Курс теории вероятностей. Гнеденко Б

Название: Курс теории вероятностей. 2005.

Цель настоящей книги состоит в изложении основ теории вероятностей - математической науки, изучающей закономерности случайных явлений.
Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII века и связано с именами Гюйгенса (1629-1695), Паскаля (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Якоба Бернулли (1654-1705). В переписке Паскаля и Ферма, вызванной задачами, поставленными азартными игроками и не укладывающимися в рамки математики того времени, выкристаллизовывались постепенно такие важные понятия, как вероятность и математическое ожидание. При этом, конечно, нужно отдавать себе ясный отчет, что выдающиеся ученые, занимаясь задачами азартных игроков, предвидели и фундаментальную натурфилософскую роль науки, изучающей случайные явления. Они были убеждены в том, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. И только состояние естествознания привело к тому, что азартные игры еще долго продолжали оставаться тем почти единственным конкретным материалом, на базе которого создавались понятия и методы теории вероятностей. Это обстоятельство накладывало отпечаток и на формально-математический аппарат, посредством которого решались возникавшие в теории вероятностей задачи: он сводился исключительно к элементарно арифметическим и комбинаторным методам. Последующее развитие теории вероятностей, а также широкое привлечение ее результатов и методов исследования в естествознание, и в первую очередь в физику, показали, что классические понятия и классические методы не потеряли своего значения и в настоящее время.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к седьмому изданию 11
Предисловие к шестому изданию 11
Из предисловия ко второму изданию 13
Из предисловия к первому изданию 13
Введение 15
Глава 1. Случайные события и их вероятности 20
§ 1. Интуитивные представления о случайных событиях 20
§ 2. Поле событий. Классическое определение вероятности 24
§ 3. Примеры 32
§ 4. Геометрические вероятности 40
§ 5. 0 статистической оценке неизвестной вероятности 46
§ 6. Аксиоматическое построение теории вероятностей 49
§ 7. Условная вероятность и простейшие основные формулы 55
§ 8. Примеры 62
Глава 2. Последовательность независимых испытаний 71
§ 9. Вводные замечания 71
§ 10. Локальная предельная теорема 75
§ 11. Интегральная предельная теорема 82
§ 12. Применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа 89
§ 13. Теорема Пуассона 93
§ 14. Иллюстрация схемы независимых испытаний 98
Глава 3. Цепи Маркова 104
§ 15. Определение цепи Маркова 104
§ 16. Матрица перехода 105
§ 17. Теорема о предельных вероятностях 106
Глава 4. Случайные величины и функции распределения 111
§ 18. Основные свойства функций распределения 111
§ 19. Непрерывные и дискретные распределения 117
§ 20. Многомерные функции распределения 121
§ 21. Функции от случайных величин 129
§ 22. Интеграл Стилтьеса 140
Глава 5. Числовые характеристики случайных величин 149
§ 23. Математическое ожидание 149
§ 24. Дисперсия 154
§ 25. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии 160
§ 26. Моменты 165
Глава 6. Закон больших чисел 174
§ 27. Массовые явления и закон больших чисел 174
§ 28. Закон больших чисел в форме Чебышева 177
§ 29. Необходимое и достаточное условие для закона больших чисел 181
§ 30. Усиленный закон больших чисел 184
§ 31. Теорема В. И.Вшвенко 190
Глава 7. Характеристические функции 198
§ 32. Определение и простейшие свойства характеристических функций 198
§ 33. Формула обращения и теорема единственности 203
§ 34. Теоремы Хелли 208
§ 35. Предельные теоремы для характеристических функций 212
§ 36. Положительно определенные функции 216
§ 37. Характеристические функции многомерных случайных величин 222
§ 38. Преобразование Лапласа-Стилтьеса 226
Глава 8. Классическая предельная теорема 234
§ 39. Постановка задачи 234
§ 40. Теорема Линдеберга 237
§ 41. Локальная предельная теорема 242
Глава 9. Теория безгранично делимых законов распределения 249
§ 42. Безгранично делимые законы и их основные свойства 249
§ 43. Каноническое представление безгранично делимых законов 252
§ 44. Предельная теорема для безгранично делимых законов 257
§ 45. Постановка задачи о предельных теоремах для сумм 260
§ 46. Предельные теоремы для сумм 261
§ 47. Условия сходимости к законам нормальному и Пуассона 264
§ 48. Суммирование независимых случайных величин в случайном числе 267
Глава 10. Теория стохастических процессов 273
§ 49. Вводные замечания 273
§ 50. Процесс Пуассона 277
§ 51. Процессы гибели и размножения 282
§ 52. Условные функции распределения и формула Байеса 293
§ 53. Обобщенное уравнение Маркова 297
§ 54. Непрерывный случайный процесс. Уравнения Колмогорова 298
§ 55. Чисто разрывный процесс. Уравнения Колмогорова-Феллера 306
§ 56. Однородные случайные процессы с независимыми приращениями 313
§ 57. Понятие стационарного случайного процесса. Теорема Хинчина о корреляционной функции 318
§ 58. Понятие стохастического интеграла. Спектральное разложение стационарных процессов 323
§ 59. Эргодическая теорема Биркгофа-Хинчина 326
Глава 11. Элементы статистики 331
§ 60. Основные задачи математической статистики 331
§ 61. Классический метод определения параметров распределения 334
§ 62. Исчерпывающие статистики 344
§ 63. Доверительные границы и доверительные вероятности 345
§ 64. Проверка статистических гипотез 352
Дополнение 1. Определение математического ожидания в аксиоматике Колмогорова 360
Дополнение 2. Лемма Бореля-Кантелли и ее применение 363
Дополнение 3. Очерк по истории теории вероятностей 366
Глава 1. Предыстория понятия вероятности и случайного события 366
§ 1. Первые данные 366
§ 2. Исследования Дж. Кардано и Н.Тарталья 368
§ 3. Исследования Галилео Галилея 371
§ 4. Вклад Б. Паскаля и П. Ферма в развитие теории вероятностей 374
§ 5. Работа X. Гюйгенса 379
§ 6. О первых исследованиях по демографии 383
Глава 2. Период формирования основ теории вероятностей 386
§ 7. Возникновение классического определения вероятности 386
§ 8. О формировании понятия геометрической вероятности 390
§ 9. Основные теоремы теории вероятностей 394
§ 10. Задача о разорении игрока 399
§11. Возникновение предельных теорем теории вероятностей 400
§ 12. Статистический контроль качества продукции 403
§ 13. Дальнейшее развитие понятий случайного события и его вероятности 406
Глава 3. К истории формирования понятия случайной величины 408
§ 14. Развитие теории ошибок наблюдений 408
§ 15. Формирование понятия случайной величины 411
§ 16. Закон больших чисел 414
§ 17. Центральная предельная теорема 416
§ 18. Общие предельные распределения для сумм 422
§ 19. Закон повторного логарифма 425
§ 20. Формирование понятий математического ожидания и дисперсии 427
Глава 4. К истории теории случайных процессов 430
§ 21. Общие представления 430
§ 22. Дальнейшее развитие 434
Таблица значений функции <р(х) 436
Таблица значений функции Ф(х) 437
Таблица значений функции f(а) 438
Таблица значений функции 440
Список литературы 441
Список изданий книги Б. В. Гнеденко «Курс теории вероятностей» 442
О Борисе Владимировиче Гнеденко 443
Алфавитный указатель 444

Курс теории вероятностей. Гнеденко Б.В.

8-е изд., испр. и доп.-М.: Едиториал УРСС, 2005.- 448 с.

Для студентов математических специальностей университетов и педагогических институтов.

Формат: djvu / zip

Размер: 4,2 9 Мб

/ Download файл

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к седьмому изданию 11
Предисловие к шестому изданию 11
Из предисловия ко второму изданию 13
Из предисловия к первому изданию 13
Введение 15
Глава 1. Случайные события и их вероятности 20
§ 1. Интуитивные представления о случайных событиях 20
§ 2. Поле событий. Классическое определение вероятности 24
§ 3. Примеры 32
§ 4. Геометрические вероятности 40
§ 5. 0 статистической оценке неизвестной вероятности 46
§ 6. Аксиоматическое построение теории вероятностей 49
§ 7. Условная вероятность и простейшие основные формулы. . 55
§ 8. Примеры 62
Глава 2. Последовательность независимых испытаний 71
§ 9. Вводные замечания 71
§ 10. Локальная предельная теорема 75
§ 11. Интегральная предельная теорема 82
§ 12. Применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа.... 89
§ 13. Теорема Пуассона 93
§ 14. Иллюстрация схемы независимых испытаний 98
Глава 3. Цепи Маркова 104
§ 15. Определение цепи Маркова 104
§ 16. Матрица перехода 105
§ 17. Теорема о предельных вероятностях 106
Глава 4. Случайные величины и функции распределения 111
§ 18. Основные свойства функций распределения 111
§ 19. Непрерывные и дискретные распределения 117
§ 20. Многомерные функции распределения 121
§ 21. Функции от случайных величин 129
§ 22. Интеграл Стилтьеса 140
Глава 5. Числовые характеристики случайных величин 149
§ 23. Математическое ожидание 149
§ 24. Дисперсия 154
§ 25. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии 160
§ 26. Моменты 165
Глава 6. Закон больших чисел 174
§ 27. Массовые явления и закон больших чисел 174
§ 28. Закон больших чисел в форме Чебышева 177
§ 29. Необходимое и достаточное условие для закона больших чисел 181
§ 30. Усиленный закон больших чисел 184
§ 31. Теорема В. И.Вшвенко 190
Глава 7. Характеристические функции 198
§ 32. Определение и простейшие свойства характеристических функций 198
§ 33. Формула обращения и теорема единственности 203
§ 34. Теоремы Хелли 208
§ 35. Предельные теоремы для характеристических функций... 212
§ 36. Положительно определенные функции 216
§ 37. Характеристические функции многомерных случайных величин 222
§ 38. Преобразование Лапласа-Стилтьеса 226
Глава 8. Классическая предельная теорема 234
§ 39. Постановка задачи 234
§ 40. Теорема Линдеберга 237
§ 41. Локальная предельная теорема 242
Глава 9. Теория безгранично делимых законов распределения 249
§ 42. Безгранично делимые законы и их основные свойства.... 249
§ 43. Каноническое представление безгранично делимых законов 252
§ 44. Предельная теорема для безгранично делимых законов. 257
§ 45. Постановка задачи о предельных теоремах для сумм 260
§ 46. Предельные теоремы для сумм 261
§ 47. Условия сходимости к законам нормальному и Пуассона. . 264
§ 48. Суммирование независимых случайных величин в случайном числе 267
Глава 10. Теория стохастических процессов 273
§ 49. Вводные замечания 273
§ 50. Процесс Пуассона 277
§ 51. Процессы гибели и размножения 282
§ 52. Условные функции распределения и формула Байеса 293
§ 53. Обобщенное уравнение Маркова 297
§ 54. Непрерывный случайный процесс. Уравнения Колмогорова 298
§ 55. Чисто разрывный процесс. Уравнения Колмогорова-Феллера 306
§ 56. Однородные случайные процессы с независимыми приращениями 313
§ 57. Понятие стационарного случайного процесса. Теорема Хинчина о корреляционной функции 318
§ 58. Понятие стохастического интеграла. Спектральное разложение стационарных процессов 323
§ 59. Эргодическая теорема Биркгофа-Хинчина 326
Глава 11. Элементы статистики 331
§ 60. Основные задачи математической статистики 331
§ 61. Классический метод определения параметров распределения 334
§ 62. Исчерпывающие статистики 344
§ 63. Доверительные границы и доверительные вероятности.... 345
§ 64. Проверка статистических гипотез 352
Дополнение 1. Определение математического ожидания в аксиоматике Колмогорова 360
Дополнение 2. Лемма Бореля-Кантелли и ее применение 363
Дополнение 3. Очерк по истории теории вероятностей 366
Глава 1. Предыстория понятия вероятности и случайного события. . 366
§ 1. Первые данные 366
§ 2. Исследования Дж. Кардано и Н.Тарталья 368
§ 3. Исследования Галилео Галилея 371
§ 4. Вклад Б. Паскаля и П. Ферма в развитие теории вероятностей 374
§ 5. Работа X. Гюйгенса 379
§ 6. О первых исследованиях по демографии 383
Глава 2. Период формирования основ теории вероятностей 386
§ 7. Возникновение классического определения вероятности. . 386
§ 8. О формировании понятия геометрической вероятности. . . 390
§ 9. Основные теоремы теории вероятностей 394
§ 10. Задача о разорении игрока 399
§11. Возникновение предельных теорем теории вероятностей. . 400
§ 12. Статистический контроль качества продукции 403
§ 13. Дальнейшее развитие понятий случайного события и его вероятности 406
Глава 3. К истории формирования понятия случайной величины 408
§ 14. Развитие теории ошибок наблюдений 408
§ 15. Формирование понятия случайной величины 411
§ 16. Закон больших чисел 414
§ 17. Центральная предельная теорема 416
§ 18. Общие предельные распределения для сумм 422
§ 19. Закон повторного логарифма 425
§ 20. Формирование понятий математического ожидания и дисперсии 427
Глава 4. К истории теории случайных процессов 430
§ 21. Общие представления 430
§ 22. Дальнейшее развитие 434
Таблица значений функции <р(х) =.... 436
Таблица значений функции Ф(х) =...... 437
Таблица значений функции f (а) = ...... 438
Таблица значений функции.............440
Список литературы 441
Список изданий книги Б. В. Гнеденко «Курс теории вероятностей» .... 442
О Борисе Владимировиче Гнеденко 443
Алфавитный указатель 444

Независимость в теории вероятностей, одно из важнейших понятий этой теории. В качестве примера можно привести определение Н. двух случайных событий. Пусть А и В ‒ два случайных события, а Р (А) и Р (В) ‒ их вероятности. Условную вероятность Р… …

ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ - раздел математики, в к ром строят и изучают матем. модели случайных явлении. Случайность присуща в той или иной степени подавляющему большинству протекающих в природе процессов. Обычно она присутствует там, где существ. влияние на ход процесса… … Физическая энциклопедия

Вероятностей теория - Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Содержание 1 История 2 Основные понятия теории 3 См. также … Википедия

Вероятностей теория - математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким либо образом с первыми. Утверждение о том, что какое либо событие наступает с Вероятностью,… … Большая советская энциклопедия

ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ - математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных к. л. образом с первыми. Утверждение о том, что к. л. событие наступает с вероятностью, равной, напр., 1/2, еще не… … Математическая энциклопедия

Теория вероятностей - График плотности вероятности нормального распределения одной из важнейших функций, изучаемых в рамках теории вероятностей … Википедия

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ - одно из основных понятий вероятностей теории и математической статистики. При современном подходе в качестве математич. модели изучаемого случайного явления берется соответствующее вероятностное пространство{W, S, Р}, где W множество элементарных … Математическая энциклопедия

Теория вероятностей - есть часть математики, изучающая зависимости между вероятностями (см. Вероятность и Статистика) различных событий. Перечислим важнейшие теоремы, относящиеся к этой науке. Вероятность появления одного из нескольких несовместных событий равняется… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Борис Владимирович Гнеденко

Борис Гнеденко - Гнеденко, Борис Владимирович (1 января 1912, Симбирск, ныне Ульяновск, Россия 27 декабря 1995, Москва, Россия) советский математик, специалист по теории вероятностей, математической статистике, вероятностным и статистическим методам, член… … Википедия

Гнеденко - Гнеденко, Борис Владимирович Гнеденко, Борис Владимирович (1 января 1912, Симбирск, ныне Ульяновск, Россия 27 декабря 1995, Москва, Россия) советский математик, специалист по теории вероятностей, математической статистике,… … Википедия

Гнеденко Б.В.

Аннотация

Дается систематическое изложение основ теории вероятностей, проиллюстрированное большим числом подробно рассмотренных примеров, в том числе и прикладного содержания. Серьезное внимание уделено рассмотрению вопросов методологического характера.
Настоящее издание значительно отличается по содержанию от 5-го (1969 г.): введены дополнительные параграфы математического и прикладного характера, добавлен большой очерк истории теории вероятностей, содержащей результаты исследований самого последнего времени.
Для студентов математических специальностей университетов и педагогических институтов.

Другие книги по теории вероятностей на сайте:
Борель Э. Вероятность и достоверность
Вентцель Е.С. Теория вероятностей
Вентцель Е.С. Введение в исследование операций
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика
Айвазян C.A. и др. Прикладная статистика в 3-х томах
Босс В. Лекции по Математике. Вероятность, информация, статистика
Чернова Н.И. Теория вероятности
Цветкова Г.М. Теория Вероятностей

The file will be sent to selected email address. It may takes up to 1-5 minutes before you received it.

The file will be sent to your Kindle account. It may takes up to 1-5 minutes before you received it.
Please note you"ve to add our email [email protected] to approved e-mail addresses. Read more .

You can write a book review and share your experiences. Other readers will always be interested in your opinion of the books you"ve read. Whether you"ve loved the book or not, if you give your honest and detailed thoughts then people will find new books that are right for them.

B.B. FHEEHKO KYPC TEOPHH BEPO5tTHOCTEH H3./IAHHE IIIECTOE, .OIIOJ1HEHHOE MOCKBA "HAYKA" FJ1ABHAYl PEAKHYl � H3HKO-M ATE MATHqECKO "4 .rlHTEPATYPbl 1988 BBK 22.171 1"56 YJ1K 519.21 (075.8) F H e a e H K O B.B. Kypc Teop4n 3epoaxaoerefi: Yqe6m4i< -- H3. 6-e, uepepa6. vi 2,on. - M.: Hayi Fasmneo Farmhen ........................ 390 � 4. Bv, na;l B. Ilac}K- eHbI CTaJIIKe KaK 14 JIHTeJIbHOC- } pa3roopon Me>Kzly a6one14TaM14, CJlyqafilfbI. B rpyoofi MopcKofi nOpT cya aab.ero n.aa.a nocTynamT }e TOq. O no pacn14ca14.m, a MOMeHTb pe- me.a, .epe/to cymecTe..o OT.rI14q14ble OT anna.14poa}mbx. Toq14o Ta naen14OCTb norpyo-parpy3oq14bx pa6oT (o6pa6oTK cyilna) Nope}robin opaBoM 3aBI. IC14T He TO.rIbIKHBI CqI4TaTbCl;l C, iaK ClKHbI on14paTbcfl Ha 9T cnyqafiHbie aBneH14. 3TO O6CTOtTeJIbCTBO np14eno K TOMy, TO 3a nocnej1814e Tp14 CTOJIeT14, I4 B oco6e14- 14OCT}t 3a IlOCJIelH14e JleCtTJIeT14t, cJlyqaHble IBneHHt blY114 nOlBeprHyThl CI4C- TeMaT14qeCKOMy 14ccneJIoBam4m. KpaTKI4 14CTOpnqeCK14fi ouepK TOFO npoRec- ca npano>eH B KOHRe HacToflulefi KHHFH. Flpe>Kle qeM 11epexo114Tb K 143J10>Ke1414tO OCHOBttbIX pe3y.rlbTaTOB Teop1414 BepOtTHOCTefi, MBI O.rl)KHbl qbopMaJIH3OBaTb Te HOHI;ITH}t, C KOTOpblM140Ha nMeeT beno. HOKa >Ke IIOHtT14e "cyqafiHoro" nBJie1414t nMeeT n14mb qI4CTO OHHCaTeYlbHblfi, 14HTyHTHBHbI171 14 BeCbMa paCHJlbIBqaTbIfi OJ1HK. Mbl yB14JI14M, qTO TeOp14H BepotTHOCTeI 3aH14MaeTCR H3yqeH14eM Fie JllObX COblTHI, KOTOpble B hHTeICKOI npaKTHKe Ha3bIBatOTCfl C.rlyqaIHblMH, a TOJlbKO TeX n3 H14X, KOTO- pbe olala}oT OllpeJIeJleHHbIM14 CBOI71CTBaM14. Ilpe,jle BceFo, (}Ha oFpaHHqHBaeTcl;I 1,13yqeHI4eM JI1411Ib Tex CO"bIT14171, KOTOpble B IlpHHIll4IIe MOFyT blTb OCyIlleCTBJle14bI HeOFpaH14qeHHOe q14cJIO pa3, 11p14TOM B tte143MeHHblX yCJ1OBHtX. Hp14Be/IeM np14Mepbl. IdrpaJbHat KOCTb MoheT blTb noO!CqtTaeM "eriepb o6mee qcno BO3MOXKHbIX cJyqafIHblX CObITISI, KOTO- poe MOHO o6pa3OBaTb 3 n 9eMeHTapHbX. OqeBHO, qTO MOrO o6pa3oBaTb C, co6m, aoe a3 oxopix 6yeT coepax no m ax TO 3neMeH- xapulx co6ixa (1 m n). Hp m = n cnyqafioe co6ne ncera npoacxo- T, T.e. OHO fleTgfl OCTOBepHbM. BYO, TaKM ofpa3oM, o6pa3oBaHO Cf = 2" - 1 co6xafi. o6aa Tenep zo ce nocxpoeax CO6bITM m=l eme oo, KoTopoMy He coomexcxayex H OO 35eMeHTapHoe CO6blXe, x.e. COCTOamee 3" RyCTOFO MHoeBa 3fleMeHTOB. OqeBtO, O OHO HHKOFa He MOneT HacynTb (HOCKOSbKy eMy He COOTBeTByeT H OO 3fleMeHTapHoe CO6blTe). 3TO cnyqafiHoe CO6blTHC HOCT Ha3BaHHe HeBO3MOHOFO CObITfl. TaKM o6pa3oM, Bcex cnyqax co6xafi a paCCMOTHHOM a cnyqae 6yex 2". Bnafime paCCMOTpeH OTHOCflTCfl He TOJIbKO K KnaccqecKo onpee- JleHgm BepoaTHOCTB, HO H KO BCeM nbHefiM O000eHgflM. ByeM CTalb HKCHpOBaHHblM KOMHJteKC yCJIOBH H CTeM paccMaxpBaTb HeKoIopym cucze S CO6blXfi A, B, C... *), a,oe a3 KO"Opblx OflHo npn ao ocyecTBeHHgKOMeKCa npo30T HH He Me COblflM CHCTeMbl S MoryT cyeBoBaTb H3BeHble COOTHOmeHH, C KoIOpblMH Mbl tlOCTOHHO 0yeM HMeTb eo H KOTOpble hOgTOMy npee cero 1) Ecn npu agOM ocymecxnneuu OMmeca ycnonfi , np KOTOpOM IIpOHCXOT COfiblTHe A, npoucxomvr COblTHe B. To Mbl 6yReM rOBOpIb, qXO A neuer sa cok***) B, O3HaqaTb 3TO O6CTOflTebCTBO CHMBOOM C: ACB 1 CHMBOJIOM BDA. 2) EcJIH A BJleqei 3a co6ofi B u n zo e npea B nneue 3a co6ofi A, x.e. ecJm upu Kao peaJm3aau KOmJleKca yCOBU CO6blTHfl A H B oa Hacxynam Jm ofa e HacxynamT, TO Mbl 6yeM FoBopHTb, O CO6blTHg A H B pasnOCUYlbnbt u 6yeM O603HaqaTb 9TO O0CTOTebCTBO CHOOM =: 3) COfblXUe, coc"roamee acxynJleHu o6oux CO6bUfi A B, 6ye 3blBaTb npoueOeuue co6mfi A B u o6o3auaxb AB. *} COhl"l HH B aJIbHClllUM o60 $llilqilR)"rcH Jla 1HHCKHMH lIpOIIHCHblM **] BMCc"IO "11poH30IH" l"OBoprl " "laKe "IJOBH"ffl", "HMC"I"b Mcc"ro" HH C"l yflHTb" * * *)BMeC"rO "A BJlOtlC"l " Ba CO60 " roBopa"r TaKc "A flBJIH�IC qaclHblM cJlyqaeM 24 rn. 1. Cnyaitm,e co6ra t x epoarocr A B A +B AB A-B A+B+...+N oo3HaqaeI CO6blTHe, 3aKnoqamuleeca B Hacxyrmem4} xoxfl bI O]j4OFO PI3 COObl- m A,B ..... N, a AB...N oo3HaqaeT COblT14e, 3aKYloqaoLtleec B acxyre4 Bcex CO6blT14I A,B, .... N. 7) COBITI4e Ha3blBaeTci C)OCTOt3epttblM, ecH4 OHO C HeoOxo3HMOCTb}O JIOJDrd40 npo43ox4 (np} aofi pea:m3attm4 comneca ycnoaafi). Hanpu- Mep; np 6pocavm myx IarpasbHbIX KOCTefi JIOCTOepo, qTO CyMMa OqKOB 6yjxex }e Mebme ;a3yx. Co6bi13,Ie itaabxBaexca neaomoy, cnt, ecn ouo ale,oMo ue MO:aK- Hoe A, COCTOIil B IOM, qTO cpe;uJa BblHyTbIX KapT lie OKa7KeTCI HI4 olDIoro Ty3a. OqeBa,to, qxo Tplt nexy3a Mox<}to BblHylb 143 KOJ1OJIbI n) aqee<. Hafi N BepOHIHOCTb TOFO, o2 l) B onpeenebix n nqefiKaX oKaexcn no oofi qacKe, 2) a KaKHX-O n BqefiKax OKaeca no oofi qacTHKe. P e m e n e. 3xa 3aaqa rpaew Baym poHb B CoBpeMennofi CTaTHH- qeCKOfi 3tTHblX cJyqaeB B CTaTUcI4Ke Io3e--gfiHllliefilta. C 3TOil tlenbm 3aMeTHM, tllO BCeBO3MO>mtble pa3Memem4a uacnm no auefiKam UbI Mo)KeM nonymaTb cneJIymmuM nyTeM: pacnono>vdaM auefiKu Ha npaMofi BnnOT}tylO Jlpyr K Jlpyry, pacnono>KaM Ianee paJIOM OJIHy BO3JIe pyrofi Ha TOil KHble nepecraaoBK} UaCT14t[ 14 neperopo/IoI< Me>Kay nuefiKaMI4. pa3oM, KaK nerKo COO6pa3b, yllyT ym"eHb BCOBO3MO>Kl-lble 3anonHeHH8 aqeeK, orn14qamu.mxcfl KaK IIOpltj!KOM pacnoao>Keua qaCT14R B aqefiKax, TaK 14 IIOpallKOM pacnonom{O yKa3aTb Ha CJO>KHOCTb BbtmcneHHfi B 3a/Iaqe 0 BCTpeqe a cJlyqaa 00rib- moro m4cna nHu (CTaHKoB). A aTy 3aaaqy HepeKo Hy>mo pemaTb aa 6oab- moro tmcna CTaHKOB (B TeKCTHJIbHOM HpOH3BO;IICTBe, HaHpHMep, HeKoTopbIe Tcatmm4 6panH Ha o6cJy>k2�Te (0, 1). CnpamaBaeTca, ueq paBHa Be- pO8THOCT TORO, trro opHI4 yyI �ICTBHTeJIbHblMH tmCnaMH? qTof,x 4qt. B HpaMoyroJIb- HblX eKapTOBblX Koop/ltlHaTax (pHc. 5) MHoeCTBO Bcex BO3MOhKHBIX nap m4cen (p, q) 3aaaeca TomcaM KBaapaTa c BepLtmitaMa (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0). TomxaT noa napa- 1 6onoft q = _ p2. TaKtM o6pa3oM, comaclio onpeaeneumo, aCKOMaa 4 � 4. ]eoMeTpnqecKne BepoaTHOCTH 41 Bepo,"tTHOCTb paBHa p: 0 1 12 3aaa, noaonbe xonbD/2 r D 14 D- 2x arccos .... npn x < D/2. D � 4. FeoMeTph"qecKHe BepOTHOCTI 43 HaKoreR, B xpexseM pemeama MbI fipocaeM Hay21aqy TOqKy BHyTpb Kpyra a cnpamBaeM ce6a o BepoaxtOCTa nonaaamm aayxpb aeoToporo Mebmero orme.xpaqecKoro Kpyra (pac. 6 6). Pa3te nOCTaHOBOK 3a21aq BO BCeX Tpex cyaax coaepmermo OqeB21nO. IIp a M e p 4. 3 a 2I a q a B IO qb qb o a. ILococx pa3rpa0paeHa napa- e,m, ItbiMI ripaMbIMI, OCOartMI 21pyr ox pyra aa paccTos_rm 2a. Ha ruIOC- KOCT, aay21auy*) fipocaeTca arna mi 21 (l < a). Hafix Bepoamocxb xoro, uxo arna nepeceuex acym-m6y/a, npaMym. Pac. 7 0 7r . lc. 8 P e m e e. 06031taqHM qepe3 X paccxoame ox Reuxpa 21o 6nafimefi napnena epe3 -yron, cocxannenaffi arnofi c xo napnenm. Ben- x nonobm onpeaenamx nonoee arni. Bceo3Moe nono- ea rnbi onpeaenamxca roam npaMOOnbKa CO CXOHa a an. H3 pac. 7 Bao, qxo a nepeqea rnbi c napmenm eo6xoMO OCTaTOO, qTOM x / sin . HCKOMa BepOaOCTb B cy cenabix npeoaoefi paBa omomem oa 3ampxoBanofi Ha pc. 8 oOnacm K nnoma npaMoonKa I 21 p= f/sind= " . a 0 a 3aMeXM, qO 3aaqa moHa aanaexca HCXOIM HKTOM a peme- a eKoTopbx npofneM Teop cxpenb6i, xbBamx pa3Mepb caapam. H p a e p 5. Ha ropa3oxym ococxb, pa3rpanem nap- HeHbHbI HpaMbI, OTCTOa apyr ox apyra na paccxoaa 2a, y- 44 Fn. 1. Cnyqa/tme co6a:ma x BpOHTHOCTH aqy*) 6mea BbmbI KOaXyp, aMexp KOxOrO Meame 2a. Hafi aepoaocT Toro, O Kop nepeceqex o a3 napenax npaMxx. P e m e H R e. + + +"""+PCn-l,n) = =2 +P, +...+P,)+�:, +P: +-..+P:)+---+P-,- Hon3yac paaeucxaoM p/ = p/, M1 Moex 3amT aepoamocx p HIM CnOCOM: 1 P= [�12 +P13 +-.-+Pln)+�21 +P23 +---+P2n) +--. � ..+� +v2 +--.+.,.-x)]- Ho CyMMa Vpi/, rIe nOnO)KeHO Pii = 0, npe/IcTaBmieT co6ofi He qTO ]{HOe, /=1 KaK tepofHOClb nepeceqemm bfi CTOpOHbI MHOFOyFOJlbH14Ka C OjHO 143 napan- nenb14bxx npaMX. Ecn14 Jln14Hy i-fi cTopoHb[ OO3Haq14Tb qepe3 21i,TO 143 aaua BmqbqboHa HaxOjlaM, qTO n Z" Pit = --, /= ra *) B TOM npanepe "Hayllaqy" 3}{auaT, rro n] 6epen Kaxo-JmOo oxpe3oK, KeCIKO CB13aHIlbI C KOll?ypon, 14 6pocaeM ero "Hayjlay" B CMblCJIe npelyulero npanepa. HeTpyHo no}eHs[ ce/IyeT accloMa aenpepmaocm. /Ieficmaxenao, nycx co6ma B, B:,..., Bn,... TalCOBb, B DB2 D ...DBnD ... np nmfOM n > 1 BtcB i, + i + II BIc. k= tt k=n Ho u cany ycaougu (3) oo P(II B)=0, k=n no xo W z x.e. P (Bn) ecx ocxaxo< cxojmeroca pajm Z = /c=l 11o3xoj P(B.) 0 npa n 54 Fn. 1. CnyqallHble CO6bITI4 H HX BeposTFIOC"rH � 7. YCJIOBHa$[ BeposTttoc"rb H OClOBttbIe qb0pMyab 55 Ta6nnaa 6 (1,1) (2.1) (3,1) (4,1) (5,1) ] (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) I (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3.5) (4,5) (5,5) (6,5) I (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) ; (6,6) Bce BO3MOW, HbIe cyqa31, geHHOfi bTaTe KOTOpOFO nepellBHFaeTcn Ha 1 C BIIpaBo C BepotTItOCTblO p HJH Ha I C BJleBO" C BepOATHOCTbIO q = 1 -- p. qeMy paBHa BepOATHOCTb TOFO, qTO MaTepltaJlbltaA qacTI411a o} 0), npeae qeM oHa nonaeT B nonoMreuMe, pacnonoCeuuoe neBee Toqleaaa, tamaM paOOTbI czaalca OOJlbliIHe orpa- H14qeHl, Ia, OJll-IaKo cymecTBytOT IIpOI43BOiICTBa, .rge OHO BblllOJ1HReTCR C OJIb- mofi cTeneIfbm TOqHOCTI4. B Kaq��IBe np}IMepa MoZ r P{A(t + At) } = P{A(t)}P{Bo(At)} + + P{A(t - r)}P {Bo(r)}P{B (/x t)} + o(/Xt), anpa0< t< r P{A(t +/xt)l = P{A(t)}P{Bo(At)} + P{Bo(t) } + P{B(/xt)} + o(/Xt). O60naua jlrm zR rr(t + At) = rr(t)e -a"t + (t - r)e-a"taAte -at + o(At). IIyeM nepexo;aa z< npe;aeny npa At --> 0 HaxoBj4M, UO npa 0 < r < r }mee MecO pae.co cl r (t) - arr(t)+ae -t, (4) dt a npa t > r - paeI4cxo drr(t) - a. (5) dt I43 ypameImfi (4) Iaxola, qxo npa 0 < t < r rr(t) = e-at(c +at). Ha ycnomm r(0) = onpeenae nocxommym c. OHO jloxgyTOl< BpeMeH Me:aIy t H t + At, paa XAt + o (At). HaRr BcpOSTHOCTI, TORO, qTo speMs cBo6ooro Ilpo�eI"a (T.e. BpeMs Me:aIy IByMs coce- HHIH CTO.KHOBeHHHMH) 6yleT 6omme t. 22. Crra, ro p paMoem 6aepfi leneHleM (Ha Ie 6aTepM) sepoT- OCT 6aTep paenmc a npoMeyro speMe At pasha At + o (At) H He 3a- BHC OT qHcHa npeRmeCTB encHHfl, a Te qna eca 6aKxepH, a aepoarom oro, qxo ecna MOMe 0 6bzna 1 6axep, ro MOMe t oRa- exca i 6xepa. FJ1ABA 2 IIOCJIEOBATEJ"IbHOCTb HE3ABHCI,MblX HCIIblTAHHII � 9. Baomn,e aaeamm 11poBeJIeHHe pa3I}tqHoro poma HCHblTaHH H 9gCnepMeHTOB aBaeTCa HenpeMeHHblM yCOBHeM pa3BIR HayKH nporpecca npKaHbIX o6acxe eaxenuocxa. Hpee eM BHeCIH B percxp ofi copx nmea, .eo6xo- MO npo3BecIH oFoqcneHHble CnbllaH, KOIOpble ObI alb y6e- IebHble aHHble O IeX HHb npeMyeciB HOBOFO copxa no cp- HeH C npeM: OBbIeHH ypOHOCTb yCTOBOClb K HOFOHblM yCOBM, 6onee KopoxKae cpogu Bere/auaa, yCIOUHBOCIb K 3aOoeBaHUM a np. Hepe TeM KaK BBeCTH B MaCCOBOe npoH3BOClBO HOBbI THH TeneB30pa (BblUCHTebHO MamHbl, CTKa, caMoeTa H I..) npoaBoicR pecla- BIebHble CbITaHHR Ha ero Oe3OTKa3HOCTb B paOoxe, npocloly HaKH, npcnocoOeHHOCTb K peMOHXy, OFOBeqHOCTb. HoBxe MeTObI penoaBa- HHR H3MeHeHHOe coepaae oOyqeH xaKe xpeOymx HIebHblX H npe- cIaBHIebHbm HaOnmeHfi H 3KcepHMeHIOB, KoIopble MOFH 0hi npoeMOH- clppoBalb x npeHMyeclBa. To e CaMOe MOrO cKaaalb o npoOeM MeHHbI, KOHOKH, opraa npo3BocTBa, CObHblX Hcceo- Bafi. Bce HOBOe, npee gem CTaTb OCTOHeM HpaKTHK, OHO 0blTb npeBapHTebHO TaTebHO HpoBepeHo H noTBepeHo HCHblTHRMH, cne- pHMeHTaMH H HpxoalCa CTKHBaTbcH H C apyrofi cxyaaaefi, Koraa CHCTeMaTHqecKHe HaHeHHH aa HBHeHHHMH, HpoHcxoflHMH He3aBHCHMO OT HccHeaTea. maK, HH npHMepa, MeTeOpoHorH HpOHaBOflT HaHeHHH aa qHCHOM o6naqHbXX aaefi, xeMnepaxypofi Boaayxa B onpeaeeHnbe qacbI cyxo<, ero BHaHOCTb H rip. Too xaKe opraaxop npoaoacxBa Ha6n- aaex aa npoHaBoaaxenbHOClbm xpyaa np paanablx opMax ero opranaaamt. B Hayloft H HpaglHqeCKj!OM R3 HRX CO6bITHe A k rpoRcxo/!Ht C aepOaTHOCTblO Po TO aeponT- ItOCTb toro, qxo a n He3aIqCllMbX acnbxtaHaaX noaaaTCa m CO6bXTRfi At, me co6Izafi A2 .... , m e CO6bTafi A e, panaa n! m 1 m. m k, Pn(mt,m2 ..... talc) = P P2 -...Pt (1") m !m 2 ! ... Jlere y6eaaTbca a TOM, qTo ata BepoaTHOCTb aanaeTca KoaqbqbitiitleH- TOM npa xn"x n: ... X e paanoaceaaa nonaHOMa (px + p2x2 + ... �. + pkxe) n no czeneaaM x, x2 ..... xe. EcxecTaeuHo, ufo aepoaTnocta (I") Ha3bmamTca noauuouant, m,t. pacnpedeaeuue. HonauoMaanb}}