Пуассоновский процесс.

Пуассоновский процесс

Сначала рассмотрим пуассоновский процесс, который является потоком событий простейшего типа и, кроме того, сам играет важную роль во многих приложениях. К примеру, пуассоновский процесс служит моделью для потоков таких событий, как радиоактивные распады, телœефонные вызовы или обращения в страховое общество. Разумеется, в некоторых случаях эта модель дает хорошее приближение к истинной ситуации, а иногда используется лишь на начальном этапе изучения явлений.

Построим пуассоновскую модель на основании следующих предложений Хинчина :

1. Вероятность Р n (t ) того, что в интервале времени длительностью t произойдет ровно n событий, зависит от n и t , но не зависит от положения этого интервала на временной оси (условие стационарности).

2. Числа событий, происшедших в течение непересекающихся интервалов времени, являются независимыми случайными величинами (отсутствие последствия).

3. Вероятность того, что в малом интервале времени длительностью t произойдет более одного события, есть величина порядка меньше t , ᴛ.ᴇ. при t ®0 эта вероятность равна 0(t ) (условие ординарности).

Рассмотрим следствия, вытекающие из условий 1 – 3.

Из условий 1 и 2 вытекает, что для любых t и u

Р 0 (t + u ) = P 0 (t )P 0 (u ).

Единственным решением этого уравнения, для которого 0 < P 0 (t ) £ 1, является

где l – некоторая неотрицательная константа. Исключая тривиальный случай Р 0 (t )=1 для всœех t , можно считать l > 0. (Другие тривиальные решения P 0 (t )=0 не совместимо с условиями 2 и 3.) Для малых t

P 0 (t ) = 1– lt + 0(t ),

и из условия 3 получаем

Р 1 (t ) = 1 – Р 0 (t ) + 0(t ) = lt + 0(t ).

Р n (t + t) = (1 – lt)P n (t ) + ltP n -1 (t ) + 0(t).

Поделив обе части на t и устремив t к нулю, убеждаемся, что производная Р n 1 (t ) существует и удовлетворяет соотношению

Р n 1 (t ) = l[P n –1 (t ) – P n (t )]. (1.2)

Положив Р n (t ) = , получим .

Единственным решением этой системы, удовлетворяющим условиям v 0 (0) = 1, v n (0) = 0 для всœех n ³ 1, является

Следовательно, единственным решением системы (1.2), при условии Р n (0) = 0 для всœех n ³ 1 и P 0 (0) = 1, будет

. (1.3)

Определим теперь случайный процесс x(t ), который даст возможность описать вероятностную структуру пуассоновского процесса. Пусть x(t ) обозначает число пуассоновских событий на интервале времени (0, 1]; приращение x(t + u ) – x(u ) есть число событий на интервале (u , u + t ]. Тогда x(t ), так же как и любое приращение x(t + u ) – x(u ), будет иметь пуассоновское распределœение с параметром lt .

Определим конечномерные распределœения x(t ) соотношением

где r 1 £ r 2 £ … £ r n – целые числа; t 1 < t 2 < … < t n . Ясно, что условия 1–3 и условия согласованности теоремы Колмогорова выполняются. Следовательно, существует вероятностная мера на функциональном пространстве Х , которая определяется этими конечномерными распределœениями.

Построим эквивалентный вариант x(t ) следующим образом. Из вида конечномерных распределœений следует, что с вероятностью единица x(t ) не убывает на множестве всœех рациональных t ; оставим без изменения x(t ) для всœех рациональных t , а для иррациональных t положим x(t ) = x(t k ), где t k – рациональны и меньше t . Нетрудно видеть, что так определяемый процесс эквивалентен x(t ), поскольку значения нового процесса являются с вероятностью единица пределами величин x(t k ), а x(t ) – предел по вероятности этих величин, что следует из специфики конечномерных распределœений.

Далее с вероятностью единица данный эквивалентный вариант x(t ) не убывает и в каждом конечном интервале имеет не более конечного числа единичных скачков. Эти скачки соответствуют появлениям пуассоновских событий, и мы можем определить, к примеру, случайные величины m 1 , m 2 , …, m n где m n – промежуток времени между появлениями (n – 1) и n -го событий после момента t = 0.

Последнее замечание приводит к другому естественному способу определœения процесса x(t ) с помощью параметрического метода (второй способ § 1.5). Рассмотрим множество Х 0 всœех функций x(t ), определœенных для t ³ 0 соотношениями

x(t ) = 0 при 0 £ t < m 1,

x(t ) = n при m 1 + … + m n £ t < m 1 + … + m n +1 ,

где m 1 , m 2 , … – положительные параметры. Множество Х 0 является подмножеством функционального пространства Х и каждое x(t ) Î X 0 будет ступенчатой функцией, имеющей единичные скачки в точках t = m 1 + … + + m n . Пусть параметры m j являются независимыми случайными величинами с плотностью распределœения le - l t . Тогда сумма m 1 + … + m n имеет плотность (l n t n / n !)e - l t , и легко заметить, что совместное распределœение случайных величин x(t 1), …, x(t k ) совпадает с введенным ранее распределœением для процесса Пуассона (1.3).

Пуассоновский процесс - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Пуассоновский процесс" 2017, 2018.

Рассмотрим ряд полезных свойств процесса Пуассона, которые часто используются при моделировании систем массового обслуживания.

Слияние. Пусть N (t ) и N 2 (t) - два независимых пуассоновских процесса с интенсивностями А^и Х 2 . Тогда сумма процессов N(t) = N j (0+ N 2 (t) снова будет процессом Пуассона с интенсивностью A.J +Х 2 (рис. 14.9).

Рассмотрим короткий интервал (/, H-dx). Вероятность, что ни одно событие не произойдет в суммарном процессе, вычисляется в силу независимости как

Рис. 14.9. Слияние двух процессов Пуассона

В то же время вероятность того, что произойдет одно событие в суммарном процессе:

Производящая функция суммы случайных процессов, согласно (10.10) и (14.23), будет иметь вид

Приведенные формулы доказывают наше утверждение.

В общем случае для суммы т независимых процессов с интенсивностями Xj - результирующий процесс будет пуассоновским с интенсивностью

Предположим, что две случайные переменные Г, и Т 2 , представляющие интервалы времени между событиями двух пуассоновских процессов, взаимно независимы и экспоненциально распределены с интенсивностями Х ] и X 2 соответственно. Определим новую переменную

Функция распределения Т, согласно (14.25) и (14.27),

Вероятность того, что в интервале сначала произойдет событие Т { , а затем Т 2:

Как видно, вероятность не зависит от t.

В общем случае, если Г р Г 2 ,..., Т п независимые экспоненциально распределенные случайные величины с параметрами Х х, Х 2 ,...,Х п соответственно, то Т =min{7’ 1 ,Т 2 ,...,Т п } будет распределена экспоненциально с параметром Х { +Х 2 - ------Х п и вероятностью, что Tj имеет наименьшее значение :

Очевидно, что сумма вероятностей равна 1.

Случайное выделение. Если из пуассоновского процесса с интенсивностью X случайным образом с вероятностью р выбирать событие независимо от выбора других событий (рис. 14.10), то результирующий процесс будет пуассоновским с интенсивностью рХ.

Рис. 14.10.

Рассмотрим короткий интервал (/, t+ dx). Вероятность того, что в процессе, полученном с помощью случайной выборки, не произойдет событие, равна

В то же время вероятность, что в выборочном процессе произойдет одно событие, равна

что соответствует пуассоновскому процессу с интенсивностью рХ.

Расщепление. Пусть N(t) -процесс Пуассона с интенсивностью X, a N { (0 и N 2 (it ) обозначают число отмеченных с вероятностью р и не отмеченных с вероятностью (1 -р) заказов, прибывших в интервале (рис. 14.11). Тогда N x (t ) и N 2 (t) - процессы Пуассона с интенсивностями рХи (1- р) А,и оба процесса независимы. Доказательство аналогично предыдущему.

Рис. 14.11.

Равновероятность события в интервале. Пусть п событий произошли в моменты 0 t Т]. Тогда случайные переменные t { , t 2 ,...,t n имеют равномерное распределение в этом интервале.

Сначала предположим, что только одно событие происходит внутри интервала , а время этого события представляется случайной переменной Х х. Тогда имеют место два эквивалентных утверждения, представляющие вероятности совместных событий:

Согласно закону условной вероятности, первое утверждение можно записать как

Комбинируя выражения и подставляя пуассоновское распределение, получаем:

что соответствует равномерному распределению вероятности события в интервале , то эти заказы равномерно распределены внутри этого интервала.

Свойство PASTA (Poisson Arrival See Time Average) называют также ROP (Random Observer Property). Рассмотрим произвольную систему сервиса S, находящуюся в различных состояниях Sj. Клиенты прибывают в систему с интенсивностью А,. Клиент побуждает переход системы в другое состояние. В установившемся режиме мы можем рассматривать две различные вероятности: Pj - вероятность состояния Sj системы со стороны внешнего наблюдателя (клиента); р* - вероятность состояния системы при прибытии клиента. В общем случае Pj *= р*.

Свойство PASTA утверждает, что для пуассоновского процесса pj = р* , поскольку стохастические характеристики поступающего потока в момент начала рассмотрения одинаковы и независимы от выбора момента рассмотрения. Следовательно, распределение вероятностей состояний системы в момент рассмотрения должно быть таким же, как до этого момента. Другими словами, прибывший клиент не изменяет статистические характеристики системы, хотя изменяет ее состояние, и всегда наблюдает систему в ее стационарном состоянии. Интуитивно это свойство означает, что пуассоновский процесс полностью случаен. Свойство PASTA не справедливо для непуассоновских потоков.

Описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью.

Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией Λ(А) , равной приращению в интервале А некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра λ(t) - функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале равна λ(t)dt . Если А - отрезок , то

$\backslash Lambda(A)=\backslash int\backslash limits\_\{a\}^\{b\}\; \backslash lambda(t)\backslash ,\; dt$

Поток Пуассона, для которого λ(t) равна постоянной λ , называется простейшим потоком с параметром λ .

Потоки Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру Λ(А) . Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью λ . При этом Λ(А) равна объему области А , умноженному на λ .

Классификация

Различают два вида процессов Пуассона: простой (или просто: процесс Пуассона) и сложный (обобщённый).

Простой процесс Пуассона

Пусть $\backslash lambda\; >\; 0$. Случайный процесс $\backslash \{X\_t\backslash \}\_\{t\; \backslash ge\; 0\}$ называется однородным Пуассоновским процессом с интенсивностью $\backslash lambda$, если

1. $X\_0\; =\; 0$ почти наверное .
2. $\backslash \{X\_t\backslash \}$ - процесс с независимыми приращениями .
3. $X\_t\; -\; X\_s\; \backslash sim\; \backslash \; \backslash mathrm\{P\}(\backslash lambda(t-s))$ для любых , где $\backslash mathrm\{P\}(\backslash lambda(t-s))$ обозначает распределение Пуассона с параметром $\backslash lambda(t-s)$.

Сложный (обобщённый) Пуассоновский процесс

• Пусть $\backslash xi\_1\; ,\; ...,\; \backslash xi\_n$ последовательность взаимно независимых одинаково распределённых случайных величин.
• Пусть $N(t)$ - простой пуассоновский процесс с интенсивностью $\backslash lambda$, не зависящий от последовательности $\backslash xi\_1\; ,\; ...,\; \backslash xi\_n$.

Обозначим через $S\_k$ сумму первых k элементов введённой последовательности.

Тогда определим сложный Пуассоновский процесс $\backslash \{Y\_t\backslash \}$ как $S\_\{N(t)\}$ .

Свойства

• Пуассоновский процесс принимает только неотрицательные целые значения, и более того

• Траектории процесса Пуассона - кусочно-постоянные, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно

где $o(h)$ обозначает «о малое» .

Критерий

Для того чтобы некоторый случайный процесс $\backslash \{X\_t\backslash \}$ с непрерывным временем был Пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий:

1. $X\_0\; =\; 0$.
2. Процесс имеет независимые приращения.
3. Процесс однородный.
4. Процесс принимает целые неотрицательные значения.
5. $P\backslash \{X\_h\; \backslash geq\; 2\backslash \}\; =\; o(h)$ при $h\; \backslash searrow\; 0$.

Информационные свойства

• Пусть $\backslash tau\_1,\backslash dots,\backslash tau\_n$ - моменты скачков процесса Пуассона. $T=\; \backslash tau\_j-\; \backslash tau\_\{j-1\}$.

Зависит ли $T$ от предыдущей части траектории?
$\backslash mathbb\; P(\backslash \{T>t+s\; \backslash mid\; T>s\backslash \})$ - ?

Пусть $u(t)=\; \backslash mathbb\; P(T>t)$.

$u(t\backslash mid\; s)=\backslash frac\{\; \backslash mathbb\; P(T>t+s\backslash cap\; T>s)\}\{\; \backslash mathbb\; P(T>s)\}=\backslash frac\{\backslash mathbb\; P(T>t+s)\}\{\backslash mathbb\; P(T>s)\}$
$u(t\backslash mid\; s)u(s)=u(t+s)$
$u(t\backslash mid\; s)=s(t)\; \backslash Leftrightarrow\; u(t)=e^\{-\backslash alpha\; t\}$.
Распределение длин промежутков времени между скачка́ми обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно .

• Рассмотрим отрезок $$ на временно́й оси.

$X(b)-X(a)=n$ - число скачков на отрезке $$.
Условное распределение моментов скачков $\backslash tau\_1,\backslash dots,\backslash tau\_n\backslash mid\; X(b)-X(a)=n$ совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины $n$ из $R$.

Плотность этого распределения $f\_\{\backslash tau\_1,\backslash dots,\backslash tau\_n\}(t)=\backslash frac\{n!\}\{(b-a)^n\}\backslash mathbb\{I\}(t\_j\backslash in\backslash \; \backslash forall\; j=\backslash overline\{1,n\})$

ЦПТ

• Теорема.

Скорость сходимости:
,
где $C\_0$ - константа Берри-Эссеена .

Применение

Поток Пуассона служит для моделирования различных реальных потоков: несчастных случаев, потока заряженных частиц из космоса, отказов оборудования и других. Так же возможно применение для анализа финансовых механизмов, таких как поток платежей и других реальных потоков. Для построения моделей различных систем обслуживания и анализа их пригодности.

Использование потоков Пуассона значительно упрощает решение задач систем массового обслуживания , связанных с расчетом их эффективности. Но необоснованная замена реального потока потоком Пуассона там, где это недопустимо, приводит к грубым просчетам.

Напишите отзыв о статье "Процесс Пуассона"

Литература

• Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. - М .: Мир, 1986. - 528 с.
• ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. - М .: Высшая школа, 1990. - 376 с.
• Кингман Дж. Пуассоновские процессы. - М .: МЦНМО, 2007. - 136 с.

Примечания

См. также

Отрывок, характеризующий Процесс Пуассона

Около деревни Праца Ростову велено было искать Кутузова и государя. Но здесь не только не было их, но не было ни одного начальника, а были разнородные толпы расстроенных войск.
Он погонял уставшую уже лошадь, чтобы скорее проехать эти толпы, но чем дальше он подвигался, тем толпы становились расстроеннее. По большой дороге, на которую он выехал, толпились коляски, экипажи всех сортов, русские и австрийские солдаты, всех родов войск, раненые и нераненые. Всё это гудело и смешанно копошилось под мрачный звук летавших ядер с французских батарей, поставленных на Праценских высотах.
– Где государь? где Кутузов? – спрашивал Ростов у всех, кого мог остановить, и ни от кого не мог получить ответа.
Наконец, ухватив за воротник солдата, он заставил его ответить себе.
– Э! брат! Уж давно все там, вперед удрали! – сказал Ростову солдат, смеясь чему то и вырываясь.
Оставив этого солдата, который, очевидно, был пьян, Ростов остановил лошадь денщика или берейтора важного лица и стал расспрашивать его. Денщик объявил Ростову, что государя с час тому назад провезли во весь дух в карете по этой самой дороге, и что государь опасно ранен.
– Не может быть, – сказал Ростов, – верно, другой кто.
– Сам я видел, – сказал денщик с самоуверенной усмешкой. – Уж мне то пора знать государя: кажется, сколько раз в Петербурге вот так то видал. Бледный, пребледный в карете сидит. Четверню вороных как припустит, батюшки мои, мимо нас прогремел: пора, кажется, и царских лошадей и Илью Иваныча знать; кажется, с другим как с царем Илья кучер не ездит.
Ростов пустил его лошадь и хотел ехать дальше. Шедший мимо раненый офицер обратился к нему.
– Да вам кого нужно? – спросил офицер. – Главнокомандующего? Так убит ядром, в грудь убит при нашем полку.
– Не убит, ранен, – поправил другой офицер.
– Да кто? Кутузов? – спросил Ростов.
– Не Кутузов, а как бишь его, – ну, да всё одно, живых не много осталось. Вон туда ступайте, вон к той деревне, там всё начальство собралось, – сказал этот офицер, указывая на деревню Гостиерадек, и прошел мимо.
Ростов ехал шагом, не зная, зачем и к кому он теперь поедет. Государь ранен, сражение проиграно. Нельзя было не верить этому теперь. Ростов ехал по тому направлению, которое ему указали и по которому виднелись вдалеке башня и церковь. Куда ему было торопиться? Что ему было теперь говорить государю или Кутузову, ежели бы даже они и были живы и не ранены?
– Этой дорогой, ваше благородие, поезжайте, а тут прямо убьют, – закричал ему солдат. – Тут убьют!
– О! что говоришь! сказал другой. – Куда он поедет? Тут ближе.
Ростов задумался и поехал именно по тому направлению, где ему говорили, что убьют.
«Теперь всё равно: уж ежели государь ранен, неужели мне беречь себя?» думал он. Он въехал в то пространство, на котором более всего погибло людей, бегущих с Працена. Французы еще не занимали этого места, а русские, те, которые были живы или ранены, давно оставили его. На поле, как копны на хорошей пашне, лежало человек десять, пятнадцать убитых, раненых на каждой десятине места. Раненые сползались по два, по три вместе, и слышались неприятные, иногда притворные, как казалось Ростову, их крики и стоны. Ростов пустил лошадь рысью, чтобы не видать всех этих страдающих людей, и ему стало страшно. Он боялся не за свою жизнь, а за то мужество, которое ему нужно было и которое, он знал, не выдержит вида этих несчастных.
Французы, переставшие стрелять по этому, усеянному мертвыми и ранеными, полю, потому что уже никого на нем живого не было, увидав едущего по нем адъютанта, навели на него орудие и бросили несколько ядер. Чувство этих свистящих, страшных звуков и окружающие мертвецы слились для Ростова в одно впечатление ужаса и сожаления к себе. Ему вспомнилось последнее письмо матери. «Что бы она почувствовала, – подумал он, – коль бы она видела меня теперь здесь, на этом поле и с направленными на меня орудиями».
В деревне Гостиерадеке были хотя и спутанные, но в большем порядке русские войска, шедшие прочь с поля сражения. Сюда уже не доставали французские ядра, и звуки стрельбы казались далекими. Здесь все уже ясно видели и говорили, что сражение проиграно. К кому ни обращался Ростов, никто не мог сказать ему, ни где был государь, ни где был Кутузов. Одни говорили, что слух о ране государя справедлив, другие говорили, что нет, и объясняли этот ложный распространившийся слух тем, что, действительно, в карете государя проскакал назад с поля сражения бледный и испуганный обер гофмаршал граф Толстой, выехавший с другими в свите императора на поле сражения. Один офицер сказал Ростову, что за деревней, налево, он видел кого то из высшего начальства, и Ростов поехал туда, уже не надеясь найти кого нибудь, но для того только, чтобы перед самим собою очистить свою совесть. Проехав версты три и миновав последние русские войска, около огорода, окопанного канавой, Ростов увидал двух стоявших против канавы всадников. Один, с белым султаном на шляпе, показался почему то знакомым Ростову; другой, незнакомый всадник, на прекрасной рыжей лошади (лошадь эта показалась знакомою Ростову) подъехал к канаве, толкнул лошадь шпорами и, выпустив поводья, легко перепрыгнул через канаву огорода. Только земля осыпалась с насыпи от задних копыт лошади. Круто повернув лошадь, он опять назад перепрыгнул канаву и почтительно обратился к всаднику с белым султаном, очевидно, предлагая ему сделать то же. Всадник, которого фигура показалась знакома Ростову и почему то невольно приковала к себе его внимание, сделал отрицательный жест головой и рукой, и по этому жесту Ростов мгновенно узнал своего оплакиваемого, обожаемого государя.

• Перевод

Введение

На первом шаге мы определим пуассоновский процесс на = T
UNTIL Ложь (это бесконечный цикл; по желанию можно добавить критерий остановки)

Этот алгоритм просто реализовать, поскольку нет нужды генерировать пуассоновские случайные величины. Для других простых множеств A, существуют тривиальные обобщения теоремы 1.2. Например, когда A=x, где t может равняться бесконечности, 0 < T1 < T2 <… - равномерный пуассоновский процесс с интенсивностью λ и U1,U2,… - последовательность независимых одинаково распределённых равномерно на случайных величин, то (T1,U1),(T2,U2),… определяют пуассоновский процесс с интенсивностью λ на А.

Пример 1.1.

Неоднородные пуассоновские процессы

Пример 1.2. Однородный пуассоновский процесс

Пример 1.3.

Если функцию интенсивности можно представить в виде суммы функций интенсивности, т. е. ,

0 < T i1 < T i2 <… T in - независимые реализации отдельных неоднородных пуассоновских процессов, то объединённая упорядоченная последовательность образует реализацию неоднородного пуассоновского процесса с функкцией интенсивности λ(t). Это относится к методу композиции, но разница теперь состоит в том, что нам нужны реализации всех компонентов процесса. Декомпозицию можно использовать, когда существует естественное разложение, продиктованное аналитической формой λ(t). Поскольку основная операция в слиянии процессов - взять минимальное значение из n процессов, для больших n преимущество может предоставить хранение моментов времени в куче из n элементов.

В итоге получим метод композиции:

Сгенерировать T,...,T для n пуассоновских процессов и хранить эти значения вместе с индексами соответствующих процессов в таблице
T = 0 (текущее время)
k = 0
REPEAT
Найти минимальный элемент T в таблице и удалить его
k = k + 1
T[k] = T
Сгенерировать T и вставить в таблицу
UNTIL False

Третий общий принцип - это принцип утоньшения (Льюис и Шедлер, 1979). Аналогично тому, что происходит в методе отклонения, предполагаем, что существует лёгкая доминирующая функция интенсивности λ(t) <= μ(t) для любого t.

Тогда идея состоит в том, чтобы сгенерировать однородный Пуассоновский процесс на части положительной полуплоскости между 0 и μ(t), затем рассмотреть однородный пуассоновский процесс под λ и, наконец, вернуть x-компоненты событий в этом процессе. Это требует следующей теоремы.

Теперь рассмотрим метод утоньшения Льюиса и Шедлера:

T = 0
k = 0
REPEAT
Сгенерировать Z, первое событие в неоднородном пуассоновском процессе с функцией интенсивности μ, который происходит после момента времени T. Присвоить T = Z
Сгенерировать равномерно распределённую на случайную величину U
IF U <= λ(Z)/μ(Z)
THEN k = k + 1, X[k] = T
UNTIL False

Утверждается, что последовательность X k так сгенерированная образует неоднородный пуассоновский процесс с функцией интенсивности λ. Заметим, что мы взяли неоднородный процесс 0 < Y1 < Y2 <… с функцией интенсивности μ и убрали некоторые точки. Насколько мы знаем, (Y i ,U i μ(Y i) - однородный пуассоновский процесс с единичной интенсивностью на кривой, если U i независимые одинаково распределённые равномерно на случайные величины в силу теоремы 1.3. Таким образом, подпоследовательность на кривой λ определяет однородный пуассоновский процесс с единичной интенсивностью на этой кривой (часть 3. теоремы 1.3). Наконец, взятие x-координат только этой подпоследовательности даёт нам неоднородный пуассоновский процесс с функцией интенсивности λ.
Неоднородный пуассоноский процесс с функцией интенсивности μ обычно моделируют методом инверсии.

Пример 1.4. Функция с циклической интенсивностью

Тогда алгоритм моделирования примет вид:

T = 0
k = 0
REPEAT
Сгенерировать экспоненциальную случайную величину E c параметром 1
T = T + E/(2λ)
Сгенерировать равномерную на случайную величину U
IF U <= (1+cos(T))/2
THEN k = k + 1, X[k] = T
UNTIL False

Нет нужды говорить о том, что можно использовать здесь теорему о двух милиционерах, чтобы избежать вычисления косинуса в большинстве случаев.

Заключительное слово об эффективности алгоритма, когда моделируется неоднородный пуассоновский процесс на множестве . Среднее число событий, которое необходимо от доминирующего процесса, равно в то время, как среднее число возвращённых случайных величин равно
Отношение средних величин может быть рассмотрено как объективная мера эффективности, сравнимая в духе константы отклонения в стандартном методе отклонения. Заметим, что мы не можем использовать среднюю величину отношения, поскольку она, в общем случае, была бы равна бесконечности в силу положительной вероятности того, что ни одна величина не возвратится.

Описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью.

Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией Λ(А) , равной приращению в интервале А некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра λ(t) - функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале равна λ(t)dt . Если А - отрезок , то

Поток Пуассона, для которого λ(t) равна постоянной λ , называется простейшим потоком с параметром λ .

Потоки Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру Λ(А) . Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью λ . При этом Λ(А) равна объему области А , умноженному на λ .

Классификация

Различают два вида процессов Пуассона: простой (или просто: процесс Пуассона) и сложный (обобщённый).

Простой процесс Пуассона

Пусть λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} . Случайный процесс { X t } t ≥ 0 {\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}} называется однородным Пуассоновским процессом с интенсивностью λ {\displaystyle \lambda } , если

Сложный (обобщённый) пуассоновский процесс

Обозначим через S k {\displaystyle S_{k}} сумму первых k элементов введённой последовательности.

Тогда определим сложный Пуассоновский процесс { Y t } {\displaystyle \{Y_{t}\}} как S N (t) {\displaystyle S_{N(t)}} .

Свойства

• Пуассоновский процесс принимает только неотрицательные целые значения, и более того

• Траектории процесса Пуассона - кусочно-постоянные, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно

где o (h) {\displaystyle o(h)} обозначает «о малое» .

Критерий

Для того чтобы некоторый случайный процесс { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} с непрерывным временем был пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий:

Информационные свойства

Зависит ли T {\displaystyle T} от предыдущей части траектории?
P ({ T > t + s ∣ T > s }) {\displaystyle \mathbb {P} (\{T>t+s\mid T>s\})} - ?

Пусть u (t) = P (T > t) {\displaystyle u(t)=\mathbb {P} (T>t)} .

U (t ∣ s) = P (T > t + s ∩ T > s) P (T > s) = P (T > t + s) P (T > s) {\displaystyle u(t\mid s)={\frac {\mathbb {P} (T>t+s\cap T>s)}{\mathbb {P} (T>s)}}={\frac {\mathbb {P} (T>t+s)}{\mathbb {P} (T>s)}}}
u (t ∣ s) u (s) = u (t + s) {\displaystyle u(t\mid s)u(s)=u(t+s)}
u (t ∣ s) = s (t) ⇔ u (t) = e − α t {\displaystyle u(t\mid s)=s(t)\Leftrightarrow u(t)=e^{-\alpha t}} .
Распределение длин промежутков времени между скачка́ми обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно .

X (b) − X (a) = n {\displaystyle X(b)-X(a)=n} - число скачков на отрезке [ a , b ] {\displaystyle } .
Условное распределение моментов скачков τ 1 , … , τ n ∣ X (b) − X (a) = n {\displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{n}\mid X(b)-X(a)=n} совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины n {\displaystyle n} из R [ a , b ] {\displaystyle R} .

Плотность этого распределения f τ 1 , … , τ n (t) = n ! (b − a) n I (t j ∈ [ a , b ] ∀ j = 1 , n ¯) {\displaystyle f_{\tau _{1},\dots ,\tau _{n}}(t)={\frac {n!}{(b-a)^{n}}}\mathbb {I} (t_{j}\in \ \forall j={\overline {1,n}})}

ЦПТ

• Теорема.

P (X (t) − λ t λ t < x) ⇉ x λ t → ∞ Φ (x) ∼ N (0 , 1) = 1 2 π ∫ − ∞ x e − u 2 2 d u {\displaystyle \mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}}

Скорость сходимости:
sup x | P (X (t) − λ t λ t < x) − Φ (x) | ⩽ C 0 λ t {\displaystyle \sup \limits _{x}{\biggl |}\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}},
где C 0 {\displaystyle C_{0}} - константа Берри-Эссеена .

Применение

Поток Пуассона служит для моделирования различных реальных потоков: несчастных случаев, потока заряженных частиц из космоса, отказов оборудования и других. Так же возможно применение для анализа финансовых механизмов, таких как поток платежей и других реальных потоков. Для построения моделей различных систем обслуживания и анализа их пригодности.

Использование потоков Пуассона значительно упрощает решение задач систем массового обслуживания , связанных с расчетом их эффективности. Но необоснованная замена реального потока потоком Пуассона там, где это недопустимо, приводит к грубым просчетам.