Классификация проекций вектора.

«Вектор геометрия» - 4. Операции над векторами. Содержание: Зная следующие формулы можно найти координаты вектора {x2-x1;y2-y1}, или {x2-x1;y2-y1;z2-z1}. 2. Что такое вектор? Практика – абстрактная теория - интерпретация результатов – практические. 8. Заключение. Введём ещё одно действие над векторами – скалярное умножение векторов.

«Векторы» - Произведение вектора на число. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ (правило параллелограмма). Начало. Тема: Сумма двух векторов: Сумма нескольких векторов: Противоположно направленные векторы -. Разность векторов: Умножение вектора на число. Вектор -. Дан вектор: Сонаправленные векторы -. Геометрия-9. Равные векторы -.

«Векторы в пространстве» - (k + l) a = ka + la - 2-ой распределительный закон. k (a+b) = ka + kb - 1-ый распределительный закон. Умножение вектора на число. Сонаправленные векторы. Геометрия. Начало вектора. (a+b)+c=a+ (b+c) (сочетательный закон). Коллинеарные векторы. Вектор - это направленный отрезок. Векторы в пространстве.

«Координаты вектора» - 2. Свойства координат вектора. A(3; 2). Координаты вектора. 2. Координаты разности векторов равны разности соответствующих координат. 1. Координаты вектора. 1. Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат.

«Действия над векторами» - Урок изучения нового материала. Вычитание векторов. Сложение векторов. Вектор – это отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом. Изучение правил сложения и вычитания векторов. Геометрия. Правило параллелограмма. Векторы. Правило треугольника. Тема: «Векторы».

«Вектор решение задач» - Применение векторов к решению задач (ч.1). BE: EC = 3: 1. K – середина DC. № 1 Выразить векторы ВС, CD, AC, OC, OA через векторы а и b. Выразить векторы AM, DA, CA, MB, CD через вектор a и вектор b. Выразить векторы AE, AK, KE через векторы а и b. СР: PD = 2: 3; AK: KD = 1: 2. Выразить векторы СК, РК через векторы а и b.

Начиная с 10, вроде, класса, в физике появляются более сложные, но интересные задачи. Иногда это бывает и раньше, иногда - никогда. НО задачам на разложение сил нужно уделить внимание, так как они хорошо приближены к реальности, ну на сколько это возможно для школьника.
Скажу сразу: научиться их решать можно только на практике. Без нее вы ничего не сможете сделать.

-
-

Начнем с основ: разложение силы по осям координат.

-
-
На рисунке красным отмечен вектор силы F. Он идет под некоторым углом альфа к оси координат ох. (Оси ортогональны друг другу, значит ось оу идет под углом 90 градусов к оси ох.)
Fx - проекция силы F на ось ох.
Fy - проекция силы на ось оу.
Что такое проекция ? Чтобы в этом разобраться нужно хорошее пространственное воображение. Чтобы увидеть, что такое проекция вектора F на ось ох, вам придется стать самОй осью ох и посмотреть на вектор. Но если у вас не выходит, просто проведите перпендикуляр от оси к концу вектора.

Чтобы посчитать значения векторов, нужно рассматривать треугольники, образованные вектором, осью координат и перпендикуляром. Но в основном дальнейшие действия остаются такими же туманными, так как, для начала, нужно разобраться с понятиями синуса, косинуса и тд.
Для этого рассмотрим обычный прямоугольный треугольник. Я не буду объяснять окружность единичного радиуса и прочее, для определения этих понятий. Надеюсь, что вы это знаете.
- -
Угол С - прямой.
Рассмотрим угол А и напишем все тригонометрические функции для него.
Синус угла - это отношение противолежащей углу стороны к гипотенузе. Следовательно:
sin A = BC/AB
Косинус угла - это отношение прилежащей к углу стороны к гипотенузе.
cos A = AC/AB
Тангенс угла - это отношение противолежащей стороны, в прилежащей.
tg A = BC/AC
Котангенс угла - отношение прилежащей стороны к противолежащей.
ctg A = AC/BC

Прочитайте определения и сверьте формулы с рисунком. Дела обстоят именно так. Можете самостоятельно написать синусы и всё остальное для угла В. Проверю, если надо.

Вернемся к нашей силе. Я обозначил на рисунке вершины.
-
-
Вы должны ясно видеть, что треугольники ACO и ABO - одинаковые.
AB=CO=Fy
AC=BO=Fx
AO=F
Угол AOB = углу OAC (вспомните секущую параллельных прямых) = альфа (ее я буду обозначать а).
А теперь выводим проекции.
sin a = AB/OA = Fy/F => Fy = F * sin a
cos a = OB/OA = Fx/F => Fx = F * cos a

Теперь о плане действий :
1) Нарисовать рисунок и отобразить на нем все силы. Обозначить направление скорости и ускорения.
2) Направить оси координат.
3) Написать равнодействующую сил.
4) Разложить силы на координаты.

Какие силы/понятия будут использоваться:
ma - равнодействующая сил. Не забывайте, что из нее можно выводить ускорение.
mg - сила тяжести.
N - сила реакции опоры. она НЕ противоположна силе тяжести, но перпендикулярна поверхности ака площади соприкосновения.
Fтр=MN - сила трения, где M - коэффициент трения, N - сила реакции опоры.
F - обычно обозначают силу тяги, без лишних букв.
T - сила натяжения нити. Ее находят только по третьему закону Ньютона.
Fупр=kx - сила упругости, где k - коэффициент жесткости, x - растяжение.
Вроде всё.

При решении задач нужно очень ясно представлять себе тип движения и его особенность.
Равномерное - ускорение равно нулю.
Равноускоренное - есть ускорение, оно может иметь направление противоположное скорости (равнозамедленное).
Свободное падение - ускорение равно g и направлено вниз.
Круговое - ускорение направлено в центр круга и равно v^2/R.
Дальше сами смотрите, но я воде пытаюсь рассмотреть все варианты.

Располагайте оси координат так, чтобы было удобно решать и не тонуть в синусах/косинусах.
Ось ох лучше направлять по направлению движения тела. Сами потом убедитесь.

Вот собственно и вся теория. Дело остается только за умением использовать полученные знания.

Рассмотрим силы, действующие на тела в разных ситуациях. Во всех условиях заданы массы, коэффициенты трения и т. д. Нам важнее разобраться с построением сил.

1. Тело тянут по горизонтальной шероховатой поверхности.
-
-
Рисунок нарисован, силы отмечены. Составляем уравнение равнодействующей сил:
ma=mg+N+F+Fтр (учитывая, что все силы, написанные тут - вектора.)
Раскладываем на оси:
ox: ma=F-Fтр
oy: 0=N-mg
Ну я надеюсь, что все понимают как знаки ставить =_= Совпадает с направлением оси - плюс. Противоположен - минус.
Немного поиграемся формулами:
N=mg
Fтр=MN=Mmg
Можно выводить что угодно.

Но где же синусы и косинусы спросите вы? Ок.

2. Тело скользит по плоскости, наклоненной к горизонту на альфа градусов.
-
-
Тело скользит под действием силы тяжести. Никакой силы тяги тут нет.
ma = N + Fтр + mg
Зато, при разложении на оси мы заметим, что сила тяжести распадается на 2 составляющие (см на рисунке: красный вектор - Fx, зеленый вектор - Fy).
ox: ma = mg * sin a - Fтр
oy: 0 = N - mg * cos a

Всё еще не понимаете как раскладывать силу на составляющие? Рассмотрим данный случай:
на рисунке отмечен угол альфа в маленьком треугольнике силы тяжести. Составим синус и косинус:
sin a = Fx/F => Fx=F * sin a = mg * sin a
cos a = Fy/F - дальше ясно?

Обычно, разложить силы - это только первый шаг. Дальше нужно решить саму задачу, а для этого иногда включаются и другие знания и формулы. Хотя...

Задачи для решения:
-
-
-
-
-
-
- -

Я дам наводки в некоторых:
11.2. С какой силой опора давит на груз, с такой и груз давит на опору. Вся задача заключается в том, чтобы найти N - силу реакции опоры и разложить ее по осям: что давит на вертикальную стенку, что на вертикальную. НО не забывайте, что на сам клин действует сила тяжести и сила реакции опоры, которая направлена вверх и равна по значению Mg. На силу давления по оси ох это не влияет. Но чтобы найти силу давления по оу нужно будет по теореме косинусов найти равнодействующую N1 и N2. Если не ясно - просите объяснение получше.
Далее еще не решил. Давайте решать вместе.

Задавайте вопросы, пробуйте решать, просите задачи полегче и их решения/способы решения, просите решать задачи на другие типы движения/систем (отличные от 1 и 2 примера).


Категории:

Прямоугольная система координат на плоскости задаётся двумя взаимно перпендикулярными прямыми. Прямые называют осями координат (или координатными осями). Точку пересечения этих прямых называют началом отсчёта и обозначают буквой O.

Обычно одна из прямых горизонтальна, другая — вертикальна. Горизонтальную прямую обозначают как ось x (или Ox) и называют осью абсцисс, вертикальную — ось y (Oy), называют осью ординат. Всю систему координат обозначают xOy.

Точка O разбивает каждую из осей на две полуоси, одну из из которых считают положительной (её обозначают стрелкой), другую — отрицательной.

Каждой точке F плоскости ставится в соответствие пара чисел (x;y) — её координаты.

Координата x называется абсциссой. Она равна Ox, взятому с соответствующим знаком.

Координата y называется ординатой и равна расстоянию от точки F до оси Oy (с соответствующим знаком).

Расстояния до осей обычно (но не всегда) измеряют одной и той же единицей длины.

Точки, расположенные справа от оси y, имеют положительные абсциссы. У точек, которые лежат левее оси ординат, абсциссы отрицательны. Для любой точки, лежащей на оси Oy, её координата x равна нулю.

Точки с положительной ординатой лежат выше оси x, с отрицательной — ниже. Если точка лежит на оси Ox, её координата y равна нулю.

Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, которые называют координатными четвертями (или координатными углами или квадрантами).

1 координатная четверть расположена в правом верхнем углу координатной плоскости xOy. Обе координаты точек, расположенных в I четверти, положительны.

Переход от одной четверти к другой ведётся против часовой стрелки.

2 координатная четверть находится в левом верхнем углу. Точки, лежащие во II четверти, имеют отрицательную абсциссу и положительную ординату.

3 координатная четверть лежит в левом нижнем квадранте плоскости xOy. Обе координаты точек, принадлежащей III координатному углу, отрицательны.

4 координатная четверть — это правый нижний угол координатной плоскости. Любая точка из IV четверти имеет положительную первую координату и отрицательную вторую.

Пример расположения точек в прямоугольной системе координат:

Упорядоченная система двух или трёх пересекающихся перпендикулярных друг другу осей с общим началом отсчёта (началом координат) и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат .

Общая декартова система координат (аффинная система координат ) может включать и не обязательно перпендикулярные оси. В честь французского математика Рене Декарта (1596-1662) названа именно такая система координат, в которой на всех осях отсчитывается общая единица длины и оси являются прямыми.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости имеет две оси, а прямоугольная декартова система координат в пространстве - три оси. Каждая точка на плоскости или в пространстве определяется упорядоченным набором координат - чисел в соответствии единице длины системы координат.

Заметим, что, как следует из определения, существует декартова система координат и на прямой, то есть в одном измерении. Введение декартовых координат на прямой представляет собой один из способов, с помощью которого любой точке прямой ставится в соответствие вполне определённое вещественное число, то есть координата.

Метод координат, возникший в работах Рене Декарта, ознаменовал собой революционную перестройку всей математики. Появилась возможность истолковывать алгебраические уравнения (или неравенства) в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул, систем уравнений. Так, неравенство z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy и находящейся выше этой плоскости на 3 единицы.

С помощью декартовой системы координат принадлежность точки заданной кривой соответствует тому, что числа x и y удовлетворяют некоторому уравнению. Так, координаты точки окружности с центром в заданной точке (a ; b ) удовлетворяют уравнению (x - a )² + (y - b )² = R ² .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости . Одна из этих осей называется осью Ox , или осью абсцисс , другую - осью Oy , или осью ординат . Эти оси называются также координатными осями. Обозначим через M x и M y соответственно проекции произвольной точки М на оси Ox и Oy . Как получить проекции? Проведём через точку М Ox . Эта прямая пересекает ось Ox в точке M x . Проведём через точку М прямую, перпендикулярную оси Oy . Эта прямая пересекает ось Oy в точке M y . Это показано на рисунке ниже.

x и y точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков OM x и OM y . Величины этих направленных отрезков рассчитываются соответственно как x = x 0 - 0 и y = y 0 - 0 . Декартовы координаты x и y точки М абсциссой и ординатой . Тот факт, что точка М имеет координаты x и y , обозначается так: M (x , y ) .

Координатные оси разбивают плоскость на четыре квадранта , нумерация которых показана на рисунке ниже. На нём же указана расстановка знаков координат точек в зависимости от их расположения в том или ином квадранте.

Помимо декартовых прямоугольных координат на плоскости часто рассматривается также полярная система координат. О способе перехода от одной системы координат к другой - в уроке полярная система координат .

Прямоугольная декартова система координат в пространстве

Декартовы координаты в пространстве вводятся в полной аналогии с декартовыми координатами на плоскости.

Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (координатные оси) с общим началом O и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве .

Одну из указанных осей называют осью Ox , или осью абсцисс , другую - осью Oy , или осью ординат , третью - осью Oz , или осью аппликат . Пусть M x , M y M z - проекции произвольной точки М пространства на оси Ox , Oy и Oz соответственно.

Проведём через точку М Ox Ox в точке M x . Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oy . Эта плоскость пересекает ось Oy в точке M y . Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oz . Эта плоскость пересекает ось Oz в точке M z .

Декартовыми прямоугольными координатами x , y и z точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков OM x , OM y и OM z . Величины этих направленных отрезков рассчитываются соответственно как x = x 0 - 0 , y = y 0 - 0 и z = z 0 - 0 .

Декартовы координаты x , y и z точки М называются соответственно её абсциссой , ординатой и аппликатой .

Попарно взятые координатные оси располагаются в координатных плоскостях xOy , yOz и zOx .

Задачи о точках в декартовой системе координат

Пример 1.

A (2; -3) ;

B (3; -1) ;

C (-5; 1) .

Найти координаты проекций этих точек на ось абсцисс.

Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс расположена на самой оси абсцисс, то есть оси Ox , а следовательно имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, и ординату (координату на оси Oy , которую ось абсцисс пересекает в точке 0), равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось абсцисс:

A x (2; 0) ;

B x (3; 0) ;

C x (-5; 0) .

Пример 2. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A (-3; 2) ;

B (-5; 1) ;

C (3; -2) .

Найти координаты проекций этих точек на ось ординат.

Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось ординат расположена на самой оси ординат, то есть оси Oy , а следовательно имеет ординату, равную ординате самой точки, и абсциссу (координату на оси Ox , которую ось ординат пересекает в точке 0), равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось ординат:

A y (0; 2) ;

B y (0; 1) ;

C y (0; -2) .

Пример 3. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A (2; 3) ;

B (-3; 2) ;

C (-1; -1) .

Ox .

Ox Ox Ox , будет иметь такую же абсциссу, что и данная точка, и ординату, равную по абсолютной величине ординате данной точки, и противоположную ей по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Ox :

A" (2; -3) ;

B" (-3; -2) ;

C" (-1; 1) .

Решить задачи на декартову систему координат самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 4. Определить, в каких квадрантах (четвертях, рисунок с квадрантами - в конце параграфа "Прямоугольная декартова система координат на плоскости") может быть расположена точка M (x ; y ) , если

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − y = 0 ;

4) x + y = 0 ;

5) x + y > 0 ;

6) x + y < 0 ;

7) x − y > 0 ;

8) x − y < 0 .

Пример 5. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A (-2; 5) ;

B (3; -5) ;

C (a ; b ) .

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy .

Продолжаем решать задачи вместе

Пример 6. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A (-1; 2) ;

B (3; -1) ;

C (-2; -2) .

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy .

Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг оси Oy направленный отрезок, идущий от оси Oy до данной точки. На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oy , будет иметь такую же ординату, что и данная точка, и абсциссу, равную по абсолютной величине абсциссе данной точки, и противоположную ей по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy :

A" (1; 2) ;

B" (-3; -1) ;

C" (2; -2) .

Пример 7. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A (3; 3) ;

B (2; -4) ;

C (-2; 1) .

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат.

Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг начала координат направленный отрезок, идущий от начала координат к данной точке. На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно начала координат, будет иметь абсциссу и ординату, равные по абсолютной величине абсциссе и ординате данной точки, но противоположные им по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат:

A" (-3; -3) ;

B" (-2; 4) ;

C (2; -1) .

Пример 8.

A (4; 3; 5) ;

B (-3; 2; 1) ;

C (2; -3; 0) .

Найти координаты проекций этих точек:

1) на плоскость Oxy ;

2) на плоскость Oxz ;

3) на плоскость Oyz ;

4) на ось абсцисс;

5) на ось ординат;

6) на ось апликат.

1) Проекция точки на плоскость Oxy расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет абсциссу и ординату, равные абсциссе и ординате данной точки, и апликату, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxy :

A xy (4; 3; 0) ;

B xy (-3; 2; 0) ;

C xy (2; -3; 0) .

2) Проекция точки на плоскость Oxz расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет абсциссу и апликату, равные абсциссе и апликате данной точки, и ординату, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxz :

A xz (4; 0; 5) ;

B xz (-3; 0; 1) ;

C xz (2; 0; 0) .

3) Проекция точки на плоскость Oyz расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет ординату и апликату, равные ординате и апликате данной точки, и абсциссу, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oyz :

A yz (0; 3; 5) ;

B yz (0; 2; 1) ;

C yz (0; -3; 0) .

4) Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс расположена на самой оси абсцисс, то есть оси Ox , а следовательно имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, а ордината и апликата проекции равны нулю (поскольку оси ординат и апликат пересекают ось абсцисс в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось абсцисс:

A x (4; 0; 0) ;

B x (-3; 0; 0) ;

C x (2; 0; 0) .

5) Проекция точки на ось ординат расположена на самой оси ординат, то есть оси Oy , а следовательно имеет ординату, равную ординате самой точки, а абсцисса и апликата проекции равны нулю (поскольку оси абсцисс и апликат пересекают ось ординат в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось ординат:

A y (0; 3; 0) ;

B y (0; 2; 0) ;

C y (0; -3; 0) .

6) Проекция точки на ось апликат расположена на самой оси апликат, то есть оси Oz , а следовательно имеет апликату, равную апликате самой точки, а абсцисса и ордината проекции равны нулю (поскольку оси абсцисс и ординат пересекают ось апликат в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось апликат:

A z (0; 0; 5) ;

B z (0; 0; 1) ;

C z (0; 0; 0) .

Пример 9. В декартовой системе координат в пространстве даны точки

A (2; 3; 1) ;

B (5; -3; 2) ;

C (-3; 2; -1) .

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно:

1) плоскости Oxy ;

2) плоскости Oxz ;

3) плоскости Oyz ;

4) оси абсцисс;

5) оси ординат;

6) оси апликат;

7) начала координат.

1) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oxy Oxy , будет иметь абсциссу и ординату, равные абсциссе и ординате данной точки, и апликату, равную по величине апликате данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oxy :

A" (2; 3; -1) ;

B" (5; -3; -2) ;

C" (-3; 2; 1) .

2) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oxz на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oxz , будет иметь абсциссу и апликату, равные абсциссе и апликате данной точки, и ординату, равную по величине ординате данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oxz :

A" (2; -3; 1) ;

B" (5; 3; 2) ;

C" (-3; -2; -1) .

3) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oyz на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oyz , будет иметь ординату и апликату, равные ординате и апликате данной точки, и абсциссу, равную по величине абсциссе данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oyz :

A" (-2; 3; 1) ;

B" (-5; -3; 2) ;

C" (3; 2; -1) .

По аналогии с симметричными точками на плоскости и точками пространства, симметричными данным относительно плоскостей, замечаем, что в случае симметрии относительно некоторой оси декартовой системы координат в пространстве, координата на оси, относительно которой задана симметрия, сохранит свой знак, а координаты на двух других осях будут теми же по абсолютной величине, что и координаты данной точки, но противоположными по знаку.

4) Свой знак сохранит абсцисса, а ордината и апликата поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси абсцисс:

A" (2; -3; -1) ;

B" (5; 3; -2) ;

C" (-3; -2; 1) .

5) Свой знак сохранит ордината, а абсцисса и апликата поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси ординат:

A" (-2; 3; -1) ;

B" (-5; -3; -2) ;

C" (3; 2; 1) .

6) Свой знак сохранит апликата, а абсцисса и ордината поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси апликат:

A" (-2; -3; 1) ;

B" (-5; 3; 2) ;

C" (3; -2; -1) .

7) По аналогии с симметрии в случае с точками на плоскости, в случае симметрии относительно начала координат все координаты точки, симметричной данной, будут равными по абсолютной величине координатам данной точки, но противоположными им по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно начала координат.

Похожие публикации