Мат ожидание распределения пуассона. Распределение пуассона

Рассмотрим распределение Пуассона, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, моду. С помощью функции MS EXCEL ПУАССОН.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Произведем оценку параметра распределения, его математического ожидания и стандартного отклонения.

Сначала дадим сухое формальное определение распределения, затем приведем примеры ситуаций, когда распределение Пуассона (англ. Poisson distribution ) является адекватной моделью для описания случайной величины.

Если случайные события происходят в заданный период времени (или в определенном объеме вещества) со средней частотой λ(лямбда ), то число событий x , произошедших за этот период времени, будет иметь распределение Пуассона .

Применение распределения Пуассона

Примеры, когда Распределение Пуассона является адекватной моделью:

• число вызовов, поступивших на телефонную станцию за определенный период времени;
• число частиц, подвергнувшихся радиоактивному распаду за определенный период времени;
• число дефектов в куске ткани фиксированной длины.

Распределение Пуассона является адекватной моделью, если выполняются следующие условия:

• события происходят независимо друг от друга, т.е. вероятность последующего события не зависит от предыдущего;
• средняя частота событий постоянна. Как следствие, вероятность события пропорциональна длине интервала наблюдения;
• два события не могут произойти одновременно;
• число событий должно принимать значения 0; 1; 2…

Примечание : Хорошей подсказкой, что наблюдаемая случайная величина имеет распределение Пуассона, является тот факт, что приблизительно равно (см. ниже).

Ниже представлены примеры ситуаций, когда Распределение Пуассона не может быть применено:

• число студентов, которые выходят из университета в течение часа (т.к. средний поток студентов не постоянен: во время занятий студентов мало, а в перерыве между занятиями число студентов резко возрастает);
• число землетрясений амплитудой 5 баллов в год в Калифорнии (т.к. одно землетрясение может вызвать повторные толчки сходной амплитуды – события не независимы);
• число дней, которые пациенты проводят в отделении интенсивной терапии (т.к. число дней, которое пациенты проводят в отделении интенсивной терапии всегда больше 0).

Примечание : Распределение Пуассона является приближением более точных дискретных распределений: и .

Примечание : О взаимосвязи распределения Пуассона и Биномиального распределения можно прочитать в статье . О взаимосвязи распределения Пуассона и Экспоненциального распределения можно прочитать в статье про .

Распределение Пуассона в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Распределения Пуассона имеется функция ПУАССОН.РАСП() , английское название - POISSON.DIST(), которая позволяет вычислить не только вероятность того, что за заданный период времени произойдет х событий (функцию плотности вероятности p(x), см. формулу выше), но и (вероятность того, что за заданный период времени произойдет не меньше x событий).

До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция ПУАССОН() , которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности p(x). ПУАССОН() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .

Распределение Пуассона имеет скошенную форму (длинный хвост справа у функции вероятности), но при увеличении параметра λ становится все более симметричным.

Примечание : Среднее и дисперсия (квадрат ) равны параметру распределения Пуассона – λ (см. файл примера лист Пример ).

Задача

Типичным применением Распределения Пуассона в контроле качества является модель количества дефектов, которые могут появиться в приборе или устройстве.

Например, при среднем количестве дефектов в микросхеме λ (лямбда) равном 4, вероятность, что случайно выбранная микросхема будет иметь 2 или меньше дефектов, равна: =ПУАССОН.РАСП(2;4;ИСТИНА)=0,2381

Третий параметр в функции установлен = ИСТИНА, поэтому функция вернет интегральную функцию распределения , то есть вероятность того, что число случайных событий окажется в диапазоне от 0 до 4 включительно.

Вычисления в этом случае производятся по формуле:

Вероятность того, что случайно выбранная микросхема будет иметь ровно 2 дефекта, равна: =ПУАССОН.РАСП(2;4;ЛОЖЬ)=0,1465

Третий параметр в функции установлен = ЛОЖЬ, поэтому функция вернет плотность вероятности.

Вероятность того, что случайно выбранная микросхема будет иметь больше 2-х дефектов, равна: =1-ПУАССОН.РАСП(2;4;ИСТИНА) =0,8535

Примечание : Если x не является целым числом, то при вычислении формулы . Формулы =ПУАССОН.РАСП(2 ; 4; ЛОЖЬ) и =ПУАССОН.РАСП(2,9 ; 4; ЛОЖЬ) вернут одинаковый результат.

Генерация случайных чисел и оценка λ

При значениях λ>15 , Распределение Пуассона хорошо аппроксимируется Нормальным распределением со следующими параметрами: μ=λ , σ 2 =λ .

Подробнее о связи этих распределений, можно прочитать в статье . Там же приведены примеры аппроксимации, и пояснены условия, когда она возможна и с какой точностью.

СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье .

Во многих задачах практики приходится иметь дело со случайными величинами, распределенными по своеобразному закону, который называется законом Пуассона.

Рассмотрим прерывную случайную величину , которая может принимать только целые, неотрицательные значения:

причем последовательность этих значений теоретически не ограничена.

Говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение , выражается формулой

где а – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.

Ряд распределения случайной величины , распределенной по закону Пуассона, имеет вид:

Убедимся, прежде всего, что последовательность вероятностей, задаваемая формулой (5.9.1), может представлять собой ряд распределения, т.е. что сумма всех вероятностей равна единице. Имеем:

.

На рис. 5.9.1 показаны многоугольники распределения случайной величины , распределенной по закону Пуассона, соответствующие различным значениям параметра . В таблице 8 приложения приведены значения для различных .

Определим основные характеристики – математическое ожидание и дисперсию – случайной величины , распределенной по закону Пуассона. По определению математического ожидания

.

Первый член суммы (соответствующий ) равен нулю, следовательно, суммирование можно начать с :

Обозначим ; тогда

. (5.9.2)

Таким образом, параметр представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины .

Для определения дисперсии найдем сначала второй начальный момент величины :

По ранее доказанному

кроме того,

Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна её математическому ожиданию .

Это свойство распределения Пуассона часто применяется на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона. Для этого определяют из опыта статистические характеристики – математическое ожидание и дисперсию – случайной величины. Если их значения близки, то это может служить доводом в пользу гипотезы о пуассоновском распределении; резкое различие этих характеристик, напротив, свидетельствует против гипотезы.

Определим для случайной величины , распределенной по закону Пуассона, вероятность того, что она примет значение не меньше заданного . Обозначим эту вероятность :

Очевидно, вероятность может быть вычислена как сумма

Однако значительно проще определить её из вероятности противоположного события:

(5.9.4)

В частности, вероятность того, что величина примет положительное значение, выражается формулой

(5.9.5)

Мы уже упоминали о том, что многие задачи практики приводят к распределению Пуассона. Рассмотрим одну из типичных задач такого рода.

Пусть на оси абсцисс Ох случайным образом распределяются точки (рис. 5.9.2). Допустим, что случайное распределение точек удовлетворяет следующим условиям:

1. Вероятность попадания того или иного числа точек на отрезок зависит только от длины этого отрезка, но не зависит от его положения на оси абсцисс. Иными словами, точки распределяются на оси абсцисс с одинаковой средней плотностью. Обозначим эту плотность (т.е. математическое ожидание числа точек, приходящихся на единицу длины) через .

2. Точки распределяются на оси абсцисс независимо друг от друга, т.е. вероятность попадания того или другого числа точек на заданный отрезок не зависит от того, сколько их попало на любой другой отрезок, не перекрывающийся с ним.

3. Вероятность попадания на малый участок двух или более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки (это условие означает практическую невозможность совпадения двух или более точек).

Выделим на оси абсцисс определенный отрезок длины и рассмотрим дискретную случайную величину – число точек, попадающих на этот отрезок. Возможные значения величины будут

Так как точки попадают на отрезок независимо друг от друга, то теоретически не исключено, что их там окажется сколь угодно много, т.е. ряд (5.9.6) продолжается неограниченно.

Докажем, что случайная величина имеет закон распределения Пуассона. Для этого вычислим вероятность того, что на отрезок попадет ровно точек.

Сначала решим более простую задачу. Рассмотрим на оси Ох малый участок и вычислим вероятность того, что на этот участок попадет хотя бы одна точка. Будем рассуждать следующим образом. Математическое ожидание числа точек, попадающих на этот участок, очевидно, равно (т.к. на единицу длины попадает в среднем точек). Согласно условию 3 для малого отрезка можно пренебречь возможностью попадания на него двух или больше точек. Поэтому математическое ожидание числа точек, попадающих на участок , будет приближенно равно вероятности попадания на него одной точки (или, что в наших условиях равнозначно, хотя бы одной).

Таким образом, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, при можно считать вероятность того, что на участок попадет одна (хотя бы одна) точка, равной , а вероятность того, что не попадет ни одной, равной .

Воспользуемся этим для вычисления вероятности попадания на отрезок ровно точек. Разделим отрезок на равных частей длиной . Условимся называть элементарный отрезок «пустым», если в него не попало ни одной точки, и «занятым», если в него попала хотя бы одна. Согласно вышедоказанному вероятность того, что отрезок окажется «занятым», приближенно равна ; вероятность того, что он окажется «пустым», равна . Так как, согласно условию 2, попадания точек в неперекрывающиеся отрезки независимы, то наши n отрезков можно рассмотреть как независимых «опытов», в каждом из которых отрезок может быть «занят» с вероятностью . Найдем вероятность того, что среди отрезков будет ровно «занятых». По теореме о повторении опытов эта вероятность равна

или, обозначая ,

(5.9.7)

При достаточно большом эта вероятность приближенно равна вероятности попадания на отрезок ровно точек, так как попадание двух или больше точек на отрезок имеет пренебрежимо малую вероятность. Для того чтобы найти точное значение , нужно в выражении (5.9.7) перейти к пределу при :

(5.9.8)

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:

(5.9.9)

Первая дробь и знаменатель последней дроби в выражении (5.9.9) при , очевидно, стремятся к единице. Выражение от не зависит. Числитель последней дроби можно преобразовать так:

(5.9.10)

При и выражение (5.9.10) стремится к . Таким образом, доказано, что вероятность попадания ровно точек в отрезок выражается формулой

где , т.е. величина Х распределена по закону Пуассона с параметром .

Отметим, что величина по смыслу представляет собой среднее число точек, приходящееся на отрезок .

Величина (вероятность того, что величина Х примет положительное значение) в данном случае выражает вероятность того, что на отрезок попадет хотя бы одна точка:

Таким образом, мы убедились, что распределение Пуассона возникает там, где какие-то точки (или другие элементы) занимают случайное положение независимо друг от друга, и подсчитывается количество этих точек, попавших в какую-то область. В нашем случае такой «областью» был отрезок на оси абсцисс. Однако наш вывод легко распространить и на случай распределения точек на плоскости (случайное плоское поле точек) и в пространстве (случайное пространственное поле точек). Нетрудно доказать, что если соблюдены условия:

1) точки распределены в поле статистически равномерно со средней плотностью ;

2) точки попадают в неперекрывающиеся области независимым образом;

3) точки появляются поодиночке, а не парами, тройками и т.д., то число точек , попадающих в любую область (плоскую или пространственную), распределяются по закону Пуассона:

где – среднее число точек, попадающих в область .

Для плоского случая

где – площадь области ; для пространственного

где - объем области .

Заметим, что для пуассоновского распределения числа точек, попадающих в отрезок или область, условие постоянной плотности () несущественно. Если выполнены два других условия, то закон Пуассона все равно имеет место, только параметр а в нем приобретает другое выражение: он получается не простым умножение плотности на длину, площадь или объем области, а интегрированием переменной плотности по отрезку, площади или объему. (Подробнее об этом см. n° 19.4)

Наличие случайных точек, разбросанных на линии, на плоскости или объеме – неединственное условие, при котором возникает распределение Пуассона. Можно, например, доказать, что закон Пуассона является предельным для биномиального распределения:

, (5.9.12)

если одновременно устремлять число опытов к бесконечности, а вероятность – к нулю, причем их произведение сохраняет постоянное значение:

Действительно, это предельное свойство биномиального распределения можно записать в виде:

. (5.9.14)

Но из условия (5.9.13) следует, что

Подставляя (5.9.15) в (5.9.14), получим равенство

, (5.9.16)

которое только что было доказано нами по другому поводу.

Это предельное свойство биномиального закона часто находит применение на практике. Допустим, что производится большое количество независимых опытов , в каждом из которых событие имеет очень малую вероятность . Тогда для вычисления вероятности того, что событие появится ровно раз, можно воспользоваться приближенной формулой:

, (5.9.17)

где - параметр того закона Пуассона, которым приближенно заменяется биномиальное распределение.

От этого свойства закона Пуассона – выражать биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события – происходит его название, часто применяемое в учебниках статистики: закон редких явлений.

Рассмотрим несколько примеров, связанных с пуассоновским распределением, из различных областей практики.

Пример 1. На автоматическую телефонную станцию поступают вызовы со средней плотностью вызовов в час. Считая, что число вызовов на любом участке времени распределено по закону Пуассона, найти вероятность того, что за две минуты на станцию поступит ровно три вызова.

Решение. Среднее число вызовов за две минуты равно:

Кв.м. Для поражения цели достаточно попадания в нее хотя бы одного осколка. Найти вероятность поражения цели при данном положении точки разрыва.

Решение. . По формуле (5.9.4) находим вероятность попадания хотя бы одного осколка:

(Для вычисления значения показательной функции пользуемся таблицей 2 приложения).

Пример 7. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 куб. дм воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.

Решение. Принимая гипотезу о пуассоновском распределении числа микробов в объеме, находим:

Пример 8. По некоторой цели производится 50 независимых выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,04. Пользуясь предельным свойством биномиального распределения (формула (5.9.17)), найти приближенно вероятность того, что в цель попадет: ни одного снаряда, один снаряд, два снаряда.

Решение. Имеем . По таблице 8 приложения находим вероятности.

На этой странице мы собрали примеры решения учебных задач, где используется распределение Пуассона.

Краткая теория

Рассмотрим некоторый поток событий, в котором события наступают независимо друг от друга и с некоторой фиксированной средней интенсивностью $\lambda$ (событий в единицу времени). Тогда случайная величина $X$, равная числу событий $k$, произошедших за фиксированное время, имеет распределение Пуассона . Вероятности вычисляются по следующей формуле:

$$ P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}, k=0,1,2,... $$

Для пуассоновской случайной величины математическое ожидание и дисперсия совпадают с интенсивностью потока событий:

$$M(X)=\lambda, \quad D(X)=\lambda.$$

Распределение Пуассона играет важную роль в теории массового обслуживания . При увеличении $\lambda$ данное распределение стремится к нормальному распределению $N(\lambda, \sqrt{\lambda})$. В свою очередь, оно само является "приближенной" моделью биномиального распределения при больших $n$ и крайне малых $p$ (см. теорию про формулу Пуассона).

Примеры решенных задач

Задача 1. Среднее число самолетов, взлетающих с полевого аэродрома за одни сутки, равно 10. Найти вероятность того, что за 6 часов взлетят:
А) три самолета,
Б) не менее двух самолетов.

Задача 2. На автовокзале время прибытия автобусов различных рейсов объявляет дежурный. Появление информации о различных рейсах происходит случайной и независимо друг от друга. В среднем на автовокзал прибывает 5 рейсов каждые полчаса.
А) Составьте ряд распределения числа сообщений о прибытии автобусов в течение получаса.
Б) Найдите числовые характеристики этого распределения.
В) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график.
Г) Чему равна вероятность того, что в течение получаса прибудут не менее трех автобусов?
Д) Чему равна вероятность того, что в течение четверти часа не прибудет ни один автобус?

Задача 3. АТС получает в среднем за час 480 вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: ровно 3 вызова; от 2 до 5 вызовов.

Задача 4. Случайная величина $X$ распределена по закону Пуассона с параметром $\lambda=0,8$. Необходимо:
А) выписать формулу для вычисления вероятности $P(X=m)$;
Б) найти вероятность $P(1 \le X \lt 3)$;
В) найти математическое ожидание $M(2X+5)$ и дисперсию $D(5-2X)$.

Задача 5. Среднее число ошибочных соединений, приходящееся на одного телефонного абонента в единицу времени, равно 8. Какова вероятность того, что для данного абонента число ошибочных соединений будет больше 4?

Задача 6. В среднем в магазин заходят 3 человека в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты в магазин зайдет не более 1 человека.

Задача 7. Автомобиль проходит технический осмотр и обслуживание. Число неисправностей, обнаруженных во время техосмотра, распределяется по закону Пуассона с параметром 0,63. Если неисправностей не обнаружено, техническое обслуживание автомобиля продолжается в среднем 2 ч. Если обнаружены одна или две неисправности, то на устранение каждой из них тратится в среднем еще полчаса. Если обнаружено больше двух неисправностей, то автомобиль становится на профилактический ремонт, где он находится в среднем 4 ч.
Определите закон распределения среднего времени $T$ обслуживания и ремонта автомобиля и его математическое ожидание $M(T)$.

Распределение Пуассона.

Рассмотрим наиболее типичную ситуацию, в которой возникает распределение Пуассона. Пусть событие А появляется некоторое число раз в фиксированном участке пространства (интервале, площади, объеме) или промежутке времени с постоянной интенсивностью. Для определенности рассмотрим последовательное появление событий во времени, называемое потоком событий. Графически поток событий можно иллюстрировать множеством точек, расположенных на оси времени.

Это может быть поток вызовов в сфере обслуживания (ремонт бытовой техники, вызов скорой помощи и др.), поток вызовов на АТС, отказ в работе некоторых частей системы, радиоактивный распад, куски ткани или металлические листы и число дефектов на каждом из них и др. Наиболее полезным распределение Пуассона оказывается в тех задачах, где требуется определить лишь число положительных исходов («успехов»).

Представим себе булку с изюмом, разделенную на маленькие кусочки равной величины. Вследствие случайного распределения изюминок нельзя ожидать, что все кусочки будут содержать их одинаковое число. Когда среднее число изюминок, содержащееся в этих кусочках, известно, тогда распределение Пуассона задает вероятность того, что любой взятый кусочек содержит X =k (k = 0,1,2,...,)число изюминок.

Иначе говоря, распределение Пуассона определяет, какая часть длинной серии кусочков будет содержать равное 0, или 1, или 2, или и т.д. число изюминок.

Сделаем следующие предположения.

1. Вероятность появления некоторого числа событий в данном промежутке времени зависит только от длины этого промежутка, а не от его положения на временной оси. Это свойство стационарности.

2. Появление более одного события в достаточно малом промежутке времени практически невозможно, т.е. условная вероятность появления в этом же интервале другого события стремится к нулю при ® 0. Это свойство ординарности.

3. Вероятность появления данного числа событий на фиксированном промежутке времени не зависит от числа событий, появляющихся в другие промежутки времени. Это свойство отсутствия последействия.

Поток событий, удовлетворяющий перечисленным предложениям, называется простейшим .

Рассмотрим достаточно малый промежуток времени . На основании свойства 2 событие может появиться на этом промежутке один раз или совсем не появиться. Обозначим вероятность появления события через р , а непоявления – через q = 1-p. Вероятность р постоянна (свойство 3) и зависит только от величины (свойство 1). Математическое ожидание числа появлений события в промежутке будет равно 0×q + 1×p = p . Тогда среднее число появления событий в единицу времени называется интенсивностью потока и обозначается через a, т.е. a = .

Рассмотрим конечный отрезок времени t и разделим его на n частей = . Появления событий в каждом из этих промежутков независимы (свойство 2). Определим вероятность того, что в отрезке времени t при постоянной интенсивности потока а событие появится ровно X = k раз и не появится n – k . Так как событие может в каждом из n промежутков появиться не более чем 1 раз, то для появления его k раз на отрезке длительностью t оно должно появиться в любых k промежутках из общего числа n. Всего таких комбинаций , а вероятность каждой равна . Следовательно, по теореме сложения вероятностей получим для искомой вероятности известную формулу Бернулли

Это равенство записано как приближенное, так как исходной посылкой при его выводе послужило свойство 2, выполняемое тем точнее, чем меньше . Для получения точного равенства перейдем к пределу при ® 0 или, что то же, n ® . Получим после замены

P = a = и q = 1 – .

Введем новый параметр = at , означающий среднее число появлений события в отрезке t . После несложных преобразований и переходу к пределу в сомножителях получим.

= 1, = ,

Окончательно получим

, k = 0, 1, 2, ...

е = 2,718... –основание натурального логарифма.

Определение . Случайная величина Х , которая принимает только целые, положительные значения 0, 1, 2, ... имеет закон распределения Пуассона с параметром , если

для k = 0, 1, 2, ...

Распределение Пуассона было предложено французским математиком С.Д. Пуассоном (1781-1840 гг). Оно используется для решения задач исчисления вероятностей относительно редких, случайных взаимно независимых событий в единицу времени, длины, площади и объема.

Для случая, когда а) – велико и б) k = , справедлива формула Стирлинга:

Для расчета последующих значений используется рекуррентная формула

P (k + 1) = P (k ).

Пример 1. Чему равна вероятность того, что из 1000 человек в данный день родились: а) ни одного, б) один, в) два, г) три человека?

Решение. Так как p = 1/365, то q = 1 – 1/365 = 364/365 » 1.

Тогда

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

Следовательно, если имеются выборки из 1000 человек, то среднее число человек, которые родились в определенный день, соответственно будут равны 65; 178; 244; 223.

Пример 2. Определить значение , при котором с вероятностью Р событие появилось хотя бы один раз.

Решение. Событие А = {появиться хотя бы один раз} и = {не появиться ни одного раза}. Следовательно .

Отсюда и .

Например, для Р = 0,5 , для Р = 0,95 .

Пример 3. На ткацких станках, обслуживаемых одной ткачихой, в течение часа происходит 90 обрывов нити. Найти вероятность того, что за 4 минуты произойдет хотя бы один обрыв нити.

Решение. По условию t = 4 мин. и среднее число обрывов за одну минуту , откуда . Требуемая вероятность равна .

Свойства . Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Пуассона с параметром , равны:

M (X ) = D (X ) = .

Эти выражения получаются прямыми вычислениями:

Здесь была осуществлена замена n = k – 1 и использован тот факт, что .

Выполнив преобразования, аналогичные использованным при выводе М (X ), получим

Распределение Пуассона используется для аппроксимации биноминального распределения при больших n

Где λ равна среднему числу появления событий в одинаковых независимых испытаниях, т.е. λ = n × p, где p – вероятность события при одном испытании, e = 2,71828 .

Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

Числовые характеристики случайной величины Х

Дисперсия распределения Пуассона
D[X] = λ

Пример №1 . Семена содержат 0.1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
Решение.
Вероятность р мала, а число n велико. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0.03609
Математическое ожидание : M[X] = λ = 2
Дисперсия : D[X] = λ = 2

Пример №2 . Среди семян ржи имеется 0.4% семян сорняков. Составить закон распределения числа сорняков при случайном отборе 5000 семян. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. Математическое ожидание: M[X] = λ = 0.004*5000 = 20. Дисперсия: D[X] = λ = 20
Закон распределения:

Пример №3 . На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 1/200. Найдите вероятность того, что среди 200 соединений произойдет:
а) ровно одно неправильное соединение;
б) меньше чем три неправильных соединения;
в) больше чем два неправильных соединения.
Решение. По условию задачи вероятность события мала, поэтому используем формулу Пуассона (15).
а) Задано: n = 200, p = 1/200, k = 1. Найдем P 200 (1).
Получаем: . Тогда P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
б) Задано: n = 200, p = 1/200, k < 3. Найдем P 200 (k < 3).
Имеем: a = 1.

в) Задано: n = 200, p = 1/200, k > 2. Найдем P 200 (k > 2).
Эту задачу можно решить проще: найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Принимая во внимание предыдущий случай, имеем

Рассмотрим случай, когда n является достаточно большим, а p - достаточно малым; положим np = a, где a - некоторое число. В этом случае искомая вероятность определяется формулой Пуассона:

Пример №4 . Вероятность того, что деталь бракованная, равна 0.005. проверяется 400 деталей. Укажите формулу вычисления вероятности того, что больше 3 деталей оказались с браком.

Пример №5 . Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна p. определить вероятность того, что в партии из N деталей содержится а) ровно три детали; б) не более трех бракованных деталей.
p=0,001; N = 4500
Решение.
Вероятность р мала, а число n велико. np = 4.5 < 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Случайная величина X имеет область значений (0,1,2,...,m). Вероятности этих значений можно найти по формуле:

Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = np = 4500*0.001 = 4.5
P(0) = e - λ = e -4.5 = 0.01111
P(1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999

Тогда вероятность того, что в партии из N деталей содержится ровно три детали, равна:

Тогда вероятность того, что в партии из N деталей содержится не более трех бракованных деталей:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Пример №6 . Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час N вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: а) ровно два вызова; б) более двух вызовов.
N = 18
Решение.
За одну минуту АТС в среднем получает λ = 18/60 мин. = 0,3
Считая, что случайное число X вызовов, поступивших на АТС за одну минуту,
подчиняется закону Пуассона, по формуле найдем искомую вероятность

Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = 0.3
P(0) = e - λ = e -0.3 = 0.7408
P(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222

Вероятность того, что за данную минуту она получит ровно два вызова:
P(2) = 0,03334
Вероятность того, что за данную минуту она получит более двух вызовов:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366

Пример №7 . Рассматриваются два элемента, работающих независимо друг от друга. Продолжительность времени безотказной работы имеет показательное распределение с параметром λ1 = 0,02 для первого элемента и λ2 = 0,05 для второго элемента. Найти вероятность того, что за 10 часов: а) оба элемента будут работать безотказно; б) только Вероятность того, что за 10 часов элемент №1 не выйдет из строя:
Рещение.
P 1 (0) = e -λ1*t = e -0.02*10 = 0,8187

Вероятность того, что за 10 часов элемент №2 не выйдет из строя:
P 2 (0) = e -λ2*t = e -0.05*10 = 0,6065

а) оба элемента будут работать безотказно;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
б) только один элемент выйдет из строя.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0.8187*(1-0.6065) + (1-0.8187)*0.6065 = 0.4321

Пример №7 . Производство даёт 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не больше 17?
Примечание : поскольку здесь n*p =1100*0.01=11 > 10, то необходимо использовать