Кусочно непрерывная функция пример. Неявное задание функции

Графики кусочно – заданных функций

Мурзалиева Т.А. учитель математики МБОУ «Борская средняя общеобразовательная школа» Бокситогорский район Ленинградская область

Цель:

• освоить метод линейного сплайна для построения графиков, содержащих модуль;
• научиться применять его в простых ситуациях.

Под сплайном (от англ. spline - планка, рейка) обычно понимают кусочно-заданную функцию.

Такие функции были известны математикам давно, начиная еще с Эйлера (1707-1783г.,швейцарский, немецкий и российский математик), но их интенсивное изучение началось, фактически, только в середине XX века.

В 1946 году Исаак Шёнберг (1903- 1990г., румынский и американский математик) впервые употребил этот термин. С 1960 года с развитием вычислительной техники началось использование сплайнов в компьютерной графике и моделировании.

1 . Введение

2. Определение линейного сплайна

3. Определение модуля

4. Построение графиков

5. Практическая работа

Одно из основных назначений функций – описание реальных процессов, происходящих в природе.

Но издавна ученые – философы и естествоиспытатели выделяли два типа протекания процессов: постепенное ( непрерывное ) и скачкообразное.

При падении тела на землю сначала происходит непрерывное нарастание скорости движения , а в момент столкновения с поверхностью земли скорость изменяется скачкообразно , становясь равной нулю или меняя направление (знак) при «отскоке» тела от земли (например, если тело – мяч).

Но раз есть разрывные процессы, то необходимы средства их описаний. С этой целью вводятся в действие функции, имеющие разрывы .

• Один из способов введения таких разрывов следующий:

Пусть функция y = f(x)

при x определена формулой y = g(x),

а при xa - формулой y = h(x), причем будем считать , что каждая из функций g(x) и h(x) определена для всех значений х и разрывов не имеет.

Тогда , если g(a) = h(a), то функция f(x) имеет при х=а скачок;

если же g(a) = h(a) = f(a), то «комбинированная» функция f разрывов не имеет. Если обе функции g и h элементарные, то f называется кусочно–элементарной.

Графики непрерывных функций

Построить график функции:

У = |X-1| + 1

Х=1 –точка смены формул

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера».

Модулем числа а называется расстояние (в единичных отрезках ) от начала координат до точки А (а) .

Это определение раскрывает геометрический смысл модуля.

Модулем (абсолютной величиной ) действительного числа а называется то самое число а ≥ 0, и противоположное число –а , если а

Построить график функции у = 3|х|-2.

По определению модуля, имеем: 3х – 2 при х0 или х=0

-3х -2 при х

. Пусть заданы х 1 х 2 х n – точки смены формул в кусочно-элементарных функциях.

Функция f, определенная при всех х, называется кусочно-линейной, если она линейна на каждом интервале

и к тому же выполнены условия согласования, то есть в точках смены формул функция не терпит разрыв.

Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном . Её график есть ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (отвечающим значениям x n ) и правым ( отвечающим значениям x x n )

Кусочно-элементарная функция может быть определена более чем двумя формулами

График – ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (х1).

У=|x| - |x – 1|

Точки смены формул: х=0 и х=1.

У(0)=-1, у(1)=1.

График кусочно-линейной функции удобно строить, указывая на координатной плоскости вершины ломаной.

Кроме построения n вершин следует построить также две точки : одну левее вершины A 1 ( x 1; y ( x 1)), другую – правее вершины An ( xn ; y ( xn )).

Заметим, что разрывную кусочно-линейную функцию нельзя представить в виде линейной комбинации модулей двучленов .

Построить график функции у = х+ |x -2| - |X|.

Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном

1.Точки смены формул: Х-2=0, Х=2 ; Х=0

2.Составим таблицу:

У(0 )= 0+|0-2|-|0|=0+2-0= 2 ;

у(2 )=2+|2-2|-|2|=2+0-2= 0 ;

у (-1 )= -1+|-1-2| - |-1|= -1+3-1= 1 ;

у(3 )=3+|3-2| - |3|=3+1-3= 1 .

Построить график функции у = |х+1| +|х| – |х -2|.

1 .Точки смены формул:

х+1=0, х=-1 ;

х=0 ; х-2=0, х=2.

2 . Составим таблицу:

y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;

y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;

y(0)=1+0-2=-1;

y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;

y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6.

|x – 1| = |x + 3|

Решите уравнение:

Решение. Рассмотрим функцию y = |x -1| - |x +3|

Построим график функции /методом линейного сплайна/

• Точки смены формул:

х -1 = 0, х = 1; х + 3 =0, х = - 3.

2. Составим таблицу:

y(- 4) =|- 4–1| - |- 4+3| =|- 5| - | -1| = 5-1=4;

y( -3 )=|- 3-1| - |-3+3|=|-4| = 4;

y( 1 )=|1-1| - |1+3| = - 4 ;

y(-1) = 0.

y(2)=|2-1| - |2+3|=1 – 5 = - 4.

Ответ: -1.

1. Построить графики кусочно-линейных функций методом линейного сплайна:

у = |x – 3| + |x|;

1). Точки смены формул:

2). Составим таблицу:

2. Построить графики функций, используя УМК «Живая математика »

А) у = |2x – 4| + |x +1|

1) Точки смены формул:

2) y() =

Б) Постройте графики функций, установите закономерность :

a) у = |х – 4| б) y = |x| +1

y = |x + 3| y = |x| - 3

y = |x – 3| y = |x| - 5

y = |x + 4| y = |x| + 4

Используйте инструменты «Точка», «Отрезок», «Стрелка» на панели инструментов.

1. Меню «Графики».

2. Вкладка «Построить график».

.3. В окне «Калькулятор» задать формулу.

Постройте график функции:

1) У = 2х + 4

1. Козина М.Е. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. – Волгоград: Учитель, 2006.

2. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 7 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2011

3. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2011

4. ВикипедиЯ свободная энциклопедия

http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline

Реальные процессы, происходящие в природе, можно описать с помощью функций. Так, можно выделить два основных типа течения процессов, противоположных друг другу – это постепенное или непрерывное и скачкообразное (примером может служить падение мяча и его отскок). Но если есть разрывные процессы, то существуют и специальные средства для их описания. С этой целью вводятся в обращение функции, имеющие разрывы, скачки, то есть на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам и, соответственно, задается разными формулами. Вводятся понятия точек разрыва, устранимого разрыва.

Наверняка вам уже встречались функции, заданные несколькими формулами, в зависимости от значений аргумента, например:

y = {x – 3, при x > -3;
{-(x – 3), при x < -3.

Такие функции называются кусочными или кусочно-заданными . Участки числовой прямой с различными формулами задания, назовем составляющими область определения. Объединение всех составляющих является областью определения кусочной функции. Те точки, которые делят область определения функции на составляющие, называются граничными точками . Формулы, определяющие кусочную функцию на каждой составляющей области определения, называются входящими функциями . Графики кусочно-заданных функций получаются в результате объединения частей графиков, построенных на каждом из промежутков разбиения.

Упражнения.

Построить графики кусочных функций:

1) {-3, при -4 ≤ x < 0,
f(x) = {0, при x = 0,
{1, при 0 < x ≤ 5.

График первой функции – прямая, проходящая через точку y = -3. Она берет свое начало в точке с координатами (-4; -3), идет параллельно оси абсцисс до точки с координатами (0; -3). График второй функции – точка с координатами (0; 0). Третий график аналогичен первому – это прямая, проходящая через точку y = 1, но уже на участке от 0 до 5 по оси Ох.

Ответ: рисунок 1.

2) {3, если x ≤ -4,
f(x) = {|x 2 – 4|x| + 3|, если -4 < x ≤ 4,
{3 – (x – 4) 2 , если x > 4.

Рассмотрим отдельно каждую функцию и построим ее график.

Так, f(x) = 3 – прямая, параллельная оси Ох, но изображать ее нужно только на участке, где x ≤ -4.

График функции f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| может быть получен из параболы y = x 2 – 4x + 3. Построив ее график, часть рисунка, которая лежит над осью Ox, необходимо оставить без изменений, а часть, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отобразить относительно оси Ox. Затем симметрично отобразить часть графика, где
x ≥ 0 относительно оси Oy для отрицательных x. Полученный в результате всех преобразований график оставляем только на участке от -4 до 4 по оси абсцисс.

График третьей функции – парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами (4; 3). Чертеж изображаем только на участке, где x > 4.

Ответ: рисунок 2.

3) {8 – (x + 6) 2 , если x ≤ -6,
f(x) = {|x 2 – 6|x| + 8|, если -6 ≤ x < 5,
{3, если x ≥ 5.

Построение предлагаемой кусочной-заданной функции аналогично предыдущему пункту. Здесь графики первых двух функций получаются из преобразований параболы, а график третьей – прямая, параллельная Ох.

Ответ: рисунок 3.

4) Построить график функции y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .

Решение. Область определения данной функции – все действительные числа, кроме нуля. Раскроем модуль. Для этого рассмотрим два случая:

1) При x > 0 получим y = x – x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

2) При x < 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .

Таким образом, перед нами кусочно-заданная функция:

y = {(x – 2) 2 , при x > 0;
{ x 2 + 2x, при x < 0.

Графики обоих функций – параболы, ветви которых направлены вверх.

Ответ: рисунок 4.

5) Построить график функции y = (x + |x|/x – 1) 2 .

Решение.

Легко видеть, что областью определения функции являются все действительные числа, кроме нуля. После раскрытия модуля получим кусочно-заданную функцию:

1) При x > 0 получим y = (x + 1 – 1) 2 = x 2 .

2) При x < 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

Перепишем.

y = {x 2 , при x > 0;
{(x – 2) 2 , при x < 0.

Графики этих функций – параболы.

Ответ: рисунок 5.

6) Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?

Решение.

Да, существует.

Примером может быть функция f(x) = x 3 . Действительно, с вертикальной прямой х = а график кубической параболы пересекается в точке (а; а 3). Пусть теперь прямая задана уравнением y = kx + b. Тогда уравнение
x 3 – kx – b = 0 имеет действительный корень х 0 (так как многочлен нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень). Следовательно, график функции пересекается с прямой y = kx + b, например, в точке (х 0 ; х 0 3).

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Непрерывность и построение графиков кусочно-заданных функций – сложная тема. Учиться строить графики лучше непосредственно на практическом занятии. Здесь в основном показано исследование на непрерывность.

Известно, что элементарная функция (см. с. 16) непрерывна во всех точках, в которых определена. Поэтому нарушение непрерывности у элементарных функций возможно только в точках двух типов:

а) в точках, где функция «переопределяется»;

б) в точках, где функция не существует.

Соответственно только такие точки и проверяются при исследовании на непрерывность, что показано в примерах.

Для неэлементарных функций исследование сложнее. Например, функция (целая часть числа) определена на всей числовой оси, но терпит разрыв при каждом целомx . Подобные вопросы выходят за рамки пособия.

Перед изучением материала следует повторить по лекции или учебнику, какими (какого рода) бывают точки разрыва.

Исследование кусочно-заданных функций на непрерывность

Функция задана кусочно , если она на разных участках области определения задаётся разными формулами.

Основная идея при исследовании таких функций – выяснить, задана ли функция в тех точках, в которых переопределяется, и как. Затем проверяется, совпадают ли значения функции слева и справа от таких точек.

Пример 1. Покажем, что функция
непрерывна.

Функция
элементарна и потому непрерывна в тех точках, в которых определена. Но, очевидно, она определена во всех точках. Следовательно, во всех точках она и непрерывна, в том числе при
, как требует условие.

То же справедливо для функции
, и при
она непрерывна.

В таких случаях непрерывность может нарушаться только там, где функция переопределяется. В нашем примере это точка
. Проверим её, для чего найдём пределы слева и справа:

Пределы слева и справа совпадают. Остаётся узнать:

а) определена ли функция в самой точке
;

б) если да, то совпадает ли
со значениями пределов слева и справа.

По условию, если
, то
. Поэтому
.

Видим, что (все равны числу 2). Это означает, что в точке
функция непрерывна . Итак, функция непрерывна на всей оси, включая точку
.

Замечания к решению

а) При вычислениях не играло роли, подставляем мы в конкретную формулу число
или
. Обычно это важно, когда получается деление на бесконечно малую величину, поскольку влияет на знак бесконечности. Здесь же
и
отвечают только завыбор функции;

б) как правило, обозначения
и
равноправны, то же касается обозначений
и
(и справедливо для любой точки, а не только для
). Дальше для краткости применяются обозначения вида
;

в) когда пределы слева и справа равны, для проверки на непрерывность фактически остаётся посмотреть, будет ли одно из неравенств нестрогим . В примере таковым оказалось 2-е неравенство.

Пример 2. Исследуем на непрерывность функцию
.

По тем же причинам, что в примере 1, непрерывность может нарушаться только в точке
. Проверим:

Пределы слева и справа равны, но в самой точке
функция не определена (неравенства строгие). Это означает, что
– точкаустранимого разрыва .

«Устранимый разрыв» означает, что достаточно или сделать любое из неравенств нестрогим, или придумать для отдельной точки
функцию, значение которой при
равно –5, или просто указать, что
, чтобы вся функция
стала непрерывной.

Ответ: точка
– точка устранимого разрыва.

Замечание 1. В литературе устранимый разрыв обычно считается частным случаем разрыва 1-го рода, однако студентами чаще понимается как отдельный тип разрыва. Во избежание разночтений будем придерживаться 1-й точки зрения, а «неустранимый» разрыв 1-го рода оговаривать особо.

Пример 3. Проверим, непрерывна ли функция

В точке

Пределы слева и справа различны:
. Независимо от того, определена ли функция при
(да) и если да, то чему равна (равна 2), точка
–точка неустранимого разрыва 1-го рода .

В точке
происходитконечный скачок (от 1 к 2).

Ответ: точка

Замечание 2. Вместо
и
обычно пишут
и
соответственно.

Возможен вопрос: чем отличаются функции

и
,

а также их графики? Правильный ответ:

а) 2-я функция не определена в точке
;

б) на графике 1-й функции точка
«закрашена», на графике 2-й – нет («выколотая точка»).

Точка
, где обрывается график
, не закрашена на обоих графиках.

Сложнее исследовать функции, по-разному определённые на трёх участках.

Пример 4. Непрерывна ли функция
?

Так же, как в примерах 1 – 3, каждая из функций
,
инепрерывна на всей числовой оси, в том числе – на участке, на котором задана. Разрыв возможен только в точке
или (и) в точке
, где функция переопределяется.

Задача распадается на 2 подзадачи: исследовать на непрерывность функции

и
,

причём точка
не представляет интереса для функции
, а точка
– для функции
.

1-й шаг. Проверяем точку
и функцию
(индекс не пишем):

Пределы совпадают. По условию,
(если пределы слева и справа равны, то фактически функция непрерывна, когда одно и из неравенств нестрогое). Итак, в точке
функция непрерывна.

2-й шаг. Проверяем точку
и функцию
:

Поскольку
, точка
– точка разрыва 1-го рода, и значение
(и то, есть ли оно вообще) уже не играет роли.

Ответ: функция непрерывна во всех точках, кроме точки
, где имеет место неустранимый разрыв 1-го рода – скачок от 6 к 4.

Пример 5. Найти точки разрыва функции
.

Действуем по той же схеме, что в примере 4.

1-й шаг. Проверяем точку
:

а)
, поскольку слева от
функция постоянна и равна 0;

б) (
– чётная функция).

Пределы совпадают, но при
функция по условию не определена, и получается, что
– точка устранимого разрыва.

2-й шаг. Проверяем точку
:

а)
;

б)
– значение функции не зависит от переменной.

Пределы различны: , точка
– точка неустранимого разрыва 1-го рода.

Ответ:
– точка устранимого разрыва,
– точка неустранимого разрыва 1-го рода, в остальных точках функция непрерывна.

Пример 6. Непрерывна ли функция
?

Функция
определена при
, поэтому условие
превращается в условие
.

С другой стороны, функция
определена при
, т.е. при
. Значит, условие
превращается в условие
.

Получается, что должно выполняться условие
, и область определения всей функции – отрезок
.

Сами по себе функции
и
элементарны и потому непрерывны во всех точках, в которых определены – в частности, и при
.

Остаётся проверить, что происходит в точке
:

а)
;

Поскольку
, смотрим, определена ли функция в точке
. Да, 1-е неравенство – нестрогое относительно
, и этого достаточно.

Ответ: функция определена на отрезке
и непрерывна на нём.

Более сложные случаи, когда одна из составляющих функций неэлементарна или не определена в какой-либо точке своего отрезка, выходят за рамки пособия.

НФ1. Постройте графики функций. Обратите внимание, определена ли функция в той точке, в которой переопределяется, и если да – каково значение функции (слово «если » в определении функции для краткости пропущено):

1) а)
б)
в)
г)

2) а)
б)
в)
г)

3) а)
б)
в)
г)

4) а)
б)
в)
г)

Пример 7. Пусть
. Тогда на участке
строим горизонтальную прямую
, а на участке
строим горизонтальную прямую
. При этом точка с координатами
«выколота», а точка
«закрашена». В точке
получается разрыв 1-го рода («скачок»), и
.

НФ2. Исследуйтена непрерывность функции, по-разному определённые на 3-х интервалах. Постройте графики:

1) а)
б)
в)

г)
д)
е)

2) а)
б)
в)

г)
д)
е)

3) а)
б)
в)

г)
д)
е)

Пример 8. Пусть
. На участке
строим прямую
, для чего находим
и
. Соединяем точки
и
отрезком. Сами точки не включаем, поскольку при
и
функция по условию не определена.

На участке
и
обводим осьOX (на ней
), однако точки
и
«выколоты». В точке
получаем устранимый разрыв, а в точке
– разрыв 1-го рода («скачок»).

НФ3. Постройте графики функций и убедитесь в их непрерывности:

1) а)
б)
в)

г)
д)
е)

2) а)
б)
в)

г)
д)
е)

НФ4. Убедитесь в непрерывности функций и постройте их графики:

1) а)
б)
в)

2 а)
б)
в)

3) а)
б)
в)

НФ5. Постройте графики функций. Обратите внимание на непрерывность:

1) а)
б)
в)

г)
д)
е)

2) а)
б)
в)

г)
д)
е)

3) а)
б)
в)

г)
д)
е)

4) а)
б)
в)

г)
д)
е)

5) а)
б)
в)

г)
д)
е)

НФ6. Постройте графики разрывных функций. Обратите внимание на значение функции в той точке, где функция переопределяется (и существует ли оно):

1) а)
б)
в)

г)
д)
е)

2) а)
б)
в)

г)
д)
е)

3) а)
б)
в)

г)
д)
е)

4) а)
б)
в)

г)
д)
е)

5) а)
б)
в)

г)
д)
е)

НФ7. То же задание, что и в НФ6:

1) а)
б)
в)

г)
д)
е)

2) а)
б)
в)

г)
д)
е)

3) а)
б)
в)

г)
д)
е)

4) а)
б)
в)

г)
д)
е)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №13

«Кусочные функции»

Сапогова Валентина и

Донская Александра

Руководитель-консультант:

г. Бердск

1. Определение основных целей и задач.

2. Анкетирование.

2.1. Определение актуальности работы

2.2. Практическая значимость.

3. История функций.

4. Общая характеристика.

5. Способы задания функций.

6. Алгоритм построения.

8. Используемая литература.

1. Определение основных целей и задач.

Цель:

Выяснить способ решения кусочных функций и, исходя из этого, составить алгоритм их построения.

Задачи:

— Познакомиться с общим понятием о кусочных функциях;

— Узнать историю термина «функция»;

— Провести анкетирование;

— Выявить способы задания кусочных функций;

— Составить алгоритм их построения;

2. Анкетирование.

Среди старшеклассников было проведено анкетирование на умение строить кусочные функции. Общее количество опрошенных составило 54 человека. Среди них 6% - работу выполнили полностью. 28% работу смогли выполнить, но с определёнными ошибками. 62% - работу не смогли выполнить, хоть и предпринимали какие-либо попытки, а оставшиеся 4% вообще не приступали к работе.

Из этого анкетирования можно сделать вывод, что ученики нашей школы, которые проходят программу имеют не достаточную базу знаний, ведь этот автор не уделяет особого внимания на задания подобного рода. Именно из этого вытекает актуальность и практическая значимость нашей работы.

2.1. Определение актуальности работы.

Актуальность:

Кусочные функции встречаются, как в ГИА, так и в ЕГЭ, задания, которые содержат функции подобного рода, оцениваются в 2 и более баллов. И, следовательно, от их решения может зависеть ваша оценка.

2.2. Практическая значимость.

Результатом нашей работы будет являться алгоритм решения кусочных функций, который поможет разобраться в их построении. И добавит шансы на получения желаемой вами оценки на экзамене.

3. История функций.

— «Алгебра 9 класс» и др.;

Кусочные функции - это функции, заданные разными формулами на разных числовых промежутках. Например,

Такая запись обозначает, что значение функции вычисляется по формуле √x, когда x больше или равен нулю. Когда же x меньше нуля, то значение функции определяется по формуле –x 2 . Например, если x = 4, то f(x) = 2, т. к. в данном случае используется формула извлечения корня. Если же x = –4, то f(x) = –16, т. к. в этом случае используется формула –x 2 (сначала возводим в квадрат, потом учитываем минус).

Чтобы построить график такой кусочной функции, сначала строятся графики двух разных функций не зависимо от значения x (т. е. на всей числовой прямой аргумента). После этого от полученных графиков берутся только те части, которые принадлежат соответствующим диапазонам x. Эти части графиков объединяются в один. Понятно, что в простых случаях чертить можно сразу части графиков, опустив предварительную прорисовку их «полных» вариантов.

Для приведенного выше примера для формулы y = √x получим такой график:

Здесь x в принципе не может принимать отрицательных значений (т. е. подкоренное выражение в данном случае не может быть отрицательным). Поэтому в график кусочной функции уйдет весь график уравнения y = √x.

Построим график функции f(x) = –x 2 . Получим перевернутую параболу:

В данном случае в кусочную функции мы возьмем только ту часть параболы, для которой x принадлежит промежутку (–∞; 0). В результате получится такой график кусочной функции:

Рассмотрим другой пример:

Графиком функции f(x) = (0.6x – 0.5) 2 – 1.7 будет видоизмененная парабола. Графиком f(x) = 0.5x + 1 является прямая:

В кусочной функции x может принимать значения в ограниченных промежутках: от 1 до 5 и от –5 до 0. Ее график будет состоять из двух отдельных частей. Одну часть берем на промежутке от параболы, другую - на промежутке [–5; 0] от прямой: