Делимость суммы, разности, произведения целых неотрицательных чисел. Делимость суммы, разности, произведения
Отношение делимости и его свойства
Делимость натуральных чисел
Как известно, вычитание и деление на множестве натуральных чисел выполнимо не всегда. Вопрос о существовании разности натуральных чисел а и b решается просто - достаточно установить (по записи чисел), что b < а. Для деления такого общего и простого признака нет. Поэтому в математической науке с давних пор пытались найти такие правила, которые позволили бы по записи числа а узнавать, делится оно на число b или нет, не выполняя непосредственного деления а на b. В результате этих поисков были открыты не только некоторые признаки делимости, но и другие важные свойства чисел; познакомимся с некоторыми из них.
В начальных курсах математики делимость натуральных чисел, как правило, не изучается, но многие факты из этого раздела математики неявно используются. Например, признак делимости суммы, разности и произведения на число тесно связаны с правилами деления суммы, разности и произведения на число, изучаемыми в начальных классах. В ряде курсов изучаются признаки делимости чисел на 2, 3, 5 и другие.
Вообще знания о делимости натуральных чисел расширяют представления о множестве натуральных чисел, позволяют глубже усвоить материал, связанный с делением натуральных чисел, применять полученные ранее знания о способах доказательства, о свойствах отношений и др.
Отношение делимости и его свойства
Определение. Пусть даны натуральные числа а и b. Говорят, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что a - bq.
В этом случае число b называют делителем числа а, а число а - кратным числа b.
Например, 24 делится на 8, так как существует такое q = 3, что 24 = 8·3. Можно сказать иначе: 8 - это делитель числа 24, а 24 есть кратное числа 8.
В том случае, когда а делится на b, пишут: а b. Эту запись часто читают и так: «а кратно b».
Заметим, что понятие «делитель данного числа» следует отличать от понятия «делитель», обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5-делитель, но 5 не является делителем числа 18. Если 18 делят на 6, то в этом случае понятия «делитель» и «делитель данного числа» совпадают.
Из определения отношения делимости и равенства а = 1·а, справедливого для любого натурального а, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.
Выясним, сколько вообще делителей может быть у натурального числа а. Сначала рассмотрим следующую теорему.
Теорема 1. Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т.е. если a b, тo b≤a.
Доказательство. Так как а b, то существует такое q N, что a=bq и, значит, a-b = bq-b = b· (q- 1). Поскольку а N, то q≥l. Тогда b· (q- 1) ≥0 и, следовательно, b≤a.
Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно . Назовем, например, все делители числа 36. Они образуют конечное множество {1, 2, 3,4, 6,9, 12, 18, 36}.
В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.
Определение. Простым числом называется такое натуральное число, которое имеет только два делителя - единицу и само это число.
Например, число 13 - простое, поскольку у него только два делителя: 1 и 13.
Определение. Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.
Так число 4 составное, у него три делителя: 1, 2 и 4.
Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.
Чисел, кратных данному числу, можно назвать как угодно много, - их бесконечное множество. Так, числа, кратные 4, образуют бесконечный ряд: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ..., и все они могут быть получены по формуле а = 4q, где q принимает значения 1, 2, 3,....
Нам известно, что отношение делимости обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимости, мы можем доказать эти и другие его свойства.
Теорема 2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.
Доказательство . Для любого натурального а справедливо равенство а = а·1. Так как 1 N, то, по определению отношения делимости, а а.
Теорема 3. Отношение делимости антисимметрично, т.е.
если a b и а≠b, то .
Доказательство . Предположим противное, т.е. что b а. Но тогда а ≤ b, согласно теореме, рассмотренной выше.
По условию a b и а≠b. Тогда, по той же теореме, b≤а.
Неравенства а ≤b и b ≤а будут справедливы лишь тогда, когда а=b, что противоречит условию теоремы. Следовательно, наше предположение неверное и поэтому если a b и а≠b, то .
Теорема 4. Отношение делимости транзитивно, т.е. если a b и b с, то а с.
Доказательство . Так как a b, то существует такое натуральное число q, что a - bq, а так как b с, то существует такое натуральное число р, что b= ср. Но тогда имеем: a=bq = (cp)q = c(pq). Число pq - натуральное. Значит, по определению отношения делимости, а с.
Теорема 5 (признак делимости суммы). Если каждое из натуральных чисел а 1 , а 2 , ... , а n делится на натуральное число b, то и их сумма а 1 +а 2+ ...+ а n делится на это число.
Доказательство . Так как а 1 b, то существует такое натуральное число q 1 , что а 1= bq 1 . Так как a 2 b, то существует такое натуральное число q 2 , что а 2 = bq 2 . Продолжая рассуждения, получим, что если а n b, то существует такое натуральное число q n , что а n = bq n . Эти равенства позволяют преобразовать сумму а 1 +а 2 + ... + а n в сумму вида bq 1 + bq 2 + ... + bq n . Вынесем за скобки общий множитель b, а получившееся в скобках натуральное число q 1 + q 2 + ... + q n обозначим буквой q. Тогда а 1 + а 2 + ... + a n = b(g 1 + q 2 + ... + q n)= bq, т.е. сумма а 1 + а 2 + ... + а n оказалась представленной в виде произведения числа b и некоторого натурального числа q. А это значит, что сумма а 1 + а 2 + ... + a n делится на b, что и требовалось доказать.
Например, не производя вычислений, можно сказать, что сумма 175 + 360 + 915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.
Теорема 6 (признак делимости разности). Если числа a 1 и а 2 делятся на b и а 1 > а 2 , то их разность а 1 - а 2 делится на b.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству признака делимости суммы.
Теорема 7 (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведение вида ах, где х N, делится на b.
Доказательство . Так как а b, то существует такое натуральное число q, что а = bq. Умножим обе части этого равенства на натуральное число х. Тогда ах = (bq)x, откуда на основании свойства ассоциативности умножения (bq)x – b(qx) и, значит, ах = b(qx), где qx - натуральное число. Согласно определению отношения делимости ах b, что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b.
Например, произведение 24 – 976 - 305 делится на 12, так как на 12 делится множитель 24.
Рассмотрим еще три теоремы, связанные с делимостью суммы и произведения, которые часто используются при решении задач на делимость.
Теорема 8. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся сумма на число b не делится.
Доказательство . Пусть s = а 1 + а 2 + ... + a n + с и известно,
что а 1 b, а 2 b ... a n b, но . Докажем, что тогда .
Предположим противное, т.е. пусть s b. Преобразуем сумму s к виду с = s - (а 1 + а 2 + ... + a n). Так как s b по предположению, (а 1 + а 2 + ... + a n) b согласно признаку делимости суммы, то по теореме о делимости разности с b. Пришли к противоречию с тем, что дано. Следовательно, .
Например, сумма 34 + 125 + 376 + 1024 на 2 не делится, так как 34 2, 376 2,124 2, но .
Теорема 9. Если в произведении ab множитель а делится на натуральное число m, а множитель b делится на натуральное число n, то ab делится на mn.
Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы о делимости произведения.
Теорема 10. Если произведение ас делится на произведение bс, причем с - натуральное число, то и я делится на b.
Доказательство . Так как ас делится на bс, то существует такое натуральное число q, что ас = (bc)q, откуда ас = (bq)c и, следовательно, а =bq, т.е. а b.
Признаки делимости
Рассмотренные в п. 88 свойства отношения делимости позволяют доказать известные признаки делимости чисел, записанных в десятичной системе счисления, на 2, 3,4, 5, 9.
Признаки делимости позволяют установить по записи числа делится ли оно на другое, не выполняя деления.
Теорема 11 (признак делимости на 2). Для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.
Доказательство . Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10 + а 0 , где а n , a n-1 ,..., а 1 , принимают значения 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а n ≠ 0 и а 0 принимает значения 0,2,4,6,8. Докажем, что тогда х 2.
Так как 10 2, то 10 2 2, 10 3 2, ..., 10 n 2 и, значит, (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10) 2. По условию а 0 тоже делится на 2, и поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 2. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, число х делится на 2.
Докажем обратное: если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0, 2,4, 6, 8.
Запишем равенство х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10+а в таком виде:
а о = х-(а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10). Но тогда, по теореме о делимости разности, а о 2, поскольку х 2 и (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10) 2. Чтобы однозначное число а 0 делилось на 2, оно должно принимать значения 0, 2, 4, 6, 8.
Теорема 12 (признак делимости на 5). Для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.
Доказательство этого признака аналогично доказательству признака делимости на 2.
Теорема 13 (признак делимости на 4). Для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х.
Доказательство . Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10 + а 0 и две последние цифры в этой записи образуют число, которое делится на 4. Докажем, что тогда х 4.
Так как 100 4, то (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10) 4. По условию, а 1 ·10 + а 0 (это и есть запись двузначного числа) также делится на 4. Поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 4. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, и само число х делится на 4.
Докажем обратное, т.е. если число х делится на 4, то двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, тоже делится на 4.
Запишем равенство х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10 + а 0 в таком виде: а 1 ·10 + а о = х- (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 2 ·10 2). Так как х 4 и (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 2 ·10 2) 4, то по теореме о делимости разности (а 1 ·10 + а о) 4 Но выражение а 1 ·10 + а 0 есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.
Тема урока: Делимость суммы и произведения.
Тип урока: урок «открытия» новых знаний.
Цели урока:
1. Предметные: Расширить знания учащихся о простейших элементах теории делимости натуральных чисел; показать способы использования в вычислениях свойства делимости суммы и произведения натуральных чисел.
2. Метапредметные: развитие умений учащегося проводить несложные доказательные рассуждения в ходе исследования; развитие умений учащихся организовывать сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, работать индивидуально, в группах, аргументировать и отстаивать свое мнение.
3. Личностные: Способствовать развитию коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со сверстниками при групповой работе; содействовать формированию устойчивого интереса к предмету; развивать личностные качества: ответственность, целеустремленность.
приёмы и методы:
Рефлективные приёмы;
Приёмы создания ситуации успеха и индивидуального выбора;
Методы самодиагностики;
Частично-поисковый метод;
Работа с учебником.
Формы работы учащихся:
Индивидуальная
Работа в парах
Фронтальная.
Планируемые результаты:
Учащиеся узнают свойства делимости суммы и произведения;
Приобретение навыков у учащихся к использованию в вычислениях свойств делимости суммы и произведения.
Применяемые образовательные технологии:
Системно-деятельностный подход;
Технология проблемного обучения.
Ход урока
1. Мотивация к учебной деятельности.
Здравствуйте, товарищи кадеты.
Ребята, сегодня наш урок мне хотелось бы начать с немного смешного, но на мой взгляд, очень поучительного фрагмента мультипликационного фильма моего детства «Вовка в тридевятом царстве»
Посмотрите, пожалуйста, его очень внимательно. (Просмотр и обсуждение фрагмента мультфильма).
На что рассчитывал Вовка в начале? (Что работу за него выполнят «Двое из ларца»)
Что из этого вышло?(Они все перепутали, и Вовке все равно пришлось делать все самому)
А почему Вовка остался голодный?
Благодаря чему он смог сделать корыто для старухи?
Как вы думаете, сможет Вовка построить избу? Почему вы в этом уверены?
Я с вами абсолютно согласна. Никто за вас не выполнит вашу работу, а от ее качества будет зависеть результат. Если захотеть, то научиться можно всему.
Сегодня у нас урок открытия новых знаний. И я желаю вам успехов в их поиске, в этом вам обязательно помогут накопленные вами хоть небольшие но все же очень важные знания!
2. Актуализация знаний и пробное учебное действие.
А) устный счет(лесенка)
Чтобы вам работалось на протяжении всего урока легко, давайте выполним небольшую разминку для мозга.
У вас на парте в файле с заданиями есть карточки, на которых изображена лесенка. (Слайд 1) Найдите их. (по вариантам). Подпишите. Вам необходимо будет за 2 минуты подняться по ступенькам лестницы как можно выше, записывая на каждой ступени результат вычисления.
Время вышло, заканчиваете. Обменяйтесь карточками.
Проверьте результат друг друга по образцу на слайде (Слайд 2)
Если задание выполнено полностью и без ошибок, поставьте «пятерку»
Верните карточки.
Поднимите руку, у кого «Пятерка». Молодцы!
А кто допустил ошибки, задумайтесь почему?
Есть только две причины, назовите мне их сами. (невнимательность, незнание таб. Умножения)
Это еще раз говорит о том, что нужно быть более внимательными, а у кого возникли проблемы с таблицей умножения, повторите дома ее еще раз.
Б) Теперь нам предстоит вспомнить некоторые понятия, которые будем использовать на нашем уроке. Предлагаю для этого разгадать кроссворд. Он находится у вас в файлах. Работаем в парах. Даю вам 3 минуты.
Как называется результат умножения?
Как называются числа, которые складывают?
Как называется число, на которое делят?
Как называются числа, которые умножают?
Как называется результат сложения?
Как называется число, у которого больше двух делителей?
Как называется число, у которого два делителя?
Проверьте свои ответы. (Слайд 3)
На какие вопросы вы не смогли ответить?
Давайте мы еще раз повторим определения этих понятий.
Какое определение можно дать понятию по вертикали?
А сейчас откройте тетради и поставьте на полях «!» на против задания, с которым вы дома справились легко и быстро, а «?», если задание вызвало затруднение, к этим заданиям мы вернемся на следующем уроке.
Запишите число и классная работа.
Выполните следующее задание: (Слайд 4)
В) 1. Выясните является ли число 4 делителем произведения: (3мин)
2. Выясните является ли число 3 делителем суммы:
3. Выявление причины затруднения.
Что вы можете сказать о произведениях?
О суммах?
Как вы это выяснили?
Может кто-то использовал другой способ, и смог ответить на вопрос, не выполняя вычислений? (нет)
4. Построение проекта выхода из затруднения.
Так какую цель мы с вами поставим перед собой сегодня на уроке?
(научиться определять без вычислений делится ли сумма или произведение на некоторое число) (Слайд 5)
Тема нашего урока: «Свойства делимости произведения и суммы» (Слайд 6)
Эти свойства вам предстоит сформулировать самостоятельно, и доказать, что они работают на практике.
Физкультминутка.
Потрудились – отдохнем,
Встанем, глубоко вздохнем.
Руки в стороны, вперед,
Влево, вправо поворот.
Три наклона, прямо встать.
Руки вниз и вверх поднять.
Руки плавно опустили,
Всем улыбки подарили.
Объединитесь в группы по 4 человека.
Не забывайте о правилах работы в группе.
Ответьте письменно на вопросы, находящиеся на ваших карточках и сделайте вывод.
Все справились с заданием?
Какую закономерность вы увидели для суммы, какой вывод вы можете сделать?(1 и 2 группы)
Сформулируйте свойство делимости суммы.
Хорошо, какая закономерность прослеживается для произведения? (3 и 4 группы)
Сформулируйте свойство делимости произведения.
5. Реализация построенного проекта
А теперь вернемся к заданию на слайде и проверим верны ли наши предположения. (да)
Итак, мы с вами сформулировали свойства делимости суммы и произведения. Проверим правильность сформулированных нами свойств. Откройте учебник на стр.102.
Ну что вы были правы?(да)
6. Первичное закрепление.
Нам осталось только научиться использовать свойства делимости суммы и произведения.
Учебник (стр.104):
№ 350,357-устно
№ 358(в,г)-доска и тетрадь
№ 359,360(а,б)- дополнительно
Хорошо, молодцы.
А теперь еще раз повторим свойства делимости, которые вы сегодня сами открыли, расскажите их друг другу.
7. Рефлексия деятельности на уроке.
Наш урок подходит к концу, давайте подведем итоги.
Какую цель вы перед собой ставили? (научиться определять без вычислений делится ли сумма или произведение на некоторое число)
Как вы считаете, достигли вы цели?(Да)
А теперь возьмите в файле карточки для самооценки, подпишите их и оцените свою деятельность на уроке.
8.Домашнее задание:
№ 356(а), 358(а,б), 360(в,г)
Ребята, вы сегодня все без исключения очень плодотворно потрудились, спасибо вам за вашу работу.
Закончить урок я хочу словами вьетнамской народной пословицы: «Узнать можно лишь тогда, когда учишься; дойти можно лишь тогда, когда идешь». Не забывайте об этом.
Кто получил оценки за устный счет, принесите дневники. А кто выполнил дополнительное задание, подойдите ко мне с тетрадями.
§ 63. Содержание главы.
Мы изучили сложение, вычитание, умножение и деление целых чисел. Сложение и умножение всегда выполнимы независимо от того, над какими числами они выполняются,
Иначе обстоит дело с обратными действиями, т. е. с вычитанием и делением. Относительно вычитания мы говорили, что оно возможно в тех случаях, когда вычитаемое не больше уменьшаемого.
Гораздо больше затруднений связано с делением. Прежде всего возникает затруднение в том случае, когда делимое меньше делителя (14: 20), но это специальный вопрос, которым мы будем заниматься в следующей части нашей книги. Обратимся к другому случаю. Вы знаете, что деление иногда выполняется без остатка или, как говорят, «нацело», а иногда с остатком. Возникают вопросы: какими должны быть данные числа, чтобы они могли разделиться без остатка одно на другое? Можно ли по каким-нибудь признакам данных чисел установить, что деление в данном случае выполнимо?
§ 64. Кратное и делитель.
Определение. Если одно число делится без остатка на другое, то первое называется кратным второго, а второе - делителем первого.
Значит, число 6 будет кратно 3 (трём), а само число 3 будет делителем 6 (шести). Число 15 кратно 5, а само 5 будет делителем 15.
Число может быть кратно нескольким числам.
Например число 36 кратно числам: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и 36.
Числа, делящиеся на 2, называются чётными. Число нуль тоже относится к чётным числам. Все же остальные числа называются нечётными. Следовательно:
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12... - чётные, 1, 3, 5, 7, 9, 11... - нечётные.
§ 65. Делимость суммы и разности.
1. Рассмотрим следующее важное свойство суммы .
Если каждое слагаемое делится без остатка на какое-нибудь число, то и сумма разделится на это число.
П р им е р:
14 делится на 7, 21 делится на 7, их сумма 14 + 21, т. е. 35, тоже делится на 7.
Ещё пример: 39 делится на 13, 65 делится на 13, их сумма 39 + 65 = 104 тоже делится на 13.
Мы можем взять сумму более чем двух слагаемых, например трёх, и высказанное утверждение окажется справедливым:
25 делится на 5,
35 делится на 5,
50 делится на 5.
Сумма 25 + 35 +50 = 110 тоже разделится на 5.
Этим свойством суммы мы можем воспользоваться, если хотим узнать, делится ли какое-нибудь число на другое. Например, я хочу узнать, не выполняя деления, разделится ли 756 на 7. Можно поступить так: 756 представить как сумму двух слагаемых 700 + 56. Теперь нужно подумать, делится ли каждое из этих слагаемых на 7. Здесь уже легко сообразить, что 700 делится на 7 и 56 делится на 7, значит и сумма, т. е. 756, разделится на 7.
Возникает вопрос: если слагаемые не делятся на какое-нибудь число, то разделится ли на это число сумма или нет?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассмотреть различные возможные здесь случаи:
а) Слагаемые 21 и 22 не делятся на 5; их сумма 43 тоже не делится на 5.
б) Слагаемые 22 и 23 не делятся на 5; но их сумма 45 делится на 5.
Значит, если отдельные слагаемые не делятся на данное число, то их сумма в некоторых случаях может разделиться на это число.
Теперь подумаем, будет ли сумма двух слагаемых делиться на некоторое число, если одно из слагаемых не делится на это число, а другое делится.
Пусть одно из слагаемых будет 33, а другое 17, их сумма 50. Первое слагаемое (33) делится на 11, а второе 17 не делится, сумма 50 тоже не делится на 11.
Возьмём сумму трёх слагаемых: 15, 20 и 23, т. е. 58. Каждое из первых двух слагаемых (15 и 20) делится на 5, но третье слагаемое 23 на 5 не делится, сумма 58 тоже не делится на 5.
Из рассмотрения этих примеров можно сделать вывод:
Если каждое слагаемое, кроме одного, делится на некоторое число, а это одно на него яе делится, то сумма всех этих слагаемых на него не разделится.
Используем этот вывод для решения вопроса о том, разделится ли число 150 на 14. Представим 150 следующим образом:
Первое слагаемое этой суммы (140) делится на 14, но так как второе слагаемое, т. е. 10, на 14 не делится, то и150 на 14 не разделится.
2. Теперь рассмотрим важное свойство разности.
Если уменьшаемое и вычитаемое делятся нацело на какое-нибудь число, то и разность разделится на это число.
45 делится на 9, 18 делится на 9, их разность 45-18, т. е. 27, тоже делится на 9.
Ещё пример:
88 делится на 11, 33 делится на 11, их разность 88-33 = 55 тоже делится на 11.
Этим свойством разности мы можем иногда воспользоваться для выяснения вопросов о делимости одного числа на другое. Пусть требуется ответить на вопрос, делится ли на 7 число 693. Прибавим к нему 7, получим 700. Тогда мы можем написать такое равенство: 700 - 7 = 693. В нём уменьшаемое 700 делится на 7, вычитаемое 7 делится на 7, значит и разность 693 тоже делится на 7.
§ 66. О признаках делимости чисел.
Во многих случаях очень важно бывает определить, не выполняя деления, разделится ли нацело одно число на другое. Пусть требуется, например, ответить на вопрос, будет ли 156 делиться на 4. Такие вопросы в будущем, например при изучении дробей, придётся ставить очень часто. Чтобы ответить на поставленный вопрос, можно, конечно, разделить первое число на второе, но такой приём является невыгодным. Поэтому в арифметике пытаются, не производя деления, узнать, разделится ли одно число на другое нацело или нет. В силу этого мы теперь займёмся изучением таких особенностей или свойств чисел, которые позволяют судить о делимости одного числа на другое. Сейчас мы выведем некоторые из этих «признаков» делимости.
§ 67. Признак делимости на 2.
Какие числа делятся на 2? Чем отличаются числа, делящиеся на 2, от чисел, не делящихся на 2? Возьмём два числа: 35 и 32. Первое из них, т. е. 35, не делится на 2, а 32 делится на 2. В чём же между ними разница? Мы уже знаем из предыдущего, что если каждое из двух чисел делится на третье, то сумма их разделится на это число. Представим данные числа в виде суммы десятков и единиц:
35 составляется из трёх десятков и пяти единиц. Каждый десяток делится на 2, значит и 3 десятка, т. е. 30, разделится на 2, но второе слагаемое, т. е. 5, не делится на 2; именно поэтому и всё число 35 не делится на 2.
Если же мы рассмотрим число 32, то увидим, что оно есть сумма 30 и 2, т. е. таких чисел, из которых каждое делится на 2. Значит, число 32 разделится на 2.
Рассмотрим ещё одно число, причём выберем большее число, чем 32, например 876. Это число мы можем представить так:
Первое слагаемое 870 делится на 2, так как состоит из 87 десятков, второе слагаемое 6 тоже делится на 2, значит и всё число 876 разделится на 2.
Эти примеры показывают, что делимость чисел на 2 зависит исключительно от делимости второго слагаемого (единиц). Ведь число 35 не разделилось на 2 потому, что у него не делилось на 2 второе слагаемое. Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8, то оно разделится на 2, в противном случае - не разделится.
На основе изложенного признак делимости на 2 мы можем высказать так: на 2 делятся те и только те числа, которые оканчиваются чётной цифрой. (Нуль относится к чётным числам.)
§ 68. Признак делимости на 4.
Прежде всего установим такой факт; на 4 делится число 100 и, следовательно, всякое число, представляющее собой сумму сотен (200, 300, ..., 1 400, 1 500, ..., 2 000, ...). Но всякое число, являющееся суммой сотен, оканчивается двумя нулями. Значит, на 4 делится всякое число, оканчивающееся двумя нулями.
Возьмём теперь число, которое оканчивается не нулями, а какими-нибудь другими цифрами, например 123 456.
Представим его как сумму двух слагаемых следующим образом:
Первое слагаемое этой суммы (123 400) разделится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями. Если второе слагаемое (56) разделится на 4, то и сумма (123 456) разделится на 4. Второе слагаемое 56 делится на 4. Значит, и число 123 456 разделится на 4.
Возьмём число 1 634 и представим его как сумму двух слагаемых так:
Первое слагаемое этой суммы 1 600 делится на 4, но второе (34) не делится. Значит, сумма, т. е. число 1 634, на 4 не разделится.
Таким образом, на 4 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся на 4.
Например делятся на 4: 4 600, 1 264; не делятся на 4: 110, 4 562.
§ 69. Признак делимости на 5.
Прежде всего отметим, что на 5 делится число 10 и, значит, всякое число, состоящее из десятков (20, 30, ..., 140, 150, ..., 2 160, 2 170, ...).
С другой стороны, всякое многозначное число можно рассматривать как сумму десятков и единиц.
Первое слагаемое, как состоящее из одних десятков, всегда разделится на 5. Значит, делимость всякого многозначного числа на 5 будет зависеть исключительно от делимости на 5 второго слагаемого, т. е. единиц числа.
Но среди единиц есть единственное число, делящееся на 5, - это самое число 5. Следовательно, у чисел, делящихся на 5, вторым слагаемым может быть только число 5.
Если же мы возьмём, например, число 2 347, у которого на месте единиц стоит не 5, а 7, то это число не разделится на 5, так как в сумме 2 340 + 7 первое слагаемое делится, а второе слагаемое (7) не делится на 5.
В силу этого признак делимости на 5 можно высказать так: на 5 делятся те и только те числа, которые оканчиваются нулём или цифрой 5.
Например, на 5 делятся: 1 320; 4 065; на 5 не делятся: 21; 432; 6 543.
§ 70. Признак делимости на 25.
Число 100 делится на 25. Следовательно, и всякое число, составленное из сотен, должно делиться на 25 (200, 300, ..., 1 400, 1 500, ..., 5 600, ...). Но так как число, состоящее из сотен, оканчивается двумя нулями, то на 25 должны делиться все числа, оканчивающиеся двумя нулями.
Теперь возьмём два числа, оканчивающиеся не нулями, а какими-нибудь другими цифрами: 23 456 и 34 875.
Каждое из них можно представить в виде двух слагаемых так:
23 400 + 56 и 34 800 + 75.
В первом случае второе слагаемое (56) не делится на 25, поэтому и всё число (сумма) не делится на 25. Во втором случае второе слагаемое (75) делится на 25,поэтому всё число разделится на 25. Значит, делимость числа на 25 зависит от деления на 25 числа, составленного двумя последними цифрами. Но в пределах сотни есть только три таких числа: 25, 50 и 75.
На этом основании мы можем сказать, что на 25 делятся те и только те числа, которые оканчиваются на 00; 25; 50 и 75.
§ 71. Признаки делимости на 9 и на 3.
Какие числа делятся на 9? Прежде всего на 9 делятся все числа, которые написаны посредством цифры 9, т. е. 9; 99; 999; 9 999 и т. д.
Далее, запомним, что числа изображаемые единицей с нулями, при делении на 9 дают в остатке 1. В самом деле: 10: 9 = 1 и 1 в остатке; 100: 9 = 11 и 1 в остатке; 1 000: 9 = 111 и 1 в остатке; 10 000: 9 = 1 111 и 1 в остатке.
Приняв это во внимание, разделим на 9 число 567. Представим его в виде суммы разрядных единиц:
567 = 500 + 60 + 7.
Число 500 при делении на 9 даёт в остатке пять (5) единиц, потому что каждая сотня при делении на 9 даёт в остатке 1.
Число 60 при делении на 9 даёт в остатке шесть (6) единиц, потому что каждый десяток при делении на 9 даёт в остатке 1.
Число семь (7) не делится на 9 и тоже является остатком.
Таким образом, у нас получились следующие остатки: 5, 6 и 7.
Если сумма этих остатков, т. е. 5 + 6 + 7 = 18, разделится на 9, то и число 567 разделится на 9. В данном случае сумма остатков на 9 делится.
Если же мы возьмём другое число, например 476, у которого сумма остатков, как легко сообразить на основании предыдущего, будет:
то здесь сумма остатков на 9 не делится; значит, и всё число (476) на 9 не разделится.
Но что представляет собой эта сумма остатков? Это есть сумма чисел, соответствующих цифрам данного числа (ради краткости говорят, что это есть сумма цифр числа).
Поэтому признак делимости на 9 можно высказать так: на 9 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.
Всякое число, делящееся на 9, будет делиться и на 3 (но не наоборот). Мы могли бы провести подобные рассуждения, применительно к числу 3. Тогда признак делимости на 3 был бы высказан так: на 3 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 3. Например, на 3 делятся: 51; 231; 8 112; 12 345.
Свойство делимости. «Делимость суммы и произведения на данное число. Задачи повышенной трудности».
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Технологии: здоровьесбережения, развитие исследовательских умений, развивающего обучения, проблемного обучения, самодиагностики и самокоррекции результатов.
Элементы содержания: Верные рассуждения, справедливое утверждение, признак делимости произведения, признак делимости суммы.
Виды деятельности: математический диктант, работа у доски и в тетрадях, фронтальная работа с классом.
Планируемые результаты (УУД):
Уметь: – доказать и применять при решении, что если хотя бы один из множителей не делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число;
– доказать и применять при решении, что если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число;
– вступать в речевое общение, участвовать в диалоге;
– правильно оформлять работу, отражать в письменной форме свои решения, выступать с решением проблемы.
Ход урока.
Проверочный диктант.
Записать формулу чисел кратных: а) 17; б) 41.
Записать формулу чисел, которые при делении на 17 дают остаток 3; при делении на 41 – остаток 3.
Указать два разных признака, характеризующих данное множество 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60; 66; 72; 78; 84; 90; 96.
Найти общие кратные чисел 5 и 4.
По какому признаку составлены формулы
а) 15n + 13; б) 4n +3; в)17k + 8?
Комментарий учителя. Тетради собираются на проверку, а решения комментируются.
Выполнение упражнений на делимость суммы и произведения
(Устно). Делится ли сумма на 3:
а) 450 + 160;
б) 150 +225;
в) 28422 + 22050;
Формулируется вывод:
Если каждое из слагаемых делится на какое-то число, то и сумма их обязательно делится на это же число.
Если каждое слагаемое, кроме одного делится на какое-нибудь число, а одно не делится, то сумма не делится на это число.
2. Истинно ли утверждение: если сумма делится на 3, то и каждое слагаемое делится на 3?
3. Делится ли на 3 произведение:
а) 6
·23
·75;
б) 6
·23
·14;
в) 37
·121
·19?
Формулируется вывод: Если хоть один из сомножителей делится на какое-нибудь число, то и произведение их также разделится на это число.
3. Используя свойства делимости и данные о делимости на число к каждого слагаемого, определите, делится ли на к сумма или произведение.
1 число
2 число
3 число
Сумма
Произведение
Решение.
1 число
2 число
3 число
Сумма
Произведение
д
д
д
д
д
н
д
д
н
д
д
н
д
н
д
д
д
н
н
д
н
н
д
Может делиться,
K°может не делиться
д
н
д
н
Может делиться,
может не делиться
д
д
н
н
Может делиться,
может не делиться
д
н
н
н
Может делиться,
может не делиться
н
Практикум
Все упражнения решаются с записью на доске.
Не производя вычислений, установите, делятся ли на 4 выражения: а) 132 + 360 + 536; б) 540 – 332; в) 2512·127.
Решение.
а) так как на 4 делится каждое слагаемое, то сумма 132 + 360 + 536 делится на 4;
б) так как уменьшаемое 540 делится на 4 и вычитаемое 332 делится на 4, то и разность 540 – 332 делится на 4;
в) так как число 2512 делится на 4, то и произведение 2512·127 делится на 4.
Составьте формулу чисел, при которых выражение:
а) 25 + х делится на 25;
б) 78 + х делится на 78.
3. При каких значениях переменной произведение:
а) 7
· а делится на 7,
б) 17
· b делится на b.
4. В кафе завезли 4 коробки мороженного. Может ли быть так, что мы должны заплатить за это 224 руб.?
Творческие задания
Доказать, что при всех натуральных значениях переменной выражение:
а) 56
· (а+b) делится на 14;
б) 144 а + 12b делится на 12;
в) 100 а – 40а делится на 30.
2. Укажите какие-нибудь пять делителей числа, равного произведению: 32 ·24 ·21.
3. Укажите, какие из следующих утверждений ложные.
а) Если слагаемые не делятся на какое-то число, то и сумма не делится на это число.
б) Если произведение двух чисел делится на какое-либо число, то хотя бы один из множителей делится на это число.
в) Если множители не делятся на какое-нибудь число, то и произведение не делится на это число.
г) Если разность делится на какое-нибудь число, то и уменьшаемое, и вычитаемое делится на это число.
Решение.
а) Ложное. Пример: 7+3 = 10; 7 и 3 не делятся на 5, а 10 делится на 5.
б) Ложное. Пример: 6 (10 = 60; 60 делится на 15, а ни 6, ни 10 не делятся.
в) Ложное. Пример: 6 (10 = 60; ни 6, ни 10 не делятся на 15, а 60 делится на 15.
г) Ложное. Пример: 23 - 21 = 2. Разность 2 делится на 2, а 23 и 21 на 2 не делятся.
5. Подведение итогов
Повторение свойств делимости произведения, суммы и разности чисел. Постановка домашнего задания. Комментирование оценок.
13 PAGE \* MERGEFORMAT 14115
kђЗаголовок 115
Приложенные файлы
