · d | · c
cx + dy = n | · b | · a
Сначала умножим, как отмечено, обе части 1-го уравнения на d и обе части 2-го на b. Получим:
adx + bdy = md
cbx + =bdy = nb.
Вычтем по частям из 1-го уравнения второе, получим:
adx – cbx = md – nb.
Вынесем в левой части x за скобки, получим:
(ad – cb)x = md – nb,
x = (md – nb) / (ad – cb).
Уравняем теперь коэффициенты при x, для чего обе части 1-го уравнения умножим на c и обе части второго на a. Получим:
Вычтем по частям из 2-го уравнения первое, получим:
ady – bcy = na – mc,
(ad – bc) y = na – mc
y = (na – mc) / (ad – bc).
Мы вычитали здесь из 2-го уравнения первое, а не наоборот, с целью получить тот же знаменатель ad – bc, какой получился при определении x – a.
