Исследование формы и расположения гиперболы по ее каноническому виду.

Презентация и урок на тему:
"Гипербола, определение, свойство функции"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Электронные учебные таблицы по геометрии. 7-9 классы
Электронные учебные таблицы по алгебре. 7-9 классы"

Гипербола, определение

График функции $y=\frac{1}{x}$.
График такой функции называется "Гиперболой".

Свойства гиперболы

У гиперболы есть не только центр симметрии, но и ось симметрии. Ребята, проведите прямую $y=x$ и посмотрите, как разделился наш график. Можно заметить, что если часть, которая расположена выше прямой $y=x$, наложить на часть, которая располагается ниже, то они совпадут, это и означает симметричность относительно прямой.

Мы построили график функции $y=\frac{1}{x}$, но что будет в общем случае $y=\frac{k}{x}$, $k>0$.
Графики практически не будут отличаться. Будет получаться гипербола с теми же ветвями, только чем больше $k$, тем дальше будут удалены ветви от начала координат, а чем меньше $k$, тем ближе подходить к началу координат.

Например, график функции $y=\frac{10}{x}$ выглядит следующим образом. График стал "шире", отдалился от начала координат.
А как быть в случае отрицательных $k$? График функции $y=-f(x)$ симметричен графику $y=f(x)$ относительно оси абсцисс, нужно перевернуть его "вверх ногами".
Давайте воспользуемся этим свойством и построим график функции $y=-\frac{1}{x}$.

Обобщим полученные знания.
Графиком функции $y=\frac{k}{x}$, $k≠0$ является гипербола, расположенная в первой и третье (второй и четвертой) координатных четвертях, при $k>0$ ($k

Свойства функции $y=\frac{k}{x}$, $k>0$

Свойства функции $y=\frac{k}{x}$, $k
1. Область определения: все числа кроме $х=0$.
2. $y>0$ при $x 0$.
3. Функция возрастает на промежутках $(-∞;0)$ и $(0;+∞)$.
4. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
5. Наибольшего и наименьшего значений нет.
6. Функция непрерывна на промежутках $(-∞;0)U(0;+∞)$ и имеет разрыв в точке $х=0$.
7. Область значений: $(-∞;0)U(0;+∞)$.

Поворот гиперболы

Парабола

Исследование формы и расположения параболы по ее каноническому виду

Парабола со смещенной вершиной. Исследование квадратного трехчлена

Цели занятия: изучить свойства гиперболы и параболы; на примере лекции 11 найти аналогии в изучении кривых второго порядка; систематизировать знания по теме «Кривые второго порядка»; расширить школьные знания о гиперболе и параболе.

Роль и место лекции

Школьные представления о гиперболе и параболе ограничены частными случаями параболы () и гиперболы (). Понятия же эти более широкие. В лекции будут рассмотрены такие вопросы как, общее и каноническое уравнения гиперболы и параболы, полученные на основе их классических определений, поворот оси гиперболы, характерные признаки уравнений. Более широко они будут изучаться в теме «Квадратичные формы».

Гипербола.

Определение 1.

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояния которых от двух заданных, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Зададим в декартовой системе координат фокусы F 1 и F 2 (рис. 1). Возьмем произвольную точку M (x,y ), которая по определению должна принадлежать гиперболе. Проведем отрезки F 1 M и F 2 M (рис. 1). Согласно определению рассмотрим разность этих отрезков

, (1)

где – произвольное число.

Перенесем второе слагаемое в правую часть и возведем обе части равенства в квадрат:

Возведем обе части равенства в квадрат:

Раскроем скобки и сократим одинаковые члены равенства в левой и правой частях:

Перенесем слагаемые с x и y в правую часть, остальные в левую. Вынесем за скобки x 2 и a 2:

Отметим, что . Обозначим . Запишем выражение (2) через введенные обозначения

,

Выражение (3) есть уравнение гиперболы в каноническом виде.

Рассмотрим выражение (3) и заметим следующее.

1. Так как текущие координаты входят в уравнение только в квадратах, то гипербола симметрична относительно осей начала координат. Ось симметрии, на которой находятся фокусы гиперболы, называется фокальной осью.

2. Гипербола L (3) пересекается с осями координат:

a) Пересечение с осью .

Из выражения (3) => , то есть точки и . Эти точки – действительные вершины гиперболы. – действительная ось гиперболы. Отметим эти точки на оси (рис. 2).

б) Пересечение с осью .

Из выражения (3) => , то есть точек пересечения с осью нет. Отложим на оси отрезки b от начала координат. Две точки и – мнимые вершины гиперболы. – мнимая ось гиперболы. Отметим эти точки на оси (рис. 2).

3. Из уравнения (3) найдем y :

. (4)

Для I четверти выражение (4) имеет вид . При увеличении x от a до (при x =a y =0) значение y увеличивается от 0 до . Поскольку гипербола симметрична относительно начала координат, то аналогичным образом, сохраняя симметрию, гипербола будет вести себя в остальных четвертях плоскости.

4. Крутизна. Через проведем прямые, параллельные осям координат. Получим основной прямоугольник (рис. 2). Через диагонали прямоугольника проведем прямые l 1 и l 2 , такие, что , . Сравним ординаты l 1 и координаты гиперболы L в первой четверти при одних и тех же значениях x

то есть с увеличением x гипербола никогда не пересечет эти прямые, при этом бесконечно приближаясь к ним. Следовательно, l 1 и l 2 – асимптоты гиперболы.

5. Эксцентриситет гиперболы аналогичен эллипсу

Из (5) следует, что . Причем, если , гипербола вытягивается вдоль оси , если , гипербола вытягивается вдоль оси .

2.1. Частные случаи

1. Если F 1 и F 2 , то каноническое уравнение гиперболы принимает вид

Причем – мнимая ось гиперболы, – действительная ось.

2. Если центр гиперболы лежит не в начале координат, а в точке , то уравнение гиперболы (3) примет вид

. (7)

3. Поворот гиперболы

Примем , тогда уравнение гиперболы примет вид

Повернем систему координат по часовой стрелке на угол (рис. 3). Тогда асимптоты совпадут с координатными осями новой системы координат. Выразим старые координаты через новые

С учетом получим

Подставим (9) в (3). Тогда выражение гиперболы в новой системе (повернутой) координат примет вид

или . Откуда

. (10)

Выражение (10) есть уравнение равносторонней гиперболы, осями симметрии которой являются асимптоты.

Признаки гиперболы:

Коэффициенты при квадратах имеют противоположные знаки;

Гипербола пересекает ось координат, одноименную с переменной в квадрате, при которой коэффициент имеет знак «-»;

В случае поворота координатных осей в уравнении кривой второго порядка (см. Лекцию 11) появляются слагаемые произведения переменных.

4. Парабола

Определение 2.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Раскроем скобки и сократим одинаковые члены

Формула (11) – каноническое уравнение параболы

5. Исследование формы и расположения параболы по ее каноническому виду

1. Характерный признак параболы: одна текущая координата в квадрате, а другая в первой степени.

2. Поскольку , то парабола симметрична относительно оси . Ось симметрии одноименна с текущей переменной, входящей в уравнение в 1-й степени.

3. Найдем точки пересечения уравнения параболы с координатными осями.

Пересечение с осью .

Из выражения (11) , то есть точка – вершина параболы, единственная точка пересечения с координатными осями.

4. Построим параболу. Для этого из (11) выразим . Для первой четверти это выражение примет вид . При увеличении x от 0 до (при x =0 y =0) значение y увеличивается от 0 до (рис.5).

Замечание!!!

Если F , то каноническое уравнение параболы имеет вид

Вид параболы для различных уравнений

6. Парабола со смещенной вершиной

Исследование квадратного трехчлена

Задан квадратный трехчлен

. (14)

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F_1 и F_2 есть величина постоянная (2a) , меньшая расстояния (2c) между этими заданными точками (рис.3.40,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство гиперболы .

Фокальное свойство гиперболы

Точки F_1 и F_2 называются фокусами гиперболы, расстояние 2c=F_1F_2 между ними - фокусным расстоянием, середина O отрезка F_1F_2 - центром гиперболы, число 2a - длиной действительной оси гиперболы (соответственно, a - действительной полуосью гиперболы). Отрезки F_1M и F_2M , соединяющие произвольную точку M гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки M . Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Отношение e=\frac{c}{a} , где c=\sqrt{a^2+b^2} , называется эксцентриситетом гиперболы . Из определения (2a<2c) следует, что e>1 .

Геометрическое определение гиперболы , выражающее ее фокальное свойство, эквивалентно ее аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением гиперболы:

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.40,б). Центр O гиперболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F_1 к точке F_2 ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).

Составим уравнение гиперболы, используя геометрическое определение, выражающее фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F_1(-c,0) и F_2(c,0) . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей гиперболе, имеем:

\left||\overrightarrow{F_1M}|-|\overrightarrow{F_2M}|\right|=2a.

Записывая это уравнение в координатной форме, получаем:

\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm2a.

Выполняя преобразования, аналогичные преобразованиям, используемым при выводе уравнения эллипса (т.е. избавляясь от иррациональности), приходим к каноническому уравнению гиперболы:

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\,

где b=\sqrt{c^2-a^2} , т.е. выбранная система координат является канонической.

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.50), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Таким образом, аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.

Директориальное свойство гиперболы

Директрисами гиперболы называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии a^2\!\!\not{\phantom{|}}\,c от нее (рис.3.41,а). При a=0 , когда гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, директрисы совпадают.

Гиперболу с эксцентриситетом e=1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e (директориальное свойство гиперболы ). Здесь F и d - один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.

В самом деле, например, для фокуса F_2 и директрисы d_2 (рис.3.41,а) условие \frac{r_2}{\rho_2}=e можно записать в координатной форме:

\sqrt{(x-c)^2+y^2}=e\left(x-\frac{a^2}{c}\right)

Избавляясь от иррациональности и заменяя e=\frac{c}{a},~c^2-a^2=b^2 , приходим к каноническому уравнению гиперболы (3.50). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F_1 и директрисы d_1 :

\frac{r_1}{\rho_1}=e \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{(x+c)^2+y^2}= e\left(x+\frac{a^2}{c} \right).

Уравнение гиперболы в полярной системе координат

Уравнение правой ветви гиперболы в полярной системе координат F_2r\varphi (рис.3.41,б) имеет вид

R=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi} , где p=\frac{p^2}{a} - фокальный параметр гиперболы .

В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат правый фокус F_2 гиперболы, а в качестве полярной оси - луч с началом в точке F_2 , принадлежащий прямой F_1F_2 , но не содержащий точки F_1 (рис.3.41,б). Тогда для произвольной точки M(r,\varphi) , принадлежащей правой ветви гиперболы, согласно геометрическому определению (фокальному свойству) гиперболы, имеем F_1M-r=2a . Выражаем расстояние между точками M(r,\varphi) и F_1(2c,\pi) (см. пункт 2 замечаний 2.8):

F_1M=\sqrt{(2c)^2+r^2-2\cdot(2c)^2\cdot r\cdot\cos(\varphi-\pi)}=\sqrt{r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}.

Следовательно, в координатной форме уравнение гиперболы имеет вид

\sqrt{r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}-r=2a.

Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:

R^2+4cr\cdot\cos\varphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(1-\frac{c}{a}\cos\varphi\right)r=c^2-a^2.

Выражаем полярный радиус r и делаем замены e=\frac{c}{a},~b^2=c^2-a^2,~p=\frac{b^2}{a} :

R=\frac{c^2-a^2}{a(1-e\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{b^2}{a(1-e\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{p}{1-e\cos\varphi},

что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения гиперболы и эллипса совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами ( e>1 для гиперболы, 0\leqslant e<1 для эллипса).

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении гиперболы

Найдем точки пересечения гиперболы (рис.3.42,а) с осью абсцисс (вершины гиперболы). Подставляя в уравнение y=0 , находим абсциссы точек пересечения: x=\pm a . Следовательно, вершины имеют координаты (-a,0),\,(a,0) . Длина отрезка, соединяющего вершины, равна 2a . Этот отрезок называется действительной осью гиперболы, а число a - действительной полуосью гиперболы. Подставляя x=0 , получаем y=\pm ib . Длина отрезка оси ординат, соединяющего точки (0,-b),\,(0,b) , равна 2b . Этот отрезок называется мнимой осью гиперболы, а число b - мнимой полуосью гиперболы. Гипербола пересекает прямую, содержащую действительную ось, и не пересекает прямую, содержащую мнимую ось.

Замечания 3.10.

1. Прямые x=\pm a,~y=\pm b ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, вне которого находится гипербола (рис.3.42,а).

2. Прямые , содержащие диагонали основного прямоугольника, называются асимптотами гиперболы (рис.3.42,а).

Для равносторонней гиперболы , описываемой уравнением (т.е. при a=b ), основной прямоугольник является квадратом, диагонали которого перпендикулярны. Поэтому асимптоты равносторонней гиперболы также перпендикулярны, и их можно взять в качестве координатных осей прямоугольной системы координат Ox"y" (рис.3.42,б). В этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид y"=\frac{a^2}{2x"} (гипербола совпадает с графиком элементарной функции, выражающей обратно-пропорциональную зависимость).

В самом деле, повернем каноническую систему координат на угол \varphi=-\frac{\pi}{4} (рис.3.42,б). При этом координаты точки в старой и новой системах координат связаны равенствами

\left\{\!\begin{aligned}x&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x"+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot y",\\ y&=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x"+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot y"\end{aligned}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{\!\begin{aligned}x&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(x"+y"),\\ y&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(y"-x")\end{aligned}\right.

Подставляя эти выражения в уравнение \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1 равносторонней гиперболы и приводя подобные члены, получаем

\frac{\frac{1}{2}(x"+y")^2}{a^2}-\frac{\frac{1}{2}(y"-x")^2}{a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x"\cdot y"=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad y"=\frac{a^2}{2\cdot x"}.

3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии гиперболы (называются главными осями гиперболы), а ее центр - центром симметрии.

Действительно, если точка M(x,y) принадлежит гиперболе . то и точки M"(x,y) и M""(-x,y) , симметричные точке M относительно координатных осей, также принадлежат той же гиперболе.

Ось симметрии, на которой располагаются фокусы гиперболы, является фокальной осью.

4. Из уравнения гиперболы в полярных координатах r=\frac{p}{1-e\cos\varphi} (см. рис.3.41,б) выясняется геометрический смысл фокального параметра - это половина длины хорды гиперболы, проходящей через ее фокус перпендикулярно фокальной оси ( r=p при \varphi=\frac{\pi}{2} ).

5. Эксцентриситет e характеризует форму гиперболы. Чем больше e , тем шире ветви гиперболы, а чем ближе e к единице, тем ветви гиперболы уже (рис.3.43,а).

Действительно, величина \gamma угла между асимптотами гиперболы, содержащего ее ветвь, определяется отношением сторон основного прямоугольника: \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2}=\frac{b}{2} . Учитывая, что e=\frac{c}{a} и c^2=a^2+b^2 , получаем

E^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+{\left(\frac{b}{a}\right)\!}^2=1+\operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2}.

Чем больше e , тем больше угол \gamma . Для равносторонней гиперболы (a=b) имеем e=\sqrt{2} и \gamma=\frac{\pi}{2} . Для e>\sqrt{2} угол \gamma тупой, а для 1

6 . Две гиперболы, определяемые в одной и той же системе координат уравнениями \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 и называются сопряженными друг с другом . Сопряженные гиперболы имеют одни и те же асимптоты (рис.3.43,б). Уравнение сопряженной гиперболы -\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 приводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38).

7. Уравнение \frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1 определяет гиперболу с центром в точке O"(x_0,y_0) , оси которой параллельны координатным осям (рис.3.43,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36). Уравнение -\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1 определяет сопряженную гиперболу с центром в точке O"(x_0,y_0) .

Параметрическое уравнение гиперболы

Параметрическое уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет вид

\begin{cases}x=a\cdot\operatorname{ch}t,\\y=b\cdot\operatorname{sh}t,\end{cases}t\in\mathbb{R},

где \operatorname{ch}t=\frac{e^t+e^{-t}}{2} - гиперболический косинус, a \operatorname{sh}t=\frac{e^t-e^{-t}}{2} гиперболический синус.

Действительно, подставляя выражения координат в уравнение (3.50), приходим к основному гиперболическому тождеству \operatorname{ch}^2t-\operatorname{sh}^2t=1 .

Пример 3.21. Изобразить гиперболу \frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{3^2}=1 в канонической системе координат Oxy . Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, фокальный параметр, уравнения асимптот и директрис.

Решение. Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: a=2 - действительная полуось, b=3 - мнимая полуось гиперболы. Строим основной прямоугольник со сторонами 2a=4,~2b=6 с центром в начале координат (рис.3.44). Проводим асимптоты, продлевая диагонали основного прямоугольника. Строим гиперболу, учитывая ее симметричность относительно координатных осей. При необходимости определяем координаты некоторых точек гиперболы. Например, подставляя x=4 в уравнение гиперболы, получаем

\frac{4^2}{2^2}-\frac{y^2}{3^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=27 \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm3\sqrt{3}.

Следовательно, точки с координатами (4;3\sqrt{3}) и (4;-3\sqrt{3}) принадлежат гиперболе. Вычисляем фокусное расстояние

2\cdot c=2\cdot\sqrt{a^2+b^2}=2\cdot\sqrt{2^2+3^2}=2\sqrt{13}

эксцентриситет e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{2} ; фокальныи параметр p=\frac{b^2}{a}=\frac{3^2}{2}=4,\!5 . Составляем уравнения асимптот y=\pm\frac{b}{a}\,x , то есть y=\pm\frac{3}{2}\,x , и уравнения директрис: x=\pm\frac{a^2}{c}=\frac{4}{\sqrt{13}} .

Гиперболой называют множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами. F 1, F 2 – фокусы гиперболы, причем расстояние между ними обозначим 2 с, М – произвольная точка гиперболы. По определению имеем: 2 a

Выберем систему координат так, чтобы фокусы F 1, F 2 лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка F 1 F 2. Тогда координаты фокусов F 1(-c, 0) и F 2(c, 0). Точка М имеет координаты (х, у). По определению имеем: причем 2 а

Свойства гиперболы (вывести самостоятельно) 1. Гипербола симметричен относительно осей Ох и Оу. 2. Гипербола симметричен относительно точки О(0, 0) – центра гиперболы. 3. Гипербола пересекает ось Ох в точках А 1(а, 0) и A 2(-а, 0); с осью Оу гипербола общих точек не имеет. 4. Все точки гиперболы лежат справа от прямой х=а (правая ветвь) и слева от прямой х=-а (левая ветвь). 5. Гипербола имеет вершины, действительную и мнимую оси. 6. Прямые являются асимптотами гиперболы.

Эксцентриситет гиперболы Эксцентриситетом гиперболы называют отношение полуфокусного расстояния с к большой полуоси а, т. е. причем т. к. c>a. С учетом того, что с2 -а 2=b 2 получаем:

Прямые называются директрисами гиперболы. Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки гиперболы до какого-нибудь фокуса, d – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету гиперболы, т. е.

Каноническое уравнение гиперболы

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемыхфокусами , есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F 1 и F 2 , расстояние между ними через 2с , а модуль разности расстоя­ний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2а . По определению 2а < 2с , т. е. а < с ,

Для вывода уравнения гиперболы выберем си­стему координат Оху так, чтобы фокусы F 1 и F 2 лежали на оси Ох, а начало координат совпало с серединой отрезка F 1 F 2 (см. рис. 4). Тогда фокусы будут иметь координаты F 1 (– c; 0) и F 2 (с;0).

Пусть
– произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы
или
, т. е.. После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, получимканоническое уравне­ние гиперболы

(5)

. (6)

Гипербола есть линия второго порядка.

Исследование формы гиперболы по ее уравнению

Установим форму гиперболы, пользуясь ее каноническим уравнением.

1. Уравнение (5) содержит х и у только в четных степенях. Следовательно, гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки 0(0; 0), которую называют центром гиперболы.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив у = 0 в уравнении (5), находим две точки пересечения гиперболы с осью Ox : A 1 (a ; 0) и А 2 (–а ;0). Положив х=0 в (5), получаем у 2 = –b 2 , чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает.

Точки A 1 (a ;0) и А 2 (–а ;0) называютсявершинами гиперболы, а от­резок
– действительной осью, отрезок ОА 1 = ОА 2 = а – действительной полуосью гиперболы.

Отрезок B 1 B 2 (B 1 B 2 = 2 b ), соединяющий точки B 1 (0; b ) и B 2 (0;-b ) на­зываетсямнимой осью, число b – мнимой полуосью . Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называетсяосновным прямоугольником гипер­болы.

3. Из уравнения (5) следует, что уменьшаемое не меньше единицы, т. е. чтоили
. Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой х = а (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой x = – a (левая ветвь гиперболы).

что разность
сохраняет постоянное значение, равное единице.

Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 5 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).

Асимптоты гиперболы

Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой К, если расстояние d от точки М кривой К до этой прямой стремится к ну­лю при неограниченном удалении точки М вдоль кривой К от начала координат.

Покажем, что гипербола
имеет две асимптоты:

(7)

Так как прямые (7) и гипербола (5) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти.

Возьмем на прямой
точкуN, имеющей ту же абсциссу х, что и точка М(х;у) на гиперболе
(см. рис. 6), и найдем разностьMN между

ордина­тами прямой и ветви гиперболы:

.

Как видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается; чи­слитель есть постоянная величина. Стало быть, длина отрезка MN стремится к нулю. Так как MN боль­ше расстояния d от точки М до пря­мой, то d и подавно стремится к нулю. Итак, прямые у = ±х являются асимптотами гиперболы (5).

При построении гиперболы (5) целесообразно сначала построить ос­новной прямоугольник гиперболы (см. рис. 7), провести прямые, проходя­щие через противоположные вершины этого прямоугольника, – асимптоты гиперболы и отметить вершины А 1 и А 2 гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы (5) называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обо­значается :

Так как для гиперболы с > а, то эксцентриситет гиперболы больше единицы: > 1. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Дей­ствительно, из равенства (6) следует, что
, т. е.
и
.

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем мень­ше отношение ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен
. Действительно,

.

Фокальные радиусы
и
для то­чек правой ветви гиперболы имеют вид
и
, а для левой
и
.

Прямые х = ±называютсядиректрисами гиперболы. Так как для гиперболы

> 1, то <а . Это значит, что правая директриса расположе­на между центром и правой вершиной гиперболы, левая – между центром и левой вершиной.

Директрисы гиперболы имеют то же свойство , что и директрисы эллипса.

Кривая, определяемая уравнением
, также есть гипербола, действительная ось
которой расположена на осиОу, а мнимая ось 2а – на оси Ох.

Очевидно, что гиперболы
и
имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называютсясопряженными.