Построить два подобных треугольника. Практические приложения подобия треугольников

252. Понятие о подобии треугольников распространяется и на многоугольники. Пусть дан многоугольник ABCDE (чер. 245); выполним построение аналогичное п. 206. Построим диагонали AC и AD и, выбрав какую-либо точку K на стороне AB между точками A и B или вне отрезка AB, построим KL || BC до пересечения с диагональю AC, затем LM || CD до пересечения с AD и, наконец, MN || DE до пересечения с AE. Тогда получится многоугольник AKLMN, который связан с ABCD следующими зависимостями:

1) Углы одного многоугольника равны попарно углам другого: угол A у них общий, ∠K = ∠B (как соответственные), ∠KLM = ∠BCD, ибо ∠KLA = ∠BCA и ∠ALM = ∠ACD и т. д.

2) Сходственные стороны этих многоугольников пропорциональны, т. е. отношение одной пары сходственных сторон равно отношению другой пары, равно отношению третьей пары и т. д.

«Сходственные» стороны здесь надо понимать несколько иначе, чем для треугольников: здесь считаем сходственными сторонами те, которые заключены между равными углами, например, BC и KL.

Справедливость указанной пропорциональности видна следующим образом:

∆AKL ~ ∆ABC, следовательно, AK/AB = KL/BC = AL/AC
∆ALM ~ ∆ACD, следовательно, AL/AC = LM/CD = AM/AD
∆AMN ~ ∆ADE, следовательно, AM/AD = MN/DE = AN/AE

Мы видим, что среди первых трех равных отношений и среди вторых трех равных отношений имеется одно одинаковое AL/AC; также и последние три отношения связываются с предыдущими отношением AM/AD. Поэтому, пропуская отношения диагоналей, получим:

AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = AN/AE

Все это остается, как легко видеть, справедливым и для многоугольника с большим, чем у нас, числом сторон.

Если мы многоугольник AKLMN перенесем в другое место плоскости, то найденные выше 2 соотношения этого многоугольника с ABCDE останутся в силе; такие многоугольники называются подобными. Итак, два многоугольника называются подобными, если углы одного равны попарно углам другого и если сходственные стороны их пропорциональны .

Мы, следовательно, умеем строить многоугольник, подобный данному. Мы построили AKLMN ~ ABCDE.

Мы видим еще, что в многоугольниках ABCDE и AKLMN построены диагонали из их соответственных вершин,причем получилось два ряда подобных треугольников: ∆AKL ~ ∆ABC, ∆ALM ~ ∆ACD и ∆AMN ~ ∆ADE - треугольники эти одинаково расположены в обоих многоугольниках.

Возникает вопрос, останется ли в силе последнее свойство, если мы построим многоугольник, подобный данному, каким-либо еще способом, не тем, которым мы пользовались здесь.

253. Пусть как-либо построен многоугольник A"B"C"D"E" подобный многоугольнику ABCDE (чер. 246), т. е. так, что

∠A" = ∠A, ∠B" = ∠B, ∠C" = ∠C, ∠D" = ∠D, ∠E" = ∠E (1)

A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"E"/DE = E"A"/EA (2)

Вопрос конца предыдущего п. равносилен другому: можно ли привести эти два многоугольника в положение, чтобы, например, точка A" совпала с A, а остальные вершины были бы расположены попарно на прямых, идущих из этой общей точки, и чтобы сходственные стороны их или были параллельны, или сторона одного многоугольника расположилась бы на стороне другого.

Решим этот вопрос. Для этого отложим на стороне AB от точки A отрезок AK = A"B" и, пользуясь предыдущим п., построим многоугольник AKLMN ~ ABCDE.

Остается выяснить, может ли многоугольник A"B"C"D"E" совпасть при наложении с AKLMN.

Мы имеем: AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = NA/EA.

Сравнивая эти равенства с равенствами (2) и принимая во внимание, что AK = A"B", легко получаем KL = B"C", LM = C"D" и т. д., т. е. все стороны многоугольников A"B"C"D"E" и AKLMN попарно равны. Наложим многоугольник A"B"C"D"E" на AKLMN так, чтобы A" попала в A и сторона A"B" совпала бы с AK (мы ведь строили AK = A"B"); тогда, в силу равенства углов B" и K, сторона B"C" пойдет по KL, в силу равенства сторон KL и B"C", точка C" попадет в L и т. д.

Итак, A"B"C"D"E" совпадает с AKLMN, а следовательно, если построим диагонали A"C" и A"D", получим ряд треугольников, подобных и одинаково расположенных с ∆ABC, ∆ACD и т. д.

Поэтому заключаем: Если построить в подобных многоугольниках диагонали из соответственных вершин, то получим 2 ряда подобных и одинаково расположенных треугольников.

Легко увидать справедливость и обратного заключения: если, ∆A"B"C" ~ ABC, ∆A"C"D" ~ ∆ACD и ∆A"D"E" ~ ∆ADE, то многоугольник A"B"C"D"E" ~ многоугольнику ABCDE. Тогда ∆A"B"C" = ∆AKL, ∆A"C"D" = ∆ALM и ∆A"D"E" = ∆AMN, откуда следует равенство многоугольников A"B"C"D"E" и AKLMN и, следовательно, подобие A"B"C"D"E" и ABCDE.

254. То положение (две соответственных вершины сливаются в одной точке, остальные вершины попарно лежат на прямых, проходящих чрез эту точку, а сходственные стороны параллельны), в которое нам удалось привести два подобных многоугольника, является частным случаем другого более общего положения двух подобных многоугольников.

Пусть имеем KLMN ~ ABCD (чер. 247). Возьмем какую-либо точку S и соединим ее со всеми вершинами A, B, C и D первого многоугольника. Постараемся построить многоугольник, равный многоугольнику KLMN, так, чтобы его вершины лежали на прямых SA, SB, SC и SD и стороны были бы параллельны сторонам многоугольника ABCD.

Для этого отложим на стороне AB отрезок AP = KL (полагаем, что KL и AB сходственные стороны) и построим PB" || AS (на чертеже точка P и прямая PB" не даны). Чрез точку B", где SB пересекается с PB", построим B"A" || AB. Тогда A"B" = AP = KL, затем построим B"C" || BC, чрез точку C", где B"C" пересекается с SC, проведем C"D" || CD и точку D", где C"D" пересекается с SD, соединим с A". Получим многоугольник A"B"C"D", который, как это сейчас увидим, подобен многоугольнику ABCD.

Так как A"B" || AB, то ∆SA"B" ~ ∆SAB, откуда

SA"/SA = A"B"/AB = SB"/SB (1)

Так как B"C" || BC, то ∆SB"C" ~ ∆SBC, откуда

SB"/SB = B"C"/BC = SC"/SC (2)

Так как C"D" || CD, то ∆SC"D" ~ ∆SCD, откуда

SC"/SC = C"D"/CD = SD"/SD (3)

Отсюда можно вывести, что SA"/SA = SD"/SD, а следовательно ∆SA"D" ~ ∆SAD, так как две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны (∠S общий), - A"D" || AD и

SD"/SD = D"A"/DA = SA"/SA (4)

Из равенств отношений (1), (2), (3) и (4) легко получаем:

A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"A"/DA (5)

Кроме того, ∠A" = ∠A, ∠B" = ∠B и т. д., как углы с параллельными сторонами. Следовательно, A"B"C"D" ~ ABCD.

Далее легко увидать, что KLMN = A"B"C"D". В самом деле, ∠K = ∠A, но ∠A = ∠A", следовательно, ∠K = ∠A"; также ∠L = ∠B" и т. д. - углы у наших многоугольников равны. Креме того, из подобия KLMN ~ ABCD получаем:

KL/AB = LM/BC = MN/CD = NK/DA.

Сравнивая эти равные отношения с равенствами (5) и имея в виду, что A"B" = KL, находим: B"C" = LM, C"D" = MN, D"A" = NK. Теперь легко, как это делали выше, увидать, что KLMN при наложении совместится с A"B"C"D". Следовательно, нам удалось поместить данные подобные многоугольники в такое положение, что их вершины расположены попарно на прямых, проходящих чрез точку S и их сходственные стороны параллельны, к чему мы и стремились.

Заметим еще, что соответственные вершины в наших многоугольниках следуют друг за другом в одном направлении (см. стрелки около многоугольников ABCD, KLMN и A"B"C"D") - по часовой стрелке.

Если бы вершины одного многоугольника, соответствующие последовательным вершинам другого, шли друг за другом в направлении, обратном тому, как они расположены в другом, то удалось бы поместить наши многоугольники так, чтобы соответствующие вершины располагались по разные стороны от точки S (см. чер. 248).

Точка S, где сходятся прямые, соединяющие пары соответственных вершин многоугольников, называется центром подобия ; в первом случае (чер. 247), когда обе соответственные вершины (например, A и A") расположены в одной стороне от S, центр подобия называется внешним , а во втором (чер. 248), когда соответствующие вершины расположены по разные стороны точки S, центр подобия называется внутренним . Если подобные многоугольники расположены так, что они имеют центр подобия, то говорят, что они подобно расположены .

255. Если нам дан многоугольник ABCD (чер. 247 или 248), - будем данный многоугольник называть оригиналом , - мы можем, выбрав произвольную точку S, получать его изображения, подобные ему в каком угодно масштабе , - этим именем называют отношение какого-либо отрезка изображения к соответствующему отрезку в оригинале (в данном многоугольнике). Это отношение называют еще коэффициентом подобия - обозначим его через k. Пока еще для нас коэффициентом подобия является отношение стороны изображения к стороне оригинала, т. е.

A"B/AB = B"C/BC = … = k.

В дальнейшем мы распространим это понятие на отношение всяких двух отрезков изображения и оригинала, сходственных между собою.

Из равенства (1), (2), (3) и (4) предыдущего п., имеем:

SA"/SA = SB"/SB = SC"/SC = SD"/SD = A"B"/AB = k,

т. е. отношение расстояний от центра подобия соответственных вершин изображения и оригинала = коэффициенту подобия.

Под именем фигура (плоская) мы понимаем совокупность точек и линий плоскостей. Многоугольники ABCD - есть фигура. Присоединим еще одну точку (выбранную по произволу) E - получим новую фигуру состоящую из многоугольника ABCD и точки E, - найдем изображение точки E. Для этого построим прямую SE и на ней отложим отрезок SE так, чтобы SE"/SE = k (такой отрезок легко построить, пользуясь п. 214); этот отрезок мы можем отложить по направлению SE (чер. 247); или в обратном направлении (чер. 248). Полученная точка E" и есть изображение точки E - другими словами точки E" и E суть соответственные точки в наших двух подобных и подобно расположенных фигурах.

Соединив точку E, например, с B и точку E" с B" (B и B" суть тоже соответственные точки), получим два соответствующих друг другу отрезка BE и B"E".

Легко увидать, что ∆SBE ~ ∆SB"E" (так как ∠BSE = ∠B"SE и стороны, составляющие эти углы, пропорциональны: SB"/SB = k и SE"/SE = k, - следовательно, SB"/SB = SE"/SE), отсюда вытекает:

1) B"E" || BE и 2) B"E"/BE = SB"/SB = k

т. е. соответствующие друг другу отрезки в изображении и оригинале 1) параллельны между собою и 2) их отношение равно коэффициенту подобия .

Отсюда вытекает возможность следующего построения для нахождения точки, соответствующей данной в оригинале точке, если уже имеем одну пару соответствующих точек и известен центр подобия: пусть имеем пару соответствующих точек B и B" и требуется найти точку, соответствующую точке E, - строим прямые SE и BE и чрез B" строим прямую, параллельную BE, ее точка пересечения E" с SE и даст искомую точку.

256. Построим для какой-либо фигуры, одна точка которой есть A (чер. 249), ее изображения, принимая две произвольных точки S 1 и S 2 за внешние центры подобия и числа k 1 и k 2 за коэффициенты подобия. Пусть в первом изображении точке A соответствует точка A" и во втором изображении этой же точке соответствует точка A"".

Присоединим еще к данной фигуре какую-либо точку B, лежащую на прямой S 1 S 2 ; тогда этой точке B соответствуют в первом изображении точка B" и во втором точка B"", причем точки B" и B"" должны лежать на той же прямой S 1 S 2 и прямые AB, A"B" и A""B"" должны быть параллельны и одинаково направлены.

Тогда имеем:

A"B"/AB = k 1 и A""B""/AB = k 2 .

Отсюда находим:

A"B"/A""B"" = k 1 /k 2 .

Соединим точки A" и A"", найдем точку пересечения S 3 прямых A""A" и S 2 S 1 . Тогда из подобия треугольников S 3 A"B" и S 2 A""B"" находим:

Соединив точки A" и A"", найдем точку пересечения S 3 прямых A""A" и S 2 S 1 . Тогда из подобия треугольников S 3 A"B" и S 2 A""B"" находим:

S 3 B"/S 3 B"" = A"B"/A""B"" = k 1 /k 2 ,

т. е. точка S 2 должна делить отрезок B"B"" внешним образом в отношении, равном данному числу k 1 /k 2 . Мы знаем (п. 217), что существует только одна точка, которая делит данный отрезок B"B"" в данном отношении внешним образом. Если мы возьмем какую-либо еще точку C данной фигуры и построим ее изображения C" и C"", то, соединив точки C" и C"" и взяв точку пересечения, назовем ее опять S 3 , прямой C"C"" с прямой S 1 S 2 , получим, что ∆S 3 B"C" ~ ∆S 3 B""C"" (B""C"" || BC и B"C" || BC, следовательно, B""C"" || B"C"), откуда опять найдем, что S 3 B"/S 3 B"" = k 1 /k 2 , т. е. новая точка S 3 совпадает с прежнею. Следовательно, S 3 есть центр подобия фигур (A"B"C"...) и (A""B""C""...) и притом внешний, ибо направления, в котором следуют друг за другом соответствующие точки в обеих фигурах, одинаковы. Из этого заключаем, что фигуры (A"B"C"...) и (A""B""C""...) также имеют внешний центр подобия и он расположен на одной прямой с центрами S 1 и S 2 .

Если одни из центров подобия S1 взять внешний, а другой S2 внутренний (чер. 250), то направления соответствующих отрезков таковы: A"B" одинаково с направлением AB, но A""B"" обратно направлению AB, - следовательно, направление A""B"" обратно A"B" и S3 является внутренним центром подобия фигур (A"B"...) и (A""B""...).

Если взять оба центра подобия внутренними (например, S 2 и S 3 на чер. 250), то легко увидать, что третий центр подобия окажется внешним. Итак, вообще:

Если три фигуры попарно подобно расположены, то три центра подобия расположены на одной прямой, причем или все три они внешние, или два из них внутренних, а один внешний.

257. .
Пусть имеем два подобных многоугольника ABCDEF и A"B"C"D"E"F" (чер. 251). Назовем коэффициент подобия чрез k.

A"B"/AB = k, B"C"/BC = k и т. д.,

A"B" = k · AB, B"C" = k · BC, C"D" = k · CD, …

Сложив эти равенства по частям и вынеся множитель k во второй части за скобку, получим:

A"B" + B"C" + C"D" + … = k(AB + BC + CD + …),

(A"B" + B"C" + C"D" …) / (AB + BC + CD + …) = k = A"B"/AB,

т. е. отношение периметров подобных треугольников равно отношению сходственных сторон (или равно коэффициенту подобия) .

Выберем две соответственных вершины, напр., A и A", и построим проходящие чрез них диагонали. Тогда мы знаем: 1) (из п. 253) ∆ABC ~ ∆A"B"C", ∆ACD ~ ∆A"C"D" и т. д. 2) (из п. 212). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон, следовательно,

пл. ∆A"B"C" / пл. ∆ABC = (A"B"/AB) 2 = k 2 ; пл. ∆A"C"D" / пл. ∆ACD = (C"D"/CD) 2 = k 2 и т. д.,

пл. ∆A"B"C" = k 2 · пл. ∆ABC; пл. ∆A"C"D" = k 2 · пл. ∆ACD;
пл. ∆A"D"E" = k 2 · пл. ∆ADE ...

Сложив эти равенства по частям и вынеся общего множителя k 2 во второй части за скобку получим:

пл. ∆A"B"C" + пл. ∆A"C"D" + ∆A"D"E" + … = k 2 (пл. ∆ABC + пл. ∆ACD + пл. ∆ADE + …),

пл. A"B"C"D"E"F" / пл. ABCDEF = k 2 = (A"B"/AB) 2 ,

т. е. отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон (или равно квадрату коэффициента подобия) .

258. Два правильных одноименных многоугольника всегда подобны . В самом деле, углы у одноименных многоугольников одинаковы (п. 248), а так как все стороны каждого равны между собою, то, очевидно, отношение любой стороны одного к любой стороне другого есть число постоянное.

Если в круг впишем какой-либо правильный многоугольник (чер. 252) и чрез середины дуг, стягиваемых его сторонами, построим касательные к кругу, то получим правильный одноименный многоугольник, описанный около этого круга. Не трудно выяснить (предоставляем это желающим), что полученные два правильные многоугольника подобно расположены, и центр круга служит их внешним центром подобия, – внешним потому, что каждая пара соответствующих точек (напр., A и A") расположена в одном направлении от центра (если многоугольник имеет четное число сторон, то центр круга можно считать и внутренним центром подобия, надо лишь считать, что, например, точке A соответствует точка A"").

259. Упражнения .

1. Стороны одного пятиугольника равны соответственно 12, 14, 10, 8 и 16 дм. Найти стороны другого пятиугольника, подобного первому, если его периметр = 80 дм.

2. Сумма площадей двух подобных многоугольников равна 250 кв. дм., а отношение двух сходственных сторон = ¾. Вычислить площадь каждого из них.

3. Показать, что если в круг вписан правильный многоугольник с нечетным числом сторон и в его вершинах построены касательные к кругу, то получится описанный многоугольник, подобно расположенный с вписанным, – центр круга служит их внутренним центром подобия.

4. Дан треугольник; построить другой треугольник, подобно расположенный с первым так, чтобы центр тяжести первого служил внутренним центом подобия и чтобы коэффициент подобия = ½. Выяснить при помощи этого, как расположены точки высот, центр тяжести и центр описанного круга данного треугольника.

5. В данный треугольник вписан квадрат.

Пусть ABC данный треугольник (чер. 253) и DEFK искомый квадрат. Построим еще квадрат MNPQ, чтобы одна сторона MQ лежала на стороне AC треугольника и точка N на стороне AB. Легко видеть, что квадрат MNPQ подобно расположен с искомым квадратом DEFK и внешним их центром подобия является точка A; следовательно, точка F лежит на прямой AP. После нахождения точки F искомый квадрат легко построить.

6. Дан угол и точка внутри его. Найти на одной стороне угла точку, равноудаленную от данной точки и от другой стороны.

Задача решается тем же приемом.

7. Построить треугольник по его высотам.

Легко получить, называя стороны треугольника чрез a, b и c и соответствующие высоты чрез h a , h b и h c , следующую зависимость:

ah a = bh b = ch c , откуда a: b = h b: h a и b: c = h c: h b = h a: (h b h a)/h c

Легко построить отрезок x = (h b h a)/h c (x/h a = h b /h c - построение 4-го пропорционального), после чего построим треугольник со сторонами h b , h a и x. Этот треугольник подобен искомому, так как a: h: c = h b: h a: x; остается построить треугольник подобный только что построенному так, чтобы одна его высота была равна данной.

Во многих случаях бывает удобно строить не искомую фигуру, а начать с построения фигуры, ей подобной, после чего нетрудно перейти к требуемой. В этом случае данные для построения фигуры разделяются на два класса: одни дают возможность построить фигуру, подобную искомой, а другие служат для того, чтобы от этой фигуры перейти к требуемой. Этот прием особенно удобен в тех случаях, когда только одна из данных величин определяет какой-нибудь линейный элемент искомой фигуры, а все другие представляют собой углы или отношения сторон. Например, если для построения треугольника даны два угла или угол и отношение сторон, заключающих этот угол, или отношение трех сторон и, кроме того, один линейный элемент: сторона, высота, медиана, биссектриса, радиус вписанной или описанной окружности и т.д., то вначале, не обращая внимания на данный линейный элемент, строят фигуру, подобную искомой, а потом, вводя требуемую линию, переходят к искомой фигуре. Метод подобия успешно применяется при решении задач на вписывание одних фигур в другие.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 12. Построить треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.

Анализ. Пусть треугольник АВС искомый (рис.22). Треугольники подобны, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, в подобных треугольниках сходственные медианы пропорциональны. Построим произвольный треугольник МВК, два угла которого равны данным; он будет подобен искомому. В этом треугольнике проведем медиану из вершины третьего угла. Пусть ВТ – медиана. Тогда коэффициент подобия – отношение данной медианы к получившейся при построении треугольника МВК, подобного искомому.

Построение . Построим произвольный треугольник МВК, два угла которого равны данным; он будет подобен искомому. В этом треугольнике проведем медиану из вершины третьего угла. Пусть ВТ – медиана. На ВТ от точки В отложим отрезок, равный длине данной медианы – получим точку О. Через О проведем прямую параллельную l прямой МК. Пусть А – точка пересечения продолжения ВМ за точку М с прямой l , а С – точка пересечения продолжения ВК за точку К с прямой l . Треугольник АВС искомый.

Доказательство . Из построения следует, что треугольник МВК подобен треугольнику АВС. Значит, два угла А и В последнего равны заданным. Кроме того, медиана ВО имеет заданную длину, т.е. треугольник обладает всем заданным условиям.

Исследование . Задача всегда имеет решение и притом одно, если сумма заданных углов меньше 180 о.

ПРИМЕР 13 . В данный треугольник вписать квадрат так, чтобы две его вершины лежали на основании треугольника, а две другие – на сторонах треугольника.

Решение . Пусть АВС – данный треугольник (рис.24). Построим произвольный квадрат МКРН так, чтобы М и К лежали на АС, а Р лежала на АВ. Проведем луч АН. Пусть Т – точка пересечения этого луча со стороной ВС. Проведем отрезки ТЕ ║АС, ТХ ║РК, ЕО║ТХ. Четырехугольник ОЕТХ – искомый.

Доказательство . DАНМ¥DАТХ, значит ТХ^АС и . DАРН¥DАЕТ, значит ЕТ║РН и . Отсюда ЕТ=ТХ и ÐЕТХ=90 о. Аналогично показывается, что ЕТ=ЕО, т.е. ОЕТХ – квадрат.

ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 93. ПОСТРОЕНИЕ ПОДОБНЫХ ФИГУР.

1. Построение подобных треугольников.

Мы уже знаем, что для построения треугольника, подобного данному, достаточно из какой-нибудь точки, взятой на стороне треугольника, провести прямую, параллельную стороне треугольника. Получим треугольник, подобный данному (черт. 382):

/\ AСВ /\ A"С"B"

2. Построение подобных многоугольников.

Для построения многоугольника, подобного данному, мы можем поступить таким образом: разобьём данный многоугольник диагоналями, проведёнными из какой-либо его вершины, на треугольники (черт. 383). На какой-нибудь стороне данного многоугольника ABCDE, например на стороне АЕ, возьмём какую-нибудь точку E" и проведём прямую, параллельную стороне ED, до пересечения её с диагональю AD, например, в точке D".

Из точки D" проведём прямую, параллельную стороне DC, до пересечения её с диагональю АС в точке С". Из точки С" проведём прямую, параллельную стороне СВ, до пересечения со стороной АВ в точке В". Полученный многоугольник AB"C"D"E" подобен данному многоугольнику ABCDE.

Справедливость этого утверждения доказать самостоятельно.

Если требуется построить многоугольник, подобный данному, с указанным коэффициентом подобия, то исходная точка Е" берётся на стороне АЕ или её продолжении соответственно данному коэффициенту подобия.

3. Съёмка плана земельного участка.

а) Съёмка плана производится с помощью особого прибора, называемого мензулой (черт. 384).

Мензула представляет собой квадратную доску, помещённую на треножнике. При вычерчивании плана доска приводится в горизонтальное положение, что проверяется с помощью уровня. Для проведения прямых линий по нужному направлению употребляется алидада, снабжённая диоптрами. В каждом диоптре имеется прорезь, в которой натянут волосок, что позволяет достаточно точно наводить алидаду в нужном направлении. На мензулу кнопками укрепляют лист белой бумаги, на котором и вычерчивается план.

Для того чтобы снять план с земельного участка ABCDE, выбирают внутри участка какую-нибудь точку О так, чтобы из неё были видны все вершины земельного участка (черт. 385).

С помощью вилки с отвесом (черт. 386) устанавливают мензулу так, чтобы точка О, отмеченная на листе бумаги, приходилась против избранной на участке точки О.

Затем из точки О на листе бумаги, прикреплённом к мензуле, прочерчивают при помощи алидады лучи в направлениях на точки А, В, С, D и Е; измеряют расстояния
ОА, ОВ, ОС, OD и ОЕ и откладывают на этих лучах в принятом масштабе отрезки
ОА", ОВ", ОС, OD" и ОЕ".

Точки А", В", С, D" и Е" соединяют. Получается многоугольник A"B"C"D"E", представляющий собой план данного земельного участка в принятом масштабе.

Описанный нами способ мензульной съёмки называется п о л я р н ы м.

Существуют и другие способы съёмки плана с помощью мензулы, о которых можно прочитать в специальных руководствах по мензульной съёмке.

На каждом плане обыкновенно даётся масштаб, по которому можно установить истинные размеры снятого участка, а также и его площадь.

На плане также указывается направление стран света.

Практическая работа.

а) Сделать в школьной мастерской простейшую модель мензулы и снять с её помощью план какого-нибудь небольшого земельного участка.

б) Съёмку плана земельного участка можно произвести с помощью астролябии.

Пусть надо снять план земельного участка ABCDE. Возьмём одну из вершин участка, например А, за исходную и с помощью астролябии измерим углы при вершине А, т. е.
/ 1, / 2, / 3 (черт. 387).

Потом с помощью мерной цепи измерим расстояния АЕ, AD, АС и АВ. В зависимости от размеров участка и размеров листа бумаги, на который наносится план, выбирается масштаб для вычерчивания плана.

При точке А, которую принимаем за вершину многоугольника, строим три угла, соответственно равные / 1, / 2 и / 3; затем в выбранном масштабе на сторонах этих углов от точки А" откладываем отрезки А"Е", A"D", А"С" и А"В". Соединив отрезками точки А" и Е", Е" и D", D" и С, С" и В", В" и А", получим многоугольник A"B"C"D"E", подобный многоугольнику ABCDE. Это будет план данного земельного участка, начерченный в избранном масштабе.

При решении многих задач на построение применяется метод подобия, суть которого заключается в следующем: сначала строится фигура подобная данной, затем эта фигура увеличивается (уменьшается) в нужном отношении (т.е. строится подобная фигура), удовлетворяющая условию задачи.

Процесс обучения применению подобия к решению задач на построение целесообразно разбить на четыре этапа: подготовительный, ознакомительный, формирующий умение, совершенствующий умение. Каждый этап имеет свою дидактическую цель, которая достигается, когда учащиеся выполняют специально составленные задания.

Дидактическая цель подготовительного этапа - сформировать у учащихся умения: выделять данные, определяющие форму фигуры, множество пар подобных между собой фигур; строить фигуру по данным, определяющим форму; переходить от построенной фигуры к искомой.

После изучения первого признака подобия треугольников можно предложить следующий набор заданий :

Постройте треугольник по двум углам. Сколько решений имеет задача? Какие элементы определяют форму построенных треугольников?

Назовите подобные треугольники на рис 35.

Известны следующие элементы треугольника: а) углы в 75и 25; б) высота 1,5 см; в) углы в 75 и 25, высота 1,5 см. какие из этих данных определяют единственную фигуру на рис.35?

Какие углы определяют форму треугольников на рис.35?

Можно ли будет определить размеры одного из треугольников на рис.35, если станут известны следующие данные: а) углы при основании треугольника; б) высоты треугольника; в) сторона и углы при основании?

Подобны ли треугольники АВС и АВС на рис.36, если АСАС? если они подобны, то каков их коэффициент подобия?

Набор заданий, предъявляемых учащимся после изучения 2 и 3 признаков подобия треугольников, составляются аналогично. Однако при переходе от данного признака к следующему вопросы несколько усложняются, а именно: расположение треугольников на рисунках меняется, удаляясь от стандартного, варьируется набор элемента, определяющего единственную фигуру. Задания , например, могут быть такими:

1. Подобны ли треугольники АВС и АВС, если:

а) АВ=5см, ВС=7см, В=30є, АВ=10см, ВС=14см, В=60є;

б) АВ=5см, ВС=7см, В=30є, АВ=10см, ВС=14см, В=30є;

в) АВ=3см, ВС=5см, СА=7см, АВ=4,5см, ВС=7,5см, СА=10,5см;

г) АВ=1,7см, ВС=3см, СА=4,2см, АВ=34дм, ВС=60дм, СА=84дм.

2. В треугольнике АВС с острым углом С проведены высоты АЕ и ВD (рис.37). Докажите, что АВС подобен ЕDC.

3. Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.

Дидактическая цель ознакомительного этапа в том, чтобы разъяснить учащимся структуру процесса построения методом подобия.

Объяснение начинается с задачи.

Задача . Построить треугольник по двум данным углам и и биссектрисе длины d, проведенной из вершины третьего угла.

Анализируя задачу с учащимися, учитель предлагает задания - вопросы, ответы на которые кратко фиксируются на доске. Вопросы могут быть такими:

1. Какие данные определяют форму искомого треугольника?

2. Какие данные определяют размеры искомого треугольника?

3. Сколько треугольников можно построить построение двум углам? Какими будут построение форме все построенные треугольники?

4. Какой отрезок нужно провести в треугольнике, подобном искомому?

5. Как построить искомый треугольник?

Ответы на вопросы сопровождаются выполнением на доске чертежа от руки (рис.38).

а) АВС: А=, В=;

б) построить биссектрису угла С в треугольнике АВС,

в) построить СN=d, NCD;

г) через точку N провести прямую, АВ;

д) АC=А, ВС=В;

е) АВС - искомый: А=, В= (так как АВС АВС по 1 признаку) и СN=d по построению. Дидактическая цель этапа, формирующего умение решать задачи рассматриваемого вида, ясна уже из его названия. Основная форма деятельности на этом этапе - индивидуально-поисковая. Она завершается обобщающей беседой.

Приведем несколько примеров задач, которые можно предложить на данном этапе.

Задача . Внутри угла АОВ задана точка F. Построить на стороне ОА точку М, одинаково удаленную от F и от стороны ОВ

Решение .

1. Анализ. Обратимся к рисунку 39. Пусть точка М построена, тогда MF=MP. Это означает, что искомая точка М - есть центр окружности радиуса МF с центром М, касающуюся стороны ОВ в точке Р.

Если мы возьмем на ОА произвольную точку М и опустим МР на СВ и найдем F пересечения окружности с центром М радиуса МР с прямой ОF, то МFP будет подобен МFР. Отсюда вытекает требуемое построение.

2. Построение. Проводим ОF, берем на СА произвольную точку М и опускаем МР на СВ. Проводим окружность радиуса МР с центром в точке М. Пусть F - точка пересечения этой окружности с ОF. Проводим FM и затем проводим прямую через точку FFM. Точка М пересечения этой прямой с ОА - искомая.

3. Доказательство. Очевидно из проведенного анализа.

4. Исследование. Задача имеет 2 решения. Это следует из того, что окружность пересекается с ОF в 2-х точках.

Задача . Построить треугольник по 2 углам и периметру.

Решение .

1. Анализ. Пусть и - данные углы и Р - периметр искомого треугольника (рис.40). Допустим, что искомый треугольник построен, тогда, если мы рассмотрим какой-либо АВС, подобный искомому, отношение периметра Р АВС к периметру Р АВС равно отношению сторон АС и АС.

2. Построение. Построим АВС подобный искомому. На луче АВ, отложим отрезки АD=Р и АD=Р, затем соединим точку D и С, и через точку D проведем прямую DC. Пусть С - точка пересечения прямой с лучом АС. Через точку С проведем прямую СВ и обозначим В точку пересечения этой прямой с AD, тогда АВС - искомый.

3. Доказательство. Очевидно, что AСD подобен АСD, поэтому. По соотношению сторон равно отношению периметров подобных АВС и АВС, поэтому периметр АВС=Р, следовательно, АВС - искомый.

4. Исследование. Так как сумма любых двух углов треугольника <180, то условие +<180 является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый АВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны.

Задача . Дан АОВ и точка М, расположенная во внутренней области этого угла. Построить окружность, проходящую через точку А касающуюся сторон угла АОВ.

Решение .

1. Анализ. Пусть АОВ - данный и точка М, расположена во внутренней области угла (рис.41).

Проведем еще одну окружность, касающуюся сторон АОВ. Обозначим, М - точку пересечения окружности с прямой ОМ и рассмотрим ОМN и ОМN (N и Nцентры окружности и).

Эти треугольники подобны по двум углам, поэтому построение искомой окружность можно провести следующим образом:

2. Построение. Так как центр искомой окружности лежит на биссектрисе АОВ, то проводим биссектрису угла. Далее, возьмем здесь же точку N и построим окружность с центром N, касающуюся АОВ. Затем проводим прямую СМ и обозначим через М - точку пересечения прямой с окружностью (таких точек две - М и М - берем одну из них). Проводим прямую МN и ей прямую через точку М. Тогда N - пересечение прямой с биссектрисой угла и есть центр искомой окружности, а ее радиус равен МN. Проведем ее.

3. Доказательство. По построению окружность подобна, О - центр подобия. Это следует из подобия треугольников ОМN и ОМN, поэтому раз окружность касается сторон угла, то и окружность будет касаться сторон угла.

4. Исследование. Задача имеет два решения, т.к. ОМ пересекается с окружностью в двух точках М и М, каждой из которых будет соответствовать своя окружность, проходящая через точку М и касающаяся сторон АОВ.

Дидактической целью этапа, совершенствующего умение решать задачи типа рассмотренных, является перенос сформированного умения на более сложные задачи, в частности на следующие ситуации: искомая фигура занимает определенное положение по отношению к данным точкам или линиям, при этом устранение одного из условий задачи приводит к системе подобных или гомотетичных фигур. Приведем пример такой задачи.

Задача . В данный треугольник впишите квадрат так, чтобы две его вершины лежали на одной стороне треугольника, а две другие - на двух других сторонах.

Задачи, соответствующие целям этого этапа, исключены из числа задач обязательного уровня. Поэтому они предлагаются только хорошо успевающим школьникам. Главное внимание на этом этапе уделяется индивидуально-поисковой деятельности учащихся.

Задача 1. Построить треугольник, зная два его угла и периметр.

Решение. Знание углов треугольника уже определяет его с точностью до преобразования подобия. Поэтому для решения задачи строим любой треугольник ЛС, с данными углами (рис. 277). Остается подобно преобразовать треугольник так, чтобы периметр его стал равен данной величине.

Для этого отложим стороны его на продолжениях стороны отрезок будет равен периметру треугольника . Возьмем любой отрезок KL, параллельный отрезку но равный заданному периметру. Соединим концы обоих параллельных отрезков и примем точку О пересечения линий за центр подобия. Построение вершин А и С искомого треугольника видно из рис. 277, стороны его АВ и СВ параллельны соответствующим сторонам треугольника .

В случае треугольник - уже искомый.

Задача 2. Дан угол, образованный лучами ОА и ОВ, и точка N внутри этого угла. Построить окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через данную точку N (рис. 278).

Решение. Окружность, касающаяся сторон угла, должна иметь центр на биссектрисе этого угла. Возьмем на этой биссектрисе произвольную точку и построим окружность с центром в касающуюся сторон угла (ее радиус просто равен расстоянию точки от сторон угла). Если теперь преобразовать эту окружность подобно с центром подобия в вершине угла О, то вновь получится окружность с центром на биссектрисе; такая окружность снова будет касаться сторон угла, так как ее радиус, ведущий в точку касания, перейдет в силу сохранения углов в радиус, перпендикулярный к стороне угла. Остается обеспечить выполнение второго условия: преобразованная окружность должна пройти через точку N. Отсюда вытекает решение задачи. Проведем луч ON до пересечения с окружностью в точках и построим ее радиусы , ведущие в эти точки. Через данную точку N проведем прямые NC и NC, параллельные этим радиусам; точки их пересечения С, С с биссектрисой и дают возможные положения центра искомой окружности. Задача имеет два решения. Как изменится решение, если точка N лежит на биссектрисе угла?

Упражнения

1. Периметр треугольника равен 10 см, а его площадь Чему равен периметр подобного треугольника, если его площадь ?

2. Доказать, что равнобедренные треугольники, имеющие равные углы при вершине, подобны.

3. Построить треугольник, подобный данному и вписанный в окружность данного радиуса.

4. В данный треугольник ABC вписать квадрат так, чтобы одна его сторона лежала на стороне ВС треугольника, а две вершины находились на двух других сторонах треугольника.