Трехточечная прогонка. Численные методы линейной алгебры

Введение………………………………………………………………………..3

Суть метода прогонки…………………………………………………..4

Теоретическая часть. ................................................................................5

Виды прогонки…………………………………………………………..7

Теорема о корректности и устойчивости прогонки…………………..10

Решение системы методом прогонки. Код, реализующий метод прогонки…………………………………………………………………..12

Трёхдиагональная матрица (матрица Якоби)…………………………15

Заключение……………………………………………………………………..19

Список литературы…………………………………………………………….20

ВВЕДЕНИЕ

Прогонкой называется модификация метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Если матрица системы обладает определенными свойствами, то метод прогонки является численно устойчивым и очень эффективным методом, который позволяет практически мгновенно решать одномерные краевые задачи, одну из которых мы рассмотрели в предыдущем разделе. Большинство корректно поставленных физических задач приводит к системе уравнений с хорошей матрицей, и в этих случаях метод прогонки проявляет слабую чувствительность как к погрешностям задания начальных условий, так и к погрешностям вычислительного характера.

1. Суть метода прогонки

Суть метода прогонки заключается в том, что, используя специфику структуры матрицы системы уравнений (наличие трех диагоналей), удается получить рекуррентные формулы для вычисления последовательности коэффициентов прогонки, которые позволяют на обратном ходу вычислить значения функции в узлах сетки. Рассматривая конечно-разностное уравнение для первой тройки узлов:

b1U1+c1U2=-a1U0,

видим, что оно связывает между собой два соседних значения U1, и U 2 . Перепишем его в виде:

d1U2+e=U1, (1)

где d 1 и е1вычисляются по известным значениям. Наблюдательный читатель заметит, что это справедливо только для задач первого рода. Чуть позже мы получим общее решение. Теперь мы можем исключить £/, из уравнения для следующей тройки узлов:

a2U1+b2U2+c2U2=f2,

подставив значение U1 из уравнения (8). После этой процедуры последнее уравнение также может быть приведено к виду:

d3U3+e2=U2,

di-1Ui+ei-1=Ui-1,

в уравнение

aiUi-1+biUi+ciUi+1=fi,

Ui=-+ (2)

Это соотношение дает две рекуррентные формулы для коэффициентов:

di=-Ci/(ai*di-1+bi) (3)

ei=(fi-ai*ei-1)/(aidi-1+bi) (4)

Цикл вычисления последовательности коэффициентов в соответствии с этими формулами носит название прямого хода прогонки.

do=yo , eo=бo,

Цикл прямого хода повторяется N-1 раз. Последними будут вычислены коэффициенты d N-1 и e N-1 , которые связывают функции в двух узлах вблизи правой границы:

Un-1=dn-1Un+en-1 (5)

Если на правой границе задано условие первого рода U n = с, то уже можно вычислить U n-1 и далее продолжать обратный ход прогонки при I = N - 1,..., 1, 0. Если условие более сложное, то надо рассмотреть уравнение (6), определяющее граничное условие на правой границе. Напомним его:

Un=ynUn-1+бn (6)

Соотношения (6) и (5) составляют систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Используя определители, запишем ее решение.

Un-1=(en-1+бndn-1)/(1-yndn-1) (7)

Un=(бn+ynen-1)/(1-yndn-1)

Таким образом, мы нашли значения в двух узлах, лежащих вблизи правой границы расчетной области. Теперь, используя формулу (2) и уменьшая индекс i от N= 2 до 0, можно вычислить все неизвестные £/.. Этот процесс носит название обратного хода прогонки. Почему-то в голову приходит лозунг нашего времени: «Цели ясны, задачи определены.

2. Теоретическая часть

Пусть Ax=b, где A – трехдиагональная матрица. Матрица A= называется (2m+1) – диагональной, если a ij =0 при |i-j|>m.

Для решения систем уравнений такого вида часто наиболее целесообразно применять метод Гаусса при естественном порядке исключения неизвестных. В случае, когда этот метод применяется для решения СЛАУ, его называют методом прогонки .

Получаем , используем метод прогонки, исходя из следующего рекуррентного соотношения:,(2) получаем:

Эти формулы представляют собой прямой проход метода. Обратный проход:

Остальные x i находим из формулы (2).

Для применимости метода прогонки достаточно, чтобы матрица A была с диагональным преобладанием.

Алгоритм:

1. Вводим str/stlb – количество строк/столбцов, A – элементы расширенной матрицы

2. Проверяем матрицу на диагональное преобладание

3. Если матрица с диагональным преобладанием тогда п.4, иначе п.8

4. Выполняем прямой ход метода (формулы (3), (4)): c:=A/A; d:=A/A;

c[i]:= (-A)/(A*c+A);

d[i]:= (A-A*d)/(A*c+A)

x:=(A-A*d)/(A+A*c);

x[i]:=c[i]*x+d[i];

6. Выводим x;

7. Проверки на невязку;

8. Заканчиваем алгоритм.

В программе : A = B i , A = C i , A = A i , A = b i , d[i] = ? i , c[i] = ? i , str = n.

Описание входной информации: Str (Stlb) – количество строк (столбцов) в расширенной матрице, A – матрица A (i – строки, j – столбцы)

3. Виды прогонки

Часто возникает необходимость в решении линейных алгебраических систем, матрицы которых, являясь слабо заполненными, т.е. содержащими немного ненулевых элементов, имеют определённую структуру. Среди таких систем выделим системы с матрицами ленточной структуры, в которых ненулевые элементы располагаются на главной диагонали и на нескольких побочных диагоналях. Для решения систем с ленточными матрицами коэффициентов метод Гаусса можно трансформировать в более эффективные методы.

Рассмотрим наиболее простой случай ленточных систем , к которым, как увидим впоследствии, сводится решение задач сплайн-интерполяции функций, дискретизации краевых задач для дифференциальных уравнений методами конечных разностей, конечных элементов и др. А именно, будем искать решение такой системы, каждое уравнение которой связывает три “соседних” неизвестных:

b i x i -1 + c i x i + d i x i = r i (1)

где i =1,2 ,...,n ; b 1 = 0, d n = 0. Такие уравнения называются трехточечными разностными уравнениями второго порядка . Система (1) имеет трёхдиагональную структуру, что хорошо видно из следующего, эквивалентного (1), векторно-матричного представления:

c 1 d 1 0 0 ... 0 0 0 x 1 r 1

b 2 c 2 d 2 0 ... 0 0 0 x 2 r 2

0 b 3 c 3 d 3 ... 0 0 0 x 3 r 3

. . . . ... . . . * ... = ...

0 0 0 0 ... b n -1 c n -1 d n -1 x n -1 r n-1

0 0 0 0 ... 0 b n c n x n r n

Как и в решении СЛАУ методом Гаусса, цель избавится от ненулевых элементов в поддиаганальной части матрицы системы, предположим, что существуют такие наборы чисел δ i и λ i (i =1,2 ,...,n ) , при которых

x i = δ i x i+1 + λ i (2)

т.е. трехточечное уравнение второго порядка (1) преобразуется в двухточечное уравнение первого порядка (2). Уменьшим в связи (2) индекс на единицу и полученое выражение x i -1 = δ i -1 x i + λ i -1 подставим в данное уравнение (1):

b i δ i-1 x i + b i λ i-1 + c i x i + d i x i+1 = r i

x i = - ((d i /( c i + b i δ i-1 )) x i-1 + (r i - b i λ i-1 )/( c i - b i δ i-1 )).

Последнее равенство имеет вид (2) и будет точно с ним совпадать, иначе говоря, представление (2) будет иметь место, если при всех i =1,2,…, n выполняются рекуррентные соотношения

δ i = - d i /( c i + b i δ i-1 ) , λ i = (r i - b i λ i-1 )/( c i - b i δ i-1 ) (3)

Легко видеть, что, в силу условия b 1 =0 , процесс вычисления δ i , λ i может быть начат со значений

δ 1 = - d 1 / c 1 , λ 1 = r 1 / c 1

и продолжен далее по формулам (3) последовательно при i =2,3,..., n , причем при i = n , в силу d n =0, получим δ n = 0.Следовательно, полагая в (2) i = n ,будем иметь

x n = λ n = (r n – b n λ n-1 )/( c n – b n δ n-1 )

(где λ n -1 , δ n -1 – уже известные с предыдущего шага числа). Далее по формулам (2) последовательно находятся x n -1 , x n -2 ,…, x 1 при i = n -1, n -2,...,1 соответственно.

Таким образом, решение уравнений вида (1) описываем способом, называемым методом прогонки , сводится к вычислениям по трём простым формулам: нахождение так называемых прогоночных коэффициентов δ i , λ i по формулам (3) при i =1,2,…, n (прямая прогонка ) и затем неизвестных x i по формуле (2) при i = n -1, n -2,...,1 (обратная прогонка ).

Для успешного применения метода прогонки нужно, чтобы в процессе вычислений не возникало ситуаций с делением на нуль, а при больших размерностях систем не должно быть строгого роста погрешностей округлений.

Будем называть прогонку корректной , если знаменатели прогоночных коэффициентов (3) не обращаются в нуль, и устойчивой , если |δ i |< 1 при всех i € {1,2, ..., n }.

Приведем простые достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях метода автоматически выполняются.

4. Теорема о корректности и устойчивости прогонки

Пусть коэффициенты b i и d i уравнения (1) при i =2,3,..., n -1 отличны от нуля и пусть

| c i |>| b i |+| d i | i =1,2,…, n . (4)

Тогда прогонка (3), (2) корректна и устойчива (т.е. с i + b i δ i -1 ≠ 0, |δ i |< 1).

Доказательство . Воспользуемся методом математической индукции для установления обоих нужных неравенств одновременно.

При i = 1, в силу (4), имеем:

| c 1 |>| d 1 |≥ 0

Неравенство нулю первой пары прогоночных коэффициентов, а так же

|δ 1 |=|- d 1 / c 1 |< 1

Предположим, что знаменатель (i -1)-x прогоночных коэффициентов не равен нулю и что |δ i -1 |< 1. Тогда, используя свойства модулей, условия теоремы и индукционные предположения, получаем:

|с i + b i δ i -1 |≥| c i | - | b i δ i -1 |>| b i |+| d i | - | bi |*| δi -1 |= | d i |+| bi | (1 - | δ i -1 |)> | d i | >0

а с учетом этого

|δ i |=|- d i / с i +b i δ i-1 |=| δ i |/| с i +b i δ i-1 |< |δ i |/ |δ i |= 1

Следовательно, с i + b i δ i -1 ≠ 0 и |δ i |< 1 при всех i € {1,2, ..., n }, т.е. имеет место утверждаемая в данных условиях корректность и устойчивость прогонки. Теорема доказана.

Пусть А – матрица коэффициентов данной системы (1), удовлетворяющих условиям теоремы, и пусть

δ 1 = - d 1 / c 1 , δ i =|- d i / c i +b i δ i-1 (i=2,3,...,n -1 ), δ n =0

Прогоночные коэффициенты, определяемые первой из формул (3), а

∆ i = с i + b i δ i -1 (i =2,3,..., n )

Знаменатели этих коэффициентов (отличные от нуля согласно утверждению теоремы). Непосредственной проверкой легко убедится, что имеет место представление A = LU , где

c 1 0 0 0 ... 0 0 0

b 2 ∆ 2 0 0 ... 0 0 0

L = 0 b 3 ∆ 3 0 ... 0 0 0

…………………………

0 0 0 0 ... b n -1 ∆ n -1 0

0 0 0 0 ... 0 b n ∆ n

1 -δ 1 0 0 ... 0 0 0

0 1 δ 2 0 ... 0 0 0

U = 0 0 1 δ 3 ... 0 0 0

…………………………

0 0 0 0 ... 0 1 -δ n-1

0 0 0 0 ... 0 0 1

Единственное в силу утверждение теоремы LU -разложения матриц. Как видим, LU-разложение трехдиагональной матрицы А может быть выполнено очень простым алгоритмом, вычисляющем ∆ i δ i при возрастающих значениях i . При необходимости попутно может быть вычислен

det A = c 1 ∏ ∆ i .

В заключение этого пункта заметим, что, во-первых, имеются более слабые условия корректности и устойчивости прогонки, чем требуется в теореме условие строгого диагонального преобладания в матрице А . Во-вторых, применяется ряд других, отличных от рассмотрения нами правой прогонки, методов подобного типа, решающих как поставленную здесь задачу (1) для систем с трехдиагональными матрицами (левая прогонка, встречная прогонка, немонотонная, циклическая, ортогональная прогонки и т.д.), так и для более сложных систем с матрицами ленточной структуры или блочно-матричной структуры (например, матричная прогонка).

5. Решение системы методом прогонки. Код, реализующий метод прогонки

Часто при решении задач математической физики встречаются матрицы, в которых большинство элементов равно нулю. Причем структура матрицы не хаотична, а вполне определена, а именно - матрица трехдиагональна, ненулевые элементы расположены на главной диагонали и двух прилегающих к ней.

Метод прогонки является частным случаем метода Гаусса, и также состоит из прямого и обратного хода. Для решения системы, матрицу сначала нужно привести к двухдиагональной:

Поделив первую строку матрицы, приведенной выше, на -b 1 очевидно, что:

и можно вывести формулу для прямого хода:

Затем необходимо выполнить обратный ход - найти вектор X, из последней строки преобразованной матрицы следует, что x n = Q n .

В тоже время остальные элементы вектора считаются по формуле:

Следует заметить, что метод устойчив если(следует из диагонального преобладания матрицы А):

и корректен, если(иначе формулы прямого хода не имеют смысла):

Ниже представлен код, реализующий метод прогонки, принимает трехдиагональную матрицу a размерности N*N, и вектор правых частей b размерности N, результат возвращается в b:

void sweep(double a[N][N],double b[N])

for(i=1;i < N-1;i++)

znam=-a[i][i]-a[i]*a[i]; //общий знаменатель для формул нахождения Pi, Qi

a[i]/=znam; //P i

b[i]=(a[i]*b-b[i])/znam; //Q i

//строка ниже для вычисления Q N

b=(a*b-b)/(-a-a*a);

//обратный ход

for(i=N-2;i > -1;i--)

b[i]+=b*a[i];

Метод прогонки. Если матрица системы является разреженной, то есть содержит большое число нулевых элементов, то применяют еще одну модификацию метода Гаусса - метод прогонки. Рассмотрим систему уравнений с трехдиагональной матрицей:

Преобразуем первое уравнение системы к виду , где ,

Подставим полученное выражение во второе уравнение системы и преобразуем его к виду и т.д. На i -ом шаге уравнение преобразуется к виду , где , . На m -ом шаге подстановка в последнее уравнение выражения дает возможность определить значение :

Значения остальных неизвестных находятся по формулам: , i = m-1, m-2, ..., 1.

Пример 4 . Решение системы уравнений методом прогонки.

Прямой ход прогонки . Вычислим прогоночные коэффициенты:

, ,

Обратный ход прогонки. Находим значения неизвестных:

, , ,

Прямые (или точные) методы, позволяют найти решение за определённое количество шагов. Итерационные методы, основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

6. Трёхдиагональная матрица (матрица Якоби)

Трёхдиагональной матрицей или матрицей Якоби называют матрицу следующего вида:

.

Системы линейных алгебраических уравнений с такими матрицами встречаются при решении многих задач математики и физики. Краевые условия x 1 и x n , которые берутся из контекста задачи, задают первую и последнюю строки. Так краевое условие первого рода F (x = x 1) = F 1 определит первую строку в виде C 1 = 1, B 1 = 0, а условие второго рода dF / dx (x = x 1) = F 1 будет соответствовать значениям C 1 = − 1, B 1 = 1.

Метод прогонки

Для решения систем вида или, что то же самое,

используется метод прогонки , основанный на предположении, что искомые неизвестные связаны рекуррентным соотношением:

Используя это соотношение, выразим x i-1 и x i через x i+1 и подставим в уравнение (1):

где F i - правая часть i -го уравнения. Это соотношение будет выполняться независимо от решения, если потребовать

Отсюда следует:

Из первого уравнения получим:

После нахождения прогоночных коэффициентов α и β, используя уравнение (2), получим решение системы. При этом,

Другим способом объяснения существа метода прогонки, более близким к терминологии конечно-разностных методов и объясняющим происхождение его названия, является следующий: преобразуем уравнение (1) к эквивалентному ему уравнению

c надиагональной матрицей

.

Вычисления проводятся в два этапа. На первом этапе вычисляются компоненты матрицы и вектора , начиная с до

На втором этапе, для вычисляется решение:

Такая схема вычисления объясняет также английский термин этого метода «shuttle».

Для применимости формул метода прогонки достаточно свойства диагонального преобладания у матрицы A .

Описание выходной информации: x – матрица-ответ

Заключение

Таким образом, мы:

научились решать системы линейных алгебраических уравнений методом прогонки.

реализовали программный код

доказали теорему о корректности и устойчивости прогонки

рассмотрели на примере решение СЛАУ методом прогонки.

Список литературы

В.М. Вержбитский «Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения», Москава «Высшая школа 2000».

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Читинский Государственный Университет»

(ЧитГУ)

Энергетический институт

Кафедра прикладной информатики и математики

РЕФЕРАТ

По дисциплине: Численные методы

Тема: Метод прогонки

Выполнил: студентка группы ПИ-08

Цыренжапова Е.В.

Проверил: Станкова М.Г.

Введение………………………………………………………………………..3

Суть метода прогонки…………………………………………………..4

Теоретическая часть. ................................................................................5

Виды прогонки…………………………………………………………..7

Теорема о корректности и устойчивости прогонки…………………..10

Решение системы методом прогонки. Код, реализующий метод прогонки…………………………………………………………………..12

Трёхдиагональная матрица (матрица Якоби)…………………………15

Заключение……………………………………………………………………..19

Список литературы…………………………………………………………….20

ВВЕДЕНИЕ

Прогонкой называется модификация метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Если матрица системы обладает определенными свойствами, то метод прогонки является численно устойчивым и очень эффективным методом, который позволяет практически мгновенно решать одномерные краевые задачи, одну из которых мы рассмотрели в предыдущем разделе. Большинство корректно поставленных физических задач приводит к системе уравнений с хорошей матрицей, и в этих случаях метод прогонки проявляет слабую чувствительность как к погрешностям задания начальных условий, так и к погрешностям вычислительного характера.

1. Суть метода прогонки

Суть метода прогонки заключается в том, что, используя специфику структуры матрицы системы уравнений (наличие трех диагоналей), удается получить рекуррентные формулы для вычисления последовательности коэффициентов прогонки, которые позволяют на обратном ходу вычислить значения функции в узлах сетки. Рассматривая конечно-разностное уравнение для первой тройки узлов:

b1U1+c1U2=-a1U0,

видим, что оно связывает между собой два соседних значения U1, и U 2 . Перепишем его в виде:

d1U2+e=U1, (1)

где d 1 и е1вычисляются по известным значениям. Наблюдательный читатель заметит, что это справедливо только для задач первого рода. Чуть позже мы получим общее решение. Теперь мы можем исключить £/, из уравнения для следующей тройки узлов:

a2U1+b2U2+c2U2=f2,

подставив значение U1 из уравнения (8). После этой процедуры последнее уравнение также может быть приведено к виду:

d3U3+e2=U2,

di-1Ui+ei-1=Ui-1,

в уравнение

aiUi-1+biUi+ciUi+1=fi,

Ui=-+ (2)

Это соотношение дает две рекуррентные формулы для коэффициентов:

di=-Ci/(ai*di-1+bi) (3)

ei=(fi-ai*ei-1)/(aidi-1+bi) (4)

Цикл вычисления последовательности коэффициентов в соответствии с этими формулами носит название прямого хода прогонки.

do=yo , eo=бo,

Цикл прямого хода повторяется N-1 раз. Последними будут вычислены коэффициенты d N-1 и e N-1 , которые связывают функции в двух узлах вблизи правой границы:

Un-1=dn-1Un+en-1 (5)

Если на правой границе задано условие первого рода U n = с, то уже можно вычислить U n-1 и далее продолжать обратный ход прогонки при I = N - 1,..., 1, 0. Если условие более сложное, то надо рассмотреть уравнение (6), определяющее граничное условие на правой границе. Напомним его:

Un=ynUn-1+бn (6)

Соотношения (6) и (5) составляют систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Используя определители, запишем ее решение.

Un-1=(en-1+бndn-1)/(1-yndn-1) (7)

Un=(бn+ynen-1)/(1-yndn-1)

Таким образом, мы нашли значения в двух узлах, лежащих вблизи правой границы расчетной области. Теперь, используя формулу (2) и уменьшая индекс i от N= 2 до 0, можно вычислить все неизвестные £/.. Этот процесс носит название обратного хода прогонки. Почему-то в голову приходит лозунг нашего времени: «Цели ясны, задачи определены.

2. Теоретическая часть

Пусть Ax=b, где A – трехдиагональная матрица. Матрица A= называется (2m+1) – диагональной, если a ij =0 при |i-j|>m.

Для решения систем уравнений такого вида часто наиболее целесообразно применять метод Гаусса при естественном порядке исключения неизвестных. В случае, когда этот метод применяется для решения СЛАУ, его называют методом прогонки .

Получаем , используем метод прогонки, исходя из следующего рекуррентного соотношения:,(2) получаем:

Эти формулы представляют собой прямой проход метода. Обратный проход:

Остальные x i находим из формулы (2).

Для применимости метода прогонки достаточно, чтобы матрица A была с диагональным преобладанием.

Алгоритм:

1. Вводим str/stlb – количество строк/столбцов, A – элементы расширенной матрицы

2. Проверяем матрицу на диагональное преобладание

3. Если матрица с диагональным преобладанием тогда п.4, иначе п.8

4. Выполняем прямой ход метода (формулы (3), (4)): c:=A/A; d:=A/A;

c[i]:= (-A)/(A*c+A);

d[i]:= (A-A*d)/(A*c+A)

x:=(A-A*d)/(A+A*c);

x[i]:=c[i]*x+d[i];

6. Выводим x;

7. Проверки на невязку;

8. Заканчиваем алгоритм.

В программе : A = B i , A = C i , A = A i , A = b i , d[i] = ? i , c[i] = ? i , str = n.

Описание входной информации: Str (Stlb) – количество строк (столбцов) в расширенной матрице, A – матрица A (i – строки, j – столбцы)

3. Виды прогонки

Часто возникает необходимость в решении линейных алгебраических систем, матрицы которых, являясь слабо заполненными, т.е. содержащими немного ненулевых элементов, имеют определённую структуру. Среди таких систем выделим системы с матрицами ленточной структуры, в которых ненулевые элементы располагаются на главной диагонали и на нескольких побочных диагоналях. Для решения систем с ленточными матрицами коэффициентов метод Гаусса можно трансформировать в более эффективные методы.

Рассмотрим наиболее простой случай ленточных систем , к которым, как увидим впоследствии, сводится решение задач сплайн-интерполяции функций, дискретизации краевых задач для дифференциальных уравнений методами конечных разностей, конечных элементов и др. А именно, будем искать решение такой системы, каждое уравнение которой связывает три “соседних” неизвестных:

b i x i -1 + c i x i + d i x i = r i (1)

где i =1,2 ,...,n ; b 1 = 0, d n = 0. Такие уравнения называются трехточечными разностными уравнениями второго порядка . Система (1) имеет трёхдиагональную структуру, что хорошо видно из следующего, эквивалентного (1), векторно-матричного представления:

c 1 d 1 0 0 ... 0 0 0 x 1 r 1

b 2 c 2 d 2 0 ... 0 0 0 x 2 r 2

0 b 3 c 3 d 3 ... 0 0 0 x 3 r 3

. . . . ... . . . * ... = ...

0 0 0 0 ... b n -1 c n -1 d n -1 x n -1 r n-1

0 0 0 0 ... 0 b n c n x n r n

Как и в решении СЛАУ методом Гаусса, цель избавится от ненулевых элементов в поддиаганальной части матрицы системы, предположим, что существуют такие наборы чисел δ i и λ i (i =1,2 ,...,n ) , при которых

x i = δ i x i+1 + λ i (2)

т.е. трехточечное уравнение второго порядка (1) преобразуется в двухточечное уравнение первого порядка (2). Уменьшим в связи (2) индекс на единицу и полученое выражение x i -1 = δ i -1 x i + λ i -1 подставим в данное уравнение (1):

b i δ i-1 x i + b i λ i-1 + c i x i + d i x i+1 = r i

x i = - ((d i /( c i + b i δ i-1 )) x i-1 + (r i - b i λ i-1 )/( c i - b i δ i-1 )).

Последнее равенство имеет вид (2) и будет точно с ним совпадать, иначе говоря, представление (2) будет иметь место, если при всех i =1,2,…, n выполняются рекуррентные соотношения

δ i = - d i /( c i + b i δ i-1 ) , λ i = (r i - b i λ i-1 )/( c i - b i δ i-1 ) (3)

Легко видеть, что, в силу условия b 1 =0 , процесс вычисления δ i , λ i может быть начат со значений

δ 1 = - d 1 / c 1 , λ 1 = r 1 / c 1

и продолжен далее по формулам (3) последовательно при i =2,3,..., n , причем при i = n , в силу d n =0, получим δ n = 0.Следовательно, полагая в (2) i = n ,будем иметь

x n = λ n = (r n – b n λ n-1 )/( c n – b n δ n-1 )

(где λ n -1 , δ n -1 – уже известные с предыдущего шага числа). Далее по формулам (2) последовательно находятся x n -1 , x n -2 ,…, x 1 при i = n -1, n -2,...,1 соответственно.

Таким образом, решение уравнений вида (1) описываем способом, называемым методом прогонки , сводится к вычислениям по трём простым формулам: нахождение так называемых прогоночных коэффициентов δ i , λ i по формулам (3) при i =1,2,…, n (прямая прогонка ) и затем неизвестных x i по формуле (2) при i = n -1, n -2,...,1 (обратная прогонка ).

Для успешного применения метода прогонки нужно, чтобы в процессе вычислений не возникало ситуаций с делением на нуль, а при больших размерностях систем не должно быть строгого роста погрешностей округлений.

Будем называть прогонку корректной , если знаменатели прогоночных коэффициентов (3) не обращаются в нуль, и устойчивой , если |δ i |< 1 при всех i € {1,2, ..., n }.

Приведем простые достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях метода автоматически выполняются.

Данный метод также является модификацией метода Гаусса для частного случая разреженных систем - систем с матрицей трехдиагонального типа (краевая задача ДУ).

Каноническая форма их записи

(1.6)

или в развернутом виде:

При этом, как правило, все коэффициенты b i  0.

Метод реализуется в два этапа - прямым и обратным ходами.

Прямой ход . Каждое неизвестное x i выражается через x i +1

(x i = A i  x i +1 + B i для i = 1,2, ..., n – 1) (1.8)

посредством прогоночных коэффициентов A i и B i . Определим алгоритм их вычисления.

Из первого уравнения системы (1.7) находим x 1:

.

Из уравнения (1.8) при i = 1 x 1 = A 1  x 2 + B 1 . Следовательно,

и согласно уравнению (1.8) при i = 2 x 2 = A 2 x 3 + B 2 , следовательно:

,

где е 2 = а 2 А 1 + b 2 .

Ориентируясь на соотношения индексов при коэффициентах уравнений (1.9) и (1.9*), можно получить эти соотношения для общего случая:

,

где е i = а i  А i –1 + b i (i = 2,3, ..., n – 1) . (1.10)

Обратный ход. Из последнего уравнения системы (1.7) с использованием данных выражения (1.8) при i = n – 1

При реализации метода прогонки нужно учитывать, что при условии

(1.12)

или хотя бы для одного b i имеет место строгое неравенство (1.12), деление на «0» исключается и система имеет единственное решение.

Заметим, что условие (1.12) является достаточным, но не необходимым. В ряде случаев для хорошо обусловленных систем (1.7) метод прогонки может быть устойчивым и при несоблюдении условия (1.12).

Схема алгоритма метода прогонки может иметь вид, представленный на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 - Блок-схема метода прогонки

Итерационные методы решения слау

Достоинством итерационных методов является их применимость к плохо обусловленным системам и системам высоких порядков, самоисправляемость и простота реализации на ЭВМ. Итерационные методы для начала вычисления требуют задания какого-либо начального приближения к искомому решению.

Следует заметить, что условия и скорость сходимости итерационного процесса существенно зависят от свойств матрицы А системы и от выбора начальных приближений.

Для применения метода итераций исходную систему необходимо привести к итерационному виду

(1.13)

и затем итерационный процесс выполнить по рекуррентным формулам:

, k = 0, 1, 2, ... . (1.13*)

Матрица G и вектор получены в результате преобразования исходной системы.

Для сходимости метода (1.13*) необходимо и достаточно, чтобы | i (G )| < 1, где  i (G ) - все собственные значения матрицы G . Сходимость будет и в случае, если ||G || < 1, ибо | i (G )| <  ||G || ( - любой).

Символ ||...|| означает норму матрицы. При определении ее величины чаще всего останавливаются на проверке двух условий:

||G || =
или ||G || =
, (1.14)

где
. Сходимость гарантирована также, если исходная матрицаА имеет диагональное преобладание, т. е.

. (1.15)

Когда условия (1.14) или (1.15) выполняются, метод итерации сходится при любом начальном приближении
. Чаще всего вектор
берут или нулевым, или единичным, или сам векториз системы (1.13).

Если выполняется условие (1.15), тогда преобразование к итерационному виду (1.13) можно осуществить просто, решая каждое i -е уравнение системы (1) относительно x i по следующим рекуррентным формулам:

g ij = − a ij / a ii ; g ii = 0; f i = b i / a ii , (1.15*)

т. е.
.

Если же в матрице А нет диагонального преобладания, его нужно добиться посредством каких-либо ее линейных преобразований, не нарушающих их равносильности.

Метод прогонки является модификацией метода Гаусса для частного случая разреженных систем – системы уравнений с трехдиагоналъной матрицей. Такие системы получаются при моделировании некоторых инженерных задач, а также при численном решении краевых задач для дифференциальных уравнений.

Запишем систему уравнений в виде

На главной диагонали матрицы этой системы стоят элементы b 1, b 2, …, bn ,над ней – элементы с 1, с2,... , с n -1 под ней – элементы а 2, а 3,... , ап (при этом обычно все коэффициенты bi не равны нулю). Остальные элементы матрицы равны нулю.

Метод прогонки состоит из двух этапов – прямой прогонки (аналога прямого хода метода Гаусса) и обратной прогонки (аналога обратного хода метода Гаусса). Прямая прогонка состоит в вычислении прогоночных коэффициентов Ai ,Bi ,с помощью которых каждое неизвестное xi выражается через zi +1 :

Из первого уравнения системы (2.13) найдем

С другой стороны, по формуле (2.14) Приравнивая коэффициенты в обоих выражениях для х 1, получаем

(2.15)

Подставим во второе уравнение системы (2.13) вместо х 1его выражение через х 2по формуле (2.14):

Выразим отсюда х 2 через х 3:

Аналогично вычисляют прогоночные коэффициенты для любого номера i :

(2.16)

Обратная прогонка состоит в последовательном вычислении неизвестных xi . Сначала нужно найти хп. Для этого воспользуемся выражением (2.14) при i = п –1 и последним уравнением системы (2.13). Запишем их:

Отсюда, исключая х n-1 , находим

Далее, используя формулы (2.14) и вычисленные ранее по формулам (2.15), (2.16) прогоночные коэффициенты, последовательно вычисляем все неизвестные х n - 1, xn -2 ,....,х 1. Алгоритм решения системы линейных уравнений вида (2.13) методом прогонки приведен на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Алгоритм метода прогонки

При анализе алгоритма метода прогонки надо учитывать возможность деления на нуль в формулах (2.15), (2.16). Можно показать, что при выполнении условия преобладания диагональных элементов, т.е. если , причем хотя бы для одного значения i имеет место строгое неравенство, деления на нуль не возникает, и система (2.13) имеет единственное решение.

Приведенное условие преобладания диагональных элементов обеспечивает также устойчивость метода прогонки относительно погрешностей округлений. Последнее обстоятельство позволяет использовать метод прогонки для решения больших систем уравнений. Заметим, что данное условие устойчивости прогонки является достаточным, но не необходимым. В ряде случаев для хорошо обусловленных систем вида (2.13) метод прогонки оказывается устойчивым даже при нарушении условия преобладания диагональных элементов.

Инструкция . Выберите количество объектов и количество групп возможных вариантов, нажмите Далее. В новом окне выберите метод прогонки .

II этап. Безусловная оптимизация .
Таким образом, максимум f 3 (5) = 33
При этом x 3 = 0, так как f 3 (5) = 33 достигается при х 3 =0 (см. таблицу 3).
Остальные x распределяются следующим образом:
L = 5 - 2 * 0 = 5
f 2 (5) = 25 достигается при х 2 = 0 (см. таблицу 2).
L = 5 - 2 * 0 = 5
f 1 (5) = 16 достигается при х 1 = 5 (см. таблицу 1).
L = 5 - 1 * 5 = 0
В итоге наилучший вариант достигается при значениях: x 1 = 5, x 2 = 0, x 3 = 0

Пример №2 . Рассмотрим задачу об оптимальном размещении капитала K = nh в m различных независимых фондах (банки, организации, фирма и т.д.), для которых известна ожидаемая прибыль f i при капиталовложениях x i = ih, i = 1..n. Здесь n – количество дискретных приращений h (дискрет), на которые разбит капитал К.
Пусть такие данные имеются по четырем (m=4) фондам для h = 1 млн. руб., n = 6

Решение.
I этап. Условная оптимизация.
1-й шаг: k = 4.
Предположим, что все средства в количестве x 4 = 6 отданы 4-у предприятию. В этом случае максимальный доход, как это видно из таблицы 1*, составит 0.56, следовательно:
F 4 (c 4) = g 4 (x 4)
Таблица 1.