Основные правила и формулы нахождения производной. Производная, правила и формулы дифференцирования

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

2. Основные правила дифференцирования

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Применяя правила (5) и (8) и формулу (4) дифференцирования степенной функции получим

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Применим правило (7) дифференцирования произведения, а затем найдём производные сомножителей так же, как в примере 4. Тогда получим

Пример 3. Найти производную функции у =

Решение. Применим правило (10) дифференцирования частного:

Затем, так же как и выше, вычислим производные в числителе. Имеем

Текст задания:

Вариант 1

1. Найти производную функции .

2. Найти производную функции .

в точке с абсциссой , .

Вариант 2

1. Найти производную функции .

2. Найти производную функции .

3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .

4. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t =5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 3

1. Найти производную функции .

2. Найти производную функции .

3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .

Вариант 4

1. Найти производную функции .

2. Найти производную функции .

3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .

Вариант 5

1. Найти производную функции .

2. Найти производную функции .

3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .

Вариант 6

1. Найти производную функции .

2. Найти производную функции .

3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .

Практическая работа № 16

Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Цель работы: закрепить знания и умения студентов по освоению темы, формировать навыки прикладного использования аппарата производной.

Теоритическое обоснование:

Схема исследования функции и построение ее графика

I. Найти область определения функции.
II. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
III. Найти асимптоты.
IV. Найти точки возможного экстремума.
V. Найти критические точки.
VI. С помощью вспомогательного рисунка исследовать знак первой производных. Определить участки возрастания и убывания функции, точки экстремумов.
VII. Построить график, учитывая исследование, проведенное в п.1-6.

Таблица производных элементарных функций

Определение 1

Вычисление производной называют дифференцированием .

Обозначают производную $y"$ или $\frac{dy}{dx}$.

Замечание 1

Для нахождения производной функции согласно основным правилам дифференцирования превращают в другую функцию.

Рассмотрим таблицу производных. Обратим внимание на то, что функции после нахождения их производных преобразуются в другие функции.

Исключение составляет лишь $y=e^x$, превращающаяся сама в себя.

Правила дифференцирования производной

Чаще всего при нахождении производной требуется не просто посмотреть в таблицу производных, а вначале применить правила дифференцирования и доказательство производной произведения, и только потом использовать таблицу производных элементарных функций.

1. Постоянная выносится за знак производной

$C$ – постоянная (константа).

Пример 1

Продифференцировать функцию $y=7x^4$.

Решение.

Находим $y"=(7x^4)"$. Выносим число $7$ за знак производной, получаем:

$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$

используя таблицу, необходимо находить значение производной степенной функции:

$=7 \cdot 4x^3=$

Преобразуем результат к принятому в математике виду:

Ответ: $28x^3$.

2. Производная суммы (разницы) равна сумме (разнице) производных:

$(u \pm v)"=u" \pm v"$.

Пример 2

Продифференцировать функцию $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt{x^2}+\frac{4}{x^4} -11\cot x$.

Решение.

$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt{x^2}+\frac{4}{x^4} -11\cot x)"=$

применим правило дифференцирования производной суммы и разницы:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt{x^2})"+(\frac{4}{x^4})"-(11\cot x)"=$

отметим, что при дифференцировании все степени и корни необходимо преобразовать к виду $x^{\frac{a}{b}}$;

вынесем все постоянные за знак производной:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^{\frac{2}{5}})"+(4x^{-4})"-(11\cot x)"=$

$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^{\frac{2}{5}})"+4(x^{-4})"-11(\cot x)"=$

разобравшись с правилами дифференцирования, некоторые из них (например, как последние два) применяются одновременно во избежание переписывания длинного выражения;

мы получили выражение из элементарных функций, стоящих под знаком производной; воспользуемся таблицей производных:

$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac{2}{5} x^{-\frac{3}{5}}+12x^{-5}-11 \cdot \frac{-1}{\sin^2 x}=$

преобразуем к виду, принятому в математике:

$=1-25x^4+4 \cos x-\frac{18}{5\sqrt{x^3}}+\frac{12}{x^5} +\frac{11}{\sin^2 x}$

Обратим внимание, что при нахождении результата принято слагаемые с дробными степенями преобразовать в корни, а с отрицательными – в дроби.

Ответ : $1-25x^4+4 \cos x-\frac{18}{5\sqrt{x^3}}+\frac{12}{x^5} +\frac{11}{\sin^2 x}$.

3. Формула производной произведения функций:

$(uv)"=u" v+uv"$.

Пример 3

Продифференцировать функцию $y=x^{11} \ln x$.

Решение.

Сначала применим правило вычисления производной произведения функций, а затем используем таблицу производных:

$y"=(x^{11} \ln x)"=(x^{11})" \ln x+x^{11} (\lnтx)"=11x^{10} \ln x+x^{11} \cdot \frac{1}{x}=11x^{10} \ln x-\frac{x^{11}}{x}=11x^{10} \ln x-x^{10}=x^{10} (11 \ln x-1)$.

Ответ : $x^{10} (11 \ln x-1)$.

4. Формула производной частной функции:

$(\frac{u}{v})"=\frac{u" v-uv"}{v^2}$.

Пример 4

Продифференцировать функцию $y=\frac{3x-8}{x^5-7}$.

Решение.

$y"=(\frac{3x-8}{x^5-7})"=$

по правилам приоритета математических операций сначала выполним деление, а потом сложение и вычитание, поэтому применим сначала правило вычисления производной частного:

$=\frac{(3x-8)" (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)"}{(x^5-7)^2} =$

применим правила производных суммы и разности, раскроем скобки и упростим выражение:

$=\frac{3(x^5-7)-5x^4 (3x-8)}{(x^5-7)^2} =\frac{3x^5-21-15x^5+40x^4}{(x^5-7)^2} =\frac{-12x^5+40x^4-21}{(x^5-7)^2}$ .

Ответ: $\frac{-12x^5+40x^4-21}{(x^5-7)^2}$.

Пример 5

Продифференцируем функцию $y=\frac{x^7-2x+3}{x}$.

Решение.

Функция y является частным двух функций, поэтому можно применить правило вычисления производной частного, но в таком случае получим громоздкую функцию. Для упрощения данной функции можно почленно разделить числитель на знаменатель:

$y=\frac{x^7-13x+9}{x}=x^6-13+\frac{9}{x}$.

Применим к упрощенной функции правило дифференцирования суммы и разности функций:

$y"=(x^6-13+\frac{9}{x})"=(x^6)"+(-13)"+9(x^{-1})"=6x^5+0+9 \cdot (-x^{-2})=$

$=6x^5-\frac{9}{x^2}$.

Ответ : $6x^5-\frac{9}{x^2}$.

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке х o называется предел

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x o ; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Если же рассматриваемый предел равен ¥ (или - ¥), то при условии, что функция в точке х o непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х o бесконечную производную .

Производная обозначается символами

y ¢, f ¢(x o), , .

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том,что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х o ; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t o .

1) (с) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

5) если y = f(u), u = j(x), т.е. y = f(j(x)) - сложная функция, или суперпозиция , составленная из дифференцируемых функций j и f, то , или

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем ¹ 0, то .

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

1. (u m)" = m u m - 1 u" (m Î R ).

2. (a u)" = a u lna× u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u× u".

7. (cos u)" = - sin u× u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u× u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Вычислим производную степенно-показательного выражения
y=u v , (u>0), где u и v суть функции от х , имеющие в данной точке производные u" , v" .

Прологарифмировав равенство y=u v , получим ln y = v ln u.

Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будем иметь:

y"/y = vu"/u +v" ln u, откуда y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.

Например, если y = x sin x , то y" = x sin x (sin x/x + cos x× ln x).

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x , т.е. имеет в этой точке конечную производную y" , то = y"+a, где a®0 при Dх® 0; отсюда D y = y" Dх + a x.

Главная часть приращения функции, линейная относительно Dх, называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy = y" Dх. Если положить в этой формуле y=x, то получим dx = x"Dх = 1×Dх =Dх, поэтому dy=y"dx, т. е. символ для обозначения производной можно рассматривать как дробь.

Приращение функции D y есть приращение ординаты кривой, а дифференциал dy есть приращение ординаты касательной.

Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y ¢= f ¢(x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается .

Аналогично определяются и обозначаются:

производная третьего порядка - ,

производная четвертого порядка -

и вообще производная n-го порядка - .

Пример 15. Вычислить производную функции y=(3x 3 -2x+1)×sin x.

Решение. По правилу 3, y"=(3x 3 -2x+1)"×sin x + (3x 3 -2x+1)×(sin x)" =
= (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x+1)cos x.

Пример 16 . Найти y", y = tg x + .

Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

Пример 17. Найти производную сложной функции y= ,
u=x 4 +1.

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u + . Так как u=x 4 +1,то
(2 x 4 +2+ .

Пример 18.

Решение. Представим функцию y= в виде суперпозиции двух функций: y = e u и u = x 2 . Имеем: y" x =y " u u" x = (e u)" u (x 2)" x = e u ×2x. Подставляя x 2 вместо u , получим y=2x .

Пример 19. Найти производную функции y=ln sin x.

Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln u вычисляется по формуле y" = (ln u)" u (sin x)" x = .

Пример 20. Найти производную функции y= .

Решение. Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила 5:

Пример 21 . Вычислить производную y=ln .

Решение. Логарифмируя и используя свойства логарифмов, получим:

y=5/3ln(x 2 +4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x 3 +1)-1/3tg 5x.

Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:

2.2. Предельный анализ в экономике. Эластичность функции

В экономических исследованиях для обозначения производных часто пользуются специфической терминологией. Например, если f(x) есть производственная функция, выражающая зависимость выпуска какой-либо продукции от затрат фактора x , то f "(x) называют предельным продуктом ; если g(x) есть функция издержек, т. е. функция g(x) выражает зависимость общих затрат от объема продукции x , то g"(x) называют предельными издержками .

Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Большей частью плановые расчеты, основывающиеся на обычных статистических данных, ведутся в форме суммарных показателей. При этом анализ заключается главным образом в вычислении средних величин. Однако в некоторых случаях оказывается необходимым более детальное исследование с учетом предельных значений. Например, при выяснении издержек производства зерна в районе на перспективу принимают во внимание, что издержки могут быть различными в зависимости, при прочих равных условиях, от предполагаемых объемов сбора зерна, так как на вновь вовлекаемых в обработку худших землях издержки производства будут выше, чем по району в среднем.

Если зависимость между двумя показателями v и x задана аналитически: v = f(x) - то средняя величина представляет собой отношение v/x , а предельная - производную .

Нахождение производительности труда. Пусть известна функция
u = u(t), выражающая количество произведенной продукции u за время работы t . Вычислим количество произведенной продукции за время
Dt = t 1 - t 0: Du = u(t 1) - u(t 0) = u(t 0 +Dt) - u(t 0). Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е. z ср.= Du/Dt.

Производительностью труда рабочего z(t 0) в момент t 0 называется предел, к которому стремится z ср. при Dt®0: . Вычисление производительности труда, таким образом, сводится к вычислению производной: z(t 0) = u"(t 0).

Издержки производства K однородной продукции есть функция количества продукции x . Поэтому можно записать K = K(x). Предположим, что количество продукции увеличивается на Dх . Количеству продукции x+ Dх соответствуют издержки производства K(x + Dх). Следовательно, приращению количества продукции Dх соответствует приращение издержек производства продукции DK = K(x + Dх) - K(x).

Среднее приращение издержек производства есть DK/Dх. Это приращение издержек производства на единицу приращения количества продукции.

Предел называется предельными издержками производства .

Если обозначить через u(x) выручку от продажи x единиц товара, то и называется предельной выручкой .

С помощью производной можно вычислить приращение функции, соответствующее приращению аргумента. Во многих задачах удобнее вычислять процент прироста (относительное приращение) зависимой переменной, соответствующий проценту прироста независимой переменной. Это приводит нас к понятию эластичности функции (иногда ее называют относительной производной ). Итак, пусть дана функция y = f(x), для которой существует производная y ¢ = f ¢(x). Эластичностью функции y = f(x) относительно переменной x называют предел

Его обозначают E x (y) = x/y f ¢ (x) = .

Эластичность относительно x есть приближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на 1%. Экономисты измеряют степень чуткости, или чувствительности, потребителей к изменению цены продукции, используя концепцию ценовой эластичности. Для спроса на некоторые продукты характерна относительная чуткость потребителей к изменениям цен, небольшие изменения в цене приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции. Спрос на такие продукты принято называть относительно эластичным или просто эластичным. Что касается других продуктов, потребители относительно нечутки к изменению цен на них, то есть существенное изменение в цене ведет лишь к небольшому изменению в количестве покупок. В таких случаях спрос относительно неэластичен или просто неэластичен. Термин совершенно неэластичный спрос означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению количества спрашиваемой продукции. Примером может служить спрос больных острой формой диабета на инсулин или спрос наркоманов на героин. И наоборот, когда при самом малом снижении цены покупатели увеличивают покупки до предела своих возможностей - тогда мы говорим, что спрос является совершенно эластичным.

Экстремум функции

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей ) в некотором интервале, если при x 1 < x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) > f(x 2)).

Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ¢(x) > 0 (f ¢(x) < 0).

Точка x о называется точкой локального максимума (минимума ) функции f(x), если существует окрестность точки x о , для всех точек которой верно неравенство f(x) £ f(x о) (f(x) ³ f(x о)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Необходимые условия экстремума . Если точка x о является точкой экстремума функции f(x), то либо f ¢(x о) = 0, либо f ¢(x о) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x о - критическая точка. Если f ¢ (x) при переходе через точку x о меняет знак плюс на минус, то в точке x о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x о экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную
f ¢ (x) в окрестности точки x о и вторую производную в самой точке x о . Если f ¢(x о) = 0, >0 ( <0), то точка x о является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .

Пример 22. Найти экстремумы функции f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Решение. Так как f ¢ (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x 1 = 2 и x 2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x 1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x 2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x 2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x 1 = 2 и x 2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.

Пример 23. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение. Обозначим стороны площадки через x и y . Площадь площадки равна S = xy. Пусть y - это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y = a. Поэтому y = a - 2x и S = x(a - 2x), где 0 £ x £ a/2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откуда
y = a - 2×a/4 =a/2. Поскольку x = a/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При x < a/4 S ¢ >0, а при x >a/4 S ¢ <0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).

Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 24. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16p » 50 м 3 . Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение. Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2pR(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V = pR 2 Н Þ Н = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Значит, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Находим производную этой функции:
S ¢(R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S ¢(R) = 0 при R 3 = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.

1. (f(h(x))) " = f" (h(x)) x ∙ h"(x)

2. (sin x) " = cos x

3. (cos x) " = - sin x

4. (tg x) " = 1/cos 2 x

5. (ctg x) " = 1/sin 2 x

6. (a x) " = a x ∙ ln a

7. (е x) " = е x

8. (ln x) " = 1/x

9. (log a x) " = 1/ x ∙ ln a а

10. (arcsin x) " = 1/

11. (arccos x) " = -1/

12. (arctg x) " = 1/ 1+x 2

13. (arcctg x) " = -1/1+x 2

Пример. Вычислите производную

y = sin 3 (1-x 2)

y"= (sin 3 (1-x 2))"* (sin (1-x 2))"* (1-x 2)" = 3 sin 2 (1-x 2) * cos (1-x 2) * (-2x) =

6x * sin 2 (1-x 2) * cos (1-x 2)

Определение. Пусть функция y = f(x), x Є(a;b) дифференцируема в некоторой точке x o Є(a;b), т.е. в точке x o существует предел lim Δf(x o) / Δx = f"’ (x o)

Отсюда имеем Δ f(x o) / Δx = f’(x o) + α , где α - величина бесконечно малая при Δ x→0, т.е. lim α = 0

Значит Δ f(x o) = f"" (x o) ∙ Δx + α∙ Δx.

Второе слагаемое бесконечно малое при Δx→0, поэтому d f(x o)= f " (x o)∙ Δx или

Пример. Вычислите дифференциал функции y = x 2 + cos 3x - 5

Dy = (x 2 + cos 3x – 5)"dx = (2x – 3 sin 3x) dx.

Определение. Дифференциальная функция f(x) , определенная на некотором промежутке x, называется первообразной для функции f(x), определенной на том же промежутке, если для всех x из этого промежутка F"(x) = f(x) или d F(x) = f(x) * dx

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x), определенных на некотором промежутке x, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом

∫ f(x) dx = f(x) + C, где F(x) - первообразная

C– производная постоянная.

Для вычисления неопределенного интеграла существует таблица основных интегралов (см.учебник Математика для техникумов И.И.Валуцэ), стр.251).

Пример. Найти

1. ∫(4x 3 – 6x 2 + 2x + 3)dx = ∫4x 3 dx - ∫6x 2 dx + ∫2xdx + ∫3dx = 4 x 4 /4 – 6 x 3 /3 + 2 x 2 /2 +

2. ∫(5x 4 – 8/cos 2 x + 3√x + 1) dx = ∫ 5x 4 dx – ∫8/cos 2 x * dx + ∫3√x dx + ∫dx =

5 * x 5 /5 – 8 * tg x + 3 x 3/2 / 3/2 + x + C = x 5 - 8 tg x + 2x√x + x + C.

3. ∫2 3x * 3 x dx = ∫(2 3 * 3) x dx = ∫ 24 x dx = 24 x / ln 24 + C.

Определение. Приращения F(b) – F (a) любой из первообразных функций f(x) + C при изменении аргумента от х = а до х = b называется определенным интегралом от а до b функции f(x), и обозначается f(x) dx = F(x) = F(b) – F(a), и называется формулой Ньютона-Лейбница.

Пример. Вычислить

1. ∫ (x 2 – 3x + 7)dx = ( x 3 - 3/2 x 2 + 7x) | = (1/3 * 2 3 – 3/2 * 2 2 + 7*2) – (1/3 *(-1) 3 -

3/2 (-1) 2 + 7*(-1)) = 19,5

Определение. Фигура ограниченная графиком функции y = f(x), отрезком и прямыми х = а и х = b называется криволинейной трапецией.

S= ∫ f(x) dx = F(b) – F(a)

Пример. Вычислить площадь фигуры ограниченной y = ½ x 2 + 1 y = 0 x = -2 x = 3

S= ∫ (1/2 x 2 + 1) dx = (1/6 x 3 + x) | = (1/6 * 3 3 +3) -

- (1/6 (-2) 3 – 2) = 10 5/6

Тема 1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего независимую переменную, искомую функцию и производные этой функции. Такое уравнение называется дифференциальным.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая обращает данное уравнение в тождество.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

F(x, y, y" , y"", .....y (h)) = 0

2x + y – 3y"= 0 y" 2 – 4 = 0, sin y"= cos xy, y"" = 2x являются дифференциальными уравнениями.

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называются наибольший порядок производных, входящих в данное уравнение.

xy" + y – 2 = 0 – уравнение первого порядка

y"" + 7y"- 3y = 0 – уравнение третьего порядка

Определение 3. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x, y, y") = 0

y"= f(x, y) – уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Определение 4. Всякое отдельно взятое решение дифференциального уравнения называется его частным решением.

Определение 5. Функция, заданная формулой y = (e (x,C) или y = y(x,C) – представляет общее решение дифференциального решения F(x, y, y") = 0 или

Задача Коши. При решении конкретных задач часто необходимо выделить из всей совокупности решений дифференциального уравнения то частное решение, которое является ответом на поставленный вопрос. Для того чтобы из всей совокупности решений выделить отдельную интегральную кривую, задают так называемые начальные условия.

В случае дифференциальных уравнений первого порядка y" = f(x, y) под начальным условием для его решения y = y(x) понимают условия, состоящие в том, что y = y o при х = х о т.е. y (х о) = y o , где x o и y o - заданные числа (начальные данные), такие, что при х = х о и y = y o функция f(x, y) имеет смысл, т.е. существует f(x о, y о).

Определение 6. Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

В случае дифференциального уравнения первого порядка задача Коши формулируется следующим образом: найти решение y = y(x) уравнения y" = f(x, y), удовлетворяющее при заданных начальных данных (x о, y о) начальному условию

y (х о) = y o , или, в другой записи, y х=х0 = y o , где x о, y о – заданные числа.

Определение 7. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если имеет следующий вид: y"= f 1 (x) f 2 (y) или

dy/f 2 (y) = f 1 (x) dx.

Теорема: Если существуют интегралы ∫dy/f 2 (y) и ∫ f 1 (x) dx, то общий интеграл уравнения с разделенными переменными задается уравнением

F 2 (y) = F 1 (x) + C, где F 2 (y) и F 1 (x) – некоторые первообразные соответственно функций 1/f 2 (y) и f 1 (x).

При решении дифференциальных уравнения с разделяющими переменными можно руководствоваться следующим алгоритмом:

1) разделить переменные (с учетом условий, когда это можно делать);

2) интегрируя почленно полученные уравнения с разделенными переменными, найти его общий интеграл;

3) выяснить, имеет ли уравнение решения, не получающиеся из общего интеграла;

4) найти частный интеграл (или решение), удовлетворяющий начальным условиям (если это требуется).

Пример. Найти частное решение уравнения 2yy" = 1-3x 2 если y o = 3 при x o =1

Это уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах:

Отсюда 2y * dy = (1-3 x 2) dx

Интегрируем обе части последнего равенства, найдем ∫ 2y * dy = ∫ (1-3x 2) dx получаем у 2 = x – x 3 + C. Подставив начальные значения y o = 3 x o =1 найдем

С: 9 = 1-1+С т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет y 2 = x – x 3 + 9 или

x 3 + y 2 – x – 9 = 0

Тема 1.4. Ряды.

Определение 1. Числовым рядом называется выражение вида

а 1 + а 2 + …а n + ………., где а 1 , а 2 , ……а n – числа, принадлежащие некоторой определенной числовой системе.

Для сокращенного обозначения рядов используется знак суммирования Σ , а

именно а 1 + а 2 + …а n + ……….= Σ a n

Определение 2. Числа а 1 ,а 2, …а n , …..называются членами ряда; а n – называется общим членом ряда.

Определение 3. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частных сумм S 1 , S 2 , S 3 .........S n , ...... сходится, т.е. если существует конечный предел

Число S называется суммой ряда. Если Lim S n не существует или Lim S n = ∞, то ряд

h →∞ h →∞

называется расходящимся и ему не приписывается никакое числовое значение.

Теорема 1. Если ряд сходится, то его общий член а n стремится к нулю.

Если Lim а n ≠ 0 или этот предел не существует, то ряд расходится.

Теорема 2. Пусть дан ряд а 1 + а 2 + …а n + ……….,с положительными членами.

а n + 1 а n + 1

Допустим, что Lim существует и Lim = Р

h →∞ а n h →∞ а n

1) если Р<1, то ряд сходится

2) если Р>1, то ряд расходится.

Определение 3. Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются закономерными.

Определение 4. Закономерный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

|а 1 | + |а 2 | + …+ | а n | + ………., составленный из модулей его членов.

Определение 5. Ряд а 1 + а 2 + …а n + ………., называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд |а 1 | + |а 2 | + …+ | а n | + ………., составленный из модулей его членов, расходится.

Определение 6. Ряд называется знакочередующимся, если положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно (а 1 + а 2 + а 3 – а 4 +…..+(-1) n +1 *

Теорема 3. Знакочередующимся ряд сходится, если:

1) его члены убывают по модулю,

а 1 ≥ а 2 ≥ … ≥а n ≥ ……..

2) его общий член стремится к нулю,

При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенством 0≤ S ≤a 1

Определение 7. Пусть u 1 (x), u 2 (x),.....u n (x) ... - некоторая последовательность функций.

Выражение вида Σ u n (x) = u 1 (x), u 2 (x),.....u n (x) + называется функциональным рядом.

Определение 8. Функциональный ряд называется сходящимся в точке x o , если

числовой ряд Σ u n (x o) = u 1 (x o), u 2 (x o),.....u n (x o) + ......

полученный из функционального ряда подстановкой x = x o , является сходящимся рядом. При этом называется точкой сходимости ряда.

Определение 9. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Σ a n (x-x o) n = a o + a 1 (x-x o), a 2 (x-x o) 2 ,.....a n (x-x o) n + ......

где х – независимая переменная, х o - фиксированное число, а o , а 1 , а 2 , … а n ….. – постоянные коэффициенты.

Раздел 2.1. Основы дискретной математики.

Тема 2.1. Множества и отношения. Свойства отношений. Операции над множествами.

Множество – основное понятие а теории множеств, которое вводится без определения. О множестве известно как минимум то, что оно состоит из элементов.

Множество А называется

является элементом В (рис.1)

рисунок 1

Способы задания множеств:

1. Перечислением, т.е. списком своих элементов.

2. Порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо других объектов. В таком случае элементами множества являются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры.

3. Описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы.

Задать различными способами множество N всех натуральных чисел 1, 2, 3…..

а) списком множество N задать нельзя ввиду его бесконечности.

б) порождающая процедура содержит два правила:

1) 1 Î N ; 2) если n Î N, то n + 1 Î N

в) описание характеристического свойства элементов множества N:

N = {х; х – целое положительное число}

Операции над множествами.

1. Объединением множеств А и В называется

множество состоящее из всех тех элементов,

которые принадлежат хотя бы одному из множеств

А, В. (рисунок 2)

Рисунок 2

2. Пересечением множеств А и В называется

множество, состоящее из всех тех и только тех элементов,

которые принадлежат и А и В. (рисунок 3)

Рисунок 3

3. Разностью множеств А и В называется множество

всех тех и только тех элементов А, которые

Рисунок 4

4. Дополнением (до В) множества А называется В

множество всех элементов, не принадлежащих А (рис.5)

Рисунок 5

Осуществить операции над множествами А= {a, b, c, d} и B = {c,d,f.g,h}

A U B ={a, b, c, d, e, f.g,h}

A ∩ B = {c, d}

Операции дополнения над множествами А и В не могут быть выполнены т.е. универсальное множество не определено.

Отношения – один из способов задания взаимосвязей между элементами множества. Наиболее изученными и чаще всего используемыми являются так называемые упарные и бипарные отношения.

Отношения можно задать:

Списком;

Матрицей.

Свойства отношений.

Пусть R - отношение на множестве М, R ≤ М х М, тогда:

1. R – рефлексивно, если имеет место а R а для любого а Î М.

2. R – антирефлексивно, если ни для каждого а Î М не выполняется а R а.

3. R – симметрично, если а R b влечет bRа.

4. R – антисемметрично, если aRb и bRa влекут a=b, т.е. ни для каких различающихся элементов a и b (a≠b) не выполняется одновременно aRb и bRa .

5. R– транзитивно, если aRb и bRa влекут aRc.

Тема 2.2 Основные понятия теории графов

Графические представления в широком смысле – любые наглядные отображения исследуемой системы, процесса, явления на плоскости. К ним могут быть отнесены рисунки, чертежи, графики зависимостей характеристик, план-карты местностей, блок-схемы процессов, диаграммы и т.п.

Графические представления – удобный способ иллюстрации содержания различных понятий, относящихся к другим способам формализованных представлений.

Мощным и наиболее исследованным классом объектов, относящихся к графическим представлениям, являются так называемые графы.

Теория графов имеет огромные приложения, так как ее язык, с одной стороны, нагляден и понятен, а с другой – удобен в формальном исследовании.

Графические представления в узком смысле – это описание исследуемой системы, процесса, явления средствами теории графов в виде совокупности двух классов объектов: вершин и соединяющих их линий – ребер или дуг.

Определение: графом Д называется совокупность двух множеств: вершин V и ребер E, между элементами которых определено отношение инцидентности – каждое ребро е Е инцидентно равно двум вершинам v", v"" V, которые оно соединяет.

Так же о теории графов, об элементах графов, ознакомится с видами графов и рассмотреть операции над ними, вы можете изучая раздел 3 «Теория графов», стр.195-214 в учебнике для ХХ1 века под редакцией Г.И.Москинова «Дискретная математика».

Для самостоятельного изучения темы 3.1. Основы теории вероятностей и математической статистики. Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Темы 3.2. Случайная величина, ее функция распределения. Темы 3.3. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Можно использовать следующую литературу: В.С.Щипачева «Основы высшей математики», а так же И.П.Натансон. Краткий курс высшей математики или Н.В.Богомолов Практическое занятие по математике.