Справочное значение коэффициента диффузии воздуха. Большая энциклопедия нефти и газа

Путь перемешивания для содержания газа и газовые потки

При решении задач динамики турбулентных потоков используют понятие пути перемешивания для импульса. Л. Прандтль определил этот путь как расстояние, проходимое частицей жидкости до потери своей индивидуальности вследствие смешения с окружающим турбулентным потоком. Путь перемешивания характеризует перемешивающую способность потока. Это понятие используют и в теории переноса газа. Имея в виду, что в диффузионных процессах основным является процесс выравнивания содержания, путь перемешивания определяют как расстояние, которое проходит частица газовоздушной смеси до существенного изменения содержания находящегося в ней диффундирующего газа вследствие перемешивания с окружающей средой. В этом случае выражение «потеря индивидуальности» толкуется как потеря частицей ее газового содержания, и путь перемешивания называется путем перемешивания для содержания.

Если воздушный поток представить как совокупность шарообразных частиц, то путь перемешивания можно рассматривать как турбулентный аналог пути свободного пробега молекул, который совместно со скоростью их движения определяет интенсивность молекулярной диффузии газа.

В общем случае пути перемешивания для импульса и для содержания не равны друг другу, хотя до недавнего времени последний принимался равным пути перемешивания для импульса. Такое допущение может быть принято в качестве первого приближения только для пассивной примеси.

Путь перемешивания для содержания является важной газодинамической характеристикой, определяющей основной показатель интенсивности процесса турбулентной диффузии - коэффициент турбулентной диффузии.

Каждый из существующих четырех механизмов распространения газообразной примеси в вентиляционном потоке (конвективный, диффузионный молекулярный и диффузионный турбулентный переносы и распространение примеси путем вытеснения) характеризуется определенным количеством газа, переносимого газовым потоком через единицу площади в единицу времени. Соответственно отмеченным механизмам распространения существуют конвективный, молекулярный диффузионный, турбулентный диффузионный газовые потоки и "поток расширения".

Если через поверхность площадью S движется поток воздуха со средней скоростью U, то вектор расхода его через эту поверхность, Q в = U S . При содержании газа с в объеме Q в вектор его расхода через рассматриваемую поверхность за счет конвективного переноса потоком воздуха Q г = с Q в и вектор конвективного потока газа

J k = Q г / S= с U, (6.5)

а его компоненты по осям координат

j kx = cu; j ky = cv; j kz = cw; (6.6)

где и, v, u - соответственно компоненты вектора абсолютной скорости U .

При определении молекулярного диффузионного потока газа исходят из его пропорциональности градиенту содержания газа (первый закон Фика):

j м = - D м ·grad c , (6.7)

где D м - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом молекулярной диффузии.

Компоненты молекулярного диффузионного потока:

j м x = -D м ·дс/дх; j м y = -D м ·дс/ду; j м z = -D м ·дс/дz. (6.8)

D м не зависит от координат.

Знак "минус" в формуле (6.7) означает, что направление молекулярного диффузионного потока газа противоположно вектору градиента содержания, т.е. поток, направлен в сторону падения содержания.

Турбулентный диффузионный поток газа можно выразить аналогично конвективному, используя, однако, вектор не усредненной, а пульсационной скорости u п и не усредненное, а пульсационное значение содержания с п . Тогда вектор мгновенного турбулентного диффузионного потока газа будет равен с п u п, а усредненного по времени

Черта означает усреднение по времени. Компоненты этого потока по осям координат:

где и п , v п , w п - компоненты вектора мгновенной пульсационной скорости.

Турбулентный диффузионный поток, согласно идее Буссинеска о переносе импульса, определяют аналогично молекулярному, с той лишь разницей, что коэффициентом пропорциональности между потоком и градиентом содержания будет коэффициент турбулентной диффузии D т , зависящий от ее направления:

j т = - D т ·grad c , ; (6.11)

j т x = -D т x ·дс/дх; j т y = -D т y ·дс/ду; j т z = -D т z ·дс/дz, (6.12)

где D т x , D т y , D т z - компоненты коэффициента турбулентной диффузии.

Поток расширения - поток конвективный. Если некоторый объем газовоздушной смеси со средним по объему содержанием газа с расширяется за счет ввода в него дополнительных количеств этого же газа, то компоненты потока расширения:

j р x = cu р ; j р y = cv р ; j р z = cw р ; , (6.13)

где u р ; v р ;w р - компоненты скорости расширения.

Поток расширения может быть положительным (газовыделение происходит в рассматриваемый объем) и отрицательным (в рассматриваемом объеме происходит поглощение газа).

Полный поток газа в точке

j 0 =j k +j м +j т +j р (6.14)

Удельный вес каждого из четырех газовых потоков в общем балансе газопереноса в выработке определяется конкретными условиями. В ядре турбулентного воздушного потока, движущегося с достаточно высокой средней скоростью, обычно преобладающим является конвективный поток газа, на втором месте стоит турбулентный диффузионный поток. Молекулярным потоком и потоком расширения в этих случаях можно пренебречь. При малых средних скоростях воздушного потока (например, камеры больших сечений) в его ядре может стать преобладающим турбулентный диффузионный поток. У твердых границ его, где усредненная и пульсационные скорости близки к нулю, повышается роль молекулярного диффузионного потока газа. Непосредственно на твердой границе перенос газа определяется только механизмами молекулярной диффузии и расширения (в случае выделения газа в выработку или его поглощения). В ядре воздушного потока с развитой турбулентностью турбулентный перенос происходит в сотни и тысячи раз активнее молекулярного.

Соотношение между турбулентным и молекулярным потоками определяется из выражений (5.11) и (5.7):

Аналогично определяется соотношение между компонентами потоков. Так, для поперечных относительно основного движения воздушного потока компонент

Пример. Оценим роль потока расширения для выработки в целом. Рассмотрим участок выработки при подземной разработке длиной 100 м, с площадью поперечного сечения 10 м 2 . Удельное газовыделение в выработку на этом участке составляет 1,5 л/(мин·м 2). Тогда при мощности пласта 1 м и двух обнажениях общее газовыделение на рассматриваемом участке выработки составит 1,5×1×100×2 = 0,3 м 3 /мин. Следовательно, скорость расширения вдоль выработки в две стороны и р = 0,3: (10·2) = 1,5·10 -2 м/мин. Если среднее долевое содержание газа на рассматриваемом участке выработки с = 0,005, то в соответствии с формулой (5.13) поток расширения вдоль выработки будет равен 0,005·1,5·10 -2 = 7,5·10 -5 м 3 /(мин·м 2). При существующих значениях коэффициентов молекулярной и турбулентной диффузии и продольном градиенте содержания, соответствующем принятому газовыделению и скорости воздуха в выработке 1 м/с и равном 0,5·10 -5 м -1 , продольный молекулярный диффузионный поток будет иметь порядок 10 -8 м 3 /(мин·м 2), продольный турбулентный -10 -5 м 3 /(мин·м 2).

В выражениях для диффузионных газовых потоков коэффициенты молекулярной и турбулентной диффузии являются единственными параметрами, учитывающими свойства среды. Естественно, что эти величины имеют сложный характер, и их определение - одна из важных задач теории диффузионных процессов.

Коэффициенты молекулярной диффузии . Для газов со сходными молекулами (имеющими почти равные массы и эффективные сечения) Максвелл получил следующее выражение для коэффициента молекулярной диффузии:

где - длина свободного пробега молекул; v м - скорость их теплового движения; черта означает среднее значение величины. При нормальных условиях имеет порядок 10 -5 см, v м = 10 -4 ÷10 -5 см/с.

В силу статистической однородности молекулярного движения величины и , а, следовательно, и коэффициент молекулярной диффузии не зависят от направления. Коэффициент молекулярной диффузии слабо зависит от содержания диффундирующего газа. С увеличением температуры он возрастает пропорционально Т 1+ a , где Т - абсолютная температура среды, а - коэффициент, изменяющийся от 0,5 до 1. С увеличением давления коэффициент уменьшается в обратно пропорциональной зависимости.

Выше отмечалось, что в шахтных условиях молекулярная диффузия имеет подчиненное значение в процессе переноса газов. Кроме того, изменения содержания газов, температуры и давления воздуха в активно вентилируемых горных выработках относительно невелики. Поэтому при решении задач газопереноса в шахтах можно принимать D м = const.

Следует иметь в виду, что коэффициент молекулярной диффузии газа в среду равен коэффициенту молекулярной диффузии среды в этот газ. Средние значения коэффициентов молекулярной диффузии некоторых газов приведены ниже.

Газ Температура, °С Коэффициент диффузии, см 2 /с

Аммиак в воздухе 0 0,217

Водород в воздухе - 0,634

Метан в воздухе - 0,196

Оксид углерода в воздухе - 0,129-0,138

Углекислый газ в воздухе 0 0,142

Коэффициенты турбулентной диффузии . В теории турбулентности коэффициент турбулентной (или вихревой) диффузии вводится как некоторый коэффициент пропорциональности. При этом для его выражения используют три принципиально различных подхода.

В первом способекоэффициент турбулентной диффузии определяют, следуя Буссинеску, как коэффициент пропорциональности между потоком газа и градиентом содержания в соответствии с формулой (6.11) - j т = - D т ·grad c .

Известно, что произведение вектора, каким является в формуле (6.11) градиент содержания, на некоторую величину [в выражении (6.11) ею является коэффициент турбулентной диффузии D т ] может дать вектор [в формуле (6.11) это вектор потока газа] лишь в случае, если эта величина является скаляром или тензором. Коэффициент турбулентной диффузии не может быть скаляром в связи с тем, что в случае равенства производных от содержания по направлениям компоненты газовых потоков по этим направлениям также были бы равны, что в условиях существенно неоднородного и неизотропного турбулентного воздушного потока в выработках невозможно вследствие различия компонент пульсационных скоростей.

Таким образом, остается предположить, что коэффициент турбулентной диффузии в горной выработке - тензор. Можно показать, что в условиях неоднородной и неизотропной турбулентности коэффициент турбулентной диффузии - тензор второго ранга. Тогда компоненты газового потока будут иметь следующее выражение:

(6.17)

(6.18)

(i ,j = х,у,z )является тензором коэффициентов турбулентной диффузии второго ранга с компонентами D т xx , D т xу, ..., D т zz .

Выражение (6.17) может быть записано в свернутом виде

. (6.19)

где правая часть представляет собой сумму трех значений , получающихся, если фиксировать i , а j придавать последовательно значения х, у, z (суммирование по двойному индексу).

Выражение (6.19) обычно упрощают, принимая, что оси Ох, Оу, Оz, являются главными осями тензора. Если тензор симметричный, то и, следовательно, коэффициент турбулентной диффузии определяется только диагональными компонентами D т xx ,D т yу , D т zz .

Для однородной и изотропной турбулентности имеет место сферическая симметрия газовых потоков. Следовательно,

В этом частном случае может рассматриваться как скаляр.

В выражении (6.11) векторы j т и gradс коллинеарны*. Следовательно, согласно определению, направление вектора gradс является главным направлением тензора, а ось координат, соответствующая ему, - главной осью. Нахождение главных осей тензора коэффициентов диффузии для выработки - в ряде случаев задача неопределенная, так как для этого необходимо знать поверхности равных содержаний в потоке, т.е. поле содержаний, что обычно является конечной задачей исследований. Лишь в простых случаях диффузии главные направления могут быть определены достаточно просто. Например, при газовыделении с одной стенки gradс с некоторым приближением можно принять нормальным к этому боку и, следовательно, главные оси тензора будут направлены вдоль потока воздух и перпендикулярно к нему. В более сложных случаях главные оси тензора могут иметь и другие направления.

Следует отметить, что принятие тензора D т y симметричным для случая движения воздуха в горной выработке является также определенным допущением. Для неоднородного и неизотропного турбулентного потока, каким является вентиляционный поток в выработке, тензор коэффициентов турбулентной диффузии будет несимметричным. Ниже отмечается, что компоненты тензора коэффициентов турбулентной диффузии могут быть выражены через усредненное произведение (корреляцию) мгновенных значений пульсационной скорости и ni и пути перемешивания для содержания (здесь i ,j = х, у, z, и ni = и п ; u пу = v n u nу =w n). Для симметричного тензора должны соблюдаться равенства , что приводит к соотношениям . Однако для неизотропных вентиляционных потоков корреляция несимметрична относительно i и j , а это не отвечает приведенным равенствам. Несимметричность тензора коэффициентов турбулентной диффузии для шахтных вентиляционных потоков косвенно доказывается фактором различной интенсивности турбулентной диффузии в разных направлениях.

Отмеченные приближения, которые применяют при решении практических задач шахтной газовой динамики, в настоящее время не имеют оценки. Применительно к условиям диффузии в приземном слое атмосферы погрешности незначительны (в некоторых случаях они составляют 15-20 %). Однако степень анизотропности шахтных вентиляционных потоков значительно выше атмосферных, что может привести к необходимости учета факта несимметричности тензора диффузии.

Второй способопределения коэффициента турбулентной диффузии основан на использовании теории Прандтля о пути перемешивания, согласно которой компоненты потока газа можно определять как сумму трех слагаемых:

. (6.21)

Здесь, подобно тому, как это было принято в выражении (6.19) - , суммирование производится по двойному индексу (j ); i = j = х,у,z; ; L c - путь перемешивания для содержания.

Из выражения следует, что коэффициент турбулентной диффузии является тензором второго ранга

(6.22)

определяемым девятью компонентами -

Сопоставляя методы выражения коэффициента турбулентной диффузии по Буссинеску и Прандтлю, видим, что в первом случае коэффициент турбулентной диффузии остается неопределенным, во втором - определяется через характеристики турбулентного движения ().

В случае плоского потока () коэффициент турбулентной диффузии в поперечном к основному движению направлении определяется из выражения (6.21):

В случае изотропной турбулентности можно принять L cx = L су, что приводит к равенству

т.е. в этом частном случае коэффициент турбулентной диффузии является скаляром.

Если в уравнении (6.23) v n выразить по Прандтлю через путь перемешивания для импульса L, то для плоского потока получим выражение

, (6.24)

где среднее квадратичное значение v п

а 1 - коэффициент пропорциональности между u n и v п. Если принять, что

L / L с = а 2 = сопst, (6.25)

. (6.26)

Величина для случая диффузии газа является аналогом пути перемешивания для импульса по Карману (не тождественному прандтлевскому пути перемешивания).

Из уравнения видно, что, имея какие-либо гипотезы относительно величин l С (), можно, измеряя в потоке, определить коэффициент турбулентной диффузии. Наиболее простым допущением является отождествление l с путем перемешивания для импульса l ; во многих случаях такое приближение дает вполне удовлетворительные результаты.

Следующим шагом в этом направлении является принятие пропорциональности между l с и l ; значение коэффициента пропорциональности между ними зависит от свойств диффундирующего газа, разности содержаний газа в диффундирующем объеме и в среде. По имеющимся сведениям, этот коэффициент больше 1; для азота он равен ~, для гелия ~. Имеются попытки оценить l с через l и критерий Ричардсона, характеризующий затухание турбулентности под действием объемных (гравитационных) сил при диффузии активного газа.

Наконец, третий способ определения коэффициента турбулентной диффузии основан на представлении процесса диффузии как случайного движения жидких частиц, первоначально сконцентрированных в некоторой области. Бэтчелор показал, что и в этом случае коэффициент турбулентной диффузии является тензором второго ранга. Запись его (для случая однородной турбулентности), однако, имеет иной вид:

где у i , y j - лагранжевы координаты жидкой частицы, величины случайные, являющиеся функцией времени.

Представление коэффициента турбулентной диффузии в виде тензора имеет в основном теоретическое значение. В настоящее время практически ничего неизвестно о недиагональных компонентах этого тензора. Изученные в какой-либо степени компоненты тензора диффузии - это диагональные компоненты D т xx ,D т yу , D т zz , которые в дальнейшем и будут рассматриваться. Для простоты написания обозначим D т xx = D тх и т.д.

Необходимо отметить, что в общем случае коэффициент турбулентной диффузии является функцией координат. Это можно видеть, например, из уравнения (6.24), где величины dи/dу, v ´ n , l с для потоков в горных выработках являются функциями поперечных координат , а в некоторых случаях (изменение сечения по длине выработки, свободные струи) - и продольной координаты. Эти же величины являются и функциями скорости потока (точнее, числа Рейнольдса - Rе* потока), что говорит о существовании зависимости коэффициента турбулентной диффузии и от числа Rе.

Данные о коэффициентах турбулентной диффузии в горных выработках немногочисленны, что в значительной степени объясняется техническими трудностями их измерений. Имеющиеся сведения частично основываются на данных о коэффициенте турбулентного обмена для импульса и предположении о пропорциональности ему коэффициента турбулентной диффузии .

К.М. Тумаковой были установлены автомодельность поперечных составляющих относительного коэффициента турбулентной диффузии:

; - средняя скорость потока; α – коэффициент аэродинамического сопротивления; r - плотность потока; Н - высота выработки) по числу Рейнольдса, начиная от Rе = 13600, а также равенство вертикальной и горизонтальной поперечных составляющих коэффициента диффузии. Их значения в ядре потока равнялись 0,02, а на расстоянии 0,13H и 0,8H от кровли - 0,03.

В ряде случаев хорошие результаты получаются, если использовать средние по высоте (ширине) выработки значения коэффициентов турбулентной диффузии.

Коэффициент турбулентной диффузии может быть рассчитан по характеристике рассеивания газа. Для случая однородной и изотропной турбулентности в равномерном потоке воздуха (без градиента скорости) распределение содержания газа в газовом факеле за источником газовыделения описывается гауссовой кривой ошибок:

, (6.27)

где с - содержание газа в точке с координатами х,у;z - расстояние от источника вниз по потоку; у - расстояние от точки, соответствующей максимальному содержанию газа с mах в плоскости х = соnst, измеряемое в направлении, перпендикулярном направлению движения воздуха; и - скорость потока воздуха.

Если в формуле (6.27) с выразить как часть с mах, то из нее можно определить D т . Например, полагая с = с mах /2, получим

D т =, (6.28)

где - расстояние от оси газового факела до точки в его поперечном сечении, в которой с = с mах /2.

Все величины в уравнении (6.27) поддаются прямому измерению: и и х измеряют непосредственно на месте эксперимента, - по графику зависимости с(у), построенному на основании измерения содержания на расстоянии от источника, равном х.

Поскольку выражение (6.27) справедливо лишь для однородной и изотропной турбулентности, то в силу равенства (6.20) по нему определяют диагональные члены тензора коэффициентов диффузии, не зависящие от координат.

Известно, что турбулентность шахтных вентиляционных потоков неизотропна; ее можно считать однородной лишь в направлении основного течения (при неизменных форме сечения, шероховатости стен и расходе воздуха). Поэтому для шахтных условий выражение (65.28) дает, во-первых, неточные значения D т и, во-вторых, лишь некоторые средние значения поперечной компоненты тензора D т y . Погрешности будут возрастать по мере приближения источника газа от оси потока к стенке, так как при этом источник попадает в области все большего градиента скорости, т.е. все большей анизотропии турбулентности.

Учитывая экспериментальное подтверждение аналогии Рейнольдса для процессов переноса импульса и пассивной примеси при течениях в пристеночной области, коэффициенты диффузии шахтных вентиляционных потоков при диффузии пассивных газов в первом приближении можно принимать равными коэффициенту турбулентного обмена для импульса. Для чисел Рейнольдса от 1,25·10 4 до 3,72·10 4 относительные значения последних для штрекообразной выработки прямоугольного сечения, закрепленной рамной крепью из круглого леса с продольным калибром 7,5, относительной шероховатостью в направлении вертикальной оси 8,9, горизонтальной (перпендикулярной основному движению) 8,4 приведены на графиках рис. 6.1 и 6.2, где y - координата, перпендикулярная бокам выработки, z - кровле и почве. Пересчет относительных значений турбулентного обмена импульса в абсолютные производится по формуле ε = ε *v *D , где D - характерный линейный размер потока (например, диаметр). Приведенные на графиках данные соответствуют средним по сечению абсолютным значениям коэффициентов турбулентного обмена для импульса ε у и ε z , порядка 5·10 -3 м 2 /с при средней скорости воздуха в выработке u ср =1 м/с, коэффициенте трения α = 15·10 -3 Н·с 2 /м 4 , плотности воздуха r = = 1,22 кг/м 3 , диаметре выработки D = 2,5 м.

Рис. 6.1. Зависимость от у* = = у/Н (Н - высота выработки)

Рис. 6.2. Зависимость от z* = = z/В (В - ширина выработки)

Значения компоненты D т y ·10 3 (м 2 /с), полученные для некоторых видов выработок, приведены ниже:

модель штрекообразной выработки, площадь поперечного сечения13,4×14,2 см, средняя скорость воздушной струи 0,25 м/с ..........................................1,1

квершлаг, закрепленный анкерами, площадь поперечного сечения 24,5 м 2 ,

скорость воздушной струи 0,5-1,2 м/с ........................................................2,4÷4,1

то же, площадь поперечного сечения 23 м 2 , скорость воздушной струи 1,1 м/с ........6,8

квершлаг без крепления, сечение сводчатое, площадь поперечного сечения 11,8 м 2 , скорость воздушной струи 1,7 м/с .......................................................5,1

то же, площадь поперечного сечения 7,5 м 2 , скорость воздушной струи 0,8 м/с …...1,8

штрек без крепления, сечение сводчатое, площадь поперечного сечения 10 м 2 , скорость воздушной струи 0,27 м/с ...............................................................0,8

Для расчета продольных D т x и поперечных D т y компонент коэффициента турбулентной диффузии метана в воздухе можно использовать приведенные ниже формулы.

Для штрекообразных выработок

; (6.29)

, (6.30)

где , а число Рейнольдса не рассчитывается по .

Для элемента S (м 2) поперечного сечения штрекообразной выработки при средней скорости по площади элемента и" ср (м/с):

. (6.31)

Для круглых гладких и шероховатых труб

, (6.32)

где R - радиус трубы.

Для широкого прямого канала

. (6.33)

Для диффузии углекислого газа в воздухе

где k : = 3,96·10 -4 м.

В формулах (6.29)-(6.33) использованы следующие обозначения:

Н- высота выработки, м;

Динамическая скорость, м/с;

u ср - средняя скорость воздушной струи, м/с;

α - коэффициент аэродинамического сопротивления, Н·с 2 /м 4 ;

r -плотность воздуха, кг/м 3 ;

ν - кинематический коэффициент вязкости, м 2 /с;

S - площадь поперечного сечения выработки, м 2 .

По этим формулам для некоторых средних условий (u ср = 1 м/с; Н= 2,5 м, = 0,1 м/с; R = 1 м) значения компонент D т x , D т y составляют порядка 10 -3 м /с.

Коэффициент турбулентной диффузии D характеризует рассеивание газа в потоке за счет работы турбулентных пульсаций. В ряде случаев на перемещения диффундирующего газа налагаются более сильные движения, вызываемые наличием сдвига (градиента) скорости потока. Именно к таким потокам - "потокам со сдвигом" - относятся шахтные вентиляционные потоки.

В 1951 г. В.Н. Воронин показал, что при движении газового облака по выработке его продольная деформация определяется профилем скоростей. В 1953 г. Дж. Тэйлор опубликовал решение задачи продольной турбулентной диффузии примеси от мгновенного источника в круглой трубе. Им было показано, что продольное рассеивание примеси, вызываемое градиентом скорости, существенно больше, чем рассеивание, вызываемое турбулентными пульсациями скорости. Дж. Тэйлор предложил оценивать суммарный эффект продольного рассеивания примеси относительно плоскости, движущейся со средней скоростью потока, коэффициентом, который получил название эффективного коэффициента диффузии D Э:

D Э = D г = D тх , (6.35)

Коэффициент D э может быть определен в точке или быть усредненным.

Исследования С.П. Грекова и А.Е. Калюсского позволили получить следующее выражение для эффективного коэффициента диффузии штрекообразной выработки:

; (6.37)

по И.Ф. Ярембашу

. (6.38)

Здесь v - кинематический коэффициент вязкости воздуха, м 2 /с; u ср, - средняя скорость воздушного потока, м/с; D - диаметр выработки, м; α - коэффициент аэродинамического сопротивления выработки, Н·с 2 /м 4 ; S - площадь поперечного сечения выработки, м 2 ; r - плотность воздуха, кг/м 3 .

К.Ю. Лайгна и Э.А. Поттер в своих последних работах* дают следующее выражение для среднего по поперечному сечению эффективного коэффициента диффузии:

, (6.39)

где, а число Рейнольдса рассчитывают по . Значение D э можно определить также по графикам, представленным на рис. 6.3.

Рис. 6.3. Графики к определению эффективного коэффициента турбулентной диффузии

Расчеты по приведенным формулам и графикам дают значения D э, порядка нескольких м 2 /с.

Дж. Тэйлор и К.Ю. Лайгна, исследуя влияние изогнутости канала на коэффициент диффузии, сделали вывод, что этот фактор может увеличивать D э до двух раз.

Для изучения газодинамических процессов при действии свободных струй В.Н. Воронин применил коэффициент турбулентной диффузии k т, определив его как отношение среднего содержания газа в поперечном сечении ядра постоянной массы свободной струи с я к среднему содержанию на ее границе с гр:

Значения k т зависят от условий распространения свободной струи и изменяются от 0,3 до 0,9.

Основываясь на подобии полей скоростей и содержаний в ядре постоянной массы свободной струи, В.Н. Воронин получил следующие выражения для коэффициента турбулентной диффузии чистых (не содержащих газа в начальном сечении) свободных струй:

для основного участка круглой струи

k т = 1÷1,84А ; (6.41)

для основного участка плоской струи

k т = 1÷1,44А´ ;. (6.42)

В приведенных формулах

(6.43)

, (6.44)

где R Я - радиус ядра постоянной массы; и - скорость в точке с координатами х , у; и 0 - осевая скорость; φ я - относительная координата границы ядра постоянной массы;

а - коэффициент структуры свободной струи, зависящий от начальных турбулентности и профиля скорости (по В.Н. Воронину, для круглой струи а = 0,044÷0,053, для плоской а = 0,09÷0,12).

Значения коэффициентов турбулентной диффузии, рассчитанные по приведенным формулам, даны на рис. 6.4.

Приведенные выражения справедливы для свободных струй в неограниченном пространстве. В условиях горных выработок свободные струи часто распространяются в ограниченных объемах, при этом воздухообмен между струей и окружающим воздухом определяется не только структурой струи, но и структурой воздушных потоков в окружающей ее среде, которая в свою очередь зависит от геометрии ограничивающих поверхностей и их шероховатости и в общем случае отлична от таковой в неограниченных объемах. В результате коэффициенты турбулентной диффузии струй в ограниченных пространствах отличаются от таковых в неограниченных пространствах. Впервые это было отмечено Ю.М. Первовым, который предложил учитывать его соответствующим изменением коэффициента структуры а.

Рис. 6.4. Зависимость k т от для круглой (а) и аl/b 0 для плоской (б) струй (l - длина струи, S - площадь ее начального сечения)

С учетом п - отношения ширины камеры к ширине выработки, подводящей воздух, согласно Ю.М. Первову:

для струи, выходящей из квадратного гладкого отверстия, при

n >2,33а = 0,077(n -0,5)(n + 1).

При п < 2,33 коэффициент структуры не зависит от степени ограничения и равняется 0,42;

для струи, выходящей из круглой гладкой трубы, при п > 2,33

а = 0,062 (п -0,5)

При n <2,33 а = 0,034;

для плоской струи при п > 3,12

а = 0,2(n 3/2 - 1,25n + 0,25)/(n 3/2 - 1),

а при п <3,12

а = 0,085 .

Подобное явление было установлено при распространении свободных ветровых струй в карьерах.

По В.Н. Воронину, коэффициент турбулентной диффузии струи, и начальном сечении которой уже имеется некоторое количество газа с содержанием с 0 (частично загазованная струя), определяется по формуле

. (6.46)

При этом принимается, что коэффициент турбулентной диффузии не зависит от турбулентной структуры газовоздушной среды вне свободной струи, т.е. газообмен между струей и средой определяется лишь течением в струе, а это, видимо, справедливо только для затопленных струй, распространяющихся в неограниченном пространстве. Поскольку через границу свободной струи происходит обмен турбулентными массами, то турбулентная структура струи должна зависеть от структуры движения и энергии привносимых в нее извне масс. При исследованиях затопленных струй, распространяющихся в ограниченных пространствах (карьеры, тупиковые выработки, камеры и т.п.), была установлена завиисимость их угла раскрытия [а следовательно, в соответствии с формулой (6.36) - и коэффициента структуры струи] от геометрии ограничивающих поверхностей, что должно быть связано с турбулентной структурой вторичных токов, заполняющих пространство между ограничивающими поверхностями и границей свободной струи*.

В общем случае структура вторичных токов должна зависеть от начального расхода воздуха в струе, и для точного описания газообменных процессов, связанных с распространением свободных струй, с помощью коэффициента турбулентной диффузии В.Н. Воронина необходимо определить зависимости его от диффузионных свойств внешней среды (например, от коэффициента диффузии D т.

Более строгим является исследование процессов газопереноса в свободных струях на основе ранее рассмотренных коэффициентов турбулентной диффузии и эффективных коэффициентов диффузии. Исследования для их установления применительно к струйным движениям в горных условиях были выполнены К.Ю. Лайгна, Э.А. Поттером и О.А. Суллакатко. Ими впервые получены выражения для расчета коэффициентов турбулентной диффузии ограниченной (степенной) струи , в частности, для эффективных коэффициентов продольной турбулентной диффузии:

круглая турбулентная струя, 30·10 3 < Rе < 730·10 3:

плоская турбулентная струя, 30·10 3 < Rе < 730·10:

(6.49)

Здесь - коэффициент стеснения струи; S - площадь поперечного сечения выработки; d - начальный диаметр струи; и - средняя начальная скорость струи; Н, В - соответственно высота и ширина выработки; b - начальная ширина струи.

ТЕМА №7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ШАХТАХ

Как уже упоминалось, кинетическая теория газов позволяет просто объяснить факт медленности процесса диффузии, несмотря на большие значения скоростей тепловых движений молекул. Это обусловлено тем, что молекулы газа, чтобы попасть из одной точки в другую, вследствие столкновений вынуждены пройти длинный зигзагообразный путь, во много раз превосходящий расстояние по прямой между этими точками.

Кроме такого качественного объяснения, кинетическая теория позволяет и количественно оценить величину коэффициента диффузии и выразить его через молекулярные величины - длину свободного пробега молекул и скорости их тепловых движений.

Рассмотрим площадку 5 в сосуде с газовой смесью, перпендикулярную к оси X (рис. 51), вдоль которой поддерживается

постоянная разность концентраций (речь идет, следовательно, о стационарном процессе). Примем для определенности, что Из-за тепловых движений молекулы интересующего нас компонента будут переходить через площадку 5 как слева направо, так и справа налево. Ввиду существующей разности концентраций по обе стороны площадки возникнет некоторый диффузионный поток вдоль оси X, равный, очевидно, разности между числом молекул пересекающих площадки 5 в 1 с (перпендикулярно к ее плоскости) в направлении положительных значений X (вправо), и числом молекул пересекающих то же сечение и за то же время в противоположном направлении (влево):

Как определить число молекул, пересекающих площадки? Если бы все молекулы двигались с одинаковой скоростью направленной по оси X, то число молекул, переходящих в 1 с площадку в было бы равно где число молекул в единице объема.

В действительности существует распределение молекул по скоростям, но для грубой оценки мы примем, что у всех молекул одна и та же скорость, равная средней скорости Примем также, что тепловые скорости молекул равномерно распределены по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Тогда из всех молекул единицы объема движется вдоль оси X и из них половина движется в положительном направлении оси X, т. е. по направлению к площадке, в то время как другая половина движется в противоположном направлении - от нее.

Следовательно, число молекул пересекающих площадки в 1 с слева направо, и число молекул пересекающих ту же площадку в противоположном направлении, выразятся соотношениями:

Здесь концентрации молекул с одной и с другой стороны от площадки. Относительно значений величин необходимо заметить, что они изменяются вдоль оси X вследствие столкновений молекул между собой. Поэтому к выделенной нами площадке молекулы подходят, имея те значения концентраций которые создались при последнем столкновении перед площадкой. Значит, мы должны считать, что это те числа молекул в единице объема, которые были на расстоянии (средняя длина свободного пробега) от площадки, по обе стороны от нее.

Диффузионный поток следовательно, определяется выражением

где разность концентраций между точками, отделенными друг от друга расстоянием в Разность эту нетрудно определить, если известно значение градиента концентрации - (будем полагать, что изменяется только по оси т. е. вместо можно писать Так как есть разность концентраций, приходящаяся на единицу длины, то на расстоянии она равна:

Эта формула справедлива, если X достаточно мало.

Таким образом, для диффузионного потока получаем выражение:

или, умножив обе части этого равенства на массу молекулы имеем:

Сравнивая его с уравнениями (40.2) и (40,3) закона Фика

находим интересующее нас выражение для коэффициента диффузии:

Из этого выражения видно, что коэффициент диффузии обратно пропорционален давлению газа (потому что и прямо пропорционален квадратному корню из температуры

При выводе формулы (42.1) не принималась во внимание диффузия второго компонента, крторая, разумеется, тоже происходит. И она не может не влиять на диффузию рассматриваемого компонента смеси.

Так, например, в смеси водорода и углекислого газа водород должен диффундировать значительно быстрее, чем углекислый газ, потому что при данной температуре средняя скорость тепловых движений молекул водорода почти в пять раз больше и, кроме того, длина свободного пробега молекул водорода тоже больше. Но это

значит, что объем водорода, переносимого в одном направлении, больше объема углекислого газа, переносимого в противоположном направлении. В таком случае в газе неизбежно возникает разность давлений, а значит, и поток газа в целом. Между тем мы определили диффузию как процесс, при котором давление газовой смеси во всех точках остается постоянным и газ, как целое, покоится. На самом же деле в процессе взаимной диффузии двух различных газов, одного в другой, превышение диффузионного потока одного из них над потоком другого уравновешивается течением всего газа по направлению к той области, где первоначально находились более быстро диффундирующие молекулы.

Этого обстоятельства мы, однако, не принимали во внимание при выводе формулы (42.1) для коэффициента диффузии, и эта формула справедлива в сущности только для диффузии молекул газа в среде того же газа. Такой процесс называется самодиффузией, а формула (42.1) выражает, следовательно, коэффициент самодиффузии.

С таким явлением мы имеем дело, например, когда газовая смесь состоит из двух различных изотопов одного и того же вещества, лишь незначительно отличающихся друг от друга своей массой, но не отличающихся никакими другими свойствами. Если один из изотопов радиоактивен, то такую самодиффузию легко наблюдать, так как за проникновением радиоактивных частиц можно следить по их излучению.

Диффузионный поток вещества i и тепловой поток q возникают в результате наличия в жидкости градиентов концентрации и температуры. Не следует при этом думать, что i зависит только от градиента концентрации, a q - только от градиента температуры. Напротив, каждый из этих потоков зависит, вообще говоря, от обоих указанных градиентов.

Если градиенты температуры и концентрации невелики, то можно считать, что i и q являются линейными функциями от (от градиента давления - при заданных - потоки q и i не зависят по той же причине, которая была уже указана для q в § 49). Соответственно этому напишем i и q в виде линейных функций от градиентов

Между коэффициентами существует простое соотношение, являющееся следствием принципа симметрии кинетических коэффициентов. Содержание этого общего принципа заключается в следующем (см. V § 120). Рассмотрим какую-нибудь замкнутую систему и пусть - некоторые величины, характеризующие состояние системы. Их равновесные значения определяются тем, что в статистическом равновесии энтропия 5 всей системы должна иметь максимум, т. е. должно быть где обозначают производные:

Предположим, что система находится в состоянии, близком к равновесному. Это значит, что все лишь мало отличаются от своих равновесных значений, а величины малы. В системе будут происходить процессы, стремящиеся привести ее в состояние равновесия. Величины являются при этом функциями времени, а скорость их изменения определяется производными по времени представим последние в виде функций от и разложим эти функции в ряд.

С точностью до членов первого порядка имеем:

Принцип симметрии кинетических коэффициентов Онсагера утверждает, что величины (называемые кинетическими коэффициентами) симметричны по индексам а, b:

Скорость изменения энтропии равна

Пусть теперь сами величины различны в разных точках тела, т. е. каждый элемент объема тела должен характеризоваться своими значениями величин Другими словами, будем рассматривать как функции от координат. Тогда в выражении для , кроме суммирования по а, надо произвести также и интегрирование по всему объему системы, т. е.

Что касается зависимости между то обычно можно утверждать, что значения в каждой данной точке системы зависят только от значений величин в этой же точке. Если это условие выполняется, то можно писать связь между для каждой точки в системе, и мы возвращаемся к прежним соотношениям.

В данном случае выберем в качестве величин компоненты векторов i и Тогда из сравнения (58,7) с (59,4) видно, что роль величин будут играть соответственно компоненты векторов Кинетическими же коэффициентами будут являться коэффициенты при этих векторах в равенствах

В силу симметрии кинетических коэффициентов должно быть т. е.

Это и есть искомое соотношение. Мы можем поэтому написать потоки i и q в виде

всего с тремя независимыми коэффициентами: . В выражении для теплового потока удобно исключить градиент выразив его через i и

Сделав это, получим;

где введено обозначение

Если поток вещества i отсутствует, то говорят о чистой теплопроводности. Для того чтобы было должны удовлетворять уравнению или

Интегрирование этого уравнения приводит к соотношению вида не содержащему в явном виде координат (химический потенциал является функцией не только от с, Т, но и от давления; в равновесии, однако, давление постоянно вдоль тела, и потому мы полагаем ). Это соотношение определяет связь между концентрацией и температурой, которая должна иметь место для отсутствия потока вещества. Далее, при имеем из таким образом, и является не чем иным, как теплопроводностью.

Перейдем теперь к обычным переменным , Т и с. Имеем:

Последний член можно преобразовать, используя термодинамическое соотношение

где - термодинамический потенциал единицы массы, У - удельный объем. Имеем:

Подставив в (59,6) и введя обозначения

получим следующие выражения:

(59,11)

Коэффициент D называют коэффициентом диффузии; он определяет диффузионный поток при наличии одного только градиента концентрации.

Диффузионный же поток, вызываемый градиентом температуры, определяется коэффициентом термодиффузии (безразмерную же величину называют термодиффузионным отношением). В учете последнего члена в (59,11) может возникнуть необходимость лишь при наличии в жидкости существенного градиента давления, вызванного, например, внешним полем. Величину можно назвать коэффициентом бародиффузии-, мы вернемся еще к этой величине в конце параграфа.

В чистой жидкости диффузионный поток, разумеется, отсутствует. Поэтому ясно, что коэффициенты должны обращаться в нуль на обоих пределах: с

Условие возрастания энтропии накладывает определенные ограничения на коэффициенты в формулах (59,6). Подставив эти формулы в выражение (58,7) для скорости изменения энтропии, получим:

Отсюда видно, что наряду с известным уже нам условием должно выполняться также условие Имея в виду, что согласно одному из термодинамических неравенств всегда

(см. V, § 96), мы находим, что должен быть положителен коэффициент диффузии: Величины же могут быть как положительными, так и отрицательными.

Мы не станем выписывать громоздких общих уравнений, получающихся при подстановке полученных здесь выражений для i и q в уравнения (58,3), (58,6). Ограничимся лишь случаем, когда нет никакого существенного градиента давления, а концентрация и температура настолько мало меняются в жидкости, что коэффициенты в выражениях (59,11) и (59,12), являющиеся в общем случае функциями от с и Г, можно считать постоянными. Будем, кроме того, считать, что в жидкости нет никакого макроскопического движения, помимо того, которое может быть вызвано самим наличием градиентов температуры и концентрации. Скорость такого движения будет пропорциональна этим градиентам, и потому в уравнениях (58,3) и (58,6) члены, содержащие скорость, оказываются величинами второго порядка малости и могут быть опущены. Величиной второго порядка является также и член в (58,6). Таким образом, остается

Подставим сюда для i и q выражения (59,11) и (59,12) (без члена с а производную преобразуем следующим образом:

Здесь учтено, что согласно (59,8):

В результате получим после простого преобразования следующие уравнения:

(59,14)

Эта система линейных уравнений определяет распределение температуры и концентрации в жидкости.

В особенности важен случай, когда концентрация смеси мала. При стремлении концентрации к нулю коэффициент диффузии стремится к некоторой конечной постоянной, а коэффициент термодиффузии к нулю. Поэтому при малых концентрациях мало, и в уравнении (59,14) можно пренебречь членом Оно переходит тогда в уравнение диффузии:

Граничные условия для уравнения (59,16) в разных случаях различны. На границе с поверхностью тела, не растворимого в жидкости, должна обращаться в нуль нормальная к поверхности компонента диффузионного потока другими словами, должно быть Если же речь идет о диффузии от тела, растворяющегося в жидкости, то вблизи его поверхности быстро устанавливается равновесие, при котором концентрация в примыкающей к поверхности тела жидкости равна концентрации насыщенного раствора диффузия вещества из этого слоя происходит медленнее, чем процесс растворения. Поэтому граничное условие на такой поверхности гласит: Наконец, если твердая поверхность «поглощает» попадающее на нее диффундирующее вещество, то граничным условием является равенство (с таким случаем приходится, например, иметь дело при изучении химических реакций, происходящих на поверхности твердого тела).

Поскольку уравнения чистой диффузии (59, 16) и теплопроводности имеют одинаковый вид, то все выведенные в §§ 51, 52 формулы могут быть непосредственно перенесены на случай диффузии простой заменой Т на с и на D.

Граничному условию теплоизолированной поверхности соответствует при диффузии условие на нерастворимой твердой поверхности; поверхности же, поддерживаемой при постоянной температуре, соответствует диффузия от поверхности растворяющегося в жидкости тела.

В частности, по аналогии с формулой (51,5) можно написать следующее решение уравнения диффузии:

Оно определяет распределение растворенного вещества в произвольный момент времени, если в начальный момент все вещество было сконцентрировано в бесконечно малом элементе объема жидкости в начале координат (М - полное количество растворенного вещества).

К сказанному в этом параграфе надо сделать важное замечание. Выражения (59,5) или (59,11-12) представляют собой первые неисчезающие члены разложения потоков по производным от термодинамических величин. Как известно из кинетической теории (см. X, §§ 5, 6, 14), такое разложение является, с микроскопической точки зрения, разложением (для газов) по степеням отношения длины свободного пробега молекул газа I к характерной пространственной длине задачи L. Учет членов с производными высших порядков означал бы учет величин более высокого порядка по указанному отношению. Следующими после написанных в (59,5) членов, которые можно образовать из производных от скалярных величин и Т, были бы члены с производными третьего порядка: эти члены заведомо малы по сравнению с уже учтенными в отношении

Коэффициенты диффузии

Газ Температура, °С Коэффициент диффузии, см 2 /с

Аммиак в воздухе 0 0,217

Водород в воздухе - 0,634

Метан в воздухе - 0,196

Оксид углерода в воздухе - 0,129-0,138

Углекислый газ в воздухе 0 0,142

(6.17)

(6.18)

Выражение (6.17) может быть записано в свернутом виде

. (6.19)

В этом частном случае может рассматриваться как скаляр.

. (6.21)

Из выражения следует, что коэффициент турбулентной диффузии является тензором второго ранга

(6.22)

определяемым девятью компонентами -

В случае изотропной турбулентности можно принять L cx = L су, что приводит к равенству

т.е. в этом частном случае коэффициент турбулентной диффузии является скаляром.

, (6.24)

где среднее квадратичное значение v п

а 1 - коэффициент пропорциональности между u n и v п. Если принять, что

L / L с = а 2 = сопst, (6.25)

. (6.26)

Следующим шагом в этом направлении является принятие пропорциональности между l с и l ; значение коэффициента пропорциональности между ними зависит от свойств диффундирующего газа, разности содержаний газа в диффундирующем объеме и в среде. По имеющимся сведениям, этот коэффициент больше 1; для азота он равен ~ , для гелия ~ . Имеются попытки оценить l с через l и критерий Ричардсона, характеризующий затухание турбулентности под действием объемных (гравитационных) сил при диффузии активного газа.

где у i , y j - лагранжевы координаты жидкой частицы, величины случайные, являющиеся функцией времени.

; - средняя скорость потока; α – коэффициент аэродинамического сопротивления; r - плотность потока; Н - высота выработки) по числу Рейнольдса, начиная от Rе = 13600, а также равенство вертикальной и горизонтальной поперечных составляющих коэффициента диффузии . Их значения в ядре потока равнялись 0,02, а на расстоянии 0,13H и 0,8H от кровли - 0,03.

, (6.27)

D т = , (6.28)

где - расстояние от оси газового факела до точки в его поперечном сечении, в которой с = с mах /2.

Рис. 6.1. Зависимость от у* = = у/Н (Н - высота выработки)

Рис. 6.2. Зависимость от z* = = z/В (В - ширина выработки)

Значения компоненты D т y ·10 3 (м 2 /с), полученные для некоторых видов выработок, приведены ниже:

квершлаг, закрепленный анкерами, площадь поперечного сечения 24,5 м 2 ,

скорость воздушной струи 0,5-1,2 м/с ........................................................2,4÷4,1

то же, площадь поперечного сечения 23 м 2 , скорость воздушной струи 1,1 м/с ........6,8

то же, площадь поперечного сечения 7,5 м 2 , скорость воздушной струи 0,8 м/с …...1,8

Для штрекообразных выработок

; (6.29)

, (6.30)

где , а число Рейнольдса не рассчитывается по .

. (6.31)

Для круглых гладких и шероховатых труб

, (6.32)

где R - радиус трубы.

Для широкого прямого канала

. (6.33)

Для диффузии углекислого газа в воздухе

где k : = 3,96·10 -4 м.

В формулах (6.29)-(6.33) использованы следующие обозначения:

Н- высота выработки, м;

Динамическая скорость, м/с;

u ср - средняя скорость воздушной струи, м/с;

α - коэффициент аэродинамического сопротивления, Н·с 2 /м 4 ;

r -плотность воздуха, кг/м 3 ;

ν - кинематический коэффициент вязкости, м 2 /с;

S - площадь поперечного сечения выработки, м 2 .

D Э = D г = D тх , (6.35)

где D г - коэффициент диффузии, вызываемый наличием градиента скорости (коэффициент градиентной диффузии, или коэффициент дисперсии, по Дж.Тэйлору виртуальный, эффективный, действительный коэффициент диффузии); D тх - коэффициент продольной турбулентной диффузии.

Газовый поток, вызываемый градиентной диффузией, определяется выражением

, (6.36)

где , - отклонения соответственно содержания и скорости потока в точке от их средних по поперечному сечению значений;

с , и - соответственно усредненное по времени содержание и скорость потока в точке; - их средние по поперечному сечению значения.

Коэффициент D э может быть определен в точке или быть усредненным.

; (6.37)

по И.Ф. Ярембашу

. (6.38)

, (6.39)

где , а число Рейнольдса рассчитывают по . Значение D э можно определить также по графикам, представленным на рис. 6.3.

Рис. 6.3. Графики к определению эффективного коэффициента турбулентной диффузии

Расчеты по приведенным формулам и графикам дают значения D э, порядка нескольких м 2 /с.

Значения k т зависят от условий распространения свободной струи и изменяются от 0,3 до 0,9.

для основного участка круглой струи

k т = 1÷1,84А ; (6.41)

для основного участка плоской струи

k т = 1÷1,44А´ ;. (6.42)

В приведенных формулах

(6.43)

, (6.44)

; (6.45)

Значения коэффициентов турбулентной диффузии, рассчитанные по приведенным формулам, даны на рис. 6.4.

С учетом п - отношения ширины камеры к ширине выработки, подводящей воздух, согласно Ю.М. Первову:

для струи, выходящей из квадратного гладкого отверстия, при

n >2,33а = 0,077(n -0,5)(n + 1).

При п < 2,33 коэффициент структуры не зависит от степени ограничения и равняется 0,42;

для струи, выходящей из круглой гладкой трубы, при п > 2,33

а = 0,062 (п -0,5)

При n <2,33 а = 0,034;

для плоской струи при п > 3,12

а = 0,2(n 3/2 - 1,25n + 0,25)/(n 3/2 - 1),

а при п <3,12

а = 0,085 .

Подобное явление было установлено при распространении свободных ветровых струй в карьерах.

. (6.46)

круглая турбулентная струя, 30·10 3 < Rе < 730·10 3:

плоская турбулентная струя, 30·10 3 < Rе < 730·10:

(6.49)

ТЕМА №7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ШАХТАХ

Общие положения

Во многих случаях полезные результаты могут быть получены более простым интегральным методом.

Интегральный метод, или метод усредненных характеристик, основан на том факте, что локальные газодинамические эффекты в конечном итоге выступают в виде некоторых обобщенных, или интегральных, усредненных закономерностей, таких, например, как изменение среднего по сечению содержания газа на выходе из забоя, участка, шахты, изменение суммарного дебита газа из выработанного пространства в выработку и др. Предметом интегрального метода анализа является исследование газодинамических процессов в шахтах, описанных в терминах усредненных характеристик. В интегральном методе использованы такие усредненные характеристики процесса, как средняя скорость движения, среднее содержание и т.п. Усреднение может производиться по одному, двум, трем измерениям, а также во времени*. Использование усредненных характеристик не требует знания их полей, что существенно упрощает аппарат анализа, а также турбулентных характеристик потока, которые в этом методе обычно учитываются эмпирическими константами. Число параметров процесса сокращается. Все это делает интегральный метод достаточно простым и легко приводящим к конкретным результатам.

Однако замена локальных значений характеристик их усредненными значениями не всегда может пройти без заметного снижения достоверности получаемых результатов. В качестве примера можно привести расчет расхода воздуха по среднему содержанию метана для выработок, где имеются слоевые скопления газа: при достаточности полученного расхода в среднем он не всегда может обеспечить ликвидацию зон высокого содержания газа в пристеночных областях. В общем, правомерность и погрешность использования метода средних характеристик определяется их различиями, как в точке, так и во всей области движения, причем, чем больше области, где эти различия существенны, тем менее правомерно использование этого метода и тем больше возникающая при этом погрешность.

Основным соотношением интегрального метода является соотношение между содержанием газа с , объемным расходом газа J и расходом газовоздушной смеси Q* :

Если J и Q взаимонезависимы, изменение содержания прямо пропорционально расходу газа и обратно пропорционально расходу воздуха. В частности, монотонному изменению расхода воздуха в этом случае соответствует монотонное изменение содержания газа.

В ряде случаев расход газа в выработке зависит от расхода воздуха. При этом возможно появление так называемых переходных газодинамических процессов, при которых обратно пропорциональная зависимость между с и Q нарушается. В общем имеющий практическое значение характер зависимости с(Q) определяется соотношением (7.1) и зависимостью с (J ).

Основой метода усредненных характеристик является закон сохранения массы, который применяется к участку выработки конечной длины или к выработке в целом. Для выбранного участка определяются интегральные газовые потоки, поступающие в выработку и выходящие из нее, от всех действующих в выработке источников газовыделения. Алгебраическая сумма поступления газа в выработку и его выноса в виде этих потоков за некоторый промежуток времени определяет изменение газосодержания в объеме рассматриваемой выработки за этот же период.

Под интегральным газовым потоком от i -го источника понимается количество газа, поступающее в рассматриваемую выработку в единицу времени. Если i -й интегральный газовый поток в выработку объема V обозначить через J i то, согласно закону сохранения массы и в соответствии с вышесказанным, получим следующее наиболее общее дифференциальное уравнение переноса газа:

(7.3)

где п - число интегральных газовых потоков в выработке; ее - изменение среднего содержания газа в выработке за период времени

В стационарном случае

Интегральные газовые потоки могут поступать в выработку (выходить из нее) либо со струей воздуха, либо с ее твердых границ.

Интегральный газовый поток, вносимый (выносимый) в выработку вентиляционной струей,

(7.5)

где с ср - среднее содержание газа в поступающем (выходящем) в выработку воздухе; Q - расход воздуха на входе (выходе) в выработку.

Интегральные газовые потоки с твердых границ выработки могут иметь различное происхождение и рассчитываться разными способами. Так, интегральный газовый поток с обнаженной поверхности горных пород

(7.6)

где q г - абсолютное газовыделение с единицы обнаженной поверхности; S - площадь обнаженной поверхности.

Аналогично определяется интегральный газовый поток из граничащего с выработкой выработанного пространства.

Интегральный газовый поток из находящейся в выработке отбитой горной массы может быть определен как произведение абсолютного газовыделения q" г , отнесенного к единице массы отбитой горной породы, на общую отбитую массу М от:

(7.7)

Следует иметь в виду, что q г и q" г являются функциями времени.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДИФФУЗИИ ПРИМЕСИ В ПОЛУПРОВОДНИК

Цель работы: изучение моделей процесса диффузии примесей в полупроводник для различных технологических условий.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПОДГОТОВКЕ К РАБОТЕ

Содержание работы: уяснить поставленную задачу, ознакомиться с законами диффузии - уравнениями Фика и решениями уравнения диффузии для различных частных случаев, которые широко используются при проведении процессов диффузии на практике.Ознакомиться с методикой работы с программой на ЭВМ, выполняющей расчет параметров процесса диффузии и графическое построение профиля диффузианта.

1.1. Основные сведения из теории

Диффузия представляет собой обусловленное тепловым движением перемещение атомов вещества в направлении убывания их концентрации.

Основой математического описания процессов диффузии являются два дифференциальных уравнения Фика. Первое уравнение (первый закон Фика) записывается следующим образом:

(3.1)

где J - плотность потока диффундирующего вещества, т.е. количество вещества, проходящего за единицу времени через единичную площадь поверхности, перпендикулярной направлению переноса вещества;

N - концентрация атомов примеси;

D - коэффициент диффузии.

Скорость переноса пропорциональна градиенту концентрации, а в качестве коэффициента пропорциональности вводится коэффициент диффузии. Знак минус в правой части (3.1) указывает на то, что диффузия происходит в направлении убывания концентрации. Другими словами, диффузия идет благодаря стремлению системы достичь физико-химического равновесия. Процесс будет продолжаться до тех пор, пока химические потенциалы компонентов всей системы не станут равными.

В макроскопическом представлении коэффициент диффузии определяет плотность потока вещества при единичном градиенте концентрации и является, таким образом, мерой скорости выравнивания градиента концентрации. Размерность коэффициента диффузии - м 2 /с (на практике чаще пользуются размерностью см 2 /с). В общем случае диффузия анизотропна и коэффициент диффузии зависит от кристаллографического направления.

Коэффициент диффузии при температуре диффузии определяют, используя известное выражение в форме уравнения Аррениуса

где предэкспоненциальный множитель D 0 (постоянная диффузии) - коэффициент диффузии при бесконечно большой температуре, см 2 /с;

Δ E - энергия активации диффузии, эВ;

k - постоянная Больцмана; T - температура процесса в градусах Кельвинах.

Диффузионные параметры различных элементов в кремнии, полученные различными исследователями, приведены в табл. 3.1

Таблица 3.1

	Множитель D 0 , см 2 /с	Энергия активации , эВ	Предельная растворимость при 1200 0 С, см -3	Тип проводимости

Алюминий








				амфотерный

Когда концентрация вещества изменяется только в одном направлении (одномерная диффузия) и при диффузии в изотропной среде (коэффициент диффузии - скаляр) первое уравнения Фика имеет следующий вид:

(3.2)

При простейшем анализе структур и в простейших моделях процессов легирования в технологии изготовления ИМС предполагаются именно такие условия диффузии.

Второе уравнение диффузии (второй закон Фика) получается путем сочетания первого закона и принципа сохранения вещества, согласно которому изменение концентрации вещества в данном объеме должно быть равно разности потоков этого вещества на входе в объем и выходе из него.

В общем случае второе уравнение диффузии имеет вид

(3.3)

Для одномерной диффузии в изотропной среде уравнение (3.3) можно записать

(3.4)

Второй закон Фика характеризует процесс изменения концентрации диффундирующей примеси во времени в различных точках среды и является математической моделью нестационарного (развивающегося) состояния системы (описывает период времени от начала процесса до установления стационарного состояния).

При постоянстве коэффициента диффузии D уравнение (3.4) упрощается

(3.5)

Допущение о постоянстве коэффициента диффузии справедливо в большинстве случаев, реализуемых в технологии ИМС.

Уравнения диффузии являются чисто феноменологическими, т.е. они не содержат никаких сведений о механизмах диффузии - о диффузионном процессе на атомном уровне. Кроме того, уравнения (3.1) - (3.5) не содержат информации о зарядовом состоянии диффундирующих частиц.

Процессы диффузии, используемые для изготовления интегральных структур, обычно анализируются с помощью частных решений уравнения (3.5) т.к., в отличие от (3.2), именно оно содержит важный параметр - время установления некоторого анализируемого состояния системы.

Основная цель решения уравнения - найти распределение примеси N ( x , t ) в полупроводнике после диффузии в течение определенного времени t при различных условиях осуществления процесса.

Общее решение уравнения (3.5) для бесконечного твердого тела при заданном в общем, виде начальном распределении примеси N ( x ,0) = f ( x ) может быть найдено методом разделения переменных. Оно имеет вид

, (3.6)

где ξ - текущая координата интегрирования.

Представленное выражение позволяет находить распределения примеси в твердом теле при любых начальных условиях. Решение конкретной задачи сводится к подстановке в (3.6) соответствующих ситуации начальных условий с последующими, как правило, очень громоздкими преобразованиями. Практически при создании полупроводниковых ИМС представляют интерес три частных случая: диффузии из полубесконечного пространства, диффузия из постоянного источника и диффузии из бесконечно тонкого слоя.

Диффузия из полубесконечного пространства (диффузия из концентрационного порога).

Диффундирующая примесь (диффузиант) поступает в полубесконечное тело через плоскость x = 0 из второго полубесконечного тела (источника) с равномерным распределением примеси. Концентрация примеси в источнике – N 0 . Предполагается, что в принимающем диффузант теле нет рассматриваемой примеси.

Начальное распределение концентраций для этого случая задается в виде

дляx < 0,

дляx > 0.

Решением уравнения (3.6) для этого случая является выражение

, (3.7)

где erf z - называют интегралом ошибок Гаусса или функцией ошибок (error function ) Гаусса аргумента z . В соответствии с сокращением это распределение называют erf – распределением:

. (3.8)

В математике часто используют как самостоятельную и другую функцию

, (3.9)

которая называется дополнением функции ошибок до единицы или дополнительной функцией ошибок - error function complement. Обе функции табулированы.

 Величина
имеет размерность длины и носит название диффузионной длины или длины диффузии. Физический смысл этого параметра - среднее расстояние, которое преодолели диффундирующие частицы в направлении выравнивания градиента концентрации за время t .

Рассмотренное решение можно использовать как простейшую модель, представляющую распределение примеси на границе эпитаксиальная пленка – подложка.

Диффузия из постоянного источника .

Диффузант поступает в полубесконечное тело через плоскость x = 0 из источника, обеспечивающего постоянную концентрацию примеси N 0 на поверхности раздела твердое тело - источник в течение любого времени. Такой источник называют бесконечным или источником бесконечной мощности. Полагается, что в принимающем диффузиант теле нет рассматриваемой примеси.

Начальное распределение концентраций и граничные условия для этого случая задаются в виде

дляx = 0,

дляx >0.

Решением уравнения (3.6) для данных условий является выражение

(3.10)

Если в объеме полупроводникового материала до диффузии имелась примесь противоположного типа по отношению к диффундирующей, эта примесь распределена по объему равномерно и её концентрация равна N исх , то в этом случае в полупроводнике образуется электронно-дырочный переход. Его положение (глубина залегания) x p - n определяется условием N ( x , t ) = N исх , откуда

(3.11)

и
(3.12),

где здесь запись erfc -1 обозначает аргумент z функции erfc .

Рассмотренная модель диффузионного процесса с постоянным источником описывает процесс диффузионного легирования полупроводникового материала из газовой или паровой фазы. Этот процесс используется при создании сильно легированных диффузионных слоев (например, эмиттерных) с поверхностными концентрациями N 0 близкими к значениям предельной твердой растворимости примеси N пред в данном полупроводниковом материале.

Д иффузии из бесконечно тонкого слоя в полубесконечное тело с отражающей границей на поверхности. Примером диффузии примеси из тонкого слоя в полубесконечное тело с отражающей границей является диффузия в кремниевую пластину из эпитаксиального, имплантированного или диффузионного слоя и покрытую слоем двуокиси кремнияSiO 2 или нитрида кремния Si 3 N 4 . Границу пластины и пленки можно с большой долей правдоподобия принять отражающей, т.к. коэффициенты диффузии большинства примесей в кремний на несколько порядков больше, чем в двуокись кремния и нитрид кремния.

Решение диффузионного уравнения при этих условиях находится в виде

(3.13)

Приведенное выражение представляет собой Гауссово распределение.

При решении этой задачи необходимо знать количество примеси Q , накопленной в твердом теле при диффузии в течение времени t . Эта величина определяется по формуле

(3.14)

где J (0, t ) - поток диффузанта в объем через плоскость x = 0 .

Следует обратить внимание на возрастающее со временем значение накопленной в диффузионном слое примеси при диффузии с данными граничными условиями.Диффузию из бесконечно тонкого слоя в сочетании с диффузией из постоянного источника в полуограниченное тело нашли широкое практическое применение при формировании диффузионных p - n -переходов методом двухступенчатой диффузии.

На первой стадии процесса проводится кратковременная диффузия (при пониженных температурах) из постоянного источника, распределение примеси после которой описывается выражением (3.10). Значение N o при этом велико и определяется либо пределом растворимости данной примеси в полупроводниковом материале, либо концентрацией примеси в стеклообразном слое на поверхности полупроводника. Этот этап часто называют "загонкой".

После окончания первой стадии пластины помещают в другую печь для последующей диффузии, обычно, при более высоких температурах. В этой печи нет источника примеси, а если он создавался на первой стадии в виде стеклообразного слоя на поверхности пластин, его предварительно удаляют. Таким образом, тонкий слой легированного полупроводника, полученный на первом этапе, является источником перераспределяемой примеси при проведении второй стадии процесса. Для создания отражающей границы второй этап (часто называемый "разгонкой") проводят в окислительной атмосфере. При этом на поверхности растет слой SiO 2 .

Существует заметное несоответствие между распределением примеси в источнике, сформированном при загонке, с декларируемым при выводе выражения (3.14) - ступенчатым. Это несоответствие должно отразиться на точности описания реального распределения примеси после второй стадии диффузии выражением (3.14).

При моделировании двухстадийной диффузии и анализе результатов процесса полагают, что выражение (3.14) достаточно точно соответствует реальному при условии, если величина произведения D 1 t 1 для первого этапа процесса легирования значительно меньше, чем D 2 t 2 для второго – D 2 t 2 >> D 1 t 1 . Это условие быстрой истощаемости источника. В этом случае, учитывая, что количество накопленной при первом этапе примеси определяется соотношением

из (3.14) получим

(3.15)

Величины D 2 и t 2 относятся ко второй стадии диффузии.

Тонкий слой на поверхности полупроводниковой пластины является источником, который очень быстро истощается. Непрерывная диффузия в этом случае приводит к постоянному понижению поверхностной концентрации примеси в полупроводнике. Эту особенность данного процесса используют в полупроводниковой технологии для получения контролируемых значений низкой поверхностной концентрации примеси, например, для создания базовых областей кремниевых транзисторных структур дискретных приборов или ИМС.

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

В лабораторной работе для исследования теоретических аспектов процесса диффузии примеси в полупроводник используется специальная программа, работающая в среде WINDOWSи персоналный компьютерIBMPC. Программа позволяет выполнять расчет параметров диффузионного процесса и строить графики распределения примеси для различных параметров: вида и источника примеси, концентрации примеси, температуры и времени диффузии

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

3.1. Ознакомиться с методами проведения процессов диффузии для формирования p - n -перехода и получить у преподавателя исходные данные. Составить и согласовать с преподавателем план работы.

3.2. Включить компьютер.

3.3. Запустить программу двойным нажатием левой кнопки мыши на иконку "ЛР 3", находящуюся на рабочем столе, и затем "ChemicGraph.exe ".

3.4.Нажмите кнопку "Настройка" и в выпавшем меню выберите "Величины". В открывшемся окне введите исходные данные процесса диффузии: D t , количество интервалов (не менее 100), время диффузииt 1 , t 2 и t 3 .

Выберите в нижней части панели требуемый вариант диффузии, установив соответствующий флажок. Введите значение концентрации примеси N 0 , см -3 .

Нажмите кнопку "Промежуточные значения" и в открывшемся окне:

Введите z 1 – 0,z 2 = 3…5 и шаг для вычисления функцииerfz и нажмите кнопку "Расчет" для получения расчетных значений;

Введите x 1 ,x 2 и шаг для расчета профиля распределения примеси по глубине и нажмите кнопку "Расчет".

Скопируйте расчетные данные в отчет.

3.5. Закройте окно "Промежуточные значения" и нажмите кнопку "ОК" на панели "Величины" для построения графика.

Нажмите "Настройка" и в выпавшем меню выберите "Настройка графика". В открывшемся окне путем подбора масштаба по осям "Х" и "У" добейтесь оптимального изображения графика в линейном масштабе.

3.6. В окне "Настройка графика" установите флажок "Логарифмическая шкала" (по оси У) и нажмите "ОК" для построения графиков в полулогарифмическом масштабе.

3.7. Выключите компьютер.

ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

Отчет должен содержать: а) постановку задачи исследования; б) таблицы результатов расчетов; в)графики распределения примеси в полупроводниковой пластине для t 1 , t 2 иt 3 ; г) анализ полученных данных.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие существуют методы введения примеси в полупроводник?

2. Какие параметры процесса входят в первый закон Фика?

3. Какие параметры процесса связывает второй закон Фика?

4. Какую зависимость имеет распределение примеси при диффузии из постоянного источника?

5. Какую зависимость имеет распределение примеси при диффузии из бесконечно тонкого слоя?

6. Какую зависимость имеет распределение примеси при диффузии из полубесконечного тела в полубесконечное?

7. Каков вид зависимостей erfz иerfcz ?

8. Какие параметры учитывают при выборе диффузианта?

9. Какие существуют механизмы диффузии?

10. Как осуществляется локальное введение примеси при диффузии?