Задания по решению квадратных уравнений. Неполные квадратные уравнения

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III

§ 50 Квадратные уравнения

Уравнения вида

ax 2 + bx + c = 0, (1)

где х - неизвестная величина, а, b, с - данные числа (а =/= 0), называются квадратными.

Выделяя в левой части квадратного уравнения полный квадрат (см. формулу (1) § 49), получаем:

Очевидно, что уравнение (2) эквивалентно уравнению (1) (см. § 2). Уравнение (2) может иметь действительные корни только тогда, когда или b 2 - 4ас > 0 (поскольку 4а 2 > 0).

Ввиду той особой роли, которую играет выражение D = b 2 - 4ас при решении уравнения (1), этому выражению дано специальное название - дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 (или дискриминант квадратного трехчлена ax 2 + bx + c ). Итак, если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней .

Если же D =b 2 - 4ас > 0, то из (2) получаем:

Если дискриминант квадратного уравнения неотрицателен, то это уравнение имеет действительные корни. Они записываются в виде дроби, в числителе которой стоит коэффициент уравнения при х , взятый с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из дискриминанта, а в знаменателе - удвоенный коэффициент при х 2 .

Если дискриминант квадратного уравнения положителен, то уравнение имеет два различных действительных корня:

Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то уравнение имеет один действительный корень:

х = - b / 2 a

(В этом случае иногда говорят, что уравнение имеет два равных корня: x 1 = x 2 = - b / 2 a )

Примеры.

1) Для уравнения 2х 2 - х - 3 = 0 дискриминант D = (- 1) 2 - 4 2 (- 3) = 25 > 0. Уравнение имеет два различных корня:

2) Для уравнения 3х 2 - 6х + 3 = 0 D = (- 6) 2 - 4 3 3 = 0. Это уравнение имеет один действительный корень

3) Для уравнения 5х 2 + 4х + 7 = 0 D = 4 2 - 4 5 7 = - 124 < 0. Это уравнение не имеет действительных корней.

4) Выяснить, при каких значениях а квадратное уравнение х 2 + ах + 1 = 0:

а) имеет один корень;

б) имеет два разных корня;

в) вообще не имеет корней,

Дискриминант данного квадратного уравнения равен

D = а 2 - 4.

Если | а | = 2, тo D = 0; в этом случае уравнение имеет один корень.

Если | а | > 2, то D > 0; в этом случае уравнение имеет два разных корня.

Наконец, если | а | < 2, то данное уравнение не имеет корней.

Упражнения

Решить уравнения (№ 364-369):

364. 6х 2 - х - 1 = 0. 367. - х 2 + 8х - 16 = 0.

365. 3х 2 - 5х + 1 = 0. 368. 2х 2 - 12х + 12 == 0.

366. х 2 - х + 1 = 0. 369. 2х - х 2 - 6 = 0.

370. Можно ли число 15 представить в виде суммы двух чисел так, чтобы их произведение было равно 70?

371. При каких значениях а уравнение

х 2 - 2ах + а (1 + а ) = 0

а) имеет два различных корня;

б) имеет только один корень;

в) не имеет корней?

372. При каких значениях а уравнение

(1 - а ) х 2 - 4ах + 4 (1 - а ) = 0

а) не имеет корней;

б) имеет не более одного корня;

в) имеет не менее одного корня?

373. При каком значении а уравнение х 2 + ах + 1 = 0 имеет единственный корень? Чему он равен?

374. В каких пределах заключено число а , если известно, что уравнения

х 2 + х + а = 0 и х 2 + х - а = 0

375. Что вы можете сказать о величине а , если уравнения

4а (х 2 + х ) = а - 2,5 и х (х - 1) = 1,25 - а

имеют одинаковое число корней?

376. Поезд был задержан на станции на t мин. Чтобы наверстать потерянное время, машинист увеличил скорость на а км/ч и на следующем перегоне в b км ликвидировал опоздание. С какой скоростью поезд шел до задержки на станции?

377. Два подъемных крана, работая вместе, разгрузили баржу за t ч. За какое время может разгрузить баржу каждый кран в отдельности, если один из них тратит на это на а ч меньше другого?

378. Один из заводов выполняет некоторый заказ на 4 дня быстрее, чем другой. За какое время может выполнить заказ каждый завод, работая отдельно, если известно, что при совместной работе за 24 дня они выполнили заказ в 5 раз больший?

Решить уравнения (№ 379, 380).

(Обратите внимание на та, что в этих уравнениях неизвестное содержится в знаменателях дробей. Полученные корни необходимо будет проверить!)

381*. При каких значениях а уравнения

х 2 + ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0

имеют хотя бы один общий корень?

Фарафонова Наталия Игоревна

Тема: Неполные квадратные уравнения.

Цели урока: - Ввести понятие неполного квадратного уравнения;

Научить решать неполные квадратные уравнения.

Задачи урока: - Уметь определять вид квадратного уравнения;

Решать неполные квадратные уравнения.

Уебник: Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. - М. : Просвещение, 2010.

Ход урока.

1. Напомнить учащимся о том, что прежде, чем решать любое квадратное уравнение, необходимо привести его к стандартному виду. Вспомнить определение полного квадратного уравнения: ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

В данных квадратных уравнениях назвать коэффициенты a, b, c:

а) 2x 2 - x + 3 = 0; б) x 2 + 4x - 1 = 0; в) x 2 - 4 = 0; г) 5x 2 + 3x = 0.

2. Дать определение неполного квадратного уравнения:

Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 называют неполным , если хотя бы один из коэффициентов, bили c, равен 0. Обратить внимание, что коэффициент а ≠ 0. Из уравнений представленных выше, выбрать неполные квадратные уравнения.

3. Виды неполных квадратных уравнений с примерами решений удобнее представить в виде таблице:

1. Не решая, определите количество корней для каждого неполного квадратного уравнения:

а) 2x 2 - 3 = 0; б) 3x 2 + 4 = 0; в) 5x 2 - x = 0; г) 0,6x 2 = 0; д) -8x 2 - 4 = 0.

1. Решить неполные квадратные уравнения (решение уравнений, с проверкой у доски, 2 варианта):

в) 2x 2 + 15 = 0

г) 3x 2 + 2x = 0

д) 2x 2 - 16 = 0

е) 5(x 2 + 2) = 2(x 2 + 5)

ж) (x + 1) 2 - 4 = 0

в) 2x 2 + 7 = 0

г) x 2 + 9x = 0

д) 81x 2 - 64 = 0

е) 2(x 2 + 4) = 4(x 2 + 2)

ж) (x - 2) 2 - 8 = 0.

6. Самостоятельная работа по вариантам:

1 вариант

а) 3x 2 - 12 = 0

б) 2x 2 + 6x = 0

д) 7x 2 - 14 = 0

2 вариант

б) 6x 2 + 24 = 0

в) 9y 2 - 4 = 0

г) -y 2 + 5 = 0

д) 1 - 4y 2 = 0

е) 8y 2 + y = 0

3 вариант

а) 6y - y 2 = 0

б) 0,1y 2 - 0,5y = 0

в) (x + 1)(x -2) = 0

г) x(x + 0,5) = 0

д) x 2 - 2x = 0

е) x 2 - 16 = 0

4 вариант

а) 9x 2 - 1 = 0

б) 3x - 2x 2 = 0

г) x 2 + 2x - 3 = 2x + 6

д) 3x 2 + 7 = 12x+ 7

5 вариант

а) 2x 2 - 18 = 0

б) 3x 2 - 12x = 0

г) x 2 + 16 = 0

д) 6x 2 - 18 = 0

е) x 2 - 5x = 0

6 вариант

б) 4x 2 + 36 = 0

в) 25y 2 - 1 = 0

г) -y 2 + 2 = 0

д) 9 - 16y 2 = 0

е) 7y 2 + y = 0

7 вариант

а) 4y - y 2 = 0

б) 0,2y 2 - y = 0

в) (x + 2)(x - 1) = 0

г) (x - 0,3)x = 0

д) x 2 + 4x = 0

е) x 2 - 36 = 0

8 вариант

а) 16x 2 - 1 = 0

б) 4x - 5x 2 = 0

г) x 2 - 3x - 5 = 11 - 3x

д) 5x 2 - 6 = 15x - 6

Ответы к самостоятельной работе:

1 вариант: а)2, б)0;-3; в)0; г)корней нет; д);

2 вариант а)0; б)корней; в); г); д); е)0;- ;

3 вариант а)0;6; б)0;5; в)-1;2; г)0;-0,5; д)0;2; е)4

4 вариант а); б)0;1,5; в)0;3; г)3; д)0;4 е)5

5 вариант а)3; б)0;4; в)0; г)корней нет; д) е)0;5

6 вариант а)0; б)корней нет; в) г) д)е)0;-

7 вариант а)0;4; б)0;5; в)-2;1; г)0;0,03; д)0;-4; е)6

8 вариант а) б)0; в)0;7; г)4; д)0;3; е)

Итоги урока: Сформулировано понятие «неполное квадратное уравнение»; показаны способы решения разных видов неполных квадратных уравнений. В ходе выполнения различных заданий отработаны навыки решения неполных квадратных уравнений.

7. Домашнее задание: №№ 421(2), 422(2), 423(2,4), 425.

Дополнительное задание:

При каких значениях a уравнение является неполным квадратным уравнением? Решите уравнение при полученных значениях a:

а) x 2 + 3ax + a - 1 = 0

б) (a - 2)x 2 + ax = 4 - a 2 = 0

Квадратные уравнения применяются при решении многих задач. Значительная часть задач, легко решаемых при помощи уравнений первой степени, может быть решена и чисто арифметически, хотя иногда гораздо более трудным, длинным и часто искусственным путём. Задачи же, приводящие к квадратным уравнениям, как правило, совсем не поддаются арифметическому решению. А к таким задачам приводят многочисленные и самые разнообразные вопросы физики, механики, гидромеханики, аэродинамики и многих других прикладных наук.

Основные этапы составления квадратных уравнений по условиям задачи те же, что и при решении задач, приводящих к уравнениям первой степени. Приведём примеры.

Задача. 1. Две машинистки перепечатали рукопись за 6 час. 40 мин. Во сколько времени могла бы перепечатать рукопись каждая машинистка, работая одна, если первая затратила бы на эту работу на 3 часа больше второй?

Решение. Пусть вторая машинистка затратит на перепечатку рукописи х часов. Значит, первая машинистка затратит на эту же работу часов.

Узнаем, какую часть всей работы выполняет за один час каждая машинистка и какую - обе вместе.

Первая машинистка выполняет за час часть

Вторая часть.

Обе машинистки выполняют часть.

Отсюда имеем:

По смыслу задачи положительное число

Умножим обе части уравнения на После упрощения получим квадратное уравнение:

Так как , то уравнение имеет два корня. По формуле (В) найдём:

Но так как должно быть то значение не является допустимым для данной задачи.

Ответ. Первая машинистка затратит на работу часов, вторая 12 часов.

Задача 2. Собственная скорость самолёта км в час. Расстояние в 1 км самолёт пролетел дважды: сначала по ветру, затем против ветра, причём на второй перелёт он затратил на часов больше. Вычислить скорость ветра.

Ход решения изобразим в виде схемы.