Как выводится формула объема шара. Вывод формулы объёма шара

Ар-хи-мед До-си-фея при-вет-ству-ет! Неза-дол-го пе-ред сим я пре-про-во-дил к те-бе неко-то-рые пред-ме-ты мо-их иcсле-до-ва-ний, вме-сте с най-ден-ны-ми мною до-ка-за-тель-ства-ми […] Ныне я кон-чил и дру-гие неко-то-рые мне на мысль при-шед-шие тео-ре-мы, из ко-их до-сто-при-ме-ча-тель-ней-шие суть сии: […] Ци-линдр, име-ю-щий ос-но-ва-ни-ем наи-боль-ший круг ша-ра, а вы-со-ту, рав-ную по-пе-реч-ни-ку оно-го, есть по-лу-тор-ный ша-ра ; и его по-верх-ность есть по-лу-тор-ная же по-верх-но-сти ша-ра. Свой-ства сии без со-мне-ния су-ще-ство-ва-ли в ска-зан-ных фигу-рах, но до-се-ле не бы-ли ещё за-ме-че-ны ни-кем из за-ни-мав-ших-ся Гео-мет-ри-ей…

Ар-хи-мед. О ша-ре и ци-лин-дре.

На-хож-де-ние со-от-но-ше-ния меж-ду объ-ё-ма-ми ша-ра и опи-сан-но-го око-ло него ци-лин-дра Ар-хи-мед (Ар-хи-мед Си-ра-куз-ский, др.-греч. Ἀρχιμήδης, лат. Archimedes, 287 до н. э. - 212 до н. э.) счи-тал сво-им глав-ней-шим ма-те-ма-ти-че-ским от-кры-ти-ем. Не слу-чай-но на над-гро-бии Ар-хи-ме-да бы-ли изоб-ра-же-ны шар и ци-линдр.

Ко-гда я был кве-сто-ром, я отыс-кал в Си-ра-ку-зах его <Ар-хи-ме-да> мо-ги-лу, со всех сто-рон за-рос-шую тер-нов-ни-ком, слов-но из-го-ро-дью, по-то-му что си-ра-ку-зяне со-всем за-бы-ли о ней, слов-но ее и нет. Я знал несколь-ко стиш-ков, со-чи-нен-ных для его над-гроб-но-го па-мят-ни-ка, где упо-ми-на-ет-ся, что на вер-шине его по-став-ле-ны шар и ци-линдр. И вот, осмат-ри-вая мест-ность близ Ак-ра-гант-ских во-рот, где очень мно-го гроб-ниц и мо-гил, я при-ме-тил ма-лень-кую ко-лон-ну, чуть–чуть воз-вы-шав-шу-ю-ся из за-ро-с-лей, на ко-то-рой бы-ли очер-та-ния ша-ра и ци-лин-дра. Тот-час я ска-зал си-ра-ку-зя-нам - со мной бы-ли пер-вей-шие граж-дане го-ро-да, - что это-го–то, ви-ди-мо, я и ищу. Они по-сла-ли ко-са-рей и рас-чи-сти-ли ме-сто. Ко-гда до-ступ к нему от-крыл-ся, мы по-до-шли к ос-но-ва-нию па-мят-ни-ка. Там бы-ла и над-пись, но кон-цы её стро-чек стёр-лись от вре-ме-ни по-чти на-по-ло-ви-ну. Вот до ка-кой сте-пе-ни слав-ней-ший, а неко-гда и учё-ней-ший гре-че-ский го-род по-за-был па-мят-ник ум-ней-ше-му из сво-их граж-дан: по-на-до-бил-ся че-ло-век из Ар-пи-на, чтобы на-пом-нить о нём.

Ци-це-рон. Туску-лан-ские бе-се-ды.

Рас-смот-рим ры-чаж-ные ве-сы. Пред-ста-вим, что с од-ной сто-ро-ны ве-сов рас-по-ло-жен ци-линдр, вы-со-той рав-ной ра-ди-у-су ос-но-ва-ния, а с дру-гой сто-ро-ны, на том же рас-сто-я-нии от под-ве-са что и ци-линдр, - ко-нус и по-ло-ви-на ша-ра . При-чём та-кие, что ра-ди-ус ос-но-ва-ния ко-ну-са и вы-со-та рав-ны ра-ди-у-су ци-лин-дра, ра-ди-ус ша-ра ра-вен ра-ди-у-су ци-лин-дра.

Ар-хи-мед. Со-чи-не-ния / Пе-ре-вод, всту-пи-тель-ная ста-тья и ком-мен-та-рии И. Н. Ве-се-лов-ско-го. - М.: ГИФМЛ, 1962.

Цели урока:

образовательные:

обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Тела вращения”;
вывести формулу объема шара.

Воспитательные:

показать, что источник возникновения изучаемой темы – реальный мир, что она возникла из практических потребностей; воспитание вычислительных навыков;
показать связь с историей; воспитание самостоятельности; воспитание стремления к самореализации.

Развивающие: совершенствование, развитие, углубление знаний, умений и навыков по теме; развитие пространственного воображения; развитие мыслительной деятельности: умения анализировать, обобщать, классифицировать.

Оборудование: учебник геометрии 10–11класс, автор Л.С. Атанасян; компьютер; мультимедейный проектор; модели геометрических фигур (шар, цилиндр); презентация .

Ход урока

I. Организационный момент.

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация опорных знаний.

1) Устная работа. Соотнесите название фигуры и формулу объема и площади поверхности тел.

Цилиндр.
Конус.
Усеченный конус.

2) Проверка творческой домашней работы . Презентации учащихся по решению задач с открытого банка ЕГЭ, типа В9.

III. Изучение новой темы.

Сегодня мы с вами выведем формулу для вычисления объема шара.

Вспомните, определение шара и его элементов. (Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.)

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара. Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара).

Теорема: Объем шара равен

Доказательство:

Мы уже знаем, что можно вычислять объемы тел с помощью интегральной формулы. V=

Давайте посмотрим, как это можно сделать для вывода формулы объема шара.

(Учитель объясняет вывод формулы объема шара с помощью формулы, ученики делают записи в тетрадях.)

Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось ОХ произвольным образом (рис. 178).Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и проходящий через точку М этой оси, является кругом с центом в точке М.. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим

Так как S(x)=пr 2 ,то S(x)=п(R 2 -x 2).

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим

Теорема доказана.

Физкультминутка (для глаз).

IV. Формирование умений и навыков учащихся.

Проблемная задача. При уличной торговле арбузами весы отсутствовали. Однако выход был найден: арбуз диаметром 3 дм приравнивали по стоимости к трем арбузам диаметром 1 дм.

Что вы возьмете? Правы ли были продавцы?

Задача (Архимеда ):

Дано: в цилиндр вписан шар.

Найти: отношение объемов цилиндра и шара.

Ответ: 1,5.

Одним из своих наивысших достижений Архимед считал доказательство того, что объем шара в полтора раза меньше объема описанного около него цилиндра. Недаром шар, вписанный в цилиндр, был высечен на надгробии Архимеда в Сиракузах. (Небольшое сообщение учащихся об Архимеде. )

Задачи из ЕГЭ (В9):

1. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

Решение: (Опираемся на открытие Архимеда. )

2. Площадь поверхности шара уменьшили 9 раз. Во сколько раз уменьшился объем шара?

Пусть радиус первого шара R, а уменьшенного r.

Поверхность шара S 1 = 4пR 2 , стала S 2 = 4пR 2 /9 = 4п (R/3) 2 = 4пr 2

Видим, что r =R/3, т.е. радиус уменьшился в 3 раза.

Объем V 1 = 4/3 ПR 3 , а объем V 2 = 4/3 пr 3 = 4/3 п(R/3) 3 =4/3 пR 3 /27 = V 1 / 27.

V. Итог урока.

Оценить работу учащихся на уроке и выставить оценки.

Диагностика (рефлексия).

На сегодняшнем уроке мы с вами вывели формулу объема шара, выяснили, что данные тела имеют широкое практическое применение и сделали небольшое открытие, которое еще в 3 веке до нашей эры сделал Архимед.

Беседа по следующим вопросам:

Что было интересного сегодня на уроке?

Что вызвало трудности?

Какие умения приобрели сегодня?

Где могут пригодиться эти умения?

Домашнее задание.

П.71 № 712, II уровень №714 с презентацией.

Величайший учёный Древнего мира – Архимед (ок. 287–212 до н. э.) общепризнанно считается одним из величайших гениев в истории человечества. Его вклад в математику огромен, а имя овеяно легендами. Именно Архимед придумал формулу для определения площади треугольника по его сторонам и вплотную подошёл к понятию определённого интеграла, опередив человечество почти на два тысячелетия. Архимеду принадлежат точные формулировки законов природы, сохранившиеся в неприкосновенности на все времена.

Архимед первый дерзнул исчислить размеры окружающего нас мира. Он определил границы для числа π , доказав, что: 3 10/71 . Но более всего Архимед гордился найденной им формулой, с помощью которой можно найти объём шара , и в память об этом потомки изобразили шар и цилиндр на его могильном камне.

Следуя идеям Архимеда, можно доказать тот результат, который доставил ему высшую творческую радость. Например, докажем теорему: объём шара радиуса 1 равен 4/3 π .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы будем опираться на следующие две формулы стереометрии: объём цилиндра с радиусом основания R и высотой H равен πR 2 H и объём конуса с радиусом основания R и высотой H равен 1/3 πR 2 H . Последнюю формулу также нашел Архимед. Давайте, перейдём к доказательству. Для этого нужно вспомнить детские игрушки, которые называют пирамидками. Вспомним их устройство: имеется подставка с вертикальной палочкой и набор колечек разного размера, но сделанные из одинакового материала. Надо нанизать эти колечки на палочку так, чтобы размеры колечек увеличивались по мере приближения к подставке. Тогда получится фигура, похожая на конус.

По Архимеду доказательство теоремы очень легко понять с помощью подобных игрушек. Только надо сделать не одну – коническую, а три разных – цилиндрическую, когда тоненькие колечки будут иметь радиус 1, и если их собрать вместе, то они образуют цилиндр высоты 1, коническую – из таких же тоненьких колечек, но разных радиусов, из которых можно собрать конус радиуса основания 1, и полушаровую, собрав из колечек полушар радиуса 1.

А теперь возьмём аптекарские весы с плоскими чашами и, как Архимед, поставим на одну чашу собранную из колечек игрушку-цилиндр, а на другую – конус и полушар, причём конус поставим основанием на чашу весов, а полушар – "на голову", чтобы плоское основание полушара было сверху и расположено горизонтально.

Пусть высоты колечек одинаковы и равны δ , где δ – очень малое число. Подсчитаем, каков объём колечек, находящихся на одной и той же высоте h . У цилиндрического колечка этот объём равен πδ , у конического π(1 - h) 2 δ , а у полушарового колечка π(1 - (1 - h) 2)δ (ибо радиус колечка у конуса равен 1 - h , а у полушара, по теореме Пифагора, он равен (1 - (1 - h) 2) 1/2 .

Суммарный объём на каждой из чаш весов оказался одинаковым. Но если δ очень мало, то коническая игрушка будет почти неотличима от конуса, полушаровая – от полушара, а цилиндрическая – всегда цилиндр.

В пределе получаем, что объём полушара радиуса 1 равен объёму цилиндра с радиусом основания и высотой 1, минус объём конуса с радиусом основания и высотой 1. Откуда и следует доказательство теоремы Архимеда: объём шара радиуса 1 равен 4/3 π .

Объём шара

После столь длительных подготовок, мы, основываясь на теоретических знаниях изложенных выше, можем приступить к доказательству теоремы о вычислении объёма шара с помощью определённого интеграла.

Теорема . Объём шара радиуса R равен .

Доказательство . Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом (рис. 10). Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х -- абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим:

Так как , то

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т. е. Для всех х, удовлетворяющих условию. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при , получим

Теорема доказана.

Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента

Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью (рис. 11). Всякая плоскость, пересекающая шар, разбивает его на два сегмента. Объем шарового сегмента находится при помощи тех же рассуждений из рис. 11, стоит лишь веять не все тело («цилиндр без конуса»), а его часть, отсеченную плоскостью, параллельной основанию. Рассмотрим, например, шаровой сегмент, лежащий выше секущей плоскости, проведенной на высоте х от плоскости основания полушара, т.е. на расстоянии от верхней точки полушара. Величина h называется стрелкой сегмента. Искомый объем будет равен разности объемов цилиндра радиуса R с высотой h и усеченного конуса; так как радиус малого основания конуса равен, то получаем для объема сегмента

Раскрывая скобки и упрощая выражение, приведем его к виду

Эта формула выведена для сегмента, стрелка которого не превосходит радиуса шара. Она остается верна и для сегмента c любой стрелкой. Пусть сегмент со стрелкой - дополнительный к сегменту со стрелкой. Вычислим его объём как разность объёмов шара и сегмента со стрелкой h:

Заменим здесь h через 2R-h 1 :

Раскрывая скобки и производя упрощения, получим

т.е. такую же формулу, что и раньше.

Интересен вывод формулы объёма шарового сегмента с помощью определённого интеграла.

Если радиус шара равен R, а высота сегмента равна h (на рисунке 12 h=AB ), то V шарового сегмента вычисляется по формуле

Действительно, проведём ось Ox перпендикулярно к плоскости (рис. 12). Тогда площадь S(x) произвольного сечения шарового сегмента плоскостью, перпендикулярной к оси Ox, выражается формулой (1) при. Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел при, получим

Как видите, вычисление объёмов тел с помощью интеграла даёт большой выигрыш во времени.

Объем шара Теорема Объем шара радиуса R равен 4/3 πR 3 R x B O C M A Доказательство Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке O и выберем ось Ox произвольным образом. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ox и проходящей через точку M этой оси, является кругом с центром в точке M. Обозначим радиус этого круга через R, а его площадь через S(x), где x-абсцисса точки М. Выразим S(x) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим R = OC²-OM² = R²-x² Так как S (x) = п r ², то S (x) = п (R²-x²). Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е., для всех х, удовлетворяющих условию –R x R. Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел при a = –R, b = R, получаем: R R R R R V = п (R²-x²) dx = п R² dxп - x²dx = п R²x - пx³/3 = 4/3 пR³. -R -R -R -R -R Теорема доказана x

Объёмы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора А) Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. На рисунке 1 секущая плоскость α, проходящая ч-з т.В, разделяет шар на 2 шаровых сегмента. Круг, получившийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов, а длины отрезков АВ и ВС диаметра АС, перпендикулярного к секу- щей плоскости, называются высотами сегментов. х АВ=h α О А С Шаровой сегмент Рис.1

Если радиус шара равен R, а высота сегмента равна h (на рис.1 h =АВ), то объём V шарового сегмента вычисляется по формуле: V = пh² (R-1/3h). · Б) Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между 2-мя параллельными секущими плоскостями (рис.2). Круги, получившиеся в сечении шара этими плоскостями, называются основаниями шарового слоя, а расстояние между плоскостями – высотой шарового слоя. Объём шарового слоя можно вычислить как разность объёмов 2-ух шаровых сегментов. А В С х Рис.2 Шаровой слой

В) Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 90 градусов, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов (рис.3). Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Если радиус шара равен R, а высота шарового сегмента равна h, то объём V шарового сектора вычисляется по формуле: V = 2/3 пR² h h O R r Рис.3 Шаровой сектор

Площадь сферы В отличие от боковой поверхности цилиндра или конуса сферу нельзя развернуть на плоскость, и, следовательно, для неё не пригоден способ определения и вычисления площади поверхности с помощью развёртки. Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Пусть описанный около сферы многогранник имеет n граней. Будем неограниченно увеличивать n таким образом, чтобы наибольший размер каждой грани описанных многогранников стремился к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани => ">