Фронтальная горизонтальная и профильная плоскости. Начертательная геометрия – что такое фронтальная плоскость

План

1. Проекции плоскостей общего положения

2. Проекции плоскостей уровня

Горизонтальная плоскость

Фронтальная плоскость

Профильная плоскость

3. Проекции проецирующих плоскостей

Горизонтально-проецирующая плоскость

Фронтально-проецирующая плоскость

Профильно-проецирующая плоскость

4. Взаимное расположение двух плоскостей

Параллельные плоскости

Пересекающиеся плоскости

5. Пересечение плоскостей общего положения

6. Взаиморасположение прямой и плоскости

Прямая - в плоскости

Прямая, параллельная плоскости

Прямая пересекает плоскость

7. Пересечение прямой с плоскостью

8. Условие видимости на чертеже

1. Проекции плоскостей общего положения

На комплексном чертеже плоскость может быть задана изображениями тех геометрических элементов, которые вполне определяют положение плоскости в пространстве. Это:

1) три точки, не лежащие на одной прямой (рис. 30);

3) две параллельные прямые (рис. 27);

4) две пересекающиеся прямые (рис. 28).

При решении некоторых задач целесообразно задавать на комплексном чертеже плоскость ее следами (рис. 31).

Рис. 30 Рис. 31

СЛЕДОМ ПЛОСКОСТИ называется прямая, по которой данная плоскость пересекается с плоскостью проекций.

На рис. 31 изображена плоскость  и ее следы: с - горизонтальный; а - фронтальный; b - профильный. Следы плоскости сливаются с одноименными своими проекциями: след с = с"; след а = а""; след b = b""". Точки

называются точками схода следов.

2. Проекции плоскостей уровня

Плоскостями уровня называются плоскости, параллельные плоскостям проекций.

Характерная особенность этих плоскостей состоит в том, что элементы, расположенные в этих плоскостях, проецируются на соответствующую плоскость проекций в натуральную величину.

Горизонтальная плоскость

Горизонтальная плоскость (рис. 32) параллельна горизонтальной плоскости проекций.

На рис. 32 изображена горизонтальная плоскость  ( V).

Фронтальная плоскость

Фронтальная плоскость (рис. 33) параллельна фронтальной плоскости проекций.

На двухкартинном комплексном чертеже она изображается одним фронтальным следом, параллельным оси x.

Рис. 32 Рис. 33

На рис. 33 изображена фронтальная плоскость  ( ).

Профильная плоскость

Профильная плоскость (рис. 34) параллельна профильной плоскости проекций.

На двухкартинном комплексном чертеже она изображается двумя следами: горизонтальным и фронтальным, перпендикулярными оси x.

На рис. 34 изображена профильная плоскость  ( H,V).

Рис. 34

3. Проекции проецирующих плоскостей

ПРОЕЦИРУЮЩИМИ называются плоскости, перпендикулярные к плоскостям проекций.

Характерной особенностью таких плоскостей является их собирательное свойство. Оно заключается в следующем: соответствующий след - проекция плоскости - собирает одноименные проекции всех элементов, расположенных в данной плоскости.

Горизонтально-проецирующая плоскость

Горизонтально-проецирующая плоскость (рис. 33) перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций H.

Рис. 35 Рис. 36

Горизонтальные проекции всех точек, принадлежащих горизонтально-проецирующей плоскости , располагаются на горизонтальном следе - проекции  H этой плоскости (рис. 35).

Фронтально-проецирующая плоскость

Фронтально-проецирующая плоскость (рис. 36) перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций V.

Фронтальные проекции всех точек, принадлежащих фронтально-проецирующей плоскости , располагаются на фронтальном следе - проекции   этой плоскости (рис. 36).

Профильно-проецирующая плоскость

Профильно-проецирующая плоскость (рис. 37) перпендикулярна к профильной плоскости проекций W.


Рис. 37

Профильные проекции всех точек, принадлежащих профильно-проецирующей плоскости , располагаются на профильном следе -проекции этой  W плоскости (рис. 37).

По изображению предмета на одной плоскости проекций во многих случаях нельзя судить о его форме и размерах. Предметы, показанные на рис. 4.3, – прямоугольная пластинка, треугольная призма, прямоугольный параллелепипед и параллелепипед с частью цилиндра, – дают в этом случае одинаковые проекции в виде прямоугольника.

По одной проекции можно судить лишь о двух измерениях предмета.

Но и две проекции предмета часто недостаточно полно отображают его форму. Так, например, две проекции прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.3, а, б ) неоднозначно отображают его форму. Такие две проекции могут иметь и треугольная призма (рис. 4.3, в ), и призма с закруглением (рис. 4.3, г ), и т.д.

Рис. 4.3.

Чтобы получить полное представление о форме и размерах предмета, его нужно спроецировать на две, три или более плоскостей. Для простоты проецирования эти плоскости располагают взаимно перпендикулярно. Таким образом, три плоскости образуют прямой трехгранный угол (рис. 4.4, а ). Каждой плоскости даны название и обозначение (рис. 4.4б а , б ).

Рис. 4.4.

Вертикальная плоскость, расположенная прямо перед нами, называется фронтальной плоскостью проекций. Она обозначается латинской буквой π 2. Под прямым углом к ней горизонтально располагается плоскость проекций, называемая горизонтальной плоскостью. Она обозначается латинской буквой π1. Перпендикулярно этим плоскостям располагается еще одна вертикальная плоскость, обозначенная буквой π3, называемая профильной плоскостью проекций. Попарное пересечение плоскостей трехгранного угла образует прямые линии – оси проекций, исходящие из точки О. Пересечение фронтальной и горизонтальной плоскостей проекций образует ось х, фронтальной и профильной – ось z1, профильной и горизонтальной – ось у (рис. 4.4, б ).

На рис. 4.4, а изображен трехгранный угол. Его грани взаимно перпендикулярны и не лежат в одной плоскости. Однако чертеж выполняется на плоскости. Для того чтобы изображения, полученные на сторонах трехгранного угла, оказались в одной плоскости, две грани этого угла развертывают до совмещения с третьей гранью, т.е. до такого положения, когда все три плоскости трехгранного угла окажутся в одной плоскости. Для этого горизонтальную плоскость поворачивают вокруг оси х вниз на 90°, профильную плоскость – вокруг оси z на 90° вправо, как показано стрелками. Тогда обе эти плоскости совмещаются с неподвижной фронтальной. При этом горизонтальная плоскость располагается под фронтальной, а профильная – справа от нее (рис. 4.4, б ).

Ось у как бы распадается на две: у и у 1.

Линии, ограничивающие плоскости проекций квадратами, взяты условно и значения не имеют, поэтому их обычно не проводят. Тогда плоскости проекций изобразятся, как показано на рис. 4.4, в.

Комплексный чертеж предмета

Изучив, как строят проекции точек, отрезков прямых и плоских фигур, т.е. элементов, которые ограничивают различные предметы (изделия или их составные части), можно перейти к рассмотрению способов получения прямоугольных изображений самих предметов.

На рис. 4.5, а представлен прямой трехгранный угол. Перед его плоскостями помещен изображаемый предмет – упор. Он расположен так, чтобы возможно большее число его граней было параллельно или перпендикулярно плоскостям проекций. Это значительно облегчает процесс проецирования.

Рис. 4.5.

Чтобы получить прямоугольные проекции изображаемого предмета, необходимо провести проецирующие лучи перпендикулярно плоскостям проекций.

Спроецируем упор на фронтальную плоскость проекций π2. Точки пересечения проецирующих лучей с этой плоскостью дадут проекции вершин упора. Соединив соответствующим образом эти точки, получим фронтальную проекцию, или вид спереди. Вид спереди называют также главным видом.

Построим проекцию упора на горизонтальной плоскости проекции π1 – вид сверху. Для этого опустим на горизонтальную плоскость перпендикуляры, проходящие через вершины упора, и полученные точки их пересечения с плоскостью соединим отрезками прямых.

Проведя проецирующие лучи на профильную плоскость проекций π3 и выполнив построения, аналогичные предыдущим, получим профильную проекцию изображаемого предмета – вид слева.

Сравнивая наглядное изображение упора с его проекциями (рис. 4.5, а ) и вспоминая изученное, можно установить следующее.

Во-первых, проекции упора на каждой из плоскостей проекций π2, π1, π3 представляют собой изображения не только одной стороны детали, но и всего предмета, всех его вершин, ребер и граней, если на горизонтальной и профильной проекциях штриховыми линиями показать невидимый сверху и слева контур детали. На фронтальной плоскости проекций видна лишь передняя грань упора. Это происходит потому, что боковые грани, перпендикулярные плоскости проекций, изобразились на ней в виде отрезков прямых. Грани, параллельные соответствующим плоскостям проекций, изображаются без искажения размеров.

Во-вторых, ребра, перпендикулярные плоскости проекций, изобразились на ней в виде точек (например, ребро АВ на горизонтальной плоскости проекций), а ребра, параллельные плоскости проекций, изобразились на ней в натуральную величину (например, ребро АВ на фронтальной и профильной плоскостях проекций).

В-третьих, наклонная грань упора ни на одной плоскости проекций не изобразилась в натуральную величину, хотя размер одной стороны этой грани можно измерить по проекции ее ребра, параллельного фронтальной плоскости проекций, а размер другой – по проекции ребра, параллельного горизонтальной и профильной плоскостям проекций, на одной из них.

Развернем плоскости проекций так, как это было показано на рис. 4.4, чтобы совместить их в плоскости чертежа (рис. 4.5, б ). Фронтальная плоскость π2 при этом остается неподвижной, горизонтальная π1 поворачивается вокруг оси х вниз на 90°, профильная π3 поворачивается вокруг оси z на 90° вправо. Тогда виды расположатся так: вид сверху – под главным видом, а вид слева – справа от главного вида и на уровне его.

Фронтальные и горизонтальные проекции одноименных точек находятся при этом на одних перпендикулярах к оси х (например, фронтальная а" и горизонтальная а проекции точки А , а их фронтальные и профильные проекции располагаются на одних перпендикулярах к оси z (например, фронтальная а" и профильная а" проекции точки А ). Эти перпендикуляры называют линиями связи. Таким образом, все три проекции упора оказываются связанными между собой. Положение любых двух проекций определяет положение третьей.

На чертежах не проводят рамки, ограничивающие плоскости проекций, и линии связи (см. рис. 4.4, в). Удалив их, мы получим чертеж, представленный на рис. 4.5, в.

Иногда изображения предмета на совмещенных плоскостях проекций называют комплексным чертежом.

Так строят чертежи в системе прямоугольных проекций. Однако нас интересует не только построение чертежей, но и чтение их, т.е. процесс представления пространственной формы предмета по его плоским изображениям.

Для того чтобы прочитать чертеж, нужно представить себе, в результате чего получилось на нем то или иное изображение, подумать, какое тело могло дать рассматриваемые проекции. При этом нельзя рассматривать проекции изолированно одну от другой. Необходимо мысленно объединить в единое целое представления о всех проекциях, данных на чертеже. 1

  • Горизонтальные проекции точек будем обозначать без штриха (а ), фронтальные – с одним штрихом (а" ) и профильные – с двумя штрихами (в"). Читается: "а малое штрих", "а малое два штриха".

Плоскость

Элементы, определяющие плоскость

Плоскость в пространстве определяют:

1) тремя точками (на эпюре каждая точка определяется минимально двумя своими проекциями (рис. 48));

2) прямой и точкой вне ее (рис. 49). В свою очередь прямая в пространстве определяется двумя точками. Отсюда возможность перехода от задания 2) к заданию 1);

Рис. 48 Рис. 49

3) двумя пересекающимися прямыми (рис. 50). Сравните с заданиями 1) и 2);

Рис. 50 Рис. 51

4) двумя параллельными прямыми (рис. 51). Сравните с 1), 2), 3);

5) любой плоской фигурой (рис.52).

Рис. 52

Различные положения плоскости в пространстве

Плоскости уровня

1. Горизонтальная плоскость или плоскость горизонтального уровня – это плоскость w, параллельная горизонтальной плоскости проекций П 1 (рис. 53). На плоскость П 1 любые фигуры плоскости w проецируются в натуральную величину, а на П 2 и П 3 плоскость проецируется в прямые w 2 и w 3 , которые называются вырожденными проекциями плоскости. Для задания плоскости w на эпюре достаточно одной ее вырожденной проекции, например w 2 .

Рис. 53

2. Фронтальная плоскость или плоскость фронтального уровня , это плоскость υ параллельная фронтальной плоскости проекций (рис. 54). На плоскость П 2 она проецируется в натуральную величину, а на П 1 и П 3 вырождается в прямые υ 1 и υ 3 .

Рис. 54

3. Профильная плоскость или плоскость профильного уровня – это плоскость γ, параллельная профильной плоскости проекций П 3 (рис. 55). На плоскость П 3 она проецируется в натуральную величину, а на П 1 и П 2 вырождается в прямые γ 1 , γ 2 .

Плоскость в пространстве может быть задана следующими способами:

    тремя точками, не лежащими на одной прямой;

    прямой и точкой, не лежащей на этой прямой;

    двумя параллельными прямыми;

    двумя пересекающимися прямыми;

    любой плоской фигурой.

Следует отметить, что минимально необходимое число точек для задания плоскости - три, поэтому при любых способах задания плоскости можно выделить эти три точки, не лежащие на одной прямой.

Построение проекций плоскости . Для задания плоскости на чертеже достаточно построить проекции точек, прямых или фигур, определяющих данную плоскость.

Например, на рис. 3.1 положение плоскости в пространстве определяют: любые три точки (А,В,С; A,C,D; A,B,D; B,C,D\ А,В,Е; В,С,Е\ C,D,E ), любой треугольник (ABC, ACD, ABD, BCD, ABE, ВСЕ, CDE), две параллельные прямые АВ и CD, две пересекающиеся прямые АС и BD.

Изменение положения в пространстве любой точки или прямой, принадлежащей плоскости, приведет к изменению положения в пространстве этой плоскости.

Плоскую фигуру можно построить из любого числа точек, но при этом необходимо помнить, что все диагонали плоской фигуры должны пересекаться, а точки пересечения проекций диаго­налей должны лежать на одной линии связи.

Трапеция ABCD на рис. 3.1 является плоской, так как ее диагонали АС и BD пересекаются в точке Е.

Подняв точку В выше, получим трапецию ABXCD (рис. 3.2), которая не является плоской, так как ее диагонали АС и B\D не пересекаются (АС и BXD - скрещивающиеся прямые) и точки пе­ресечения их проекций не лежат на одной линии связи.

Положение плоскости относительно плоскостей проекций . Плоскость в пространстве может занимать общее положение , т. е. положение, при котором она не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей.

Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, будет перпендикулярной (проецирующей) к двум другим плоскостям проекций, что очевидно из расположения трех взаимно-пер­пендикулярных плоскостей проекций системы параллельного пря­моугольного проецирования. Плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций, называются также плоскостями уровня.

Плоскость общего положения, как и прямая линия, может быть восходящей и нисходящей. Если точки плоскости поднимаются, удаляясь от наблюдателя, плоскость называется восходя­щей , если же они опускаются, - нисходящей.

На рис. 3.3, а точки плоскости, заданной треугольником ABC, удаляясь от наблюдателя по прямой BD, принадлежащей этой плоскости, от точки В к точке D, поднимаются вверх, следова­тельно, данная плоскость является восходящей. Плоскость EFH на рис. 3.3, б - нисходящая, так как ее точки, удаляясь от наблю­дателя по прямой FG , опускаются вниз.

Проецирующие плоскости в плоскостях проекций, к которым они перпендикулярны, вырождаются в прямую линию.

На рис. 3.4, а плоскость треугольника ABC, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей , плоскость треугольника DEF на рис. 3.4, б, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, - фронтально-проецирующей , а плоскость треугольника KLM на рис. 3.4, в, перпендикулярная профильной плоскости проекций, - профилъно-проецирующей.

Все линии, углы между ними, а также фигуры, лежащие в плос­кости уровня, проецируются на плоскость проекций в натураль­ном виде. При этом плоскости уровня могут быть горизонтальными, фронтальными и профильными.


Горизонтальная плоскость уровня, перпендикулярная (проецирующая) фронтальной и профильной плоскостям проекций, проецируется на них в виде прямой линии, параллельной осям проекций (рис. 3.5).

Фронтальная плоскость уровня, перпендикулярная (проецирующая) горизонтальной и профильной плоскостям проекций, проецируется на них в виде прямой линии, параллельной осям проекций (рис. 3.6).

Профильная плоскость уровня, перпендикулярная (проецирующая) фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций, проецируется на них в виде прямой линии, параллельной осям проекций (рис. 3.7).

Взаимное положение точки и прямой относительно плоскости.

Точка может принадлежать плоскости или лежать вне ее.

Точка принадлежит плоскости, если находится на любой прямой, лежащей в этой плоскости.

На рис. 3.8 точки А, В, С, D, Ей F принадлежат плоскости, образованной треугольником ЛВС , так как они лежат на прямых, образующих данный треугольник.

Точка не принадлежит плоскости, если не находится на любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

На чертеже, приведенном на рис. 3.9, видно, что через точку D нельзя провести никакую прямую, которая принадлежала бы плоскости треугольника ЛВС.


Прямая может лежать в плос­кости, быть параллельна плоско­сти или пересекать плоскость в какой-либо точке.

Прямая принадлежит плоско­сти, если две ее любые точки лежат в этой плоскости.

На рис. ЗЛО прямая BD принадлежит плоскости, образованной треугольником ЛВС, так как точки В и D лежат в этой плоскости.

Из множества прямых, принадлежащих плоскости, выделяют линии, параллельные плоскостям проекций. Эти линии, характеризующие направление плоскости в пространстве, называются главными линиями плоскости: горизонталь (параллельна горизонтальной плоскости проекций), фронталь (параллельна фронтальной плоскости проекций) и профильная прямая (параллельна профильной плоскости проек­ций).

В плоскости, образованной треугольником ABC на рис. 3.11, линия AD - горизонталь, АЕ - фронталь, a BF - профильная прямая.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

На рис. 3.12 прямая FG параллельна прямой DE, лежащей в плоскости треугольника А ВС (так как проекция F"G" параллельна проекции D"E", а проекция F"G" параллельна проекции D"E"), следовательно, прямая FG параллельна плоскости ЛВС.

Прямая пересекает плоскость, если у них имеется единственная совместная точка.

На рис. 3.13 прямая FG пересекает прямую DE, лежащую в плоскости треугольника ЛВС , в точке К , следовательно, прямая

FG пересекает плоскость треугольника ABC в точке К, принадлежащей плоскости ЛВС.

Взаимное положение двух плоскостей . Плоскости могут сливаться в пространстве, быть параллельными или пересекаться.

Плоскости сливаются, если две прямые, принадлежащие одной плоскости, одновременно принадлежат и другой плоскости.

На рис. 3.14 плоскости, образованные параллелограммом ABCD и треугольником EFG , сливаются, так как на плоскостях проекций видно, что любые две прямые одной плоскости принадлежат и другой плоскости.

Плоскости параллельны между собой, если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости.

На рис. 3.15 пересекающиеся прямые А В и ВС, лежащие в плоскости параллелограмма ABCD, соответственно параллельны пересекающимся прямым EF и FG, лежащим в плоскости треугольника EFG.

Плоскости пересекаются, если имеется единственная прямая линия, принадлежащая и той, и другой плоскости.

На рис. 3.16 прямая KL принадлежит и плоскости параллелограмма ABCD, и плоскости треугольника проекций EFG. При этом любые другие прямые, лежащие в плоскости параллелограм­ма, не принадлежат плоскости треугольника, и наоборот.

Похожие публикации