Линейные неравенства с корнями. Решение показательных неравенств: основные способы

Представлены основные виды неравенств, включая неравенства Бернулли, Коши - Буняковского, Минковского, Чебышева. Рассмотрены свойства неравенств и действия над ними. Даны основные методы решения неравенств.

Формулы основных неравенств

Формулы универсальных неравенств

Универсальные неравенства выполняются при любых значениях входящих в них величин. Ниже перечислены основные виды универсальных неравенств.

1) | a ± b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 ± a 2 ± ... ± a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Равенство имеет место только при a 1 = a 2 = ... = a n .

4) Неравенство Коши - Буняковского

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда α a k = β b k для всех k = 1, 2, ..., n и некоторых α, β, |α| + |β| > 0 .

5) Неравенство Минковского , при p ≥ 1

Формулы выполнимых неравенств

Выполнимые неравенства выполняются при определенных значениях входящих в них величин.

1) Неравенство Бернулли:
.
В более общем виде:
,
где , числа одного знака и больше, чем -1 : .
Лемма Бернулли:
.
См. «Доказательства неравенств и леммы Бернулли ».

2)
при a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Неравенство Чебышева
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n и 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n и b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Обобщенные неравенства Чебышева
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n и 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n и k натуральном
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n и b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Свойства неравенств

Свойства неравенств - это набор тех правил, которые выполняются при их преобразовании. Ниже представлены свойства неравенств. Подразумевается, что исходные неравенства выполняются при значениях x i (i = 1, 2, 3, 4) , принадлежащих некоторому, заранее определенному, интервалу.

1) При изменении порядка следования сторон, знак неравенства меняется на противоположный.
Если x 1 < x 2 , то x 2 > x 1 .
Если x 1 ≤ x 2 , то x 2 ≥ x 1 .
Если x 1 ≥ x 2 , то x 2 ≤ x 1 .
Если x 1 > x 2 , то x 2 < x 1 .

2) Одно равенство эквивалентно двум нестрогим неравенствам разного знака.
Если x 1 = x 2 , то x 1 ≤ x 2 и x 1 ≥ x 2 .
Если x 1 ≤ x 2 и x 1 ≥ x 2 , то x 1 = x 2 .

3) Свойство транзитивности
Если x 1 < x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Если x 1 < x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Если x 1 ≤ x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Если x 1 ≤ x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 ≤ x 3 .

4) К обеим частям неравенства можно прибавить (вычесть) одно и то же число.
Если x 1 < x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Если x 1 ≤ x 2 , то x 1 + A ≤ x 2 + A .
Если x 1 ≥ x 2 , то x 1 + A ≥ x 2 + A .
Если x 1 > x 2 , то x 1 + A > x 2 + A .

5) Если есть два или более неравенств со знаком одного направления, то их левые и правые части можно сложить.
Если x 1 < x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Если x 1 < x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Если x 1 ≤ x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Если x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4 .
Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.
Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство (но все знаки имеют одинаковое направление), то при сложении получается строгое неравенство.

6) Обе части неравенства можно умножить (разделить) на положительное число.
Если x 1 < x 2 и A > 0 , то A · x 1 < A · x 2 .
Если x 1 ≤ x 2 и A > 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Если x 1 ≥ x 2 и A > 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Если x 1 > x 2 и A > 0 , то A · x 1 > A · x 2 .

7) Обе части неравенства можно умножить (разделить) на отрицательное число. При этом знак неравенства изменится на противоположный.
Если x 1 < x 2 и A < 0 , то A · x 1 > A · x 2 .
Если x 1 ≤ x 2 и A < 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Если x 1 ≥ x 2 и A < 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Если x 1 > x 2 и A < 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Если есть два или более неравенств с положительными членами, со знаком одного направления, то их левые и правые части можно умножить друг на друга.
Если x 1 < x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 то x 1 · x 3 < x 2 · x 4 .
Если x 1 < x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 то x 1 · x 3 < x 2 · x 4 .
Если x 1 ≤ x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 то x 1 · x 3 < x 2 · x 4 .
Если x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 то x 1 · x 3 ≤ x 2 · x 4 .
Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.
Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство (но все знаки имеют одинаковое направление), то при умножении получается строгое неравенство.

9) Пусть f(x) - монотонно возрастающая функция. То есть при любых x 1 > x 2 , f(x 1) > f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства не изменится.
Если x 1 < x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Если x 1 ≤ x 2 , то f(x 1) ≤ f(x 2) .
Если x 1 ≥ x 2 , то f(x 1) ≥ f(x 2) .
Если x 1 > x 2 , то f(x 1) > f(x 2) .

10) Пусть f(x) - монотонно убывающая функция, То есть при любых x 1 > x 2 , f(x 1) < f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Если x 1 < x 2 , то f(x 1) > f(x 2) .
Если x 1 ≤ x 2 , то f(x 1) ≥ f(x 2) .
Если x 1 ≥ x 2 , то f(x 1) ≤ f(x 2) .
Если x 1 > x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .

Методы решения неравенств

Решение неравенств методом интервалов

Метод интервалов применим, если в неравенство входит одна переменная, которую обозначим как x , и оно имеет вид:
f(x) > 0
где f(x) - непрерывная функция, имеющая конечное число точек разрывов. Знак неравенства может быть любым: >, ≥, <, ≤ .

Метод интервалов заключается в следующем.

1) Находим область определения функции f(x) и отмечаем ее интервалами на числовой оси.

2) Находим точки разрыва функции f(x) . Например, если это дробь, то находим точки, в которых знаменатель обращается в нуль. Отмечаем эти точки на числовой оси.

3) Решаем уравнение
f(x) = 0 .
Корни этого уравнения отмечаем на числовой оси.

4) В результате числовая ось окажется разбитой точками на интервалы (отрезки). Внутри каждого интервала, входящего в область определения, выбираем любую точку и в этой точке вычисляем значение функции. Если это значение больше нуля, то над отрезком (интервалом) ставим знак „+“ . Если это значение меньше нуля, то над отрезком (интервалом) ставим знак „-“ .

5) Если неравенство имеет вид: f(x) > 0 , то выбираем интервалы с знаком „+“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Если неравенство имеет вид: f(x) ≥ 0 , то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0 . То есть часть интервалов, возможно, будут иметь закрытые границы (граница принадлежит интервалу). другая часть может иметь открытые границы (граница не принадлежит интервалу).
Аналогично, если неравенство имеет вид: f(x) < 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Если неравенство имеет вид: f(x) ≤ 0 , то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0 .

Решение неравенств, применяя их свойства

Этот метод применим для неравенств любой сложности. Он состоит в том, чтобы, применяя свойства (представленные выше), привести неравенства к более простому виду и получить решение. Вполне возможно, что при этом получится не одно, а система неравенств. Это универсальный метод. Он применим для любых неравенств.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Теория:

При решении неравенств используют следующие правила:

1. Любой член неравенства можно перенести из одной части
неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не меняется.

2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно
и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.

3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно
и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на
противоположный.

Решить неравенство − 8 x + 11 < − 3 x − 4
Решение.

1. Перенесём член − 3 x в левую часть неравенства, а член 11 — в правую часть неравенства, при этом поменяем знаки на противоположные у − 3 x и у 11 .
Тогда получим

− 8 x + 3 x < − 4 − 11

− 5 x < − 15

2. Разделим обе части неравенства − 5 x < − 15 на отрицательное число − 5 , при этом знак неравенства < , поменяется на > , т.е. мы перейдём к неравенству противоположного смысла.
Получим:

− 5 x < − 15 | : (− 5 )

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3 — решение заданного неравенства.

Обрати внимание!

Для записи решения можно использовать два варианта: x > 3 или в виде числового промежутка.

Отметим множество решений неравенства на числовой прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Ответ: x > 3 или x ∈ (3 ; + ∞ )

Алгебраические неравенства.

Квадратные неравенства. Рациональные неравенства высших степеней.

Методы решения неравенств зависят в основном от того, к какому классу относятся функции, составляющие неравенство.

1. I . Квадратные неравенства , то есть неравенства вида

ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Чтобы решить неравенство можно:

1. Квадратный трехчлен разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. Корни многочлена нанести на числовую ось. Корни разбивают множество действительных чисел на промежутки, в каждом из которых соответствующая квадратичная функция будет знакопостоянной.
2. Определить знак a (x - x 1) (x - x 2) в каждом промежутке и записать ответ.

Если квадратный трехчлен не имеет корней, то при D<0 и a>0 квадратный трехчлен при любом x положителен.

• Решить неравенство. x 2 + x - 6 > 0.

Разложим квадратный трехчлен на множители (x + 3) (x - 2) > 0

Ответ: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Это неравенство верно при любом х, кроме х = 6.

Ответ: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15 < 0.

Здесь D < 0, a = 1 > 0. Квадратный трехчлен положителен при всех х.

Ответ: x Î Ø.

Решить неравенства:

1. 1 + х - 2х² < 0. Ответ:
2. 3х² - 12х + 12 ≤ 0. Ответ:
3. 3х² - 7х + 5 ≤ 0. Ответ:
4. 2х² - 12х + 18 > 0. Ответ:
5. При каких значениях a неравенство

x² - ax > выполняется для любых х? Ответ:

1. II . Рациональные неравенства высших степеней, то есть неравенства вида

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Многочлен высшей степени следует разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).

Отметить на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль.

Определить знаки многочлена на каждом промежутке.

1) Решить неравенство x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x < 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Итак, x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Ответ: (0; 1) (2; 3).

2) Решить неравенство (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4 <0.

Отметим на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль. Это х = 1, х = -2, х = ½, х = - ½.

В точке х = - ½ смены знака не происходит, потому что двучлен (2х + 1) возводится в четную степень, то есть выражение (2x + 1) 4 не меняет знак при переходе через точку х = - ½.

Ответ: (-∞; -2) (½; 1).

3) Решить неравенство: х 2 (х + 2) (х - 3) ≥ 0.

Данное неравенство равносильно следующей совокупности

Решением (1) является х (-∞; -2) (3; +∞). Решением (2) являются х = 0, х = -2, х = 3. Объединяя полученные решения, получаем х Î (-∞; -2] {0} {0} .

Давайте обобщим полученные знания.
Допустим, необходимо решить систему неравенств: $\begin{cases}f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end{cases}$.
Тогда, интервал ($x_1; x_2$) – решение первого неравенства.
Интервал ($y_1; y_2$) – решение второго неравенства.
Решение системы неравенств – есть пересечение решений каждого неравенства.

Системы неравенств могут состоять из неравенств не только первого порядка, но и любых других видов неравенств.

Важные правила при решении систем неравенств.
Если одно из неравенств системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений.
Если одно из неравенств выполняется для любых значений переменой, то решением системы будет решение другого неравенства.

Примеры.
Решить систему неравенств:$\begin{cases}x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end{cases}$
Решение.
Решим каждое неравенство по отдельности.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Решим второе неравенство.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Решением неравенства будет промежуток.
Нарисуем оба промежутка на одной прямой и найдем пересечение.
Пересечение промежутков - отрезок (4; 6].
Ответ: (4;6].

Решить систему неравенств.
а) $\begin{cases}3x+3>6\\2x^2+4x+4 б) $\begin{cases}3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end{cases}$.

Решение.
а) Первое неравенство имеет решение х>1.
Найдем дискриминант для второго неравенства.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Вспомним правило, когда одно из неравенств не имеет решений, то вся система не имеет решений.
Ответ: Нет решений.

Б) Первое неравенство имеет решение х>1.
Второе неравенство больше нуля при всех х. Тогда решение системы совпадает с решением первого неравенства.
Ответ: х>1.

Задачи на системы неравенств для самостоятельного решения

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Что такое "квадратное неравенство"? Не вопрос!) Если взять любое квадратное уравнение и заменить в нём знак "=" (равно) на любой значок неравенства (> ≥ < ≤ ≠ ), получится квадратное неравенство. Например:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Ну, вы поняли...)

Я не зря здесь связал уравнения и неравенства. Дело в том, что первый шаг в решении любого квадратного неравенства - решить уравнение, из которого это неравенство сделано. По этой причине - неспособность решать квадратные уравнения автоматически приводит к полному провалу и в неравенствах. Намёк понятен?) Если что, посмотрите, как решать любые квадратные уравнения. Там всё подробно расписано. А в этом уроке мы займёмся именно неравенствами.

Готовое для решения неравенство имеет вид: слева - квадратный трёхчлен ax 2 +bx+c , справа - ноль. Знак неравенства может быть абсолютно любой. Первые два примера здесь уже готовы к решению. Третий пример надо ещё подготовить.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.