Игорь и паша красят забор за. Игорь и паша красят забор

Решение задач на совместную работу. Задание 11

Задачи на работу делятся на два типа:

задачи, в которых выполняется - эти задачи решаются аналогично задачам на движение.
задачи на совместную работу.

Если в задаче встречаются слова "выполнили работу вместе" или слова "совместная работа", значит это задача на совместную работу.

В этой статье я подробно остановлюсь на алгоритме решения задач на совместную работу.

1. В задачах на совместную работу мы имеем дело с теми же тремя параметрами, что и в задачах на раздельную работу:

объем работы,
время,
производительность,

которые связаны между собой формулой:

объем работы=производительность время.

2. Объем работы, если он не указан отдельно, принимаем равным 1.

3. Вводим два неизвестных:

х - время выполнения всей работы кем-то (или чем-то) первым

y - время выполнения всей работы кем-то (или чем-то) вторым.

(В некоторых задачах "выгоднее" принять за неизвестные производительность)

Производительность кого-то (или чего-то) первого

И в этом месте появляется параметр, которого не было в задачах на раздельную работу, а именно - совместная производительность

совместная производительность равна

Рассмотрим примеры решения задач из Открытого банка заданий для :

1 . Задание 11 (№ 99617)

Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша - за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

Про Машу нам все известно: время её работы равно 20, следовательно, её производительность равна .

Пусть Даша пропалывает грядку за х минут, тогда её производительность равна .

Тогда совместная производительность равна

Объем работы примем равным 1.

Время совместной работы равно 12 минут, отсюда получаем уравнение:

Решим его:

2 . Классическая задача на совместную работу:

Задание 11 (№ 99619)

Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

1. Введем неизвестные:

х - время заполнения резервуара первой трубой

y - время заполнения резервуара второй трубой

Производительность первой трубы

Производительность второй трубы

Совместная производительность

2. Примем объем резервуара равным 1.

3. У нас 2 неизвестных, поэтому будем составлять систему из двух уравнений.

По условию задачи, первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая, следовательно время работы первой трубы на 6 минут больше, чем второй:

Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты, следовательно, время совместной работы равно 4 минуты. Получаем второе уравнение системы:

Получили систему уравнений:

Не подходит по смыслу задачи.

3 . Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, в котором я показываю решение такой задачи:

Задание 11 (№ 99616)

Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь - за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

4. И, наконец, видеорешение такой задачи:
Три экскаватора разной производительности роют котлован. Работа будет выполнена, если каждый проработает 12 часов. Она также будет выполнена, если первый проработает 8 часов, второй 16, а третий 10. Сколько часов должен проработать второй экскаватор, чтобы завершить работу, если до него первый проработал 10 часов, а третий - 11?

Прототип Задания B14 (№99617 )

Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

Решение

Пусть x (минут) - время, за которое пропалывает грядку одна Даша.

Примем всю прополотую грядку за 1. Тогда 1/20 - скорость, с которой Маша пропалывает грядку (т.е. за 1 минуту Маша пропалывает 1/20 часть грядки). 1/x - скорость, с которой Даша пропалывает грядку.

Так как Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, то составим и решим уравнение:

12*(1/x +1/20)= 1,

1/x +1/20 = 1/12,

1/x = 1/12 - 1/20,

1/x = 1/30 -> x = 30, т.е. Даша пропалывает одна грядку за 30 минут.

Прототип Задания B14 (№99616 )

Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Решение

Примем покрашенный забор за 1.

Пусть x - скорость, с которой красит забор Игорь, y - скорость, с которой красит забор Паша, z- скорость с которой красит забор Володя.

Так как Игорь и Паша красят забор за 9 часов, то

Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, значит

И так как Володя и Игорь красят забор за 18 часов, то получаем еще одно уравнение:

Совместная скорость Игоря, Паши и Володи равна (x+y+z). Значит, время, за которое они покрасят забор, работая втроем равно 1/(x+y+z). Таким образом нам нужно найти величину 1/(x+y+z).

Перепишем все три уравнения в следующем виде:

Сложим все уравнения:

x+y+y+z+x+z = 1/9+1/12+1/18,

т.е.работая втроем мальчики покрасят забор за 8 часов.

Прототип Задания B14 (№99615 )

Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

Решение

Примем бак за 1. Тогда, так как первый насос наполняет бак за 20 минут, то скорость, с которой он наполняет бак равна 1/20 (т.е. за минуту первый насос наполняет 1/20 бака). Скорость второго насоса равна 1/30, а третьего - 1/60 (так как третий насос наполняет бак за 1 час, т.е. за 60 минут).

Совместная скорость наполнения бака тремя насосами равна: 1/20+1/30+1/60 = 1/10.

Тогда 1:(1/10) = 1/0,1 = 10 (минут) - время, за которое наполнят бак три насоса, работая одновременно.

Прототип Задания B14 (№99614 )

Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

Решение

Примем заказ за 1. Так как один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов, то скорость первого мастера равна 1/12, а скорсть второго - 1/6. Совместная скорость двух мастеров (т.е. скорость выполнения заказа, когда оба мастера работают вместе) равна 1/12+1/6 = 1/4 = 0,25.

Тогда 1:(1/4) = 1/0,25 = 4 (часа) - время, которое потребуется обоим мастерам, чтобы выполнить заказ, работая вместе.

Прототип Задания B14 (№99613 )

Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

Решение

Пусть x (часов) - время, которое работали рабочие вместе . Примем весь заказ за 1. Так как каждый из двух рабочих может выполнить заказ за 15 часов, то скорость выполнения заказа каждым из двух рабочих равна 1/15. А совместная скорость (когда оба рабочих рабтают вместе) равна 1/15+1/15 = 2/15.

Так как один из рабочих работала сам 3 часа до того, как они стали работать вместе, то составим и решим уравнение:

3*1/15+x*2/15 = 1,

3/15+x*2/15 = 1,

x = (4/5):(2/15),

x = (4/5)*(15/2),

Получили, что 6 часов рабочие работали вместе и еще по условию задачи 3 часа работал один рабочий. Поэтому для выполнения всего заказа потребовалось 6+3 = 9 часов.

Прототип Задания B14 (№99612 )

По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение

36 секунд = 36/3600 = 0,01 часа,

700 метров = 0,7 км.

Пусть x - длина скорого поезда.

Общая скорость поездов равна 65 + 35 = 100 км/ч.

Оба поезда вместе прошли расстояние, равное сумме их длин, т.е. (x+0,7) км.

И так как время, за которое скорый поезд прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам, т.е. 0,01 часа, то составим и решим уравнение.

Условие

Решение

$\text{работа}=\text{производительность}\cdot \text{время}$

Так как в задаче ничего не сказано о том, чему равна величина забора, то примем ее за единицу.

Игорь и Паша красят забор за 9 часов:

\[\left({{v}_{1}}+{{v}_{2}} \right)\cdot 9=1;\]

Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов:

\[\left({{v}_{3}}+{{v}_{2}} \right)\cdot 12=1;\]

а Володя и Игорь — за 18 часов:

\[\left({{v}_{1}}+{{v}_{3}} \right)\cdot 18=1;\]

Получаем систему уравнений:

\[\begin{align}& \left\{ \begin{align}& {{v}_{1}}+{{v}_{2}}=\frac{1}{9}, \\ & {{v}_{3}}+{{v}_{2}}=\frac{1}{12}, \\ & {{v}_{1}}+{{v}_{3}}=\frac{1}{15}. \\ \end{align} \right. \\ &\\ \end{align}\]

Просуммируем левые и правые части данных трех уравнений, получим:

\[{{v}_{1}}+{{v}_{2}}+{{v}_{3}}=\frac{1}{8};\]

Чтобы найти время $t$, за которое мальчики покрасят забор, работая втроем, решим уравнение:

$\left({{v}_{1}}+{{v}_{2}}+{{v}_{3}} \right)\cdot t=1;$ $\frac{1}{8}\cdot t=1;$ $t=8.$

Приведём ещё одно решение

За один час Игорь и Паша красят 1/9 забора, Паша и Володя красят 1/12 забора, а Володя и Игорь — за 1/18 забора. Работая вместе, за один час два Игоря, Паши и Володи покрасили бы:

\[\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{9}{39}=\frac{1}{4}\] забора.

Тем самым, они могли бы покрасить один забор за 4 часа. Поскольку каждый из мальчиков был учтен два раза, в реальности Игорь, Паша и Володя могут покрасить забор за 8 часов.

Примечание Дмитрия Гущина

Заметим, что за 36 часов Игорь и Паша могут покрасить 4 забора, Паша и Володя — 3 забора, а Володя и Игорь — 2 забора. Работая вместе, за 36 часов они могли бы покрасить 9 заборов. Следовательно, один забор два Игоря, два Паши и два Володи могут покрасить за 4 часа. Поэтому, работая втроем, Игорь, Паша и Володя покрасят забор за 8 часов.