Трехгранным углом abc называется фигура. Трёхгранный угол

С общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих углов называется вершиной трёхгранного угла. Стороны углов называются рёбрами, плоские углы при вершине трёхгранного угла называются его гранями. Каждая из трёх пар граней трёхгранного угла образует двугранный угол (ограниченный третьей гранью, не входящей в пару; при потребности естественным образом снимается это ограничение, в результате чего получаются необходимые полуплоскости, образующие весь двугранный угол без ограничения). Если поместить вершину трёхгранного угла в центр сферы, на её поверхности образуется ограниченный им сферический треугольник , стороны которого равны плоским углам трёхгранного угла, а углы - его двугранным углам.

Неравенство треугольника для трёхгранного угла

Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Сумма плоских углов трёхгранного угла

Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов.

Доказательство

Пусть OABC – данный трёхгранный угол (см. Рис. 1). Рассмотрим трёхгранный угол с вершиной A, образованный гранями ABO, ACO и углом BAC. Напишем неравенство:

$\angle BAC < \angle BAO + \angle CAO$

Аналогично, и для оставшихся трёхгранных углов с вершинами B и С:

$\angle ABC < \angle ABO + \angle CBO$ $\angle ACB < \angle ACO + \angle BCO$

Складывая эти неравенства и учитывая, что сумма углов треугольника ABC равна 180°, получаем

$180 < \angle BAO + \angle CAO + \angle ABO + \angle CBO + \angle BCO + \angle ACO = 180 - \angle AOB + 180 - \angle BOC + 180 - \angle AOC$

Следовательно: $\angle AOB + \angle BOC + \angle AOC < 360$

Теорема косинусов для трёхгранного угла

Пусть дан трёхгранный угол (см. Рис. 2), α, β, γ - его плоские углы, A, B, C - двугранные углы, составленные плоскостями углов β и γ, α и γ, α и β.

Первая теорема косинусов для трёхгранного угла: $\cos {\alpha} = \cos {\beta} \cos {\gamma} + \sin {\beta} \sin {\gamma} \cos {A}$

Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла: $\cos {A} = - \cos {B} \cos {C} + \sin {B} \sin {C} \cos {\alpha} ,$

Доказательство Второй теоремы косинусов для трёхгранного угла

Пусть OABC – данный трёхгранный угол. Опустим перпендикуляры из внутренней точки трёхгранного угла на его грани и получим новый трёхгранный угол полярный (двойственный данному). Плоские углы одного трёхгранного угла дополняют двугранные углы другого и двугранные углы одного угла дополняют плоские другого до 180 градусов. Т. е. плоские углы полярного угла соответственно равны: 180 - А; 180 - В; 180 - С, а двугранные - 180 - α; 180 - β ; 180 - γ

Напишем первую теорему косинусов для него

$\cos ({\pi -A}) = \cos ({\pi - \alpha}) \sin ({\pi - B}) \sin ({\pi - C}) +$ $+\cos ({\pi - B}) \cos ({\pi - C)}$

и после упрощений получаем:

$\cos {A} = \cos {\alpha} \sin {B} \sin {C} - \cos {B} \cos {C}$

Теорема синусов для трёхгранного угла

${\sin{\alpha} \over \sin A} = {\sin \beta \over \sin B} = { \sin \gamma \over \sin C}$ , где α, β, γ - плоские углы трёхгранного угла; A, B, C - противолежащие им двугранные углы (см. Рис. 2).

См. также

Напишите отзыв о статье "Трёхгранный угол"

Отрывок, характеризующий Трёхгранный угол

– Посадите. Садитесь, милый, садитесь. Подстели шинель, Антонов.
Юнкер был Ростов. Он держал одною рукой другую, был бледен, и нижняя челюсть тряслась от лихорадочной дрожи. Его посадили на Матвевну, на то самое орудие, с которого сложили мертвого офицера. На подложенной шинели была кровь, в которой запачкались рейтузы и руки Ростова.
– Что, вы ранены, голубчик? – сказал Тушин, подходя к орудию, на котором сидел Ростов.
– Нет, контужен.
– Отчего же кровь то на станине? – спросил Тушин.
– Это офицер, ваше благородие, окровянил, – отвечал солдат артиллерист, обтирая кровь рукавом шинели и как будто извиняясь за нечистоту, в которой находилось орудие.
Насилу, с помощью пехоты, вывезли орудия в гору, и достигши деревни Гунтерсдорф, остановились. Стало уже так темно, что в десяти шагах нельзя было различить мундиров солдат, и перестрелка стала стихать. Вдруг близко с правой стороны послышались опять крики и пальба. От выстрелов уже блестело в темноте. Это была последняя атака французов, на которую отвечали солдаты, засевшие в дома деревни. Опять всё бросилось из деревни, но орудия Тушина не могли двинуться, и артиллеристы, Тушин и юнкер, молча переглядывались, ожидая своей участи. Перестрелка стала стихать, и из боковой улицы высыпали оживленные говором солдаты.
– Цел, Петров? – спрашивал один.
– Задали, брат, жару. Теперь не сунутся, – говорил другой.
– Ничего не видать. Как они в своих то зажарили! Не видать; темь, братцы. Нет ли напиться?
Французы последний раз были отбиты. И опять, в совершенном мраке, орудия Тушина, как рамой окруженные гудевшею пехотой, двинулись куда то вперед.
В темноте как будто текла невидимая, мрачная река, всё в одном направлении, гудя шопотом, говором и звуками копыт и колес. В общем гуле из за всех других звуков яснее всех были стоны и голоса раненых во мраке ночи. Их стоны, казалось, наполняли собой весь этот мрак, окружавший войска. Их стоны и мрак этой ночи – это было одно и то же. Через несколько времени в движущейся толпе произошло волнение. Кто то проехал со свитой на белой лошади и что то сказал, проезжая. Что сказал? Куда теперь? Стоять, что ль? Благодарил, что ли? – послышались жадные расспросы со всех сторон, и вся движущаяся масса стала напирать сама на себя (видно, передние остановились), и пронесся слух, что велено остановиться. Все остановились, как шли, на середине грязной дороги.
Засветились огни, и слышнее стал говор. Капитан Тушин, распорядившись по роте, послал одного из солдат отыскивать перевязочный пункт или лекаря для юнкера и сел у огня, разложенного на дороге солдатами. Ростов перетащился тоже к огню. Лихорадочная дрожь от боли, холода и сырости трясла всё его тело. Сон непреодолимо клонил его, но он не мог заснуть от мучительной боли в нывшей и не находившей положения руке. Он то закрывал глаза, то взглядывал на огонь, казавшийся ему горячо красным, то на сутуловатую слабую фигуру Тушина, по турецки сидевшего подле него. Большие добрые и умные глаза Тушина с сочувствием и состраданием устремлялись на него. Он видел, что Тушин всею душой хотел и ничем не мог помочь ему.

Рассмотрим три луча а, Ь, с, исходящие из одной точки и не лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная "из трех плоских углов (аЬ), (Ьс) и (ас) (рис. 2). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны -- ребрами, общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.

Аналогично определяется понятие многогранного угла (рис. 3).

Многогранник

В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами. Наглядно (геометрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.

Многогранник -- это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 4). Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины -- вершинами многогранника.

Поясним сказанное на примере знакомого вам куба (рис. 5). Куб есть выпуклый многогранник. Его поверхность состоит из шести квадратов: ABCD, BEFC, .... Они являются его гранями. Ребрами куба являются стороны этих квадратов: АВ, ВС, BE,... . Вершинами куба являются вершины квадратов: А, В, С, D, Е, .... У куба шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин.

Простейшим многогранникам -- призмам и пирамидам, которые будут основным объектом нашего изучения,-- мы дадим такие определения, которые, по существу, не используют понятие тела. Они будут определены как геометрические фигуры с указанием всех принадлежащих им точек пространства. Понятие геометрического тела и его поверхности в общем случае будет дано позже.

Трёхгранный угол

Трехгранный угол.

Трёхгранный угол - это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих углов называется вершиной трёхгранного угла. Стороны углов называются рёбрами, плоские углы при вершине трёхгранного угла называются его гранями. Каждая из трёх пар граней трёхгранного угла образует двугранный угол (ограниченных третьей гранью, не входящей в пару; при потребности естественным образом снимается это ограничение, в результате чего получаются необходимые полуплоскости, образующие весь двугранный угол без ограничения). Если поместить вершину трёхгранного угла в центр сферы, на её поверхности образуется ограниченный им сферический треугольник , стороны которого равны плоским углам трехгранного угла, а углы - его двугранным углам.

Неравенство треугольника для трёхгранного угла

Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Сумма плоских углов трёхгранного угла

Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360 градусов.

Доказательство

Пусть OABC – данный трехгранный угол. Рассмотрим трехгранный угол с вершиной A, образованный гранями ABO, ACO и углом BAC. Напишем неравенство:

Аналогично, и для оставшихся трехгранных углов с вершинами B и С:

Складывая эти неравенства и учитывая, что сумма углов треугольника ABC равна 180°, получаем

Следовательно:

Теорема косинусов для трёхгранного угла

Первая теорема косинусов для трехгранного угла

Вторая теорема косинусов для трехгранного угла
где α, β, γ - плоские углы, A, B, C - двугранные углы, составленные плоскостями углов β и γ, α и γ, α и β.

Доказательство Второй теоремы косинусов для трехгранного угла

Пусть OABC – данный трехгранный угол. Опустим перпендикуляры из внутренней точки трехгранного угла на его грани и получим новый трехгранный угол полярный (двойственный данному). Плоские углы одного трехгранного угла дополняют двугранные углы другого и двугранные углы одного угла дополняют плоские другого до 180 градусов. Т.е. плоские углы полярного угла соответственно равны: 180 - А; 180 - В; 180 - С, а двугранные - 180 - α; 180 - β ; 180 - γ

Напишем первую теорему косинусов для него

и после упрощений получаем:

Теорема синусов для трёхгранного угла

Где α, β, γ - плоские углы трёхгранного угла; A, B, C - противолежащие им двугранные углы.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Трёхгранный угол" в других словарях:

Часть пространства, ограниченная бесконечной треугольной пирамидой (см. рис.). Грани этой пирамиды называются гранями Т. у., её вершина вершиной Т. у., полупрямые, по которым пересекаются грани, называются ребрами Т. у. Ребра образуют… … Большая советская энциклопедия

трёхгранный угол - Пространственная фигура, образованная тремя лучами, исходящими из одной точки и не лежащими в одной плоскости. Тематики машиностроение в целом … Справочник технического переводчика

См. Телесный угол. * * * ТРЕХГРАННЫЙ УГОЛ ТРЕХГРАННЫЙ УГОЛ, см. Телесный угол (см. ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ) … Энциклопедический словарь Энциклопедический словарь

Часть пространства, ограниченная нек рой конич. поверхностью (рис. 1); в частности, трёхгранный (рис. 2) и многогранный (рис. 3) углы ограничены соотв. тремя и мн. плоскими гранями, сходящимися в вершине Т. у. Значение Т. у. равно отношению… … Естествознание. Энциклопедический словарь

трёхгранный - ая, ое. 1) Имеющий три грани. Трёхгра/нный напильник. Т ые штыки. 2) матем. Образуемый пересечением трёх граней, проходящих через одну точку. Трёхгра/нный угол … Словарь многих выражений

Прямоугольный сферический треугольник с гипотенузой c, катетами a и b и прямым углом C. Сферическая теорема Пифагора теорема, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного … Википедия

Фигура, образованная тремя лучами, исходящими из одной точки О и не лежащими в одной плоскости, и тремя частями плоскостей, заключенных между этими лучами, называется трехгранным углом (рис. 352).

Точка О называется вершиной угла, лучи а, b, с - его ребрами, части плоскостей . Грани суть плоские углы, называемые также плоскими углами данного трехгранного угла. Углы между плоскими гранями называются двугранными углами данного трехгранного угла.

Теорема 1. В трехгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других.

Доказательство. Достаточно доказать теорему для наибольшего из плоских углов. Пусть наибольший плоский угол трехгранного угла на рис. 353. Построим в плоскости угол , равный углу его сторона b пройдет внутри угла угол наибольший из плоских углов!).

Отложим на прямых с и b какие-либо равные отрезки Проведем через точки произвольную плоскость, пересекающую лучи а и b в точках N и М соответственно.

Треугольники равны, как имеющие равные углы, заключенные между равными сторонами. Покажем, что угол с вершиной О в больше угла с той же вершиной в . Действительно, эти углы заключены между парами равных сторон, третья же сторона больше в треугольнике

Отсюда видно, что сумма двух плоских углов больше третьего плоского угла что и требовалось доказать.

Теорема 2. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше четыре прямых.

Доказательство. Возьмем три точки А, В и С на ребрах трехгранного угла и проведем через них секущую плоскость, как показано на рис. 354. Сумма углов треугольника ABC равна Следовательно, сумма шести углов ОАС, ОАВ, ОСА, ОСВ, ОВС, ОВА больше, чем как по предыдуще теореме . Но сумма углов трех треугольников ОАВ, ОВС, ОСА в гранях трехгранного угла равна . Таким образом, на долю плоских углов трехгранного угла остается меньше четырех прямых: . Эта сумма может быть сколь угодно малой («трехгранный шпиль») или сколь угодно близкой к если уменьшать высоту пирамиды SABC на рис. 355, сохраняя ее основание, то сумма плоских углов при вершине S будет стремиться к

Сумма двугранных углов трехгранного угла также имеет границы. Ясно, что каждый из двугранных углов и потому сумма их менее . Для той же пирамиды на рис. 355 эта сумма по мере уменьшения высоты пирамиды приближается к своей границе Можно также показать, что сумма эта всегда хотя может отличаться от сколь угодно мало.

Таким образом, для плоских и двугранных углов трехгранного угла имеют место неравенства

Имеется существенное сходство между геометрией треугольника на плоскости и геометрией трехгранного угла. При этом можно проводить аналогию между углами треугольника и двугранными углами трехгранного угла, с одной стороны, и между сторонами треугольника и плоскими углами трехгранного угла - с другой. Например, при указанной замене понятий сохраняют силу теоремы о равенстве треугольников. Приведем соответствующие формулировки параллельно:

Однако два трехгранных угла, у которых равны соответственные двугранные углы, равны между собой. Между тем два треугольника, углы которых соответственно равны, подобны, но не обязательно равны. Для трехгранных углов, как и для треугольников, ставится задача решения трехгранного угла, т. е. задача отыскания одних его элементов по другим заданным. Приведем пример подобной задачи.

Задача. Даны плоские углы трехгранного угла. Найти его двугранные углы.

Решение. Отложим на ребре а отрезок и проведем нормальное сечение ABC двугранного угла а. Из прямоугольного треугольника ОАВ находим Также имеем

Для ВС находим по теореме косинусов примененной к треугольнику ВАС (для краткости плоские углы обозначаем просто ab, ас, bс, двугранные - а, b, с)

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику ВОС:

Отсюда находим

и аналогично

По этим формулам можно найти двугранные углы, зная плоские углы. Отметим еще без доказательства замечательное соотношение

называемое теоремой синусов.

Объяснение глубокой аналогии между геометрией трехгранного угла и геометрией треугольника нетрудно получить, если провести следующее построение. Поместим в вершину трехгранного угла О центр сферы единичного радиуса (рис. 357).

Тогда ребра пересекут поверхность сферы втрехточках А, В, С, грани угла высекут на сфере дуги больших кругов АС, АВ, ВС. На сфере образуется фигура ABC, называемая сферическим треугольником. Дуги («стороны» треугольника) измеряются плоскими углами трехгранного угла, углы при вершинах суть плоские углы двугранных углов. Поэтому решение трехгранных углов есть не что иное, как решение сферических треугольников, которое составляет предмет сферической тригонометрии. Соотношения (243.1) и (243.2) относятся к числу основных соотношений сферической тригонометрии. Сферическая тригонометрия имеет важное значение для астрономии. Таким образом, теория трехгранных углов есть теория сферических треугольников и потому во многом сходна с теорией треугольника на плоскости. Различие этих теорий состоит в том, что: 1) у сферического треугольника и углы и стороны измеряются в угловой мере, поэтому, напрнмер, в теореме синусов фигурируют не стороны, а синусы сторон АВ, АС, ВС;

Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 56. Трехгранные и многогранные углы

Пусть даны /\ АВС и точка S, не принадлежащая плоскости треугольника (рис. 168).
Объединение всех лучей, имеющих общее начало в точке S и пересекающих данный треугольник (рис. 169), называется трехгранным углом .

Точка S называется вершиной трехгранного угла, лучи SA, SB, SC - его ребрами . Углы ASB, BSC, CSA называются гранями трехгранного угла или его плоскими углами . Величина каждого из них принадлежит интервалу ]0°; 180°[.

Вообще, если даны многоугольник ABC ... N и точка S, не принадлежащая плоскости многоугольника, то объединение всех лучей, имеющих общее начало в точке S и пересекающих данный многоугольник (рис. 170), называется многогранным углом .

Точка S называется вершиной многогранного угла, лучи SA, SB, SN - его ребрами. Углы ASB, BSC, ... называются гранями многогранного угла или его плоскими углами ; величина каждого его плоского угла принадлежит интервалу ]0°; 180°[. Многогранные углы называются трехгранными, четырехгранными и т. д. в зависимости от числа граней. Обозначают многогранный угол или одной буквой, обозначающей вершину, или несколькими буквами, отмечая вершину и точки на каждом ребре.

Многогранный угол называется выпуклым, если он находится по одну сторону от плоскости каждой его грани. В противном случае многогранный угол называется невыпуклым. На рис. 171 изображен невыпуклый пятигранный угол.

Выпуклый многогранный угол называется правильным , если все его грани конгруэнтны и все его двугранные углы конгруэнтны.

Рассмотрим свойства плоских углов трехгранных и многогранных углов.

Теорема 1. Величина каждого плоского угла трехгранного угла меньше суммы величин двух других его плоских углов.

Пусть дан трехгранный угол SABC. Величины его плоских углов обозначим α , β , γ
(рис. 172).

Пусть γ - большая из них. Достаточно доказать, что γ < α + β.

В плоскости грани ASB проведем луч SM так, чтобы . Пусть N - точка пересечения отрезка АВ и луча SM. На луче SC отложим отрезок SD такой, что
|SD| = |SN|. Тогда /\ ASD /\ ASN по двум сторонам и углу между ними.

В /\ ABD

|AD| + |DB| > |AB|,

а по построению

|AB| = |AN| + |NB| и |AD| = |AN|,

следовательно, |DB| > |NB|.

Выразим теперь |DB| и |BN| из треугольников BSD и BSN при помощи теоремы косинусов:

|BD| 2 = |BS| 2 + |DS| 2 - 2|BS| |DS| cos α,
|ВN| 2 = | BS| 2 + |NS| 2 - 2|BS| |NS| cos .

Так как |DS| = |NS| , а | DB |> |NB|, то cos α < cos , и поэтому < α. Тогда

< α + β, или γ < α + β.

Из доказанной теоремы непосредственно следует, что величина каждого плоского угла трехгранного угла больше разности величин двух других его плоских углов, например

α > γ - β, β > γ - α

Теорема 2. Сумма величин всех трех плоских углов трехгранного угла меньше 360° .

Пусть дан трехгранный угол SABC (рис. 173).

Если через точки А, В, С проведем плоскость, то получим еще три трехгранных угла: ASBC, BSAC и CSAB. Применим к каждому из них теорему о сумме величин двух плоских углов трехгранного угла:

Сложив почленно эти неравенства, получим

а- так как сумма величин внутренних углов треугольника равна 180°, то

Обозначим , тогда из треугольников ASC, ASB, BSC имеем

Теперь неравенство (1) принимает вид

180° - α + 180° - β + 180° - γ > 180°,

откуда и следует, что

α + β + γ <360°.

Разбивая выпуклый многогранный угол на трехгранные углы, можно доказать следующее утверждение.

Сумма величин всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°, а каждый плоский угол меньше суммы остальных плоских углов .