Как рассчитать площадь многоугольника зная периметр. Вычисление площади правильного многоугольника по другим формулам

Такая фигура непременно будет характеризоваться двумя положениями:

1. Смежные стороны не принадлежат одной прямой.
2. У несмежных отсутствуют общие точки, то есть они не пересекаются.

Чтобы понять, какие вершины являются соседними, потребуется посмотреть, принадлежат ли они одной стороне. Если да, то соседние. В противном случае их можно будет соединить отрезком, который необходимо назвать диагональю. Их можно провести только в многоугольниках, у которых больше трех вершин. Какие их виды существуют? Многоугольник, у которого больше четырех углов, может быть выпуклым или вогнутым. Отличие последнего в том, что некоторые его вершины могут лежать по разные стороны от прямой, проведенной через произвольную сторону многоугольника.

Площадь многоугольника

Расчет площади Многоугольника, используя радиус вписанного круга и длину стороны:[ (A×P)/2 ][ Apothem(A) = side/(2×Tan(π/N)) ] Введите длину = Введите кол-во сторон = Площадь Многоугольника = Расчет площади по длине стороны:Площадь Многоугольника = ((side)² * N) / (4Tan(π / N))Периметр Многоугольника = N * (side) Расчет площади по радиусу описанной окружности:Площадь Многоугольника = ½ * R² * Sin(2π / N) Расчет площади по радиусу вписанного круга:Площадь Многоугольника = A² * N * Tan(π / N)где, A = R * Cos(π / N) По радиусу вписанного круга и длине стороны:Площадь Многоугольника = (A * P) / 2где A = сторона / (2 * Tan(π / N))где,

• N = Количество сторон,
• A = Радиус вписанного круга,
• R = Радиус описанной окрудности,
• P = Периметр

Примеры: Задача 1: Найдите площадь и периметр многоугольника, если длина стороны = 2 и количество сторон = 4.

Площадь правильного многоугольника

Из нее легко получить такую, которая пригодится для частных случаев:

1. треугольника: S = (3√3)/4 * R2;
2. квадрата: S = 2 * R2;
3. шестиугольника: S = (3√3)/2 * R2.

Ситуация с неправильной фигурой Выходом для того, как узнать площадь многоугольника, если он не является правильным и его нельзя отнести ни к одной из известных ранее фигур, является алгоритм:

• разбить его на простые фигуры, например, треугольники, чтобы они не пересекались;
• вычислить их площади по любой формуле;
• сложить все результаты.

Что делать, если в задаче даны координаты вершин многоугольника? То есть известен набор пар чисел для каждой точки, которые ограничивают стороны фигуры.

Площадь и периметр многоугольника

Тогда площадь многоугольника определяется, как сумма n слагаемых.

Внимание

Каждое из них выглядит так: ((yi+1 +yi)/2) * (xi+1 — xi).

Пример задачи Условие. Координаты вершин заданы такими значениями (0.6; 2.1), (1.8; 3.6), (2.2; 2.3), (3.6; 2.4), (3.1; 0.5).

Инфо

Требуется вычислить площадь многоугольника. Решение.

Приведенные выше примеры показывают, как вычислить площадь и периметр многоугольника вручную.

Правильный многоугольник

S tan⁡〖(180°)/n〗)/n)/2 tan⁡〖(180°)/n〗=√(S/(n tan⁡〖(180°)/n〗)) R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗)=√((4S tan⁡〖(180°)/n〗)/n)/2 sin⁡〖(180°)/n〗=√(S/(n cos⁡〖(180°)/n〗)) Вычислить периметр правильного многоугольника через площадь возможно, если представить его в виде произведения количества сторон n на полученный вместо стороны радикал, а затем упростить выражение, внеся n под корень. P=na=n√((4S tan⁡〖(180°)/n〗)/n)=√(4nS tan⁡〖(180°)/n〗) Угол правильного многоугольника можно вычислить по формуле, которая имеет только одну переменную – количество сторон фигуры, поэтому не требует никаких изменений.

Калькулятор площади многоугольника

Подставляя вместо n количество сторон фигуры можно получить формулу для определения площади любого правильного полигона, которая будет представлять собой площадь квадрата a^2, умноженного на определенный коэффициент.

Интересно, что при увеличении количества углов этот коэффициент также будет увеличиваться, к примеру, для пентагона - 1,72, а гексагона - 2,59. Так как около любого правильного полигона можно описать окружность или вписать ее в него, мы можем использовать соответствующие радиусы для вычисления площадей многоугольников.

Сторона и радиус описанной окружности для любого полигона соотносятся как: a = R × 2 sin (pi/n), где R – радиус описанной окружности, n – количество сторон геометрической фигуры.

Для вписанной в полигон окружности соотношение немного изменяется и выглядит как: a = r × 2 tg (pi/n), где r – радиус вписанной окружности.

Как рассчитать площадь правильного многоугольника

Пример многоугольникаДанный калькулятор обсчитывает площадь многоугольника по введенным сторонами и диагоналям, разбивающим многоугольник на непересекающиеся треугольники.

Смотрим на картинку - площадь многоугольника ABCDE можно вычислить как сумму площадей треугольников ABD, BCD и ADE.

Для этого, понятно, помимо длин сторон многоугольника, надо знать еще и длины диагоналей BD и AD, но это и все что нужно - площадь любого треугольника можно вычислить только по длинам его сторон, без измерения углов.

А это довольно удобно, например, при бытовом ремонте - длины-то всяко проще померять, чем углы.

Итак, измеряем длины сторон интересующего нас многоугольника, заносим их в таблицу, мысленно разбиваем многоугольник на треугольники, измеряем нужные диагонали, также заносим их в таблицу, после чего калькулятор рассчитывает площадь всей фигуры.

Как узнать площадь многоугольника?

Как поступить с правильным многоугольником, у которого больше четырех вершин? Для начала такая фигура характеризуется тем, что в ней все стороны равны. Плюс к этому, у многоугольника одинаковые углы. Если вокруг такой фигуры описать окружность, то ее радиус совпадет с отрезком от центра многоугольника до одной из вершин. Поэтому для того чтобы вычислить площадь правильного многоугольника с произвольным числом вершин, потребуется такая формула: Sn = 1/2 * n * Rn2 * sin (360º/n), где n - количество вершин многоугольника.
Таким образом, для определения площади любого правильного полигона вам понадобится указать количество сторон n и любой параметр на выбор:

• длина стороны a;
• радиус вписанной окружности r;
• радиус описанной окружности R.

Рассмотрим пару примеров для нахождения площади любого многоугольника.

Примеры из жизни Пчелиные соты Пчелиные соты - уникальный природный объект, который состоит из множества гексагональных призматических ячеек.

Давайте подсчитаем, сколько таких шестиугольников находится в одних сотах.

Для этого нам нужно узнать общую площадь и площадь одной ячейки.

Из Википедии мы знаем, что стандартная рамка для сот имеет размеры 435 х 300 мм, соответственно, общая площадь составляет 130 500 квадратных миллиметров.

Там же указано, что горизонтальный диаметр одной ячейки составляет примерно 5,5 мм.

Диагональ 2 Угол α {$ main.angles $} Угол β {$ main.angles $} Введите любые 3 величины Сторона A Сторона B Высота ha Высота hb Диагональ 1 Диагональ 2 Угол α {$ main.angles $} Угол β {$ main.angles $} Введите любые 3 величины Основание A Основание C Высота H Дополните боковые стороны для поиска периметра Сторона B Сторона D Введите 1 величину Сторона A Радиус описанной окружности (R) Радиус вписанной окружности (r) Количество сторон многоугольника Введите 1 величину Сторона A Радиус описанной окружности (R) Радиус вписанной окружности (r) Введите 1 величину Сторона A = радиусу описанной окружности (R) Радиус вписанной окружности (r) Результат расчета

• Периметр: {$ result.p|number:4 $}
• Площать: {$ result.s|number:4 $}

Многоугольник или полигон - геометрическая фигура, которая имеет n-ное количество углов.
В общем случае многоугольник - это часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломанной.

Геометрия многоугольников В целом такая геометрическая фигура может иметь абсолютно любой вид.

К примеру, символы звезды и компаса, полигон для моделирования или грань шестеренки - многоугольники.

Многоугольные фигуры разделяются на две группы:

• невыпуклые, которые имеют любую причудливую форму с возможными самопересечениями (самый очевидный пример - звезда);
• выпуклые, все точки которых находятся по одну сторону от прямой, проведенной через две соседние вершины (квадрат, треугольник).

Выпуклый полигон, у которого все углы равны и все стороны равны, считается правильным и имеет собственное название.

Конвертер единиц расстояния и длины Конвертер единиц площади Присоединяйтесь © 2011-2017 Довжик Михаил Копирование материалов запрещено. В онлайн калькуляте можно использовать величины в одинаквых единицах измерения! Если у вас возниели трудности с преобразованием едениц измерения воспользуйтесь конвертером единиц расстояния и длины и конвертером единиц площади. Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади четырехугольника

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «вправо» и «влево» на клавиатуре.

Теория. Площадь четырехугольника Четырёхугольник - геометрическая фигура, состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Четырёхугольник называется выпуклым, если отрезок соединяющий любые две точки этого четырехугольника, будет находиться внутри него.

Как узнать площадь многоугольника?

Формула определения площади определяется путем взятия каждого ребра многоугольника АВ, и вычисления площади треугольника АВО с вершиной в начале координат О, через координаты вершин. При обходе вокруг многоугольника, образуются треугольники, включающие внутреннюю часть многоугольника и расположенные снаружи его. Разница между суммой этих площадей и есть площадь самого многоугольника.

Поэтому формула называется формулой геодезиста, так как «картограф» находится в начале координат; если он обходит участок против часовой стрелки, площадь добавляется если она слева и вычитается если она справа с точки зрения из начала координат. Формула площади действительна для любого самонепересекающегося (простого) многоугольника, который может быть выпуклым или вогнутым. Содержание

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Более сложный пример
• 4 Объяснение названия
• 5 См.

Площадь многоугольника

Внимание

Это может быть:

• треугольник;
• четырехугольник;
• пяти- или шестиугольник и так далее.

Такая фигура непременно будет характеризоваться двумя положениями:

1. Смежные стороны не принадлежат одной прямой.
2. У несмежных отсутствуют общие точки, то есть они не пересекаются.

Чтобы понять, какие вершины являются соседними, потребуется посмотреть, принадлежат ли они одной стороне. Если да, то соседние. В противном случае их можно будет соединить отрезком, который необходимо назвать диагональю. Их можно провести только в многоугольниках, у которых больше трех вершин.

Как найти площадь правильного и неправильного шестиугольника?

• Зная длину стороны, умножим её на 6 и получим периметр шестиугольника:10 см х 6 = 60 см
• Подставим полученные результаты в нашу формулу:
Площадь = 1/2*периметр*апофему Площадь = ½*60см*5√3 Решаем: Теперь осталось упростить ответ, чтобы избавиться от квадратных корней, а полученный результат укажем в квадратных сантиметрах: ½ * 60 см * 5√3 см =30 * 5√3 см =150 √3 см =259.8 см² Видео о том, как найти площадь правильного шестиугольника Существует несколько вариантов определения площади неправильного шестиугольника:

• Метод трапеции.
• Метод расчета площади неправильных многоугольников при помощи оси координат.
• Метод разбивания шестиугольника на другие фигуры.

В зависимости от исходных данных, которые вам будут известны, подбирается подходящий метод.

Важно

Некоторые неправильные шестиугольники состоят из двух параллелограммов. Для определения площади параллелограмма следует умножить его длину на ширину и затем сложить две уже известные площади. Видео о том, как найти площадь многоугольника Равносторонний шестиугольник имеет шесть равных сторон и является правильным шестиугольником.

Площадь равностороннего шестиугольника равняется 6 площадям треугольников, на которые разбита правильная шестиугольная фигура. Все треугольники в шестиугольнике правильной формы равны, поэтому для нахождения площади такого шестиугольника достаточно будет знать площадь хотя бы одного треугольника. Для нахождения площади равностороннего шестиугольника используется, конечно же, формула площади правильного шестиугольника, описанная выше.

404 not found

Украшение жилища, одежды, рисование картин способствовало процессу формирования и накопления сведений в области геометрии, которые люди тех времён добывали опытным путем, по крупицам и передавали из поколения в поколение. Сегодня знания геометрии необходимы и закройщику, и строителю, и архитектору и каждому простому человеку в быту. Поэтому нужно учиться рассчитывать площадь различных фигур, и помнить, что каждая из формул может пригодиться впоследствии на практике, в том числе, и формула правильного шестиугольника.
Шестиугольником называется такая многоугольная фигура, общее количество углов которой равно шести. Правильным шестиугольником называют шестиугольную фигуру, которая имеет равные стороны. Углы у правильного шестиугольника также между собой равны.
В повседневной жизни мы часто можем встретить предметы, имеющие форму правильного шестиугольника.

Калькулятор площади неправильного многоугольника по сторонам

Вам понадобится

• — рулетка;
• — электронный дальномер;
• — лист бумаги и карандаш;
• — калькулятор.

Инструкция 1 Если вам нужна общая площадь квартиры или отдельной комнаты, просто прочтите технический паспорт на квартиру или дом, там указан метраж каждого помещения и общий метраж квартиры. 2 Для измерения площади прямоугольной или квадратной комнаты возьмите рулетку или электронный дальномер и измерьте длину стен. При измерении расстояний дальномером обязательно следите за перпендикулярностью направления луча, иначе результаты замеров могут быть искажены. 3 Затем полученную длину (в метрах) комнаты умножьте на ширину (в метрах). Полученное значение и будет площадью пола, она измеряется в квадратных метрах.

Формула площади гаусса

Если требуется посчитать площадь пола более сложной конструкции, например, пятиугольной комнаты или комнаты с круглой аркой, схематично начертите эскиз на листе бумаги. Затем разделите сложную форму на несколько простых, например, на квадрат и треугольник или прямоугольник и полукруг. Измерьте при помощи рулетки или дальномера величину всех сторон получившихся фигур (для круга необходимо узнать диаметр) и занесите результаты на ваш чертеж.

5 Теперь посчитайте площадь каждой фигуры по отдельности. Площадь прямоугольников и квадратов высчитывайте перемножением сторон. Для расчета площади круга диаметр разделите пополам и возведите в квадрат (умножьте его на самого себя), затем умножьте полученное значение на 3,14.
Если вам нужна только половина круга, разделите полученную площадь пополам. Чтобы рассчитать площадь треугольника, найдите Р, для этого сумму всех сторон поделите на 2.

Формула расчета площади неправильного многоугольника

Если точки пронумерованы последовательно в направлении против часовой стрелки, то детерминанты в формуле выше положительны и модуль в ней может быть опущен; если они пронумерованы в направлении по часовой стрелке, детерминанты будут отрицательными. Это происходит потому, что формула может рассматриваться как частный случай теоремы Грина. Для применения формулы необходимо знать координаты вершин многоугольника в декартовой плоскости.

Для примера возьмём треугольник с координатами {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Возьмём первую х -координату первой вершины и умножим её на y -координату второй вершины, а затем умножим х второй вершины на y третьей. Повторим эту процедуру для всех вершин. Результат может быть определен по следующей формуле: A tri.

Формула расчета площади неправильного четырехугольника

A} _{\text{tri.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}|} где xi и yi обозначают соответствующую координату. Эту формулу можно получить, раскрыв скобки в общей формуле для случая n = 3. По этой формуле можно обнаружить, что площадь треугольника равна половине суммы 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, что даёт 3. Число переменных в формуле зависит от числа сторон многоугольника. Например, в формуле для площади пятиугольника будут использоваться переменные до x5 и y5: A pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | {\displaystyle \mathbf {A} _{\text{pent.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{5}+x_{5}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{5}y_{4}-x_{1}y_{5}|} A для четырехугольника - переменные до x4 и y4: A quad.

Площадь многоугольника. Друзья! К вашему вниманию пару задачек с многоугольником и вписанной в него окружностью. Существует формула, которой связывается радиус указанной окружности и периметр с площадью такого многоугольника. Вот она:

Как выводится эта формула? Просто!

Имеем многоугольник и вписанную окружность. *Рассмотрим вывод на примере пятиугольника. Разобьём его на треугольники (соединим центр окружности и вершины отрезками). Получается, что у каждого треугольника основание является стороной многоугольника, а высоты образованных треугольников равны радиусу вписанной окружности:

Используя формулу площади треугольника можем записать:

Вынесем общие множители:

Уверен, сам принцип вам понятен.

*При выводе формулы количество сторон взятого многоугольника не имеет значения. В общем виде вывод формулы выглядел бы так:

*Дополнительная информация!

Известна формула радиуса окружности вписанной в треугольник

Не трудно заметить, что она исходит из полученной нами формулы, посмотрите (a,b,c – это стороны треугольника):

27640. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.

Вычисляем:

Ещё пара задач с многоугольниками.

27930. Угол между стороной правильного n -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 54 0 . Найдите n .

Если угол между радиусом окружности и стороной многоугольника равен 54 0 , то угол между сторонами многоугольника будет равен 108 0 . Тут необходимо вспомнить формулу угла правильного многоугольника:

Остаётся подставить в формулу значение угла и вычислить n:

27595. Периметры двух подобных многоугольников относятся как 2:7. Площадь меньшего многоугольника равна 28. Найдите площадь большего многоугольника.

Здесь нужно вспомнить о том, что если линейные размеры фигуры увеличивается в k раз, то площадь фигуры увеличивается в k 2 раз. *Свойство подобия фигур.

Периметр большего многоугольника больше периметра меньшего в 7/2 раза, значит площадь увеличилась в (7/2) 2 раза. Таким образом, площадь большего многоугольника равна.

Урок из серии «Геометрические алгоритмы »

Здравствуйте, дорогой читатель.

Решения многих задач вычислительной геометрии основывается на нахождении площади многоугольника . На этом уроке мы выведем формулу для вычисления площади многоугольника через координаты его вершин, напишем функцию для вычисления этой площади.

Задача. Вычислить площадь многоугольника , заданного координатами своих вершин, в порядке их обхода по часовой стрелке.

Сведения из вычислительной геометрии

Для вывода формулы площади многоугольника нам понадобятся сведения из вычислительной геометрии, а именно, понятие ориентированной площади треугольника.

Ориентированная площадь треугольника – это обычная площадь, снабженная знаком. Знак ориентированной площади треугольника АВС такой же, как у ориентированного угла между векторами и . То есть ее знак зависит от порядка перечисления вершин.

На рис. 1 треугольник АВС – прямоугольный. Его ориентированная площадь равна (она больше нуля, так как пара , ориентирована положительно). Эту же величину можно вычислить другим способом.

Пусть О – произвольная точка плоскости. На нашем рисунке площадь треугольника ABC получится, если из площади треугольника OBC вычесть площади OAB и OCA. Таким образом, нужно просто сложить ориентированные площади треугольников OAB, OBC и OCA. Это правило работает при любом выборе точки О .

Точно так же для вычисления площади любого многоугольника нужно сложить ориентированные площади треугольников

В сумме получится площадь многоугольника, взятая со знаком плюс, если при обходе ломаной многоугольника находится слева (обход границы против часовой стрелки), и со знаком минус, если он находится справа (обход по часовой стрелке).

Итак, вычисление площади многоугольника свелось к нахождению площади треугольника. Посмотрим, как выразить ее в координатах.

Векторное произведение двух векторов на плоскости есть площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

Векторное произведение, выраженное через координаты векторов:

Площадь треугольника будет равна половине этой площади:

В качестве точки О удобно взять начало координат, тогда координаты векторов, на основании которых вычисляются ориентированные площади, совпадут с координатами точек.

Пусть (х 1 , y 1), (x 2 , у 2), …, (х N ,у N) - координаты вершин заданного многоугольника в порядке обхода по или против часовой стрелки. Тогда его ориентированная площадь S будет равна:

Это и есть наша рабочая формула, она используется в нашей программе.

Если координаты вершин были заданы в порядке обхода против часовой стрелки, то число S, вычисленное по этой формуле, получится положительным. В противном случае оно будет отрицательным, и для получения обычной геометрической площади нам необхо­димо взять его абсолютное значение.

Итак, рассмотрим программу для нахождения площади многоугольника, заданного координатами вершин.

Program geom6; Const n_max=200; {максимальное количество точек+1} type b=record x,y:real; end; myArray= array of b; var input:text; A:myArray; s:real; i,n:integer; procedure ZapMas(var n:integer; var A:myArray); {Заполнение массива } begin assign(input,"input.pas"); reset(input); readln(input, n); for i:=1 to n do read(input, a[i].x,a[i].y); close(input); end; function Square (A:myarray): real; {Вычисление площади многоугольника} var i:integer; S: real; begin a.x:=a.x; a.y:=a.y; s:=0; for i:=1 to n do s:= s + (a[i].x*a.y - a[i].y*a.x); s:=abs(s/2); Square:= S end; {Square} begin {main} Zapmas(n, a); PrintMas(a); S:= Square(a); writeln("S= ",s:6:2); end.

Координаты вершин считывается из файла input.pas., хранятся в массиве А в виде записей с двумя полями. Для удобства обхода многоугольника в массиве вводится n+1 элемент, значение которого равно значению первого элемента массива.