Отношение объемов подобных конусов. Объем конуса

\(\blacktriangleright\) Точка \(P\) – вершина конуса.

\(\blacktriangleright\) Отрезок, соединяющий вершину конуса с границей основания, называется образующей (все образующие равны между собой).

\(\blacktriangleright\) Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром основания-круга, является высотой конуса.

\(\blacktriangleright\) Площадь боковой поверхности конуса \({\large{S_{\text{бок.пов.}}=\pi rl}}\) , где \(r\) – радиус основания, \(l\) – образующая.

\(\blacktriangleright\) Площадь полной поверхности конуса – эта сумма площади боковой поверхности и площади основания. \[{\large{S_{\text{полн.пов.}}=\pi rl+\pi r^2=\pi r(r+l)}}\]

\(\blacktriangleright\) Объем конуса \({\large{V=\dfrac{1}{3}S_{\text{осн.}}\cdot h=\dfrac{1}{3}\pi r^2h}}\) , где \(h\) – высота конуса.

Заметим, что конус имеет некоторое сходство с пирамидой, только в основании пирамиды лежит многоугольник (граница которого – ломаная), а в основании конуса – круг (граница которого – гладкая).
Поэтому можно сказать, что поверхность пирамиды “ребристая” , а конуса – “гладкая”.

Задание 1 #1886

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь боковой поверхности конуса равна \(48\pi\) , а площадь основания равна \(36\pi\) . Найдите длину образующей конуса.

Если радиус окружности, лежащей в основании конуса обозначить за \(r\) , а длину образующей за \(l\) , то площадь основания и площадь боковой поверхности конуса выразятся по формулам: \(S_{\text{осн.}} = \pi r^2\) , \(S_{\text{бок.пов.}} = \pi r l\) . Из первой формулы следует: \(\pi r^2 = 36\pi\) \(\Rightarrow\) \(r^2 = 36\) \(\Rightarrow\) \(r = 6\) \(\Rightarrow\) \(6\pi l = 48\pi\) \(\Rightarrow\) \(6l = 48\) \(\Rightarrow\) \(l = 8\) .

Ответ: 8

Задание 2 #1887

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь боковой поверхности конуса равна \(48\pi\) , а площадь боковой поверхности усеченного конуса с такими же основанием и углом наклона образующей к плоскости основания равна \(36\pi\) . Найдите высоту усеченного конуса, если высота исходного конуса равна \(10\) .

Площадь боковой поверхности меньшего конуса, который дополняет усеченный конус до полного, равна разности их площадей поверхностей: \(S_{\text{мал}} = 48\pi - 36\pi = 12\pi\) . Отношение площадей боковых поверхностей большого и малого конусов равно квадрату коэффициента подобия между ними: \[\frac{S_{\text{бол}}}{S_{\text{мал}}} = k^2 = \frac{48\pi}{12\pi} = 4\Rightarrow k = 2\]

Тогда высоты конусов относятся друг к другу: \(\dfrac{h_{\text{бол}}}{h_{\text{мал}}} = \dfrac{10}{h_{\text{мал}}} = k = 2\) . Тогда

Ответ: 5

Задание 3 #962

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

На высоте конуса с вершиной \(A\) , центром основания \(C\) и радиусом основания \(R = 4\) отметили точку \(E\) такую, что расстояние от неё до основания равно \(\sqrt{3}(4-\pi^{-0,5})\) . Известно, что угол между образующей конуса и плоскостью основания равен \(60^\circ\) . Найдите площадь сечения \(T\) конуса, проходящего через точку \(E\) и параллельного основанию конуса.

Рассмотрим треугольник \(ABC\) , где \(B\) – некоторая точка на окружности основания. Так как \(AC\) – высота конуса, то \(AC\perp CB\) , тогда \(\angle CAB = 90^\circ - \angle ABC = 30^\circ\) , следовательно, \(AB = 2CB = 8\) . По теореме Пифагора \

Обозначим через \(D\) точку пересечения плоскости сечения \(T\) и \(AB\) . Рассмотрим треугольник \(AED\) : \

Так как сечение \(T\) параллельно плоскости основания, а \(AC\) – высота конуса, то \(AC\perp ED\) , тогда \(\triangle AED\) – прямоугольный и \(\angle EAD = 30^\circ\) , откуда \ – радиус сечения \(T\) .

Таким образом, площадь сечения \(T\) равна \(\pi r^2 = \pi\cdot\dfrac{1}{\pi} = 1\) .

Ответ: 1

Задание 4 #963

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Радиусы оснований усечённого конуса равны \ а угол между его образующей и основанием равен \(45^\circ\) . Найдите площадь боковой поверхности этого усечённого конуса.

Обозначим центры оснований усечённого конуса через \(A\) и \(E\) , так что \(A\) – центр большего основания. Отметим на большем основании точку \(C\) , а точку меньшего основания, через которую проходит образующая, выходящая из \(C\) , обозначим через \(D\) .

Высота \(AE\) и образующая \(CD\) лежат в одной плоскости. Обозначим точку их пересечения через \(B\) .

Так как \(AE\) – высота, то \(AE\perp CD\) и \(AE\perp AC\) .

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BAC\) :
в нём \(\angle BCA = 45^\circ\) , тогда \

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BED\) :
так как \(\angle EBD = 45^\circ\) , то \ тогда \(EA = AB - BE = R - r\) , \(DC = BC - BD = R\sqrt{2} - r\sqrt{2} = \sqrt{2}(R - r)\) . \ где \(I\) – образующая, тогда \

Ответ: 96

Старшеклассникам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике, непременно стоит научиться вычислять площадь и другие неизвестные параметры конуса. Как показывает практика предыдущих лет, подобные задания из раздела «Геометрия в пространстве» вызывают у выпускников определенные сложности.

При этом понимать, как найти площадь боковой поверхности или, к примеру, сечения конуса, параллельного основанию, должны все учащиеся, независимо от уровня их подготовки. Это позволит им успешно пройти аттестационное испытание по математике.

Базовая информация, которую стоит запомнить

• Конус представляет собой геометрическое тело, которое образовано совокупностью круга, точки, находящейся вне его плоскости, и лучей, соединяющих заданную точку с точками круга. Его высотой называется перпендикуляр, который опущен из вершины на плоскость основания.
• Все образующие конуса равны между собой.
• Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Основание этой фигуры равняется двум радиусам. Боковые стороны треугольника равны образующим конуса.

Занимайтесь вместе с сайтом «Школково»!

Чтобы не допускать распространенных ошибок при решении задач по теме «Конус», выбирайте наш математический портал. Здесь есть весь необходимый материал для изучения разделов, требующих повторения.

Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают новый подход к подготовке к экзамену, предполагающий переход от простого к сложному. Вначале мы даем полную теорию, основные формулы и элементарные практические задачи с решением, в том числе и по теме «Конус», а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня, которые также встречаются в ЕГЭ. Вся необходимая информация представлена в разделе «Теоретическая справка».

Вы также можете сразу приступить к решению онлайн-задач на вычисление высоты усеченного конуса, площади его боковой поверхности, объема, а также похожих задач на вычисление, например, нахождению Большая база упражнений представлена в разделе «Каталог». Перечень заданий систематически обновляется.

Проверьте, насколько легко вы сможете определить площадь конуса в режиме онлайн. Если упражнение потребовало от вас минимальных усилий, рекомендуем вам не тратить время на простые задачи и переходить к более сложным. А если затруднения все же возникли, тогда вам непременно стоит находить время в своем ежедневном расписании на дистанционные занятия вместе со «Школково». С нами вы сможете быстро усвоить алгоритм решения задач на расчет объема конуса и других неизвестных параметров.

Тела вращения, изучаемые в школе, - это цилиндр, конус и шар.

Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы - считайте, что повезло.

Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.

Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, - снизу.

2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Всё просто - рисуем вид снизу. Видим, что радиус большего круга в раз больше, чем радиус меньшего. Высоты у обоих конусов одинаковы. Следовательно, объем большего конуса будет в раза больше.

Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких или у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться!. Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».

А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче С2 (16). Мы тоже расскажем о ней.

Шар, объем которого равен 8π, вписан в куб. Найдите объем куба.

Решение

Пусть a - это сторона куба. Тогда объем куба равен V = a 3 .

Так как шар вписан в куб, то радиус шара равен половине ребра куба, т.е R = a/2 (см. рис.).

Объем шара равен V ш = (4/3)πR 3 и равен 8π, поэтому

(4/3)πR 3 = 8π,

А объем куба равен V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.

Задание B9 (Типовые варианты 2015)

Объем конуса равен 32. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение

Рассмотрим задачи:

72353. Объем конуса равен 10. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Сразу отметим, что исходный и отсечённый конус подобны и если рассматривать отсечённый конус относительно исходного, то можно сказать так: меньший конус подобен большему с коэффициентом равным одной второй или 0,5. Можем записать:

Можно было записать:

Можно было рассудить так!

Рассмотрим исходный конус относительно отсечённого. Можно сказать – больший конус подобен отсечённому с коэффициентом равным двум, запишем:

Теперь посмотрите решение без использования свойств подобия.

Объём конуса равен одной трети произведения площади его основания и высоты:

Рассмотрим боковую проекцию (вид сбоку) с указанным сечением:

Пусть радиус большего конуса равен R, высота равна Н. Сечение (основание меньшего конуса) проходит через середину высоты, значит его высота будет равна Н/2. А радиус основания равен R/2, это следует из подобия треугольников.

Запишем объём исходного конуса:

Объём отсечённого конуса будет равен:

Столь подробные решения представлены для того, чтобы вы видели как можно выстроить рассуждения. Действуйте любым способом – главное, чтобы вы понимали суть решения. Пусть путь, который вы выбрали будет не рационален, важен результат (верный результат).

Ответ: 1,25

318145. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает половину высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Данная задача схожа с предыдущей. Хоть речь здесь и идёт о жидкости, принцип решения один и тот же.

Имеем два конуса – это сам сосуд и «малый» конус (наполненный жидкостью), они являются подобными. Известно, что объёмы подобных тел соотносятся следующим образом:

Исходный конус (сосуд) подобен конусу наполненному жидкостью с коэффициентом равным 2, так как сказано, что уровень жидкости достигает половину высоты. Можно записать подробнее:

Вычисляем:

Таким образом, долить нужно:

Другие задачи с жидкостями.

74257. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 44 и наклонена к плоскости основания под углом 30 0 . В ответе укажите V/Пи.

Объем конуса:

Высоту конуса найдем по свойству прямоугольного треугольника.

Катет лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы. Гипотенуза, в данном случае, является образующей конуса. Следовательно высота конуса равна 22.

Квадрат радиуса основания найдем по теореме Пифагора:

*Нам нужен квадрат радиуса, а не сам радиус.

Объём конуса. Вот мы с вами добрались до конусов и цилиндров. Ещё, кроме тех, что уже опубликованы, будет около девяти статей, рассмотрим все типы заданий. Если в течение года в открытый банк будут добавляться новые задачи, конечно же, они также будут размещены на блоге. В этой статье представлена теория, а в примеры в которых она используется. Мало знать формулу объёма конуса, кстати вот она:

Можем записать:

Для решения некоторых примеров нужно понимать как соотносятся объёмы подобных тел. Именно понимать, а не просто выучить формулу:

То есть, если мы увеличим (уменьшим) линейные размеры тела в k раз, то отношение объёма полученного тела к объёму исходного будет равно k 3 .

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! Не важно как вы обозначите объёмы:

Дело в том, что в процессе решения задач при рассмотре подобных тел, у некоторых может возникает путаница с коэффициентом k. Может появиться вопрос – Чему он равен?

(в зависимости от величины указанной в условии)

Всё зависит от того, с «какой стороны» посмотреть. Важно понимать вот что! Рассмотрим на примере – дан куб, ребро второго куба в три раза больше:

В данном случае, коэффициент подобия равен трём (ребро увеличено в три раза), а значит соотношение будет выглядеть следующим образом:

То есть объём полученного (большего) куба будет в 27 раз больше.

Можно посмотреть с другой стороны.

Дан куб, ребро второго куба в три раза меньше:

Коэффициент подобия равен одной трети (уменьшение ребра в три раза), а значит соотношение будет выглядеть:

То есть объём полученного куба будет в 27 раз меньше.

Заключение! Неважны индексы при обозначении объёмов, важно понимать как тела рассматриваются относительно друг друга.

Понятно, что:

— если исходное тело увеличивается, то коэффициент будет больше единицы.

— если исходное тело уменьшается, то коэффициент будет меньше единицы.

Про отношения объёмов можно сказать следующее:

— если в задаче будем делить объём большего тела на меньший, то получим куб коэффициента подобия, при чём сам коэффициент получится больше единицы.

— если будем делить объём меньшего тела на больший, то получим куб коэффициента подобия, при чём сам коэффициент получится меньше единицы.

Самое главное это запомнить – что когда речь идёт об ОБЪЁМАХ подобных тел, то коэффициент подобия имеет ТРЕТЬЮ степень, а не вторую, как в случае с площадями.

Ещё один момент касающийся .

В условии присутствует такое понятие как образующая конуса. Это отрезок соединяющий вершину конуса с точками окружности основания (на рисунке обозначен буквой L).

Здесь стоит отметить, что разбирать задачи мы будем только с прямым конусом (далее просто конус). Образующие у прямого конуса равны

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.