Аксиомы теории вероятностей.

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: познакомить с элементарными сведениями из теории множеств; сформулировать аксиомы теории вероятностей, их следствия и правило сложения вероятностей.

Элементарные сведения из теории множеств

Множеством называется любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называется элементом множества .

Примеры множеств: множество студентов на лекции; множество точек на плоскости, лежащих внутри круга радиуса r ; множество точек на числовой оси, расстояние от которой до точки b с абсциссой а не превышает d ; множество натуральных чисел.

Множества обозначаются по-разному. Множество M натуральных чисел от 1 до 100 может быть записано как

Множество точек на числовой оси, расстояние от которой до точки b с абсциссой а не превышает d , можно записать в виде

где x – абсцисса точки.

Множество точек плоскости, лежащих внутри или на границе круга радиуса r с центром в начале координат,

где x , y – декартовы координаты точки.

Еще одна запись этого множества

где – одна из полярных координат точки.

По числу элементов множества делятся на конечные и бесконечные . Множество конечно и состоит из 100 элементов. Но множество может состоять и из одного элемента и даже вообще не содержать элементов.

Множество всех натуральных чисел бесконечно, также как бесконечно множество четных чисел .

Бесконечное множество называется счетным, если все его элементы можно расположить в какой-то последовательности и пронумеровать (оба множества, и , являются счетными).

Множества S и C бесконечны и несчетны (их элементы нельзя пронумеровать).

Два множества A и B совпадают , если они состоят из одних и тех же элементов: и . Совпадение множеств обозначается знаком равенства: А=В . Запись обозначает, что объект а является элементом множества А или "а принадлежит А ". Другая запись означает, что "а не принадлежит А ".

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом .

Множество В называется подмножеством (частью) множества А , если все элементы В содержатся и в А , и обозначается как или . Например, .

Подмножество может быть равно самому множеству. Графически можно изобразить соотношение множества и подмножества, как показано на рис. 2.1, где каждая точка фигуры В принадлежит и фигуре А , т. е. .

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество , состоящее из всех элементов А и всех элементов В . Таким образом, объединение – это совокупность элементов, принадлежащих хотя бы одному из объединяемых множеств.

Например: .

Геометрическая интерпретация объединения двух множеств А и В показана на рис. 2.2.

Аналогично определяется объединение (сумма) нескольких множеств

где результирующее множество есть множество всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств: .

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество D , состоящее из элементов, входящих одновременно и в А , и в :

Геометрическая интерпретация пересечения представлена на рис. 2.3.

Аналогично определяется пересечение нескольких множеств

как множество, состоящее из элементов, входящих одновременно во все множества.

Операции объединения (сложения) и пересечения (умножения) множеств обладают рядом свойств, которые аналогичны свойствам сложения и умножения чисел:

1. Переместительное свойство:

2. Сочетательное свойство:

3. Распределительное свойство:

Прибавление пустого множества и умножение на пустое множество аналогичны соответствующим операциям над числами, если считать нуль за пустое множество:

Некоторые операции над множествами не имеют аналогов в обычных операциях над числами, в частности

Аксиомы теории вероятностей и их следствия.

Правила сложения вероятностей

Пользуясь элементарными сведениями по теории множеств, можно дать теоретико-множественную схему построения теории вероятностей и ее аксиоматику.

При опыте со случайным исходом имеется множество всех возможных исходов опыта. Каждый элемент этого множества называют элементарным событием , само множество – пространством элементарных событий . Любое событие А в теоретико-множественной трактовке есть некоторое подмножество множества : . Если же в свою очередь множество А распадается на несколько непересекающихся подмножеств ( при ), то события называют "вариантами" события А . На рис. 2.4 событие А распадается на три варианта: .

Например, при бросании игральной кости пространство элементарных событий . Если событие , то варианты события А : ,

Подмножеством множества можно рассматривать и само – оно будет в этом случае достоверным событием. Ко всему пространству элементарных событий добавляется еще и пустое множество ; это множество рассматривается тоже как событие, но невозможное .

Теоретико-множественное толкование ранее рассмотренных свойств событий сводится к следующему:

1. Несколько событий образуют полную группу , если , т. е. их сумма (объединение) есть достоверное событие.

2. Два события А и В называются несовместными , если соответствующие им множества не пересекаются, т. е. . Несколько событий называются попарно несовместными , если появление любого из них исключает появление каждого из остальных: при .

3. Суммой двух событий А и В называется событие С , состоящее в выполнении события А или события В , илиобоих событий вместе. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из них.

4. Произведением двух событий А и В называется событие D , состоящее в совместном выполнении события А и события В . Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном выполнении всех этих событий.

5. Противоположным по отношению к событию А называется событие , состоящее в непоявлении А и соответственно дополняющее событие А до (см. рис. 2.5).

На основе изложенного толкования событий как множеств формулируются аксиомы теории вероятностей.

Каждому событию А ставится в соответствие некоторое число, называемое вероятностью события . Поскольку любое событие есть множество, то вероятность события есть функция множества .

Эти вероятности событий должны удовлетворять следующим аксиомам:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

2. Если А и В – несовместные события, т. е. , то

Эта аксиома легко обобщается с помощью сочетательного свойства сложения на любое число событий. Если при , то

т. е. вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Эту аксиому называют "теоремой" сложения (для схемы случаев она может быть доказана), или правилом сложения вероятностей .

3. Если имеется счетное множество несовместных событий ( при ), то

Эта аксиома не выводится из предыдущей аксиомы и поэтому формулируется как отдельная.

Для схемы случаев (схемы урн), т. е. для событий, обладающих свойствами полноты, несовместности и равновозможности, можно вывести классическую формулу (1.1) для непосредственного подсчета вероятностей из правила сложения (2.1).

Пусть результаты опыта представляются в виде n несовместных случаев . Случай благоприятен событию А , если он представляет подмножество А (), или, иначе говоря, это вариант события А . Так как образуют полную группу, то,

По правилу сложения

откуда получаем

После подстановки полученных выражений в (2.3) имеем

что и требовалось доказать.

Формулу (2.3) можно вывести и для более чем двух совместных событий.

Вероятностное пространство (Щ, S, Р). Аксиомы теории вероятностей и следствия из них. Описание конечного вероятностного пространства в аксиоматике Колмогорова

Вероятностное пространство - это тройка, где:

· - это множество объектов, называемых элементарными исходами эксперимента. На это множество не накладывается никаких условий, оно может быть совершенно произвольным. При задании вероятностной модели для конкретного случайного эксперимента множество необходимо определять таким образом, чтобы в любой реализации опыта происходил один и только один элементарный исход. Элементарный исход содержит в себе всю возможную информацию о результате случайного опыта. С формальной математической точки зрения «произвести случайный опыт» означает в точности указать один элементарный исход, который произошел в данной реализации опыта.
· - это некоторая зафиксированная система подмножеств, которые будут называться (случайными) событиями. Если элементарный исход, произошедший в результате реализации случайного опыта, входит в событие, то говорят, что в данной реализации событие произошло, иначе говорят, что событие не произошло. Совокупность событий должна быть сигма-алгеброй, то есть удовлетворять следующим свойствам:
o Пустое множество должно быть событием, то есть принадлежать. Это событие, которое существует в любом вероятностном пространстве, называется невозможным, поскольку оно никогда не происходит.
o Все множество также должно быть событием: . Это событие называется достоверным, так как происходит при любой реализации случайного опыта.
o Совокупность событий должна образовывать алгебру, то есть быть замкнутой относительно основных теоретико-множественных операций, выполняемых над конечным числом событий. Если и, тогда должно быть, . Операции над событиями имеют очевидный содержательный смысл.
o В дополнение к указанным свойствам, система должна быть замкнута относительно операций над событиями, выполняемых в счетном числе (свойство сигма-алгебры). Если, тогда должно быть и.

· - это числовая функция, которая определена на и ставит в соответствие каждому событию число, которое называется вероятностью события. Эта функция должна быть конечной сигма-аддитивной мерой, равной 1 на всем пространстве, то есть обладать свойствами:
o для любого
o Если и - события, причем, тогда (свойство аддитивности ).
o Если, причем Если для любых Если, тогда должно быть (свойство сигма-аддитивности ).

Заметим, что последнее свойство сигма-аддитивности меры эквивалентно (при условии выполнения всех прочих свойств, в том числе конечной аддитивности) любому из следующих свойств непрерывности меры :

· Если и, тогда.

· Если, и, тогда.

Пусть - множество элементов, которые называются элементарными событиями, а - множество подмножеств, называемых случайными событиями (или просто - событиями), а - пространством элементарных событий.

· Аксиома I (алгебра событий) . является алгеброй событий.
· Аксиома II (существование вероятности событий) . Каждому событию x из поставлено в соответствие неотрицательное действительное число, которое называется вероятностью события x.
· Аксиома III (нормировка вероятности) . .
· Аксиома IV (аддитивность вероятности) . Если события x и y не пересекаются, то

Совокупность объектов, удовлетворяющая аксиомам I-IV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей).

Система аксиом I -IV непротиворечива. Это показывает следующий пример: состоит из единственного элемента, - из и множества невозможных событий (пустого множества) , при этом положено. Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.

Вероятностные пространства (в расширенном смысле и бесконечные)

Аксиома непрерывности - это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством называется только такое вероятностное пространство, которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V. Вероятностные пространства в смысле аксиом I-IV Колмогоров предлагал называть вероятностными пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле), в настоящее время этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий конечна, аксиома V следуeт из аксиом I-IV. Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V. Система аксиом I-V является, непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом I-IV.

Так как новая аксиома существенна лишь для бесконечных вероятностных пространств, то почти невозможно разъяснить её эмпирическое значение, например, так, как это было проделано с аксиомами элементарной теории вероятности (I-IV). При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля - вероятностные пространства в расширенном смысле. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений . Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме V, что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях.

Алгебра событий пространства элементарных событий Щ называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы событий x n из принадлежат. В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют у-алгебрами событий (сигма-алгебрами). Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле. Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра, содержащая. Более того, справедлива

Теорема (о продолжении) . Определённую на неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из и при этом единственным образом.

Таким образом, каждое вероятностное пространство в расширенном смысле может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства , которое в современной теории вероятностей принято называть просто вероятностным пространством .

Элементарные сведения из теории множеств

Примеры множеств: множество студентов на лекции; множество точек на плоскости, лежащих внутри круга радиуса r ; множество точек на числовой оси, расстояние от которых до точки b с абсциссой а не превышает d ; множество натуральных чисел.

Множества обозначаются по-разному. Множество M натуральных чисел от 1 до 100 может быть записано как

Множество точек на числовой оси, расстояние от которых до точки b с абсциссой а не превышает d , можно записать в виде

где x – абсцисса точки.

Множество точек плоскости, лежащих внутри или на границе круга радиуса r с центром в начале координат,

где x , y – декартовы координаты точки.

Еще одна запись этого множества

где – одна из полярных координат точки.

Множество всех натуральных чисел бесконечно, также как бесконечно множество четных чисел .

Множества S и C бесконечны и несчетны (их элементы нельзя пронумеровать).

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом .

Например: .

Геометрическая интерпретация объединения двух множеств А и В показана на рис. 2.2.

Аналогично определяется объединение (сумма) нескольких множеств

где результирующее множество есть множество всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств: .

Геометрическая интерпретация пересечения представлена на рис. 2.3.

Аналогично определяется пересечение нескольких множеств

как множество, состоящее из элементов, входящих одновременно во все множества.

1. Переместительное свойство:

2. Сочетательное свойство:

3. Распределительное свойство:

Некоторые операции над множествами не имеют аналогов в обычных операциях над числами, в частности

Аксиомы теории вероятностей и их следствия.

Правила сложения вероятностей

Теоретико-множественное толкование ранее рассмотренных свойств событий сводится к следующему:

1. Несколько событий образуют полную группу , если , т. е. их сумма (объединение) есть достоверное событие.

На основе изложенного толкования событий как множеств формулируются аксиомы теории вероятностей.

Эти вероятности событий должны удовлетворять следующим аксиомам:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

2. Если А и В – несовместные события, т. е. , то

т. е. вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

3. Если имеется счетное множество несовместных событий ( при ), то

Эта аксиома не выводится из предыдущей аксиомы и поэтому формулируется как отдельная.

Но все случаи несовместны, и к ним применимо правило сложения вероятностей

Кроме этого, так как все события равновозможны, то

Благоприятные событию случаи образуют его вариантов, и так как вероятность каждого из них равна , то по правилу сложения получаем

Но это и есть классическая формула (1.1).

Следствия правила сложения вероятностей

1. Сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице, т. е. если

Доказательство . Так как события несовместны, то к ним применимо правило сложения

2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

так как события А и образуют полную группу.

Правило широко используется в задачах, когда проще вычислить вероятность противоположного события.

3. Если события А и В совместны, т. е. , то

Доказательство . Представим как сумму несовместных (непересекающихся) вариантов (см. рис. 2.6)

По правилу сложения

откуда получаем

После подстановки полученных выражений в (2.3) имеем

что и требовалось доказать.

Формулу (2.3) можно вывести и для более чем двух совместных событий.

Пусть - пространство элементарных событий, - алгебра событий (алгебра подмножеств множества). В основании теории вероятностей лежат следующие пять аксиом.

1. Алгебра событий является - алгеброй событий.

Система событий называется - алгеброй, если для всякой последовательности событий, их объединение, пересечение и дополнения, также принадлежат, т.е. , являются также событиями. Таким образом, - алгебра - это система событий, замкнутая относительно операций дополнения, счетного объединения и счетного пересечения.

2. На - алгебре событий для любого определяется функция, называемая вероятностью и принимающая числовые значения из интервала : .

Данная аксиома - это аксиома существования вероятности - как функции на со значениями из интервала. Следующие три аксиомы определяют свойства функции.

3. Для любых двух событий, таких, что

Аксиома сложения вероятностей.

Отсюда следует, что для конечного числа несовместных событий

4. Пусть, - попарно несовместные события: и пусть. Тогда

Соотношение (15.3) называется аксиомой счетной аддитивности вероятности или аксиомой непрерывности вероятности. Второе связано со следующей интерпретацией равенства (15.3). Событие следует понимать как предел последовательности

При этом равенство (15.3) можно понимать как свойство непрерывности функции: или

Которое позволяет операцию предела вынести за функцию. Это обусловлено тем, что из условия (15.5) следует (15.3):

Пятая аксиома указывает на то, что пространство элементарных событий - есть достоверное событие. Таким образом, содержит в себе все события, которые можно рассматривать в данной задаче.

Пространство элементарных событий, - алгебра событий и вероятность на, удовлетворяющие аксиомам 1-5, образуют так называемое вероятностное пространство, которое принято обозначать.

Отметим, что система аксиом 1-5 не противоречива, так как существуют, удовлетворяющие этим аксиомам и не полна, так как вероятность можно определить многими способами в рамках аксиом 2-5. Понятие вероятностного пространства (или система аксиом 1-5) содержит лишь самые общие требования, предъявляемые к математической модели случайного явления, и не определяет вероятность однозначно. Последнее возможно только с учетом дополнительных условий, заданных в постановке рассматриваемой задачи.

Дискретное вероятностное пространство

Вероятностное пространство называется дискретным, если конечно или счетно, - - алгебра всех подмножеств (включая), вероятность определена для каждого одноточечного подмножества пространства элементарных событий:

Для любого события его вероятность определяется равенством

Примеры - алгебр

17.1. Пусть - произвольное пространство элементарных событий, на котором не заданы какие-либо события. Для построения - алгебры согласно определению (п.15) необходимо рассмотреть все дополнения, объединения и пересечения заданных событий и включить их в - алгебру. Поскольку в данном случае имеется единственное событие, то возможно построить только его дополнение. Теперь имеется система из двух событий { }. Дальнейшее применение операций дополнения, объединения, пересечения не дает новых событий. Таким образом, в данном примере - алгебра.

17.2. Пусть - пространство элементарных событий и - некоторое событие, не совпадающее с, т.е. . Таким образом, имеется система из двух событий. Эту систему можно расширять, включая в нее новые события, которые получаются в результате операций дополнения, объединения, пересечения над событиями. Процедуру расширения системы событий имеет смысл продолжить рекуррентно до прекращения появление новых событий. Предельная система событий называется - алгеброй, порожденной системой событий.

Рассмотрим операцию дополнения над событиями системы. Ее результат, - это новые события, не содержащиеся в исходной системе, включение которых дает новую систему событий

Очевидно, последующие операции дополнения, объединения, пересечения не дают новых событий, не содержащихся в (17.1). Таким образом, система событий (17.1) является - алгеброй, порожденной системой.

17.3. Усложним пример. Пусть - пространство элементарных событий, - два несовместных события, таких что. Таким образом, имеется система трех событий. Операция объединения над событиями этой системы приводит к появлению одного нового события. Полученная система четырех событий расширяется до восьми путем включения их дополнений. Несложно видеть, что применение операций дополнения, объединения, пересечения к этим восьми событиям не порождает новых событий. Таким образом, система восьми событий

является - алгеброй, порожденной системой событий.

17.4. Рассмотрим - пространство элементарных событий и два произвольных события, рис. 17.1. Для построения - алгебры, порожденной некоторой системой событий, во многих случаях удобно применить следующий прием.

На выделим все несовместные события, рис. 17.1. При этом, и т.д. - алгебра будет содержать все события, все объединения событий, а также невозможное событие. Действительно, операция пересечения любых событий из множества порождает единственное событие. Операция дополнения над событиями из множества порождает событие, которое выражается через объединение событий. Следовательно, над событиями достаточно рассмотреть только операцию объединения, вместо трех операций - дополнения, пересечения, объединения для исходной системы событий.

Теперь для построения - алгебры рассмотрим события, все их объединения и выразим полученные события через исходные. Очевидно: , . Парные объединения дают следующие события: , ; , ; . Тройные объединения: , .

Таким образом, - алгебра содержит события: , ; , ; , а также и - всего 16 событий.

Отметим, что при определении - алгебры порождающая система событий, как правило, составляется из событий, наблюдаемых в опыте.

Отметим, что события совпадают с событиями (8.1), которые рассматривались при выводе формулы сложения для частот. Действительно, и наконец, по формуле (6.1) .

17.5. Рассмотрим обобщение примера 4. Пусть исходная система событий - содержит произвольных событий. Для построения - алгебры, подобно примеру 4, введем события вида

где каждое или, причем и. Поскольку каждое может принимать два значения 0 или 1, то число всех событий вида равно. Эти события образуют полную группу несовместных событий. Таким образом, события на - алгебре выполняют роль ортогонального базиса, позволяющего представить произвольное событие через несовместные (ортогональные в смысле операции пересечения) события. В теории множеств множества вида называются конституентами. Аппарат конституент позволяет показать, что в данном примере число всех событий - алгебры не превышает (включая и), причем число событий достигает максимального значения, когда все отличны от (как в примере 4). Этот результат позволяет судить о высокой скорости роста числа событий в - алгебре в зависимости от - числа событий в исходной системе. Для примера 4 число, следовательно, число событий в - алгебре равно.

Аксиоматика теории вероятностей

Предложенное выше классическое определение вероятности наряду с очевидными достоинствами, прежде всего простотой и интуитивной наглядностью, имеет и ряд существенных недостатков: предусматривает только конечное или счетное множество элементарных событий и обязательно знание их вероятностей. Всё это далеко не всегда имеет место, и поэтому введенное определение не является достаточно общим. В настоящее время стало общепринятым аксиоматическое построение теории вероятностей.

В математике аксиомами называются предложения, которые принимаются за истинные и в пределах данной теории не доказываются. Все остальные положения этой теории должны выводится чисто логическим путем из принятых аксиом. Формулировка аксиом представляет собой не начальную стадию развития математической науки, а является результатом длительного накопления фактов и логического анализа полученных результатов с целью выявления действительно основных первичных фактов. Именно так складывались аксиомы геометрии. Подобный же путь прошла и теория вероятностей, в которой аксиоматическое построение ее основ явилось делом сравнительно недавнего прошлого. Впервые задача аксиоматического построения теории вероятностей была решена в 1917 году советским математиком С.Н. Бернштейном.

В настоящее время общепринята аксиоматика академика А.Н. Колмогорова (1933 г.), которая связывает теорию вероятностей с теорией множеств и метрической теорией функций.

В аксиоматике А.Н. Колмогорова первичным является пространство (множество) элементарных исходов Ω. Что представляют собой элементы этого множества для логического развития теории вероятностей – безразлично. Далее рассматривается некоторая система F подмножеств множества Ω; элементы системы F называются случайными событиями. Относительно структуры системы F предполагаются выполненными три следующих требования:

1. Подмножество F в качестве элемента содержит достоверное событие Ω.

2. Если А и В – два события, определенные на Ω, входят в подмножество F в качестве элементов, то в качестве элементов подмножество F также содержит А+В, А∙В,

3. Если события А 1 , А 2 , …, определенные на Ω, являются элементами подмножества F, то их сумма и произведение также являются элементами подмножества F.

Множество F, образованное описанным выше способом называют «σ-ал-геброй событий» .

Теперь перейдем к формулировке аксиом, определяющих вероятность.

Аксиома 1. (аксиома существования вероятности). Каждому случайному событию А из σ-алгебры событий F поставлено в соответствие неотрицательное число р(А), называемое его вероятностью.

Аксиома 2. (вероятность достоверного события). Вероятность достоверного события равна 1: Р(Ω)=1. (1.15)

Аксиома 3. (аксиома сложения). Если события А и В несовместны, то

Р(А+В) = P(А)+Р(В). (1.16)

Аксиома 4. (расширенная аксиома сложения). Если событие А равносильно наступлению хотя бы одного из попарно несовместных событий А 1 , А 2 , …, то есть, , то вероятность события А равна