С помощью первой производной функции исследуют ее. Исследование функции с помощью производной

На этой странице мы постарались собрать для вас наиболее полную информацию об исследовании функции. Больше не надо гуглить! Просто читайте, изучайте, скачивайте, переходите по отобранным ссылкам.

Общая схема исследования

Для чего нужно это исследование, спросите вы, если есть множество сервисов, которые построят для самых замудренных функций? Для того, чтобы узнать свойства и особенности данной функции: как ведет себя на бесконечности, насколько быстро меняет знак, как плавно или резко возрастает или убывает, куда направлены "горбы" выпуклости, где не определены значения и т.п.

А уже на основании этих "особенностей" и строится макет графика - картинка, которая на самом-то деле вторична (хотя в учебных целях важна и подтверждает правильность вашего решения).

Начнем, конечно же, с плана . Исследование функции - объемная задача (пожалуй, самая объемная из традиционного курса высшей математики, обычно от 2 до 4 страниц с учетом чертежа), поэтому, чтобы не забыть, что в каком порядке делать, следуем пунктам, описанным ниже.

Алгоритм

Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
Найти точки пересечения с осями координат.
Установить, является ли функция чётной или нечётной.
Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций).
Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.
Построить график и асимптоты.

В разных источниках (учебниках, методичках, лекциях вашего преподавателя) список может иметь отличный от данного вид: некоторые пункты меняются местами, объединяются с другими, сокращаются или убираются. Учитывайте требования/предпочтения вашего учителя при оформлении решения.

Схема исследования в формате pdf: скачать .

Полный пример решения онлайн

Провести полное исследование и построить график функции $$ y(x)=\frac{x^2+8}{1-x}. $$

1) Область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, нужно найти нули знаменателя. $$1-x=0, \quad \Rightarrow \quad x=1.$$ Исключаем единственную точку $x=1$ из области определения функции и получаем: $$ D(y)=(-\infty; 1) \cup (1;+\infty). $$

2) Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва. Найдем односторонние пределы:

Так как пределы равны бесконечности, точка $x=1$ является разрывом второго рода, прямая $x=1$ - вертикальная асимптота.

3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.

Найдем точки пересечения с осью ординат $Oy$, для чего приравниваем $x=0$:

Таким образом, точка пересечения с осью $Oy$ имеет координаты $(0;8)$.

Найдем точки пересечения с осью абсцисс $Ox$, для чего положим $y=0$:

Уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью $Ox$ нет.

Заметим, что $x^2+8>0$ для любых $x$. Поэтому при $x \in (-\infty; 1)$ функция $y>0$ (принимает положительные значения, график находится выше оси абсцисс), при $x \in (1; +\infty)$ функция $y\lt 0$ (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:

5) Исследуем функцию на периодичность. Функция не является периодической, так как представляет собой дробно-рациональную функцию.

6) Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции:

Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых $y"=0$):

Получили три критические точки: $x=-2, x=1, x=4$. Разобьем всю область определения функции на интервалы данными точками и определим знаки производной в каждом промежутке:

При $x \in (-\infty; -2), (4;+\infty)$ производная $y" \lt 0$, поэтому функция убывает на данных промежутках.

При $x \in (-2; 1), (1;4)$ производная $y" >0$, функция возрастает на данных промежутках.

При этом $x=-2$ - точка локального минимума (функция убывает, а потом возрастает), $x=4$ - точка локального максимума (функция возрастает, а потом убывает).

Найдем значения функции в этих точках:

Таким образом, точка минимума $(-2;4)$, точка максимума $(4;-8)$.

7) Исследуем функцию на перегибы и выпуклость. Найдем вторую производную функции:

Приравняем вторую производную к нулю:

Полученное уравнение не имеет корней, поэтому точек перегиба нет. При этом, когда $x \in (-\infty; 1)$ выполняется $y"" \gt 0$, то есть функция вогнутая, когда $x \in (1;+\infty)$ выполняется $y"" \lt 0$, то есть функция выпуклая.

8) Исследуем поведение функции на бесконечности, то есть при .

Так как пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.

Попробуем определить наклонные асимптоты вида $y=kx+b$. Вычисляем значения $k, b$ по известным формулам:

Получили, у что функции есть одна наклонная асимптота $y=-x-1$.

9) Дополнительные точки. Вычислим значение функции в некоторых других точках, чтобы точнее построить график.

$$ y(-5)=5.5; \quad y(2)=-12; \quad y(7)=-9.5. $$

10) По полученным данным построим график, дополним его асимптотами $x=1$ (синий), $y=-x-1$ (зеленый) и отметим характерные точки (фиолетовым пересечение с осью ординат, оранжевым экстремумы, черным дополнительные точки):

Примеры решений по исследованию функции

Разные функции (многочлены, логарифмы, дроби) имеют свои особенности при исследовании (разрывы, асимптоты, количество экстремумов, ограниченная область определения), поэтому здесь мы пострались собрать примеры из контрольных на исследование функций наиболее часто встречающихся типов. Удачи в изучении!

Задача 1. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график.

$$y=\frac{e^x}{x}.$$

Задача 2. Исследовать функцию и построить ее график.

$$y=-\frac{1}{4}(x^3-3x^2+4).$$

Задача 3. Исследовать функцию с помощью производной и построить график.

$$y=\ln \frac{x+1}{x+2}.$$

Задача 4. Провести полное исследование функции и построить график.

$$y=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}}.$$

Задача 5. Исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить график.

$$y=\frac{x^3-1}{4x^2}.$$

Задача 6. Исследовать функцию на экстремумы, монотонность, выпуклость и построить график.

$$y=\frac{x^3}{x^2-1}.$$

Задача 7. Проведите исследование функции с построением графика.

$$y=\frac{x^3}{2(x+5)^2}.$$

Как построить график онлайн?

Даже если преподаватель требует вас сдавать задание, написанное от руки , с чертежом на листке в клеточку, вам будет крайне полезно во время решения построить график в специальной программе (или сервисе), чтобы проверить ход решения, сравнить его вид с тем, что получается вручную, возможно, найти ошибки в своих расчетах (когда графики явно ведут себя непохоже).

Ниже вы найдете несколько ссылок на сайты, которые позволяют построить удобно, быстро, красиво и, конечно, бесплатно графики практически любых функций. На самом деле таких сервисов гораздо больше, но стоит ли искать, если выбраны лучшие?

Графический калькулятор Desmos

Вторая ссылка практическая, для тех, кто хочет научиться строить красивые графики в Desmos.com (см. выше описание): Полная инструкция по работе с Desmos . Эта инструкция довольно старая, с тех пор интерфейс сайта поменялся в лучшую сторону, но основы остались неизменными и помогут быстро разобраться с важными функциями сервиса.

Официальные инструкции, примеры и видео-инструкции на английском можно найти тут: Learn Desmos .

Решебник

Срочно нужна готовая задача? Более сотни разных функций с полным исследованием уже ждут вас. Подробное решение, быстрая оплата по SMS и низкая цена - около 50 рублей . Может, и ваша задача уже готова? Проверьте!

Полезные видео-ролики

Вебинар по работе с Desmos.com. Это уже полноценный обзор функций сайта, на целых 36 минут. К сожалению, он на английском языке, но базовых знаний языка и внимательности достаточно, чтобы понять большую часть.

Классный старый научно-популярный фильм "Математика. Функции и графики". Объяснения на пальцах в прямом смысле слова самых основ.

В заданиях ЕГЭ по математике обязательно встретиться исследование функции с помощью производной. Математический анализ – не самая простая в мире вещь. Но в КИМах не встречается такого, с чем бы не справился ученик средней школы, если он приложил достаточно стараний к учебе.

Будем вместе разбираться, что такое производная и как ее применять при исследовании функции.

Производная

Начертите ось координат и постройте любую элементарную функцию. Например, параболу для функции у = х 2 .

Вы сами видите, что на некотором участке функция убывает, на другом – возрастает. То есть изменяется. Вот эту динамику, иными словами, скорость, с которой функция изменяется, отражает производная (у" = f’(x)).

Например, отметьте на своем чертеже точку на оси Х, пускай наша точка будет под цифрой 1 – это х 1 , на цифре 2 будет х 2 . Дальше будем оперировать такими понятиями, как приращение аргумента – ∆х и приращение функции – ∆у. Что это такое? ∆х показывает, как функция изменяется по оси Х, ∆у отражает изменение функции по оси У.

Предположим, мы движемся по графику от точки х 1 к точке х 2 . Перемещение вправо по оси Х отражает приращение аргумента ∆х, вызванное им перемещение вверх по оси У – приращение функции ∆у. Мы можем объединить обе величины в неравенстве ∆у/∆х > 0, поскольку приращения положительные – мы ведь движемся вверх по возрастающему графику, «по ходу движения».

Мы взяли две довольно далеко отстоящие друг от друга точки. Но вообще можем подобрать ∆х для любой точки на выбранном отрезке, чтобы получить ∆у > 0. И на любом участке, где функция убывает, мы можем подобрать такое приращение аргумента, при котором ∆у < 0 и ∆у/∆х < 0.

Чем меньшее расстояние мы будем рассматривать, тем точнее опишем скорость изменения функции. Не все ведь графики такие простые, как этот. Поэтому говорят, что приращение аргумента стремиться к нулю (∆х → 0), т.е. к минимальному своему значению.

Возможно и такое неравенство: ∆у/∆х = 0 в самой верхней и самой нижней точке графика. В нашем случае она приходится на начало координат.

Записанное нами неравенство ∆у/∆х отражает суть производной – речь идет о пределе отношения приращения функции к приращению аргумента.

Производная в точке vs производная функции

Мы начали с того, что выбрали точку, от которой «стартует» наше приращения функции. Иными словами, мы определяли приращение функции в точке х 1.

Значит, производной функции в точке х 1 называют предел приращения функции ∆у к приращению аргумента ∆х в этой точке, при том, что ∆х → 0.

Записать сказанное можно так: f"(х 1) = lim х→0 f (х 1 + ∆х) – f(х 1) / ∆х = lim х→0 ∆у/∆х. Можно также провести касательную к графику в точке х 1 , тогда производную можно выразить через тангенс угла ее наклона к графику: f"(х 1) = lim х→0 ∆у/∆х = tgφ.

Если у предела есть границы (т.е. он конечен), возможно дифференцировать функцию в точке. Это также будет обозначать, что в этой точке функция является непрерывной. ∆х → 0, но ∆х ≠ 0. Кстати, из одного того, что функция непрерывна, вовсе не следует, что эту функцию можно дифференцировать в обязательном порядке.

Если вы заинтересовались, как же так, предлагаю вам найти соответствующий пример самостоятельно – не все же готовым на блюдечке получать. Тем более что для заданий ЕГЭ знать это вам не обязательно. И даже, кощунственную вещь скажу, можно не понимать, что такое производная. Главное научиться ее находить.

Сейчас мы говорили о производной в точке х 1 , но аналогичным образом мы можем произвести все те же манипуляции с любой другой точкой, поэтому имеем право записать формулу производной функции так: f"(х) = lim х→0 f (х+ ∆х) – f(х) / ∆х = lim х→0 ∆у/∆х. Или иначе y" = f"(x), которая происходит, «производится» от функции y = f(x).

Вот несколько производных для примера, больше их вы найдете в таблице производных, а некоторые рекомендуется запомнить со временем:

производная константы (С)" = 0;
производная степенной функции (x n)’ = nx n -1 ;
ее разновидность производная числа (x)’ = 1;
а также (√x)’ = 1/2√x;
и (1/x)’ = -1/x 2 .

Правила дифференцирования

Дифференцировать – значить выделить некие признаки, в случае с функцией – скорость ее изменения, об этом мы уже говорили. Т.е. вычислить производную.

Для вычисления производной (дифференцирования) самых разных функций существуют определенные общие правила. Сейчас мы их коротко вспомним, воспользовавшись статьей Александра Емелина с отличного сайта, посвященного высшей математике mathprofi.ru.

Постоянное число выносится за знак производной: (Cu)’ = Cu’, C = const.
Y = 3cos x, y’ = (3 cos x)’ = 3 (cos x)’ = 3(-sin x) = -3sin x;
Производная суммы равна сумме производных: (u ± v)’ = u’ ± v’ .
Y = 6 + x + 3x 2 – sin x – 2 3 √x + 1/x 2 – 11ctg x, y’ = (6 + x + 3x 2 – sinx – 2 3 √x + 1/x 2 – 11ctg x)’ = (6)’ + (x)’ + 3(x 2)’ – (sin x)’ – 2(x 1/3)’+ (x -2)’ – 11(ctgx)’ = 0 + 1 + 3*2x – cos x – 2*1/3x -2/3 + (-2)x -3 – 11(-1/sin 2 x) = 1 + 6x – cos x – 2/3 3 √x 2 – 2/x 3 + 11/sin 2 x;
Производная произведения функции: (uv)’ = u’v + uv’ .
Y = x 3 arcsin x, y’ = (x 3 arcsin x)’ = (x 3)’ * arcsin x + x 3 * (arcsin x)’= 3x 2 arcsin x + x 3 * 1/√1 – x 2 = 3x 2 arcsin x + x 3 /√1 – x 2 ;
Производная частного функции: (u/v)" = (u"v – uv")/v 2 .
Y = 2(3x – 4)/ x 2 + 1, y’ = (2(3x – 4)/ x 2 + 1)’ = 2 (3x – 4/ x 2 +1)’ = 2 * ((3x – 4)’* (x 2 + 1) – (3x – 4) * (x 2 + 1)’/(x 2 + 1) 2) = 2 (3(x 2 + 1) - (3x – 4) * 2x/ (x 2 + 1) 2) = 2 (-3x 2 + 8x + 3)/ (x 2 + 1) 2 ;
Производная сложной функции. Прямо сейчас она вам не понадобиться, поэтому ее мы рассматривать не будем.

Исследуем функцию с помощью производной

Итак, с присказкой разобрались, начинаем саму сказку. В части В КИМов по математике вам гарантировано попадется одна или даже нескольких задач, включающих исследование функции с помощью производной. К примеру, может потребоваться исследовать функцию на экстремумы, определить ее монотонность и т.д.

При помощи производной можно определить:

на каких интервалах график функции убывает и возрастает (исследуем монотонность);
минимальные и максимальные значения производной (исследуем на экстремумы);
наибольшее и наименьше значение функции, которая непрерывна на отрезке.

Сложность таких заданий зависит в первую очередь от того, какая функция попадется вам по условию. Но общий алгоритм действий останется для вас неизменным в любом случае. Вот и давайте разберем все по порядку.

Монотонность функции. Проще говоря, определение участков, на которых функция остается неизменной, т.е. «монотонной». А изменяется функция в критических точках, но про это ниже.

Порядок действий:

Найдите производную.
Найдите критические точки.
Определите знак производной и характер ее изменений на интервалах, которые отмеряют критические точки (руководствуясь достаточными условиями монотонности).
Запишите промежутки монотонности.

Функция возрастает, если большее значение функции соответствует большему значению аргумента: х 2 > х 1 и f(х 2) > f(х 1) на выбрано интервале. График при этом движется снизу вверх.

Функция убывает, если меньшее значение функции соответствует большему значению аргумента: х 2 > х 1 и f(х 2) < f(х 1) на выбранном интервале. График движется сверху вниз.

Поскольку функция возрастает и убывает в рамках интервала, ее можно назвать строго монотонной. А исследование функции на монотонность предполагает, что речь идет как раз об интервалах строгой монотонности.

Функция также может не убывать на интервале: f(х 2) ≥ f(х 1) – неубывающая функция. И аналогичным образом не возрастать на интервале: f(х 2) ≤ f(х 1) – невозрастающая функция.

Достаточные условия монотонности функции:

условие возрастания: если на выбранном интервале в каждой точке производная больше нуля (f"(х) > 0), то функция на этом интервале монотонно возрастает;
условие убывания: если на выбрано интервале в каждой точке производная меньше нуля (f"(х) < 0), то функция на этом интервале монотонно убывает;
условие постоянства (оно не только достаточное, но и необходимое): функция постоянна на выбранном интервале, когда производная равна нулю (f"(х) = 0) в каждой его точке.

Критической точкой называют ту, в которой производная равна нулю или ее значения не существует. Она может одновременно являться точкой экстремума, но может ею и не быть. Но об этом дальше.

Экстремумы функции. Т.е. такие значения переменной, при которой которых функция достигает своих максимальных и минимальных значений.

Порядок действий:

Обозначьте область определения функции, на каких интервалах она является непрерывной.
Найдите производную.
Найдите критические точки.
Определите, являются ли критические точки точками экстремумов (опираясь на достаточное условие экстремума).
Запишите экстремумы.

Необходимое условие экстремума:

Если х 0 – точка экстремума функции, то она является одновременно и критической точкой, в которой производная равна нулю или не существует.

Как уже говорилось выше, точка экстремума может и не совпадать с критической точкой. Например, для функции у = х 3 (рис.1), у =│х│(рис 2.), у = 3 √х точка экстремума отсутствует в критической точке.

Достаточное условия экстремума:

Если в точке х 0 функция является непрерывной, а ее производная меняет в ней знак, то х 0 – точка экстремума функции.

Если при переходе через точку х 0 изменяется знак производной с «+» на «-», то в данной точке функция достигает своего максимума: f"(х) > 0 при х < х 0 и f"(х) < 0 при х > х 0 .

Если при переходе через точку х 0 изменяется знак производной с «-» на «+», то в данной точке функция достигает своего минимума: f"(х) < 0 при х < х 0 и f"(х) > 0 при х > х 0 .

На графике точки экстремума отражают значения по оси Х, а экстремумы – значения по оси У. Их еще называют точками локального экстремума и локальными экстремумами . Но прямо сейчас знание о различиях между локальными и глобальными экстремумами вам не потребуется, поэтому останавливаться на этом не будем.

Максимум и минимум функции – не тождественные понятия с ее наибольшим и наименьшим значением. О том, что же этакое, ниже.

Наибольшее и наименьше значение функции, которая непрерывна на отрезке. Мы рассматриваем функцию на выбранном отрезке. Если функция в его пределах является непрерывной, то ее наибольшее и наименьшее значение на отрезке приходятся либо на критические точки, которые ему принадлежат, либо на точки на его концах.

Порядок действий:

Наудите производную.
Найдите критические точки в пределах отрезка.
Вычислите значение функции в критических точках и на концах отрезка.
Из полученных значений выберите наибольшее и наименьшее.

Исследуем функцию – зачем?

Для чего нам исследовать функцию с помощью производной? Затем, чтобы лучше понять, как выглядит ее график. Да, сейчас в учебниках перед вами готовые графики к хорошо изученным элементарным функциям. Но в реальных «полевых» условиях дело зачастую обстоит с точностью до наоборот: незнакомая функция и пока не существующий график. И не все функции такие простые, как в школьных учебниках. Их графики одной лишь силой воображения представить невозможно.

Средства математического анализа позволяют досконально исследовать неизвестную функцию. Не разобрав подробно по полочкам все характеристики функции и ее производной верный график не построить. Именно поэтому в школьном курсе математики соответствующим заданиям уделяется такое внимание. И поэтому они вынесены на экзамен.

Задания части В стоят довольно высоких баллов. Поэтому уделите должное внимание тренировке определения производной и исследования функции с ее помощью. Эта статья создана как полезный при самоподготовке конспект. В котором собраны ключевые определения, пересказанные по возможности простым языком. И кратко изложены действия, которые вам следует предпринять при исследовании функции.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство ().

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума (рис. 25).

Теорема 3.9 (необходимое условия существования точек экстремума). В критических точках 1-го рода производная функции либо

равна нулю, либо не существует

Критические точки 1-го рода принято называть просто критическими точками.

Критические точки, в которых производная функции равна нулю, называются точками стационарности . Критические точки, в которых функция непрерывна, но не дифференцируема называются угловыми точками . Например, функция в точке непрерывна, но производной не имеет, так как в этой точке к графику функции можно провести бесконечное множество касательных (рис. 26). Данный случай можно рассматривать в качестве подтверждения тому, что обратное утверждение к теореме 3.3 является неверным.

Функция называется возрастающей на некотором интервале , если на этом интервале большему значению аргумента соответствует большее значение переменной , и убывающей , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение переменной .

Для дальнейшего исследования критические точки помещают на числовую ось, которая делится этими точками на интервалы, после чего поверяют выполнение следующих достаточных условий.

Теорема 3.10 (достаточное условие возрастания и убывания функции). Если на некотором интервале функция дифференцируема и при этом ее производная положительна (отрицательна), то функция на данном интервале возрастает (убывает)

Теорема 3.11 (достаточное условие существования точек экстремума функции). Если функция непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через нее производная меняет знак с плюса на минус, то точка является точкой максимума; если с минуса на плюс, то точка является точкой минимума функции

Те критические точки функции, для которых достаточное условие не выполняется, остаются просто критическими точками 1-го рода.

Критические точки 1-го рода, в которых производная не существует, делятся на два класса:

– точки, в которых функция непрерывна (при выполнении для них теоремы 3.11 функция в данных точках имеет «острый» экстремум), это угловые точки;

– точки, в которых функция терпит разрыв (всегда переходят в класс критических точек 2-го рода).

Но проведенное таким образом исследование, не дает ответ на очень важный вопрос: как возрастает (убывает) функция – выпукло или вогнуто? Ответ на поставленный вопрос дает дальнейшее исследование функции с помощью второй производной. Дадим ряд необходимых определений.

Функция называется выпуклой (вогнутой ) на некотором интервале , если касательная, проведенная к графику функции в каждой точке этого интервала, лежит выше (ниже) графика функции.

Точки, отделяющие участки выпуклости от участков вогнутости функции, называются ее точками перегиба (рис. 27).

Теорема 3.12 (необходимое условие существования точек перегиба) . В критических точках 2-го рода вторая производная функции либо равна нулю, либо не существует

Для дальнейшего исследования критические точки 2-го рода помещают на числовую ось, которая делится этими точками на интервалы, после чего поверяют выполнение следующих достаточных условий.

Теорема 3.13 (достаточное условие выпуклости и вогнутости функции). Если на некотором интервале функция дважды дифференцируема и при этом ее вторая производная положительна (отрицательна), то функция на данном интервале вогнута (выпукла)

Те критические точки функции, для которых достаточное условие не выполняется, остаются просто критическими точками 2-го рода.

Критические точки 2-го рода, в которых вторая производная не существует, делятся на два класса:

– точки, в которых функция непрерывна, это так называемые точки «острого» перегиба – в таких точках к графику функции можно провести бесконечное множество касательных (рис. 28);

– точки, в которых функция терпит разрыв (в точках разрыва 2-го рода график функции имеет вертикальную асимптоту).

Для окончательного перечисления точек экстремума и перегиба функции необходимо найти их ординаты, после чего выписать указанные точки двумя координатами.

Вопросы для самопроверки.

1. Какие точки называются точками экстремума (максимума и минимума) функции?

2. Какая функция называется возрастающей (убывающей)?

3. Каковы необходимое и достаточное условия существования точек экстремума функции?

4. В чем состоит достаточное условие возрастания (убывания) функции?

5. Какие точки называются точками перегиба функции?

6. Какая функция называется выпуклой (вогнутой)?

7. Каковы необходимое и достаточное условия существования точек перегиба функции?

8. В чем состоит достаточное условие выпуклости (вогнутости) функции?

Достаточное условие возрастания функции

Если в каждой точке интервала (a, b) f"(x)>0, то функция f(x) возрастает на этом интервале.

Достаточное условие убывания функции.

Если в каждой точке интервала (a, b) f"(x)

Определение:

x 0 называется критической точкой функции f(x), если

1) x 0 – внутренняя точка области определения f(x) ;

2) f"(x 0)=0 или f"(x 0) не существует.

Необходимое условие экстремума:

Если x 0 – точка экстремума функции f(x), то эта точка является критической точкой данной функции.

Достаточное условие экстремума:

Если при переходе через точку x 0 производная функции меняет знак, то x 0 – точка экстремума функции f(x).

Примеры экстремумов:

Схема исследования функции.

Найти область определения функции.
Проверить, не является ли функция четной или нечетной; проверить также, не является ли она периодической.
Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции. Иногда для уточнения построения графика следует найти две три дополнительные точки.
Найти производную функции и ее критические точки.
Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
Построить график функции, используя полученные результаты исследования.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке .

Найти значения функции в концах отрезка, т.е. f(a) и f(b) ;
Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a,b) ;
Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Задачи и тесты по теме "Применение производной к исследованию функций"

Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы - Производная 10 класс
Уроков: 3 Заданий: 10 Тестов: 1
Производная и первообразная
Заданий: 3
Определение производной - Производная 10 класс
Уроков: 4 Заданий: 9 Тестов: 1
Применение производной для отыскания наибольших и наименьших величин - Производная 10 класс
Уроков: 2 Заданий: 9 Тестов: 1
Наибольшее и наименьшее значение функций - Подготовка к ЕГЭ по математике ЕГЭ по математике
Заданий: 5

Проработав данную тему, Вы должны научиться применять производную для исследования функций на монотонность и экстремумы, для нахождения наибольших и наименьших значений функций. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах. Обратите внимание, что решение всегда начинается с нахождения области определения исследуемой функции.

Примеры.

1. Найти промежутки убывания и возрастания функции

Решение: