Метод деления отрезка пополам в excel. Необходимые программные и технические средства

Большинство алгоритмов нахождения корней уравнения позволяют найти, как правило, лишь один корень на заданном промежутке. К наиболее известным методам относятся методы:

• Метод простых итераций
• Метод Ньютона
• Модифицированный метод Ньютона
• Метод Рыбакова
• Метод дихотомии
• Метод каскадного приближения
• Метод хорд
• Комбинированный метод секущих-хорд
• Метод Эйткина – Стеффенсона
• Метод обратной квадратичной интерполяции – экстраполяции и др.

Количество методов нахождения корней велико, как и различных алгоритмов сортировок.

Мной рассмотрен метод дихотомии, взятый из файла MM6.PDF. Посмотрите код примера. Он составлен с применением старого, но излюбленного ранее оператора Go TO. С точки зрения структурного программирования использование такого оператора недопустимо, но зато эффективно. В литературе к данной заметке приложено несколько ссылок на найденные мной специально материалы, в том числе на справочник алгоритмов Дьяконова. Когда то, он был настольным у меня. Старые версии Бейсик кишат операторами типа Go TO. В старых версиях Бейсика используется и оператор присваивания LET.

Версий Бейсика существует множество. Мне когда-то пришлось часто переводить программы с одной версии на другую. А впервые с одной из версий Бейсика я познакомился в году 1980 в институте геофизики, куда мы ездили навещать с другом его брата. Он занимался методом магнитного ядерного резонанса. Все расчеты по обработке результатов опытов производились с применением мини ЭВМ иностранного производства и на языке Бейсик. Затем этот язык появился на довольно мощной по тому времени «Искра-226», ну и на знаменитой БК-10, используемой с середины 80-х в классах в школах. В 1983-1984 годах в Харькове я увидел первую PC. У ней было лишь 2 гибких дисковода на 2 разных типа дискет и объем памяти порядка 560 Мб, а основным языком программирования был Форт. Это язык стеков, который успешно применялся в управлении радиотелескопами. На этом языке просто реализовывалась графика.

Все основные алгоритмы сортировок и вычислительных методов были реализованы в большинстве случаев ещё для языков АЛГОЛ и ФОРТРАН в середине 50-х годов.

Теперь о примере. Там приведены решения 2-х разных уравнений. Первое уравнение X*X-5*SIN(X). Очевидно что синус меняется от -1 до +1. Следовательно 5*синус меняется от -5 до +5. Квадрат Х растет намного быстрее. Следовательно, можно предположить, что корни будут при значениях Х около в диапазоне вблизи 0 или 2. Лучше построить сначала график, чтобы проанализировать диапазон, в котором находятся корни. На графике видно, что корней должно быть 2. В примере мы нашли лишь один из корней, потому что задали один из интервалов.

Во втором уравнении X*X*X-X+1 мы видим кубическую параболу с корнем вблизи -1.

Свои уравнения Вы можете заменять в макросе. Можно ли составить программы без операторов GOTO? – Конечно, можно.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра прикладной математики и вычислительной техники

Excel и Mathcad

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению лабораторных работ

по дисциплине «Вычислительная математика»

Решение нелинейных уравнений в Excel и Mathcad : Метод. указ. / Сост. , - Самара: СГАСУ, 20с.

Методические указания разработаны в соответствии с Государственным образовательным стандартом изучения дисциплины «Вычислительная математика».

Рассмотрена реализация численных методов при решении нелинейных уравнений и систем уравнений в Excel и MathCad. Приведены варианты заданий для индивидуального выполнения и вопросы для самоконтроля и тестирования.

Предназначены для студентов специальности 230201 – «Информационные системы и технологии» всех форм обучения.

Рецензент к. ф-м. н.

Ó , составление, 2012

ã СГАСУ, 2012

1 Решение нелинейного уравнения

1.1 Общие сведения о решении нелинейного уравнения

Как правило, нелинейное уравнения общего вида f(х)=0 невозможно решить аналитически. Для практических задач достаточно найти приближенное значение x , в определенном смысле близкое к точному решению уравнения хточн .

В большинстве случаев поиск приближенного решения включает два этапа. На первом этапе отделяют корни, т. е. находят такие отрезки, внутри которых находится строго один корень. На втором этапе уточняют корень на одном из таких отрезков, т. е. находят его значение с требуемой точностью.

Достигнутая точность может оцениваться либо «по функции» (в найденной точке x , функция достаточно близка к 0, т. е. выполняется условие |f(x)|≤ e f , где e f требуемая точность по оси ординат), либо «по аргументу» (найден достаточно маленький отрезок [ a, b] , внутри которого находится корень, т. е. | b– a|≤ e x , где e x требуемая точность по оси абсцисс).

1.2 Отделение корней

Отделение корней может производиться сочетанием графического и аналитического исследования функции. Такое исследование опирается на теорему Вейерштрасса, в соответствии с которой для непрерывной на отрезке [ a, b] функции f(х ) и любого числа y , отвечающего условию f(a)≤y≤ f(b) , существует на этом отрезке точка x , в которой функция равна y . Следовательно, для непрерывной функции достаточно найти отрезок, на концах которого функция имеет разные знаки, и можно быть уверенным, что на этом отрезке есть корень уравнения f(х)=0 .

Для ряда методов уточнения желательно, чтобы найденный на первом этапе отрезок содержал только один корень уравнения. Это условие выполняется, если функция на отрезке монотонна. Монотонность, можно проверить либо по графику функции, либо по знаку производной.

Пример Найти с точностью до целых все корни нелинейного уравнения y(x)= x3 ‑ 10 x + 7=0 а) построив таблицу и б) построив график. Найти корень уравнения на выделенном отрезке, используя опции «Подбор параметра» и «Поиск решения».

Решение Создадим в Excel таблицу, содержащую аргументы и значения функции и по ней построим точечную диаграмму . На рисунке 1 приведен снимок решения.

На графике видно, что уравнение имеет три корня, принадлежащие отрезкам [-4, -3], и . Эти отрезки можно выявить и наблюдая за сменой знаков функции в таблице. По построенному графику можно сделать вывод, что на указанных отрезках функция f (x ) монотонна и, следовательно, на каждом из них содержится только по одному корню.

Такой же анализ может быть выполнен и в пакете Mathcad. Для этого достаточно набрать определение функции f (x ) , используя оператор присваивания (:=) и естественные общепринятые обозначения математических операций и стандартных функций, задать цикл для изменения аргумента, например, а затем вывести на экран таблицу значений функции (располо­жен­ными в одной строке командами x = f (x )= ) и график. Цикл можно задать, например, командой x :=-5,-4.5…5 . Шаг цикла формируется путем задания начального и следующего за ним значений переменной, а перед конечным значением переменной ставится точка с запятой, которая будет визуально отображена на экране в виде многоточия.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image002_56.jpg" width="640" height="334">

Рисунок 1 – Таблица и график для отделения корней нелинейного уравнения

1.3 Уточнение корней стандартными средствами Excel и Mathcad

Во всех методах уточнения корней необходимо задать начальное прибли­же­ние, которое затем и будет уточняться. Если уравнение имеет несколько кор­ней, в зависимости от выбранного начального приближения будет найден один из них. При неудачно выбранном начальном приближении решение может и не быть найдено. Если в результате первого этапа расчетов уже выделен отрезок, содержа­щий единственный корень уравнения, в качестве начального приближения можно взять любую точку этого отрезка.

В Excel для уточнения значений корней можно использовать опции «Подбор параметра» и «Поиск решения». Пример оформления решения приведен на рисунках 2 и 3.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image004_31.jpg" width="501" height="175 src=">

Рисунок 3 – Результаты использования средств решения уравнения в Excel

В Mathcad для уточнения корней уравнения можно использовать функцию root (….) или блок решения . Пример использования функции root(…) приведен на рисунке 4, а блока решения на рисунке 5. Следует обратить внимание, что в блоке решения (после заголовка блока Given ) между левой и правой частями уравнения должен стоять жирный знак равенства (тождества), который можно получить выбором из соответствующей палитры инструментов, либо нажатием одновременно клавиши Ctrl и = .

243" height="31">

Рисунок 5 – Решение уравнения с использованием блока решения в Mathcad

Как видим, каждый стандартный инструмент находит решение уравнения с определенной точностью. Эта точность зависит от метода, используемого в пакете и, в определенной степени, настроек пакета. Управлять точностью результата здесь достаточно сложно, а часто и невозможно.

В то же время, очень просто построить собственную таблицу или написать программу, реализующие один из методов уточнения корней. Здесь можно использовать критерии точности расчета, задаваемые пользователем. При этом достигается и понимание процесса расчетов без опоры на принцип Митрофанушки: «Извозчик есть, довезет».

Далее рассмотрены несколько наиболее распространенных методов. Отметим очевидный момент: при прочих равных условиях тот метод уточнения корней будет более эффективен, в котором результат с той же погрешностью найден с меньшим числом вычислений функции f(x) (при этом достигается и максимальная точность при одинаковом числе вычислений функции).

1.4 Метод деления отрезка пополам

В этом методе на каждом шаге отрезок делится на две равные части. Затем сравнивают знаки функции на концах каждой из двух половинок (например, по знаку произведения значений функций на концах), определяют ту из них, в которой содержится решение (знаки функции на концах должны быть разные), и. сужают отрезок, перенося в найденную точку его границу (а или b ). Условием окончания служит малость отрезка, где содержится корень («точность по x »), либо близость к 0 значения функции в средине отрезка («точность по y»). Решением уравнения считают середину отрезка, найденного на последнем шаге.

Пример . Построить таблицу для уточнения корня уравнения x 3 –10 x +7=0 на отрезке [-4, -3] методом деления отрезка пополам. Определить сколько шагов надо сделать методом деления отрезка пополам и какая при этом достигается точность по х, для достижения точности по y , равной 0,1; 0,01; 0, 001.

Решение Для решения можно использовать табличный процессор Excel, позволяющий автоматически продолжать строки. На первом шаге заносим в таблицу значения левого и правого концов выбранного начального отрезка и вычисляем значение середины отрезка с =(a +b )/2, а затем вводим формулу для вычисления функции в точке a (f (a )) и растягиваем (копируем) её для вычисления f (c ) и f (b ). В последнем столбца вычисляем выражение (b -a )/2, характеризующего степень точности вычислений. Все набранные формулы можно скопировать во вторую строку таблицы.

На втором шаге нужно автоматизировать процесс поиска той половины отрезка, где содержится корень. Для этого испльзуется логическая функция ЕСЛИ (Меню : ВставкаФункцияЛогические). Для нового левого края отрезка мы проверяем истинность условия f (a )*f (c )>0, если оно верно, то мы в качестве нового значения левого конца отрезка берем число c a , c a . Аналогично, для нового правого края отрезка мы проверяем истинность условия f (c )* f (b )>0, если оно верно, то мы в качестве нового значения правого конца отрезка берем число c (т. к. это условие показывает, что корня на отрезке [c , b ] нет), иначе оставляем значение b .

Вторую строку таблицы можно продолжить (скопировать) на необходимое число последующих строк.

Итерационный процесс завершается, когда очередное значение в последнем столбце становится меньшим, чем заданный показатель точности ex. При этом, значение середины отрезка в последнем приближении, принимается в качестве приближенного значения искомого корня нелинейного уравнения. На рисунке 6 приведен снимок решения. Для построения аналогичного процесса в Mathcad можно использовать бланк, подобный приведенному на рисунке 7. Число шагов N может варьиро­вать­ся до достижения в таблице результатов требуемой точности. При этом таблица будет автоматически удлиняться или укорачиваться.

Итак, одним из трех корней нелинейного уравнения x 3 – 10x + 7=0, найденным с точностью e=0,0001, является x = - 3,46686. Как мы видим, он действительно принадлежит отрезку [-4; -3].

https://pandia.ru/text/78/157/images/image018_6.jpg" width="563" height="552 src=">

Рисунок 7 – Уточнение корня методом деления отрезка пополам в Mathcad

1.5 Метод хорд

В этом методе нелинейная функция f(x) на отделенном интервале [а, b ] заменяется линейной – уравнением хорды, т. е. прямой соединяющей граничные точки графика на отрезке. Условие применимости метода – монотонность функции на начальном отрезке, обеспечивающая единственность корня на этом отрезке. Расчет по методу хорд аналогичен расчету методом деления отрезка пополам, но теперь на каждом шаге новая точка x внутри отрезка [a , b ] рассчитывается по любой из следующих формул:

(х) > 0 ), или правая его граница: x0 = b (если f(b) f"(х)>0 ). Расчет нового приближения на следующем шаге i +1 производится по формуле:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image021_4.jpg" width="596" height="265 src=">

Рисунок 8 – Уточнение корня методом касательных в E xcel

Расчеты в Mathcad выполняются аналогично. При этом значительное облегчение доставляет наличие в этом пакете оператора, автоматически вычисляющего производную функции.

Наиболее трудоемким элементом расчетов по методу Ньютона является вычисление производной на каждом шаге.

При определенных условиях может использоваться упрощенный метод Ньютона , в котором производная вычисляется только один раз – в начальной точке. При этом используется видоизмененная формула

.

Естественно, что упрощенный метод, как правило, требует большего числа шагов.

Если вычисление производной связано с серьезными трудностями (например, если функция задана не аналитическим выражением, а вычисляющей ее значения программой) используется модифицированный метод Ньютона, получивший название – метод секущих . Здесь производная приближенно вычисляется по значениям функции в двух последовательных точках, то есть используется формула

.

В методе секущих необходимо задаться не одной, а двумя начальными точками – x 0 и x 1 . Точка x1 обычно задается сдвигом x0 к другой границе отрезка на малую величину, например, на 0.01.

1.7 Комбинированный метод

Можно показать, что если на начальном отрезке у функции f(x) сохраняются неизменными знаки первой и второй производных, то методы хорд и Ньютона приближаются к корню с разных. В комбинированном методе для повышения эффективности на каждом шаге использует оба алгоритма одновременно. При этом интервал, где содержится корень, сокращается с обеих сторон, что обусловливает другое условие окончания поиска. Поиск можно прекратить, как только в середине интервала, полученного на очередном шаге значение функции станет по модулю меньшим, чем предварительно заданной погрешности e f .

Если, в соответствии со сформулированным выше правилом, метод Ньютона применяется к правой границе отрезка, для вычислений используются формулы:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image025_10.gif" width="107" height="45 src=">.

Если метод Ньютона применяется к левой границе, – в предыдущих формулах меняются местами обозначения a и b .

1.8 Метод итераций

Для применения этого метода исходное уравнение f(x)=0 преобразуют к виду: x =y (х) . Затем выбирают начальное значение х0 и подставляют его в левую часть уравнения, получая, в общем случае, x 1 = y (х0) ¹ х0 ¹ y (х1) , поскольку х0 взято произвольно и не является корнем уравнения. Полученное значение х1 рассматривают как очередное приближение к корню. Его снова подставляют в правую часть уравнения и получают следующее значение х2= y (х1) ). Расчет продолжают по формуле хi+1= y (хi) . Получающаяся таким образом последовательность: х0, х1, х2, х3 х4,... при определенных условиях сходиться к корню хточн .

Можно показать, что итерационный процесс сходится при условии
|y ’ (x ) | < 1 на [a , b ].

Существуют различные способы преоб­ра­зо­вания уравнения f(x) = 0 к виду y (х) = х , причем в конкретном случае одни из них приведут к сходящемуся, а другие – к расходящемуся процессу вычислений.

Один из способов, заключается в применении формулы

https://pandia.ru/text/78/157/images/image027_10.gif" width="188" height="44 src=">

где М = max |y ’ (x )| на [a , b ].

Систему n нелинейных уравнений с n неизвестными x1, x2 , ..., xn записывают в виде:

где F1, F2 ,…, Fn – функции независимых переменных, среди которых есть нелинейные.

Как и в случае систем линейных уравнений, решением системы является такой вектор X *, который при подстановке обращает одновременно все уравнения системы в тождества.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image030_8.gif" width="191" height="56">

Начальные значения x 0 и y 0 определяются графически. Для нахождения каждого последующего приближения (xi +1 , yi +1 ) используют вектор значений функций и матрицу значений их первых производных, рассчитанные в предыдущей точке (xi , yi ) .

https://pandia.ru/text/78/157/images/image032_5.gif" width="276" height="63 src=">

Для расчета новых приближений на шаге i+1 используется матричная формула

https://pandia.ru/text/78/157/images/image034_4.gif" width="303" height="59 src=">.

Приведенные формулы особенно легко записать в Mathcad, где имеются операторы для вычисления производных и действий с матрицами. Однако при правильном использовании матричных операций эти формулы достаточно просто записываются и в Excel. Правда, здесь придется заранее получить формулы для вычисления производных. Для аналитического вычисления производных также может быть использован Mathcad.

2.3 Решение систем нелинейных уравнений методами итераций

Для реализации этих методов исходную систему уравнений необходимо путем алгебраических преобразований явно выразить каждую переменную через остальные. Для случая двух уравнений с двумя неизвестными новая система будет иметь вид

https://pandia.ru/text/78/157/images/image036_5.gif" width="114" height="57 src=">.

Если одно из решений системы и начальные значения x 0 и y 0 лежат в области D , задаваемой неравенствами: a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d , то расчет по методу простых итераций сходится при выполнении в области D соотношений:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image038_5.gif" width="75 height=48" height="48">< 1.

В методе итераций Зейделя для каждого расчета используют уже найденные наиболее точные значения каждой переменной. Для рассматриваемого случая двух переменных такая логика приводит к формулам

0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

Инструмент (опция)

Начальное приближение

Корень x

f(x)

3.Отсортировать полученные результаты по точности решения.

В классической математике многое выглядит элементарно. Так, если нужно найти экстремум некоторой функции, то предлагается взять ее производную, приравнять нулю, решить полученное уравнение и т.д. Вне сомнения, что первые два действия в состоянии выполнить многие школьники и студенты. Что касается третьего действия, то позвольте усомниться в его элементарности.

Пусть после взятия производной мы пришли к уравнению tg(x)=1/x . Проведем следующие преобразования:
tg(x)=1/x Ю x tg(x)=1 Ю x2 tg=1 Ю x2= 1 / tg(x) Ю x = ± .

Если в приведённой здесь цепочке преобразований ничто не взволновало вашу мысль, то может быть лучше обучение на этом прекратить и заняться чем-нибудь другим, не требующим уровня знаний выше церковно-приходской школы начала XX века.

В самом деле, мы прекрасно решаем квадратные и биквадратные уравнения, наипростейшие тригонометрические и степенные. Еще водятся "мастодонты", знающие о существовании формул Кардано для кубических уравнений. В общем же случае надежд на простое аналитическое решение нет. Более того, доказано, что даже алгебраическое уравнение выше четвертой степени неразрешимо в элементарных функциях. Поэтому решение уравнения проводят численно в два этапа (здесь разговор идет лишь о вещественных корнях уравнения). На первом этапе производится отделение корней - поиск интервалов, в которых содержится только по одному корню. Второй этап решения связан с уточнением корня в выбранном интервале (определением значения корня с заданной точностью).

1.1. Отделение корней

В общем случае отделение корней уравнения f(x)=0 базируется на известной теореме, утверждающей, что если непрерывная функция f(x) на концах отрезка имеет значения разных знаков, т.е. f(a)ґ f(b)Ј 0 , то в указан-ном промежутке содержится хотя бы один корень. Например, для уравнения f(x)= x 3 -6x+2=0 видим, что при x®Ґ f(x)>0 , при x®-Ґ f(x) , что уже свидетельствует о наличии хотя бы одного корня.

В общем случае выбирают некоторый диапазон, где могут обнаружиться корни, и осуществляют "прогулку" по этому диапазону с выбранным шагом h для обнаружения перемены знаков f(x) , т.е. f(x)ґ f(x+h) .

При последующем уточнении корня на обнаруженном интервале не надейтесь никогда найти точное значение и добиться обращения функции в нуль при использовании калькулятора или компьютера, где сами числа представлены ограниченным числом знаков. Здесь критерием может служить приемлемая абсолютная или относительная погрешность корня. Если корень близок к нулю, то лишь относительная погрешность даст необходимое число значащих цифр. Если же он весьма велик по абсолютной величине, то критерий абсолютной погрешности часто дает совершенно излишние верные цифры. Для функций, быстро изменяющихся в окрестности корня, может быть привлечен и критерий: абсолютная величина значения функции не превышает заданной допустимой погрешности.

1.2. Уточнение корней методом половинного деления (дихотомии)

Самым простейшим из методов уточнения корней является метод половинного деления, или метод дихотомии, предназначенный для нахождения корней уравнений, представленных в виде f(x)=0 .

Пусть непрерывная функция f(x) на концах отрезка имеет значения разных знаков, т.е. f(a)ґ f(b) Ј 0 (), тогда на отрезке имеется хотя бы один корень.

Возьмем середину отрезка с=(a+b)/2 . Если f(a)ґ f(c) Ј 0 , то корень явно принадлежит отрезку от a до (a+b)/2 и в противном случае от (a+b)/2 до b .

Поэтому берем подходящий из этих отрезков, вычисляем значение функции в его середине и т.д. до тех пор, пока длина очередного отрезка не окажется меньше заданной предельной абсолютной погрешности (b-a)e .

Так как каждое очередное вычисление середины отрезка c и значения функции f(c) сужает интервал поиска вдвое, то при исходном отрезке и предельной погрешности e количество вычислений n определяется условием (b-a)/2 n e , или n~log 2 ((b-a)/e ) . Например, при исходном единичном интервале и точности порядка 6 знаков (e ~ 10 -6 ) после десятичной точки достаточно провести 20 вычислений (итераций) значений функции.

С точки зрения машинной реализации () этот метод наиболее прост и используется во многих стандартных программных средствах, хотя существуют и другие более эффективные по затратам времени методы.

1.3. Уточнение корней методом хорд

В отличие от метода дихотомии, обращающего внимание лишь на знаки значений функции, но не на сами значения, метод хорд использует пропорциональное деление интервала ().

Здесь вычисляются значения функции на концах отрезка, и строится "хорда", соединяющая точки (a,f(a)) и (b,f(b)) . Точка пересечения ее с осью абсцисс

принимается за очередное приближение к корню. Анализируя знак f(z) в сопоставлении со знаком f(x) на концах отрезка, сужаем интервал до [a,z ] или [z,b ] и продолжаем процесс построения хорд до тех пор, пока разница между очередными приближениями не окажется достаточно малой (в пределах допустимой погрешности) |Z n -Z n-1 |e .

Можно доказать, что истинная погрешность найденного приближения:

Где X * - корень уравнения, Z n и Z n+1 - очередные приближения, m и M - наименьшее и наибольшее значения f(x) на интервале [a,b ].

1.4. Уточнение корней методом касательных (Ньютона)

Обширную группу методов уточнения корня представляют итерационные методы - методы последовательных приближений. Здесь в отличие от метода дихотомии задается не начальный интервал местонахождения корня, а его начальное приближение.

Наиболее популярным из итерационных методов является метод Ньютона (метод касательных) .

Пусть известно некоторое приближенное значение Z n корня X * . Применяя формулу Тейлора и ограничиваясь в ней двумя членами, имеем

откуда

.

Геометрически этот метод предлагает построить касательную к кривой y=f(x) в выбранной точке x=Z n , найти точку пересечения её с осью абсцисс и принять эту точку за очередное приближение к корню ().

Очевидно, что этот метод обеспечивает сходящийся процесс приближений лишь при выполнении некоторых условий (например при непрерывности и знакопостоянстве первой и второй производной функции в окрестности корня) и при их нарушении либо дает расходящийся процесс (), либо приводит к другому корню ().

Очевидно, что для функций, производная от которых в окрестности корня близка к нулю, использовать метод Ньютона едва ли разумно.

Если производная функции мало изменяется в окрестности корня, то можно использовать видоизменение метода

.

Существуют и другие модификации метода Ньютона.

1.5. Уточнение корней методом простой итерации

Другим представителем итерационных методов является метод простой итерации .

Здесь уравнение f(x)=0 заменяется равносильным уравнением x=j (x) и строится последовательность значений

Лабораторная работа № 1.8. Решение нелинейных уравнений заданным методом

(4 – 7 балла)

1.Цель работы

научиться использовать электронные таблицы и средства Excel для определения интервалов существования корней скалярного уравнения и последующего их вычисления с заданной точностью.

2.Необходимые программные и технические средства

• 
  Персональный компьютер.
• 
  Тип операционной системы – Windows XP и выше.
• 
  MS Office версии 97-2003 и выше.

В общем виде уравнение n-й степени выглядит следующим образом:

где n − некоторое положительное число,
− произвольные числа, причем старший коэффициент должен быть не равен нулю.

Выражение
называется многочленом (полиномом) n -й степени от неизвестного x .

Если при некотором x = x 0 выполняется равенство
, то x 0 называется корнем многочлена .

4.Задание

1. найти корень с погрешностью eps=0,0001 методом половинного деления (дихотомии) - локализовать один корень уравнения табличным методом и построить график функции в области этого корня;

2. найти корень с помощью инструмента «Подбор параметра»;

3. найти корень с помощью инструмента «Поиск решения».

Варианты заданий:

1. 
   х 6 +2х 5 +10х 3 -9х 2 +15х-17,5=0
2. 
   х 5 -2,8х 4 +3х 3 -3х 2 +4,4х-5=0
3. 
   х 6 +6,5х 5 -14х 4 +14х 3 -17х 2 +21х-22,5=0
4. 
   х 6 +10,5х 5 -24х 4 +28х 3 -29х 2 +39х-45=0
5. 
   х 5 -1,8х 4 -1,9х 3 -2,3х 2 +2,8х-3=0
6. 
   х 6 +10,5х 5 -18х 4 +22х 3 -17х 2 +31х-37,5=0
7. 
   х 5 -3х 4 +3,2х 3 -3,5х 2 +4,6х-5=0
8. 
   х 6 +7,5х 5 -18х 4 +20х 3 -11х 2 +19х-22,5=0
9. 
   х 5 -2х 4 +2,9х 3 -2,44х 2 +4,2х-5=0
10. 
    х 6 +9х 5 -18х 4 +19х 3 -19х 2 +30х-35=0
11. 
    х 5 -2,6х 4 +2,82х 3 -3,41х 2 +4,12х-3,23=0
12. 
    х 6 +6,5х 5 -20х 4 +21х 3 -21х 2 +31х-32,5=0
13. 
    х 5 -4х 4 +4х 3 -4,33х 2 +6х-6,67=0
14. 
    х 6 +3,5х 5 -14х 4 +14х 3 -17х 2 +21х-22,5=0
15. 
    х 5 -1,6х 4 +2,5х 3 -2,7х 2 +3,6х-4=0
16. 
    х 6 +8,5х 5 -16х 4 +19х 3 -15х 2 +27х-32,5=0
17. 
    х 6 +4,5х 5 -18х 4 +22х 3 -17х 2 +31х-37,5=0
18. 
    х 5 -2х 4 +2,09х 3 -2,52х 2 +3х-3,26=0
19. 
    х 6 +9,5х 5 -20х 4 +22х 3 -25х 2 +32х-35=0
20. 
    х 5 -2х 4 +2,25х 3 -2,58х 2 +3,25х-3,54=0
21. 
    х 4 -3х 3 +20х 2 +44х+54=0
22. 
    (cos(x)-3sin(x)) 2 -e x =0
23. 
    2cos(x)+2x 2 =1
24. 
    ln(x+1)=x 2 +1+5cos(x) 2
25. 
    3cos(x) 2 +2,3sin(x)=0,5ln(x-0.5)

Ознакомьтесь с общими сведениями о предмете лабораторной работы (см. выше в описании данной работы) и рекомендуемыми дополнительными материалами.

Уясните цель работы.

Подготовьте необходимые программные и технические средства (см. выше в описании данной работы).

Приступайте к выполнению работы:

Действительными корнями многочлена будут абсциссы точек пересечения его графика с осью Х и только они.

Число положительных корней многочлена равно числу перемен знаков в системе коэффициентов этого многочлена (коэффициенты, равные нулю, не учитываются) или меньше этого числа на четное число.

Число отрицательных корней многочлена равно числу сохранения знаков в системе коэффициентов этого многочлена или меньше этого числа на четное число.

Если многочлен не имеет отрицательных коэффициентов, то многочлен не имеет положительных корней.

О
трезок
локализации всех корней многочлена определяется по выражению:

Для границы a формула справедлива если

Для отыскания корней многочлена с помощью электронной таблицы MS Excel необходимо выполнить следующие шаги:

Провести табулирование заданного многочлена на интервале .

Выявить интервалы локализации каждого корня многочлена (перемена знака в значении ). При необходимости, следует использовать табуляцию многочлена, неоднократно уменьшая шаг табуляции для более точных оценок.

После локализации корней произвести их уточнение.

При последующем уточнении корня на обнаруженном интервале не надейтесь никогда найти точное значение и добиться обращения функции в нуль при использовании калькулятора или компьютера, где сами числа представлены ограниченным числом знаков. Здесь критерием может служить приемлемая абсолютная или относительная погрешность корня. Если корень близок к нулю, то лишь относительная погрешность даст необходимое число значащих цифр. Если же он весьма велик по абсолютной величине, то критерий абсолютной погрешности часто дает совершенно излишние верные цифры. Для функций, быстро изменяющихся в окрестности корня, может быть привлечен и критерий: абсолютная величина значения функции не превышает заданной допустимой погрешности.

Пример 1

Найти все действительные корни уравнения:

f(x) = х 5 + 2х 4 + 5х 3 + 8х 2 – 7х – 3 = 0 , где а 5 = 1, а 4 = 2, а 3 = 5, а 2 = 8, а 1 = −7, а 0 = −3.

Число сохраненных знаков = 4 (в уравнение отрицательных корней 4 или 2).

^ Число перемены знаков = 1 (в уравнение один положительный корень).

О
пределяем отрезок , на котором существуют корни уравнения

Выполняем приближенное табулирование функции на отрезке [−9; 9] с шагом 1.

Определяем, что функция меняет знак на отрезке [−3; 1].

Производим табулирование функции на отрезке [−3; 1] с шагом 0,1.

Строим график функции.

Используя, таблицу и график функции определяем положение корней уравнения (на рис. 1. отрезки локализации корней выделены желтым цветом).

Из таблицы и графика видно, что многочлен f(x) содержит 3 корня, находящихся в границах отрезков: 1 корень [-2,1; -2]; 2 корень [-0.4; -0,3]; 3 корень .

^ Уточнение корней методом половинного деления (дихотомии)

Самым простейшим из методов уточнения корней является метод половинного деления , или метод дихотомии , предназначенный для нахождения корней уравнений, представленных в виде f(x)= 0.

Пусть непрерывная функция f(x) на концах отрезка [a,b ] имеет значения разных знаков, т.е. f(a)×f(b) ≤ 0 (рис. 2), тогда на отрезке имеется хотя бы один корень.

Возьмем середину отрезка с=(a+b) / 2. Если f(a)×f(с) ≤ 0, то корень явно принадлежит отрезку от a до (a+b ) / 2 и в противном случае от (a+b ) / 2 до b .

Поэтому берем подходящий из этих отрезков, вычисляем значение функции в его середине и т.д. до тех пор, пока длина очередного отрезка не окажется меньше заданной предельной абсолютной погрешности (b-a ) ε.

Так как каждое очередное вычисление середины отрезка c и значения функции f(c) сужает интервал поиска вдвое, то при исходном отрезке [a,b ] и предельной погрешности ε количество вычислений n определяется условием (b-a )/2n ε, или n ~ log 2((b-a )/ε ). Например, при исходном единичном интервале и точности порядка 6 знаков (ε ~ 10 -6) после десятичной точки достаточно провести 20 вычислений (итераций) значений функции.

С точки зрения машинной реализации этот метод наиболее прост и используется во многих стандартных программных средствах, хотя существуют и другие более эффективные по затратам времени методы.

Вычислительная процедура в Excel может быть реализована так

В ячейки вносим следующие формулы:

В ячейку А2 − а (левая граница интервала локализации корня);

В ячейку В2 − b (правая граница интервала локализации корня);

В ячейку С2 − =(А2+В2)/2;

В ячейку D2 − =f (A2)*f (C2);

В ячейку F2 − 0,0001 (абсолютная погрешность);

В ячейку А3 − =ЕСЛИ(D2
В ячейку B3 − =ЕСЛИ(D2
В ячейку D3 − =f (A3)*f (C3);

В ячейку Е3 − =ЕСЛИ(ABS(B3-A3)>$F$2;”продолжаем”;”конец”);

После этого выделяются ячейки А3:Е3 и автозаполнением буксируются вниз до появления в столбце Е сообщения “конец”. Вычисленный корень с заданной точностью будет находиться в конце столбца F.

Вернемся к примеру, и с помощью метода половинного деления уточним значения корней в выделенных отрезках.

Первый корень находится внутри отрезка = [-2,1; -2] расположенного по адресу А2:В2. Заполняем рабочий лист формулами (рис. 4) и с заданной точностью 0,0001 определяем его значение (рис. 5). Ответ находится в ячейке С12 и равен X 1 = -2,073.

Границы отрезка второго корня находящегося внутри отрезка = [-0,4; -0,3] подставляем в таблицу по адресу А2:В2. Определяем его значение (рис. 6). Ответ находится в ячейке С12 и равен X 2 = -0,328.

Границы отрезка третьего корня находящегося внутри отрезка = подставляем в таблицу по адресу А2:В2. Определяем его значение (рис. 7). Ответ находится в ячейке С12 и равен X 3 = 0,7893.

Как и предполагалось, имеется три корня, два из которых отрицательные (Х 1 = -2,073; Х 2 = -0,32808; Х 3 = 0,789307).

^ Уточнение корней средством “Подбор параметра”

Обширную группу методов уточнения корня представляют итерационные методы – методы последовательных приближений. Здесь в отличие от метода дихотомии задается не начальный интервал местонахождения корня, а его начальное приближение.

Когда желаемый результат вычислений по формуле известен (подстановка значения корня в уравнение делает его равным нулю), но неизвестны значения, необходимые для получения этого результата, можно воспользоваться средством Подбор параметр а. Для этого выбирается команда Подбор параметра в меню Серви с . При подборе параметра MS Excel изменяет значение в одной конкретной ячейке до тех пор, пока вычисления по формуле, ссылающейся на эту ячейку, не дадут нужного результата.

Когда задаются условия для применения средства ^ Подбор параметра , в одной ячейке обычно вводится формула, а переменная, которая используется в формуле (с некоторым стартовым значением), задана в другой ячейке.

В формуле можно применять больше одной переменной, но средство ^ Подбор параметра позволяет работать только с одной переменной зараз. Для поиска решения в средстве Подбор параметра применяется итеративный алгоритм . Это означает, что функция сначала проверяет заданное исходное значение параметра и проверяет, дает ли это значение нужный результат. Если исходное значение параметра не дает желаемого результата, средство перебирает другие значения, пока не будет найдено решение.

Поскольку поиск точного решения в некоторых задачах может занять много времени, поэтому MS Excel пытается найти компромисс, устанавливая определенные ограничения по точности решения или максимальному количеству итераций.

Средство ^ Подбор параметра вызывается командой Сервис | Подбор параметра (рис.8).

В окне диалога Подбор параметра в поле Установить в ячейке введем ссылку на ячейку с формулой, в поле Значение − ожидаемый результат, в поле Изменяя значение ячейки − ссылку на ячейку, в которой будет храниться значение подбираемого параметра (содержимое этой ячейки не может быть формулой).

Пример 2

Вычислить корень уравнения f(x) = -5х + 6 = 0 с помощью средства ^ Подбор параметра

В ячейку В2 введем любое число, например, 0.

В ячейку В3 введем формулу =-5*В2+6.

Вызовем диалоговое окно Подбор параметра и заполним соответствующие поля.

После нажатия на кнопку ^ ОК Excel выведет окно диалога Результат подбора параметра. Если подобранное значение необходимо сохранить, то нажмите на ОК , и результат будет сохранен в ячейке, заданной ранее в поле Изменяя значения ячейки .

Для восстановления значения, которое было в ячейке В2 до использования команды ^ Подбор параметра , нажмите кнопку Отмена .

Как видно из примера в ячейке B2 установилось точное значение корня уравнения

Х = 1,2.

При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс. Количество итераций и точность устанавливаются в меню Сервис | Параметры … | вкладка Вычисления, в которой задается Предельное число итераций (по умолчанию 100) и Относительная погрешность (по умолчанию 0,001).

Если Excel выполняет сложную задачу подбора параметра, можно нажать кнопку ^ Пауза в окне диалога Результат подбора параметра и прервать вычисление, а затем нажать кнопку Шаг , чтобы выполнить очередную итерацию и посмотреть результат. При решении задачи в пошаговом режиме появляется кнопка Продолжить − для возврата в обычный режим подбора параметра.

Пример 3

Возьмем в качестве примера все тоже квадратное уравнение

f (x ) = Х 5 + 2Х 4 + 5Х 3 + 8Х 2 − 7Х – 3 = 0.

Для нахождения корней уравнения с помощью средства ^ Подбор параметра выполним следующие действия:

В таблице функции (рис.1) выявляем интервалы локализации корней уравнения (перемена знака в значении функции): первый интервал ячейки Е20:Е21, значение (-1,2698 и 3); второй интервал ячейки Е37:Е38, значение (0,80096 и -0,3012); третий интервал ячейки Е48:Е49, значение (-1,6167 и 0,22688);

В каждом интервале выбираем то значение функции, которое ближе к 0 и составляем пары ячеек «аргумент-значение»: первый корень D20:E20; второй корень D38:E38; третий корень D49:E49.

Уточняем значения корней средством ^ Подбор параметра (рис. 10, 11, 12).

Рис. 10. Корень уравнения Х 1 = -2,073

Рис. 11. Корень уравнения Х 2 = -0,32804

Рис. 12. Корень уравнения Х 3 = 0,78934

Значения корней уравнения, полученные приближением методом половинного деления: Х1 = -2,073; Х2 = -0,32808; Х3 = 0,789307.

Определение значения корней скалярного уравнения с заданной степенью точности с помощью инструмента ^ Поиск решения

В качестве примера возьмем тоже уравнение: f(x) = Х 5 + 2Х 4 + 5Х 3 + 8Х 2 − 7Х – 3 = 0.

Для более точного определения корня в каждом из выделенных диапазонов следует воспользоваться командой ^ Сервис | Поиск решения . Для этого в ячейку, например, H8 введем формулу для вычисления f(x), а начальное приближение поместим в ячейку G8. Назовем их соответственно Целевая ячейка и Корень. В ячейку G8 введем первоначально значение, принадлежащее первому выделенному диапазону. Возьмем его на середине интервала равным –3,76 (можно эту ячейку оставить пустой). В ячейку H8 введем формулу =G8^5+2*G8^4+5*G8^3+8*G8^2-7*G8-3.

После выбора команды Сервис | Поиск решения появится диалог, в котором в поле Установить целевую ячейку введем $H$8. Затем выберем кнопку Равной значению 0 .

В поле Изменяя ячейки введем $G$8. В окно Ограничения с помощью кнопки Добавить следует указать диапазон поиска корня следующим образом:

• 
  Для левой границы первого интервала –2,1 (оно находится в ячейке D20) $G$8 >= $D$20.
• 
  Для правой границы первого интервала –2 (оно находится в ячейке D21) $G$8

Выбор кнопки Параметры приводит к появлению диалога (рис. 15), в котором можно задать параметры поиска.

Поле ^ Предельное число итераций позволяет назначить число «циклов» поиска решения. Значения 100, принятого по умолчанию, достаточно для большинства задач.

Относительная погрешность обеспечивает назначение величины f зад в признаке достижения решения f к =(f k +1 – f k)/f k
Флажок ^ Линейная модель используется, если задача является задачей линейного программирования. В нашем случае его устанавливать не надо.

Флажок Показывать результаты итераций позволяет приостанавливать процесс поиска после каждой итерации для анализа процесса поиска. При этом выводится диалоговое окно Текущее состояние поиска , выбор в котором кнопки Продолжить позволяет выполнять следующую итерацию. Результаты, полученные на каждой итерации, выводятся в ячейке G8.

Выбор метода решения зависит от типа нелинейности.

Отметим, что задачи решения нелинейных уравнений и методы безусловной оптимизации тесно связаны. Поэтому после нажатия кнопки Выполнить по окончании поиска появится сообщение, представленное на рис. 16.

Если в верхней части этого окна будет выведено сообщение ^ Р ешение не найдено , следует в ячейке H8 использовать формулу, вычисляющую либо |f(x)|, либо (f (x)) 2 . Затем в окне Поиск решения (рис.13) выбрать переключатель Равной минимальному значению .

С помощью диалогового окна ^ Результаты поиска решения можно просмотреть отчеты трех типов: результаты, устойчивость, пределы. Отчеты каждого типа вызываются по следующему алгоритму:

• 
  Курсор на тип вызываемого отчета.
• 
  ОК. (На экране вызванный отчет на новом листе, на ярлычке которого указано название отчета).
• 
  Курсор на ярлычок с названием отчета. (На экране вызванный отчет).

Роль и возможности инструментов MS Excel для решения скалярного уравнения с заданной степенью точности.

^ Подбор параметров .

Назначение и особенности инструмента Поиск решения .

Особенности выполнения математических расчетов и задания целевой ячейки.
^

8.Порядок защиты

Ответить на вопросы:

1. 
   Какое количество действительных корней имеет уравнение n степени?
2. 
   Что такое отрезок локализации корня?
3. 
   Что значит локализовать корень?
4. 
   В чём заключается идея решения уравнений методом деления отрезка пополам?
5. 
   Как можно оценить погрешность вычисления корня методом деления отрезка пополам?
6. 
   Как с помощью инструмента «Подбор параметра» найти значение корня?
7. 
   Уточнение корней методом половинного деления (дихотомии).
8. 
   Метод Подбор параметра .
9. 
   Метод Поиск решения .

Пусть корень уравнения (1) отделен на отрезке . Требуется найти значение корня с точностью ε .

"Процедура уточнения положения корня заключается в построении последовательности вложенных друг в друга отрезков, каждый из которых содержит корень уравнения. Для этого находится середина текущего интервала неопределенности (6) :

В в качестве следующего интервала неопределенности из двух возможных выбирается тот, на концах которых функция F(x)=0 имеет разные знаки"[8 ]. "Точность будет достигнута, если:

Корень уравнения вычисляется по формуле x=(a n +b n)/2 (7) "[1 ].

Пусть дана задача следующего характера: Уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом половинного деления с точностью до 0,00001, используя:

1. Mathcad ;

Для того чтобы уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом половинного деления, используя Excel, необходимо выполнить следующие действия:

1. Заполнить ячейки A1:H1 последовательно следующим образом: a, b, c=(a+b)/2, f(a), f(b), f(c), |b-a|<=2*e, e.

2. Ввести в ячейку A2 число 5, в ячейку B2 - число 6.

3. В ячейку B2 ввести формулу: =(A2+B2)/2.

4. В ячейку D2 ввести формулу: =cos(2*A2)+A2-5, скопировать эту формулу в ячейки E2:F2.

5. Ввести в ячейку G2 формулу: =ЕСЛИ(ABS(B2-A2)<=2*$H$2;C2;"-").

6. Ввести в ячейку H2 число 0,00001.

7. В ячейку A3 ввести формулу: =ЕСЛИ(D2*F2<0;A2;C2).

8. В ячейку B3 ввести формулу: =ЕСЛИ(D2*F2<0;C2;B2).

9. Диапазон ячеек C2:G2 скопировать в диапазон ячеек C3:G3.

10. Выделить диапазон ячеек A3:G3 и с помощью маркера заполнения заполнить все нижестоящие ячейки до получения результата в одной из ячеек столбца G (это ячейки A3:G53).

В итоге получаем следующее:

Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5,32977.

1. Метод хорд

Берілген әдісті шешу үшін y=F(x) функциясын құру керек

" Для реализации данного метода, нужно построить исходную функциюy=F(x) и найти значения функции на концах отрезка F(a) и F(b) . Затем провести хорду М 1 M 2 c концами в точкахМ 1 (a, F(a)) и M 2 (b, F(b)). Абсцисса точки пересечения хорды М 1 M 2 с осью OX это и есть приближенный кореньx 1 . Далее найти точкуM 3 (X 1 ,F(x 1)) , построить следующую хорду и найти второй приближенный корень x 2 . И так далее. В зависимости от поведения функции возможны два случая :

Для первого случая (Рис. 1) справедлива следующая формула (8) :

и справедливо неравенство: F(a)*F""(a)>0, где x 0 =b.

Для второго случая (Рис. 2) справедлива следующая формула (9) :

и справедливо неравенство: F(b)*F""(b)>0 , где x 0 =a .

Условия сходимости метода секущих аналогичны условиям сходимости метода Ньютона, т. е."[1 ]

Пусть дана задача: Уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом хорд с точностью до 0,00001, используя:

1. Mathcad ;

Для того чтобы уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом хорд, используя Excel, необходимо выполнить следующие действия:

1. Выбрать одну из двух предложенных формул для решения задачи, для этого:

o Найти производную первого порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f1(x)=-2sin(2x)+1.

o Найти производную второго порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f2(x)=-4cos(2x).

o Заполнить ячейки следующим образом:

В ячейку A1 ввести a.

В ячейку A2 ввести цифру 5.

В ячейку B1 ввести b.

В ячейку B2 ввести цифру 6.

В ячейку C1 ввести f(x)=cos(2x)+x-5.

В ячейку C2 ввести формулу =COS(2*A2)+A2-5.

В ячейку D1 ввести f1(x)=-2sin(2x)+1.

В ячейку E1 ввести f2(x)=-4cos(2x).

В ячейку E2 ввести формулу =-4*COS(2*A2).

В ячейку F1 ввести Выбор формулы.

В ячейку F2 ввести формулу =ЕСЛИ(C2*E2>0;"Воспользоваться формулой 8";"Воспользоваться формулой 9").

В ячейку G1 ввести e.

В ячейку G2 ввести цифру 0,00001.

o В итоге получается следующее:

2. Исходя из того, что выбрана формула 9, в Excel необходимо выполнить следующие действия:

o В ячейку A4 ввести xn.

o В ячейку B4 ввести f(xn).

o В ячейку C4 ввести b-xn.

o В ячейку D4 ввести f(xn)*(b-xn).

o В ячейку E4 ввести f(b).

o В ячейку F4 ввести f(b)-f(xn).

o В ячейку G4 ввести xn-f(xn)*(b-xn)/f(b)-f(xn).

o В ячейку H4 ввести |f(xn)|<=e.

o В ячейку A5 ввести цифру 5.

o В ячейку B5 ввести формулу =COS(2*A5)+A5-5.

o В ячейку C5 ввести формулу =$B$2-A5.

o В ячейку D5 ввести формулу =B5*C5.

o В ячейку E5 ввести формулу =COS(2*$B$2)+$B$2-5.

o В ячейку F5 ввести формулу =$E$5-B5.

o В ячейку G5 ввести формулу =A5-(B5*C5/F5).

o В ячейку H5 ввести формулу =ЕСЛИ(ABS(B5)<=$G$2;A5;"-").

o В ячейку A6 ввести формулу =G5.

o Выделить диапазон ячеек B5:D5 и скопировать его методом протягивания в диапазон ячеек B6:D6.

o Выделить диапазон ячеек F5:H5 и скопировать его методом протягивания в диапазон ячеек F6:H6.

o Выделить диапазон ячеек A6:H6 и скопировать его методом протягивания в диапазон ячеек ниже до получения результата в одной из ячеек столбца H (A6:H9).

В итоге получаем следующее:

Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5,32976.