Дайте определение последовательности. Как вычислить пределы последовательностей
Вида y = f (x ), x О N , где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n ) или y 1 , y 2 ,…, y n ,…. Значения y 1 , y 2 , y 3 ,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.
Например, для функции y = n 2 можно записать:
y 1 = 1 2 = 1;
y 2 = 2 2 = 4;
y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…
Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.
1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:
y n = f (n ).
Пример. y n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …
2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.
Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….
Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.
3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.
Пример 1. y 1 = 3; y n = y n –1 + 4, если n = 2, 3, 4,….
Здесь y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7; y 3 = 7 + 4 = 11; ….
Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y n = 4n – 1.
Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n –1 , если n = 3, 4,….
Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;
Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n -е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .
На первый взгляд, формула для n -го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n .
Свойства числовых последовательностей.
Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.
Определение. Последовательность {y n } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:
y 1 y 2 y 3 y n y n +1
Определение.Последовательность {y n } называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:
y 1 > y 2 > y 3 > … > y n > y n +1 > … .
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.
Пример 1. y 1 = 1; y n = n 2 – возрастающая последовательность.
Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?
Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению
5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.
Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.
Геометрическая прогрессия.
Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q , называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.
Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b n }, заданная рекуррентно соотношениями
b 1 = b , b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).
(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).
Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.
Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.
Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.
Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1, и убывающей, если b 1 > 0, 0 q
Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.
b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b 1 2 , а знаменатель – q 2 .
Формула n- го члена геометрической прогрессии имеет вид
b n = b 1 q n– 1 .
Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.
Пусть дана конечная геометрическая прогрессия
b 1 , b 2 , b 3 , …, b n
пусть S n – сумма ее членов, т.е.
S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n .
Принимается, что q № 1. Для определения S n применяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S n q .
S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n )q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n + b n q = S n + b n q – b 1 .
Таким образом, S n q = S n + b n q – b 1 и, следовательно,
Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.
При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S n = a 1 n .
Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как
b n = b n- 1 q;
b n = b n+ 1 /q,
следовательно, b n 2= b n– 1 b n+ 1 и верна следующаятеорема(характеристическое свойство геометрической прогрессии):
числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.
Предел последовательности.
Пусть есть последовательность {c n } = {1/n }. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число
В противном случае последовательность называется расходящейся.
Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {c n } = {1/n }. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность
Существует ли такое N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/N ? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/ε , то для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/n ≤ 1/N ε , что и требовалось доказать.
Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.
Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Теорема 3. Если последовательность {a n } имеет предел A , то последовательности {ca n }, {a n + с} и {| a n |} имеют пределы cA , A + c , |A | соответственно (здесь c – произвольное число).
Теорема 4. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B pa n + qb n } имеет предел pA + qB .
Теорема 5. Если последовательности {a n } и {b n }имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {a n b n } имеет предел AB.
Теорема 6. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b n ≠ 0 и B ≠ 0, то последовательность {a n / b n } имеет предел A/B .
Анна Чугайнова
Понятие числовой последовательности.
Пусть каждому натуральному числу nсоответствует числоa n , тогда говорят, что задана функцияa n =f(n), которая называется числовой последовательностью. Обозначаетсяa n ,n=1,2,… или {a n }.
Числа a 1 ,a 2 ,… называются членами последовательности или ее элементами,a n – общим членом последовательности, n – номером членаa n .
По определению любая последовательность содержит бесконечное множество элементов.
Примеры числовых последовательностей.
Арифметическая прогрессия – числовая прогрессия вида:
то есть последовательность чисел (членов
прогрессии), каждое из которых, начиная
со второго, получается из предыдущего
добавлением к нему постоянного числа
d (шага или разности прогрессии):
.
Любой член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:
Любой член арифметической прогрессии,
начиная со второго, является средним
арифметическим предыдущего и следующего
члена прогрессии:
Сумма n первых членов арифметической
прогрессии может быть выражена формулами:
Сумма n последовательных членов
арифметической прогрессии начиная с
члена k:
Пример суммы арифметической прогрессии является сумма ряда натуральных чисел до n включительно:
Геометрическая
прогрессия -
последовательность чисел
(членов прогрессии), в которой каждое
последующее число, начиная со второго,
получается из предыдущего умножением
его на определённое числоq(знаменатель прогрессии), где
,
:
Любой член геометрической прогрессии
может быть вычислен по формуле:
Если b 1 > 0 иq> 1, прогрессия является возрастающей
последовательностью, если 0 Своё название прогрессия получила по
своему характеристическому свойству: Произведение первых nчленов геометрической прогрессии можно
рассчитать по формуле: Произведение членов геометрической
прогрессии начиная с k-ого
члена, и заканчиваяn-ым
членом, можно рассчитать по формуле: Сумма nпервых членов
геометрической прогрессии: Если
Предел последовательности.
Последовательность называется
возрастающей, если каждый её член больше
предыдущего.
Последовательность
называется убывающей, если каждый её
член меньше предыдущего. Последовательность x n называется ограниченной, если существуют
такие числаmиM,
такие, что для любого натуральногоnвыполняется условие Может случится, что все члены
последовательности {a n }
при неограниченном росте числаnбудут приближаться к некоторому числуm. Число aназывают пределом
последовательностиX n если для всякого Ε>0 найдется (зависящее
от Ε) числоn 0 =n o (Ε)
такое, что для В этом случае пишут
Сходимость последовательностей.
О последовательности, имеющей пределом
конечное число говорят, что она сходится
к a: Если у последовательности нет конечного
предела (исчислимого), она будет называться
расходящейся. Геометрический смысл. Если
Теорема 1) О единственности предела: Если последовательность сходится, то
есть имеет предел, то этот предел
единственный. Теорема 2) Если последовательность a n сходится кa: Теорема 3) Необходимое условие существование
предела. Если последовательность сходится, то
есть имеет предел, то она ограничена. Доказательство: подберем такое n>N,
чтобы выполнялось: Теорема 4) Достаточное условие
существования предела. Если последовательность монотонна и
ограничена, то она имеет предел.
. Теорема 5) Пусть
Теорема о трех последовательностях. Если
Свойства пределов
. Если {xn} и {yn}
имеют пределы, то: Предел отношения многочленов (дробей).
Пусть x n иy n многочлены отnстепениkиmсоответственно, то есть: x n
=P k (n)=a 0 n k +a 1 n k-1 +…+a k ,
y n
=Q m (n)=b 0 n m +b 1 n m-1 +…+b m Предел отношения многочленов равен
пределу отношения их старших членов: Если степень числителя равна степени
знаменателя, то предел равен отношению
коэффициентов при высших степенях. Если степень числителя меньше степени
знаменателя, предел равен нулю. Если степень числителя больше степени
знаменателя, предел стремится к
бесконечности. Приводится определение числовой последовательности. Рассмотрены примеры неограниченно возрастающих, сходящихся и расходящихся последовательностей. Рассмотрена последовательность, содержащая все рациональные числа. Определение
. Последовательность обозначается в виде n
-го члена, заключенного в фигурные скобки: .
Также возможны следующие обозначения: .
В них явно указывается, что индекс n
принадлежит множеству натуральных чисел и сама последовательность имеет бесконечное число членов. Вот несколько примеров последовательностей: Другими словами числовая последовательность - это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Число элементов последовательности бесконечно. Среди элементов могут встречаться и члены, имеющие одинаковые значения. Также последовательность можно рассматривать как нумерованное множество чисел, состоящее из бесконечного числа членов. Главным образом нас будет интересовать вопрос - как ведут себя последовательности, при n
стремящемся к бесконечности: .
Этот материал излагается в разделе Предел последовательности – основные теоремы и свойства . А здесь мы рассмотрим несколько примеров последовательностей. Рассмотрим последовательность .
Общий член этой последовательности .
Выпишем несколько первых членов: Теперь рассмотрим последовательность с общим членом .
Вот ее несколько первых членов: Рассмотрим последовательность .
Ее общий член .
Первые члены имеют следующий вид: Далее рассмотрим последовательность .
Ее общий член .
Вот несколько ее первых членов: Рассмотрим последовательность со следующим общим членом: Теперь рассмотрим более интересную последовательность. На числовой прямой возьмем отрезок . Поделим его пополам. Получим два отрезка. Пусть В результате получим последовательность, элементы которой распределены в открытом интервале (0; 1)
.
Какую бы мы ни взяли точку из закрытого интервала
,
мы всегда можем найти члены последовательности, которые окажутся сколь угодно близко к этой точке, или совпадают с ней. Тогда из исходной последовательности можно выделить такую подпоследовательность, которая будет сходиться к произвольной точке из интервала
.
То есть с ростом номера n
,
члены подпоследовательности будут все ближе подходить к наперед выбранной точке. Например, для точки a = 0
можно выбрать следующую подпоследовательность: Для точки a = 1
выберем такую подпоследовательность: Поскольку существуют подпоследовательности, сходящиеся к различным значениям, то сама исходная последовательность не сходится ни к какому числу. Теперь построим последовательность, которая содержит все рациональные числа. Причем каждое рациональное число будет входить в такую последовательность бесконечное число раз. Рациональное число r
можно представить в следующем виде: Для этого на плоскости проводим оси p
и q
.
Проводим линии сетки через целые значения p
и q
.
Тогда каждый узел этой сетки с будет соответствовать рациональному числу. Все множество рациональных чисел будет представлено множеством узлов. Нам нужно найти способ пронумеровать все узлы, чтобы не пропустить ни один узел. Это легко сделать, если нумеровать узлы по квадратам, центры которых расположены в точке (0; 0)
(см. рисунок). При этом нижние части квадратов с q < 1
нам не нужны. Поэтому они не отображены на рисунке. Итак, для верхней стороны первого квадрата имеем: Таким способом мы получаем последовательность, содержащую все рациональные числа. Можно заметить, что любое рациональное число входит в эту последовательность бесконечное число раз. Действительно, наряду с узлом ,
в эту последовательность также будут входить узлы ,
где - натуральное число. Но все эти узлы соответствуют одному и тому же рациональному числу .
Тогда из построенной нами последовательности, мы можем выделить подпоследовательность (имеющую бесконечное число элементов), все элементы которой равны наперед заданному рациональному числу. Поскольку построенная нами последовательность имеет подпоследовательности, сходящиеся к различным числам, то последовательность не сходится ни к какому числу. Здесь мы дали точное определение числовой последовательности. Также мы затронули вопрос о ее сходимости, основываясь на интуитивных представлениях. Точное определение сходимости рассматривается на странице Определение предела последовательности . Связанные с этим свойства и теоремы изложены на странице Числовая последовательность.
Сначала задумаемся над самим словом: а что такое последовательность? Последовательность – это когда что-то расположено за чем-то. Например, последовательность действий, последовательность времён года. Или когда кто-то расположен за кем-то. Например, последовательность людей в очереди, последовательность слонов на тропе к водопою.
Немедленно проясним характерные признаки последовательности. Во-первых, члены последовательности
располагаются строго в определённом порядке
. Так, если двух человек в очереди поменять местами, то это уже будет другая
последовательность. Во-вторых, каждому члену последовательности
можно присвоить порядковый номер:
С числами всё аналогично. Пусть каждому
натуральному значению по некоторому правилу
поставлено в соответствие действительное число . Тогда говорят, что задана числовая последовательность .
Да, в математических задачах в отличие от жизненных ситуаций последовательность почти всегда содержит бесконечно много
чисел.
При этом:
Называют первым членом
последовательности;
– вторым членом
последовательности;
– третьим членом
последовательности;
– энным
или общим членом
последовательности;
На практике последовательность обычно задаётся формулой общего члена
, например:
– последовательность положительных чётных чисел:
Таким образом, запись однозначно определяет все члены последовательности – это и есть то правило (формула), по которому натуральным значениям Последовательность положительных нечётных чисел :
Ещё одна распространённая последовательность :
Как, наверное, многие подметили, переменная «эн» играет роль своеобразного счётчика.
На самом деле с числовыми последовательностями мы имели дело ещё в средних классах школы. Вспомним арифметическую прогрессию
. Определение переписывать не буду, коснёмся самой сути на конкретном примере. Пусть – первый член, а – шаг
арифметической прогрессии. Тогда:
– второй член данной прогрессии;
– третий член данной прогрессии;
– четвертый;
И, очевидно, энный член задаётся рекуррентной
формулой
Примечание
: в рекуррентной формуле каждый следующий член выражается через предыдущий член или даже через целое множество предыдущих членов.
Полученная формула малопригодна на практике – чтобы добраться, скажем, до , нужно перебрать все предыдущие члены. И в математике выведено более удобное выражение энного члена арифметической прогрессии: Подставьте в формулу натуральные номера и проверьте правильность построенной выше числовой последовательности.
Аналогичные выкладки можно провести для геометрической прогрессии
, энный член которой задаётся формулой , где – первый член , а – знаменатель
прогрессии . В заданиях по матану первый член частенько равен единице.
Примеры:
прогрессия задаёт последовательность прогрессия прогрессия прогрессия Надеюсь, все знают, что –1 в нечётной степени равно –1, а в чётной – единице.
Прогрессию называют бесконечно убывающей
, если (последние два случая).
Давайте добавим в свой список двух новых друзей, один из которых только что постучался в матрицу монитора:
Последовательность на математическом жаргоне называют «мигалкой»:
Таким образом, члены последовательности могут повторяться
. Так, в рассмотренном примере последовательность состоит из двух бесконечно чередующихся чисел.
А бывает ли так, что последовательность состоит из одинаковых чисел? Конечно. Например, задаёт бесконечное количество «троек». Для эстетов есть случай, когда в формуле всё же формально фигурирует «эн»:
Факториал
:
Всего лишь свёрнутая запись произведения:
Отнюдь не графомания, пригодится для задач;-) Рекомендую осмыслить-запомнить и даже переписать в тетрадь. …Пришёл тут в голову один вопрос: а почему никто не создаёт такие полезные граффити? Едет себе человек в поезде, смотрит в окно и изучает факториалы. Панки отдыхают =)
Возможно, некоторым читателям всё-таки ещё не до конца понятно, как расписать члены последовательности, зная общий член. Тот редкий случай, когда контрольный выстрел возвращает к жизни:
Разберёмся с последовательностью Сначала подставим в энный член значение и внимательно проведём вычисления:
Потом подставим следующий номер :
Четвёрку: Чего уж, теперь и отличную отметку не зазорно заработать:
Понятие предела последовательности.
Для лучшего осмысления нижеследующей информации желательно ПОНИМАТЬ, что такое предел функции
. Конечно, в стандартном курсе математического анализа сначала рассматривают предел последовательности и только потом предел функции, но дело в том, что о самой сущности предела я уже подробно рассказывал. Более того, в теории числовая последовательность считается частным случаем функции, и людям, которые знакомы с пределом функции, будет заметно веселее.
Пригласим на танец незамысловатую подругу :
Что происходит, когда «эн» увеличивается до бесконечности? Очевидно, что члены последовательности будут бесконечно близко
приближаться к нулю. Это и есть предел данной последовательности, который записывается следующим образом:
Если предел последовательности равен нулю, то её называют бесконечно малой
.
В теории математического анализа даётся строгое определение предела последовательности
через так называемую эпсилон-окрестность. Этому определению будет посвящёна следующая статья, а пока что разберём его смысл:
Изобразим на числовой прямой члены последовательности и симметричную относительно нуля (предела) -окрестность:
Теперь зажмите синюю окрестность рёбрами ладоней и начинайте её уменьшать, стягивая к пределу (красной точке). Число является пределом последовательности, если ДЛЯ ЛЮБОЙ заранее выбранной -окрестности (сколь угодно малой)
внутри неё окажется бесконечно много
членов последовательности, а ВНЕ неё – лишь конечное
число членов (либо вообще ни одного). То есть эпсилон-окрестность может быть микроскопической, да и того меньше, но «бесконечный хвост» последовательности рано или поздно обязан полностью
зайти в данную окрестность.
Есть даже такая задача – доказать предел последовательности, пользуясь определением
.
Последовательность тоже бесконечно малА: с той разницей, что её члены не прыгают туда-сюда, а подбираются к пределу исключительно справа.
Естественно, предел может быть равен и любому другому конечному числу, элементарный пример:
Здесь дробь стремится к нулю, и соответственно, предел равен «двойке».
Если у последовательности существует конечный предел
, то она называется сходящейся
(в частности, бесконечно малой
при ). В противном случае – расходящейся
, при этом возможны два варианта: либо предела вовсе не существует, либо он бесконечен. В последнем случае последовательность называют бесконечно большой
. Пронесёмся галопом по примерам первого параграфа:
Последовательности Арифметическая прогрессия с первым членом и шагом тоже бесконечно великА:
К слову, расходится и любая арифметическая прогрессия, за исключением случая с нулевым шагом – когда к конкретному числу бесконечно добавляется . Предел такой последовательности существует и совпадает с первым членом.
У последовательностей схожая судьба:
Любая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, как ясно уже из названия, бесконечно малА
:
Если знаменатель геометрической прогрессии , то последовательность бесконечно великА:
Если же , например, , то предела вообще не существует, так как члены без устали прыгают то к «плюс бесконечности», то к «минус бесконечности». А здравый смысл и теоремы матана подсказывают, что если что-то куда-то и стремится, то это заветное место единственно.
После небольшого разоблачения Действительно, для последовательности легко подобрать -окрестность, которая, скажем, зажимает только число –1. В результате бесконечное количество членов последовательности («плюс единиц») останутся вне данной окрестности. Но по определению, «бесконечный хвост» последовательности с определённого момента (натурального номера) должен полностью
заходить в ЛЮБУЮ -окрестность своего предела. Вывод: предела не существует.
Факториал является бесконечно большой
последовательностью:
Причём, растёт он как на дрожжах, так, представляет собой число, у которого более 100 цифр (разрядов)! Почему именно 70? На нём просит пощады мой инженерный микрокалькулятор.
С контрольным выстрелом всё чуть сложнее, и мы как раз подошли к практической части лекции, в которой разберём боевые примеры:
Как найти предел последовательности.
А вот сейчас необходимо уметь решать пределы функций, как минимум, на уровне двух базовых уроков: Пределы. Примеры решений
и Замечательные пределы
. Потому что многие методы решения будут похожи. Но, прежде всего, проанализируем принципиальные отличия предела последовательности от предела функции:
В пределе последовательности «динамическая» переменная «эн» может стремиться только к «плюс бесконечности»
– в сторону увеличения натуральных номеров В пределе функции «икс» может быть направлен куда угодно – к «плюс/минус бесконечности» либо к произвольному действительному числу.
Последовательность дискретна
(прерывна), то есть состоит из отдельных изолированных членов. Раз, два, три, четыре, пять, вышел зайчик погулять. Для аргумента же функции характерна непрерывность, то есть «икс» плавно, без приключений стремится к тому или иному значению. И, соответственно, значения функции будут так же непрерывно приближаться к своему пределу.
По причине дискретности
в пределах последовательностей встречаются свои фирменные вещи, такие как факториалы, «мигалки», прогрессии и т.п. И сейчас я постараюсь разобрать пределы, которые свойственны именно для последовательностей.
Начнём с прогрессий:
Пример 1
Решение
: нечто похожее на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, но она ли это? Для ясности распишем несколько первых членов: Так как , то речь идёт о сумме
членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая рассчитывается по формуле .
Оформляем решение:
Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: . В данном случае: – первый член, – знаменатель прогрессии.
Главное, совладать с четырёхэтажностью дроби
:
Есть.
Пример 2
Написать первые четыре члена последовательности и найти её предел Это пример для самостоятельного решения. Для устранения неопределённости в числителе потребуется применить формулу суммы первых членов арифметической прогрессии:
Поскольку в пределах последовательностей «эн» всегда стремится к «плюс бесконечности», то неудивительно, что неопределённость – одна из самых популярных. Как вычислить эти пределы? Смотрите Примеры №№1-3 урока Пределы. Примеры решений
.
А может быть что-нибудь посложнее наподобие С формальной точки зрения разница будет лишь в одной букве – там «икс», а здесь «эн».
Приём тот же – числитель и знаменатель надо разделить на «эн» в старшей степени.
Также в пределах последовательностей достаточно распространена неопределённость . Как решать пределы вроде Чтобы разобраться с пределом , обратитесь к Примеру №7 урока Замечательные пределы
(второй замечательный предел справедлив и для дискретного случая). Решение снова будет как под копирку с различием в единственной букве.
Следующие четыре примера (№№3-6) тоже «двулики», но на практике почему-то больше характерны для пределов последовательностей, чем для пределов функций:
Пример 3
Найти предел последовательности
Решение
: сначала полное решение, потом пошаговые комментарии:
(1) В числителе дважды используем формулу .
(2) Приводим подобные слагаемые в числителе.
(3) Для устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на («эн» в старшей степени).
Как видите, ничего сложного.
Пример 4
Найти предел последовательности
Это пример для самостоятельного решения, формулы сокращенного умножения
в помощь.
В пределах с показательными
последовательностями применяется похожий метод деления числителя и знаменателя:
Пример 5
Найти предел последовательности
Решение
оформим по той же схеме:
(1) Используя свойства степеней
, вынесем из показателей всё лишнее, оставив там только «эн».
(2) Смотрим, какие показательные последовательности есть в пределе: и выбираем последовательность с наибольшим
основанием: . В целях устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на .
(3) В числителе и знаменателе проводим почленное деление. Поскольку является бесконечно убывающей геометрической прогрессией , то она стремится к нулю. И тем более к нулю стремится константа, делённая на растущую прогрессию: . Делаем соответствующие пометки и записываем ответ.
Пример 6
Найти предел последовательности
Это пример для самостоятельного решения.
Как-то незаслуженно остался в забвении стильный почерк, присущий только пределу последовательности. Пора исправить ситуацию:
Пример 7
Найти предел последовательности
Решение
: чтобы избавиться от «вечного соперника» нужно расписать факториалы в виде произведений. Но прежде, чем приступить к математическому граффити, рассмотрим конкретный пример, например: .
Последним множителем в произведении идёт шестёрка. Что нужно сделать, чтобы получить предыдущий множитель? Вычесть единицу: 6 – 1 = 5. Чтобы получить множитель, который располагается ещё дальше, нужно из пятёрки ещё раз вычесть единичку: 5 – 1 = 4. И так далее.
Не беспокойтесь, это не урок в первом классе коррекционной школы, на самом деле мы знакомимся с важным и универсальным алгоритмом
под названием «как разложить любой факториал
». Давайте разделаемся с самым злостным флудером нашего чата:
Очевидно, что последним множителем в произведении будет .
Как получить предыдущий множитель? Вычесть единицу:
Как достать прадедушку? Ещё раз вычесть единицу: .
Ну и ещё на один шаг продвинемся вглубь:
Таким образом, наше чудовище распишется следующим образом:
С факториалами числителя всё проще, так, мелкие хулиганы.
Оформляем решение:
(1) Расписываем факториалы
(2) В числителе ДВА слагаемых. Выносим за скобки всё, что можно вынести, в данном случае это произведение . Квадратные скобки, как я где-то пару раз говорил, отличаются от круглых скобок только своей квадратностью.
(3) Сокращаем числитель и знаменатель на …. …хммм, флуда тут и впрямь много.
(4) Упрощаем числитель
(5) Сокращаем числитель и знаменатель на . Тут в известной степени повезло. В общем случае вверху и внизу получаются заурядные многочлены, после чего приходится выполнять стандартное действие – делить числитель и знаменатель на «эн» в старшей степени.
Более подготовленные студенты, которые легко раскладывают факториалы в уме, могут решить пример значительно быстрее. На первом шаге делим почленно числитель на знаменатель и мысленно выполняем сокращения:
Но способ с разложением всё-таки более основателен и надёжен.
Пример 8
Найти предел последовательности
Как и в любом обществе, среди числовых последовательностей попадаются экстравагантные личности.
Теорема
: произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность – есть бесконечно малая последовательность.
Если вам не очень понятен термин «ограниченность», пожалуйста, изучите статью об элементарных функциях и графиках
.
Аналогичная теорема справедлива, кстати, и для функций: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию – есть бесконечно малая функция.
Пример 9
Найти предел последовательности Решение
: последовательность – ограничена: Если каждому натуральному числу n
поставлено в соответствие некоторое действительное число x n
, то говорят, что задана числовая последовательность
x
1 , x
2 , … x n
, … Число x
1
называют членом последовательности с номером 1
или первым членом последовательности
, число x
2
- членом последовательности с номером 2
или вторым членом последовательности, и т.д. Число x n
называют членом последовательности с номером
n
. Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью и с помощью рекуррентной формулы
. Задание последовательности с помощью формулы общего члена последовательности
– это задание последовательности x
1 , x
2 , … x n
, … с помощью формулы, выражающей зависимость члена x n
от его номера n
. Пример 1
. Числовая последовательность 1, 4, 9, … n
2 , … задана с помощью формулы общего члена x n
= n
2 , n
= 1, 2, 3, … Задание последовательности с помощью формулы, выражающей член последовательности x n
через члены последовательности с предшествующими номерами, называют заданием последовательности с помощью рекуррентной формулы
. x
1 , x
2 , … x n
, … называют возрастающей последовательностью,
больше
предшествующего члена. Другими словами, для всех n
x
n
+ 1 > x
n
Пример 3
. Последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, … n
, … является возрастающей последовательностью
. Определение 2.
Числовую последовательность x
1 , x
2 , … x n
, … называют убывающей последовательностью,
если каждый член этой последовательности меньше
предшествующего члена. Другими словами, для всех n
= 1, 2, 3, …
выполнено неравенство x
n
+ 1 < x
n
Пример 4
. Последовательность заданная формулой является убывающей последовательностью
. Пример 5
. Числовая последовательность 1, - 1, 1, - 1, … заданная формулой x n
= (- 1) n
, n
= 1, 2, 3, … не является ни возрастающей, ни убывающей
последовательностью. Определение 3.
Возрастающие и убывающие числовые последовательности называют монотонными последовательностями
. Определение 4.
Числовую последовательность x
1 , x
2 , … x n
, … называют ограниченной сверху,
если существует такое число M,
что каждый член этой последовательности меньше
числа M
. Другими словами, для всех n
= 1, 2, 3, …
выполнено неравенство Определение 5.
Числовую последовательность x
1 , x
2 , … x n
, … называют ограниченной снизу,
если существует такое число m,
что каждый член этой последовательности больше
числа m
. Другими словами, для всех n
= 1, 2, 3, …
выполнено неравенство Определение 6.
Числовую последовательность x
1 , x
2 , … x n
, … называют ограниченной,
если она ограничена и сверху, и снизу.
Другими словами, существуют такие числа M
и m,
что для всех n
= 1, 2, 3, …
выполнено неравенство m < x n < M Определение 7.
Числовые последовательности, которые не являются ограниченными
, называют неограниченными последовательностями
. Пример 6
. Числовая последовательность 1, 4, 9, … n
2 , … заданная формулой x n
= n
2 , n
= 1, 2, 3, … , ограничена снизу
, например, числом 0.
Однако эта последовательность неограничена сверху
. Пример 7
. Последовательность заданная формулой является ограниченной последовательностью
, поскольку для всех n
= 1, 2, 3, …
выполнено неравенство На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике . Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку
на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
то есть каждый член равен среднему
геометрическому его соседей.
,
то при
,
и
при
.
.
выполняется
неравенство
для
всех (натуральных)n>n 0 .
или
.
,
то в произвольную Ε окрестность точкиaпопадут все члены данной
последовательности, за исключением
последнего числа.
Геометрически
ограниченность последовательности
означает, что все ее значения лежат на
некотором отрезке.
,
то любая её подпоследовательность
имеет
тот же предел.
∎
и
пусть выполняется условиеx n ≤y n при любыхn, тогдаa
и
для последовательностейx n ,y n ,z n выполняется условиеx n ≤y n ≤z n ,
тогда для
следует
.
Числовой последовательностью {
x n }
называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, . . .
ставится в соответствие некоторое число x n
.
Элемент x n
называют n-м членом или элементом последовательности.
,
,
.
Примеры последовательностей
Примеры неограниченно возрастающих последовательностей
.
Видно, что с ростом номера n
,
элементы неограниченно возрастают в сторону положительных значений. Можно сказать, что эта последовательность стремится к :
при .
.
С ростом номера n
,
элементы этой последовательности неограниченно возрастают по абсолютной величине, но не имеют постоянного знака. То есть эта последовательность стремится к :
при .
Примеры последовательностей, сходящихся к конечному числу
.
Видно, что с ростом номера n
,
элементы этой последовательности приближаются к своему предельному значению a = 0
:
при .
Так что каждый последующий член ближе к нулю, чем предыдущий. В каком-то смысле можно считать, что есть приближенное значение для числа a = 0
с погрешностью .
Ясно, что с ростом n
эта погрешность стремится к нулю, то есть выбором n
,
погрешность можно сделать сколь угодно малой. Причем для любой заданной погрешности ε > 0
можно указать такой номер N
,
что для всех элементов с номерами большими чем N
:
,
отклонение числа от предельного значения a
не превзойдет погрешности ε
:
.
.
В этой последовательности члены с четными номерами равны нулю. Члены с нечетными n
равны .
Поэтому, с ростом n
,
их величины приближаются к предельному значению a = 0
.
Это следует также из того, что
.
Также как и в предыдущем примере, мы можем указать сколь угодно малую погрешность ε > 0
,
для которой можно найти такой номер N
,
что элементы, с номерами большими чем N
,
будут отклоняться от предельного значения a = 0
на величину, не превышающую заданной погрешности. Поэтому эта последовательность сходится к значению a = 0
:
при .
Примеры расходящихся последовательностей
Вот ее первые члены:
.
Видно, что члены с четными номерами:
,
сходятся к значению a 1 = 0
.
Члены с нечетными номерами:
,
сходятся к значению a 2 = 2
.
Сама же последовательность, с ростом n
,
не сходится ни к какому значению.Последовательность с членами, распределенными в интервале (0;1)
.
Каждый из отрезков снова поделим пополам. Получим четыре отрезка. Пусть
.
Каждый отрезок снова поделим пополам. Возьмем
.
И так далее.
.
= 0
.
.
Члены этой подпоследовательности сходятся к значению a = 1
.
Последовательность, содержащая все рациональные числа
,
где - целое; - натуральное.
Нам нужно каждому натуральному числу n
поставить в соответствие пару чисел p
и q
так, чтобы любая пара p
и q
входила в нашу последовательность.
.
Далее нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:
.
Нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:
.
И так далее.Заключение
в соответствие ставятся числа . Поэтому последовательность часто коротко обозначают общим членом, причём вместо «икс» могут использоваться другие латинские буквы, например:
– пятый;
. В нашем случае:
;
задаёт последовательность ;
задаёт последовательность 
;
задаёт последовательность 
.
.
являются бесконечно большими
, поскольку их члены уверенным ходом продвигаются к «плюс бесконечности»:
становится понятно, что в безудержных метаниях виновата «мигалка», которая, кстати, расходится и сама по себе.
.
, где – первый, а – энный член прогрессии.
И многие примеры решаются точно так же, как пределы функций
!
? Ознакомьтесь с Примером №3 статьи Методы решения пределов
.
можно узнать из Примеров №11-13 той же статьи.
, а последовательность – бесконечно малА, значит, по соответствующей теореме:
Ограниченные и неограниченные последовательности
подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов
