Про разные скорости движения партнеров и отношения на длительной дистанции. Видеоурок «Формула одновременного движения Скорость совместного движения

§ 1 Формула одновременного движения

С формулами одновременного движения мы сталкиваемся при решении задач на одновременное движение. Умение решать ту или иную задачу на движение зависит от некоторых факторов. Прежде всего, необходимо различать основные типы задач.

Задачи на одновременное движение условно делятся на 4 типа: задачи на встречное движение, задачи на движение в противоположных направлениях, задачи на движение вдогонку и задачи на движение с отставанием.

Основными компонентами этих типов задач являются:

пройденный путь - S, скорость - ʋ, время - t.

Зависимость между ними выражается формулами:

S = ʋ · t, ʋ = S: t, t = S: ʋ.

Помимо названных основных компонентов при решении задач на движение мы можем столкнуться с такими компонентами, как: скорость первого объекта - ʋ1, скорость второго объекта - ʋ2, скорость сближения - ʋсбл., скорость удаления - ʋуд., время встречи - tвстр., первоначальное расстояние - S0 и т.д.

§ 2 Задачи на встречное движение

При решении задач данного типа применяются следующие компоненты: скорость первого объекта - ʋ1; скорость второго объекта - ʋ2; скорость сближения - ʋсбл.; время до встречи - tвстр.; путь (расстояние), пройденный первым объектом - S1; путь (расстояние), пройденный вторым объектом - S2; весь путь, пройденный обоими объектами - S.

Зависимость между компонентами задач на встречное движение выражается следующими формулами:

1.первоначальное расстояние между объектами можно вычислить по следующим формулам: S = ʋсбл. · tвстр. или S = S1 + S2;

2.скорость сближения находится по формулам: ʋсбл. = S: tвстр. или ʋсбл. = ʋ1 + ʋ2;

3.время встречи вычисляется следующим образом:

Два теплохода плывут навстречу друг другу. Скорости теплоходов 35 км/ч и 28 км/ч. Через какое время они встретятся, если расстояние между ними 315 км?

ʋ1 = 35 км/ч, ʋ2 = 28 км/ч, S = 315 км, tвстр. = ? ч.

Чтобы найти время встречи, необходимо знать первоначальное расстояние и скорость сближения, так как tвстр. = S: ʋсбл. Поскольку расстояние известно по условию задачи, найдем скорость сближения. ʋсбл. = ʋ1 + ʋ2 = 35 + 28 = 63 км/ч. Теперь можем найти и искомое время встречи. tвстр. = S: ʋсбл = 315: 63 = 5 ч. Получили, что теплоходы встретятся через 5 часов.

§ 3 Задачи на движение вдогонку

При решении задач данного типа применяются следующие компоненты: скорость первого объекта - ʋ1; скорость второго объекта - ʋ2; скорость сближения - ʋсбл.; время до встречи - tвстр.; путь (расстояние), пройденный первым объектом - S1; путь (расстояние), пройденный вторым объектом - S2; первоначальное расстояние между объектами - S.

Схема к задачам такого типа выглядит следующим образом:

Зависимость между компонентами задач на движение вдогонку выражается следующими формулами:

1.Первоначальное расстояние между объектами можно вычислить по следующим формулам:

S = ʋсбл. · tвстр.илиS = S1 - S2;

2.скорость сближения находится по формулам: ʋсбл. = S: tвстр. или ʋсбл. = ʋ1 - ʋ2;

3.Время встречи вычисляется следующим образом:

tвстр. = S: ʋсбл., tвстр. = S1: ʋ1 или tвстр. = S2: ʋ2.

Рассмотрим применение данных формул на примере следующей задачи.

Тигр погнался за оленем и догнал его через 7 минут. Каково первоначальное расстояние между ними, если скорость тигра равна 700 м/мин, а скорость оленя - 620 м/мин?

ʋ1 = 700 м/мин, ʋ2 = 620 м/мин, S = ? м, tвстр. = 7 мин.

Чтобы найти первоначальное расстояние между тигром и оленем, необходимо знать время встречи и скорость сближения, так как S =tвстр. · ʋсбл. Поскольку время встречи известно по условию задачи, найдем скорость сближения. ʋсбл. = ʋ1 - ʋ2 = 700 - 620 = 80 м/мин. Теперь можем найти и искомое первоначальное расстояние. S =tвстр. · ʋсбл = 7 · 80 = 560 м. Получили, что первоначальное расстояние между тигром и оленем составляло 560 метров.

§ 4 Задачи на движение в противоположных направлениях

При решении задач данного типа применяются следующие компоненты: скорость первого объекта - ʋ1; скорость второго объекта - ʋ2; скорость удаления - ʋуд.; время в пути - t.; путь (расстояние), пройденный первым объектом - S1; путь (расстояние), пройденный вторым объектом - S2; первоначальное расстояние между объектами - S0; расстояние, которое будет между объектами через определенное время - S.

Схема к задачам такого типа выглядит следующим образом:

Зависимость между компонентами задач на движение в противоположных направлениях выражается следующими формулами:

1.Конечное расстояние между объектами можно вычислить по следующим формулам:

S = S0 + ʋуд.· tили S = S1 + S2 + S0; а первоначальное расстояние - по формуле: S0 = S - ʋуд. · t.

2.Скорость удаления находится по формулам:

ʋуд. = (S1 + S2) : t илиʋуд. = ʋ1 + ʋ2;

3.Время в пути вычисляется следующим образом:

t = (S1 + S2) : ʋуд., t = S1: ʋ1или t = S2: ʋ2.

Рассмотрим применение данных формул на примере следующей задачи.

Два автомобиля выехали из автопарков одновременно в противоположных направлениях. Скорость одного - 70 км/час, другого - 50 км/час. Какое расстояние будет между ними через 4 часа, если расстояние между автопарками составляет 45 км?

ʋ1 = 70 км/ч, ʋ2 = 50 км/ч, S0 = 45 км, S = ? км, t = 4 ч.

Чтобы найти расстояние между автомобилями в конце пути, необходимо знать время в пути, первоначальное расстояние и скорость удаления, так как S = ʋуд. · t+ S0Поскольку время и первоначальное расстояние известны по условию задачи, найдем скорость удаления. ʋуд. = ʋ1 + ʋ2 = 70 + 50 = 120 км/ч. Теперь можем найти и искомое расстояние. S = ʋуд. · t+ S0 = 120 · 4 + 45 = 525 км. Получили, что через 4 часа между автомобилями будет расстояние в 525 км

§ 5 Задачи на движение с отставанием

При решении задач данного типа применяются следующие компоненты: скорость первого объекта - ʋ1; скорость второго объекта - ʋ2; скорость удаления - ʋуд.; время в пути - t.; первоначальное расстояние между объектами - S0; расстояние, которое станет между объектами через определенное количество времени - S.

Схема к задачам такого типа выглядит следующим образом:

Зависимость между компонентами задач на движение с отставанием выражается следующими формулами:

1.Первоначальное расстояние между объектами можно вычислить по следующей формуле: S0 = S - ʋуд.· t; а расстояние, которое станет между объектами через определенное время, - по формуле: S = S0 + ʋуд. · t;

2.Скорость удаления находится по формулам: ʋуд.= (S - S0) : t или ʋуд. = ʋ1 - ʋ2;

3.Время вычисляется следующим образом: t = (S - S0) : ʋуд.

Рассмотрим применение данных формул на примере следующей задачи:

Из двух городов в одном направлении выехали две машины. Скорость первой - 80 км/ч, скорость второй - 60 км/ч. Через сколько часов между машинами будет 700 км, если расстояние между городами 560 км?

ʋ1 = 80 км/ч, ʋ2 = 60 км/ч, S = 700 км, S0 = 560 км, t = ? ч.

Чтобы найти время, необходимо знать первоначальное расстояние между объектами, расстояние в конце пути и скорость удаления, так как t = (S - S0) : ʋуд. Поскольку оба расстояния известны по условию задачи, найдем скорость удаления. ʋуд. = ʋ1 - ʋ2 = 80 - 60 = 20 км/ч. Теперь можем найти и искомое время. t = (S - S0) : ʋуд = (700 - 560) : 20 = 7ч. Получили, что через 7 часов между машинами будет 700 км.

§ 6 Краткие итоги по теме урока

При одновременном встречном движении и движении вдогонку расстояние между двумя движущимися объектами уменьшается (до встречи). За единицу времени оно уменьшается на ʋсбл., а за все время движения до встречи оно уменьшится на первоначальное расстояние S. Значит, в обоих случаях первоначальное расстояние равно скорости сближения, умноженной на время движения до встречи: S = ʋсбл. · tвстр.. Разница лишь в том, что при встречном движении ʋсбл. = ʋ1 + ʋ2, а при движении вдогонку ʋсбл. = ʋ1 - ʋ2.

При движении в противоположных направлениях и с отставанием расстояние между объектами увеличивается, поэтому встреча не произойдет. За единицу времени оно увеличивается на ʋуд., а за все время движения оно увеличится на значение произведения ʋуд.· t. Значит, в обоих случаях расстояние между объектами в конце пути равно сумме первоначального расстояния и произведения ʋуд.· t. S = S0 + ʋуд.· t.Разница лишь в том, что при противоположном движении ʋуд. = ʋ1 + ʋ2, а при движении с отставанием ʋуд. = ʋ1 - ʋ2.

Список использованной литературы:

1. Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Часть 2. / Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2014. – 96 с.: ил.
2. Математика. 4 класс. Методические рекомендации к учебнику математики «Учусь учиться» для 4 класса / Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2014. – 280 с.: ил.
3. Зак С.М. Все задания к учебнику математики для 4 класса Л.Г. Петерсон и комплекту самостоятельных и контрольных работ. ФГОС. – М.: ЮНВЕС, 2014.
4. CD-ROM. Математика. 4 класс. Сценарии уроков к учебнику к 2 части Петерсон Л.Г. – М.: Ювента, 2013.

Использованные изображения:

Задачи на движении в одном направлении относятся к одному из трех основных видов задач на движение.

Сейчас мы будем говорить о задачах, в которых объекты имеют разные скорости.

При движении в одном направлении объекты могут как сближаться, так и удаляться.

Здесь рассмотрим задачи на движение в одном направлении, в которых оба объекта выезжают из одного пункта. В следующий раз речь пойдет о движении вдогонку, когда объекты движутся в одном направлении из разных пунктов.

Если два объекта выехали из одного пункта одновременно , то, поскольку они имеют разные скорости, объекты удаляются друг от друга.

Чтобы найти скорость удаления, надо из большей скорости вычесть меньшую:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Если из одного пункта выехал один объект, а спустя некоторое время в том же направлении вслед за ним выехал другой объект, то они могут как сближаться, так и удаляться друг от друга.

Если скорость объекта, движущегося впереди, меньше движущегося вслед за ним объекта, то второй догоняет первого и они сближаются.

Чтобы найти скорость сближения, надо из большей скорости вычесть меньшую:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Если скорость объекта, который идет впереди, больше скорости объекта, который движется следом, то второй не сможет догнать первого и они удаляются друг от друга.

Скорость удаления находим аналогично — из большей скорости вычитаем меньшую:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Скорость, время и расстояние связаны между собой :

Задача 1.

Из одного села в одном направлении одновременно выехали два велосипедиста. Скорость одного из них — 15 км/ч, скорость другого — 12 км/ч. Какое расстояние будет через ними через 4 часа?

Решение:

Условие задачи удобнее всего записать в виде таблицы:

1) 15-12=3 (км/ч) скорость удаления велосипедистов

2) 3∙4=12 (км) такое расстояние будет между велосипедистами через 4 часа.

Ответ: 12 км.

Из пункта А в пункт В выехал автобус. Через 2 часа вслед за ним выехал автомобиль. На каком расстоянии от пункта А автомобиль догонит автобус, если скорость автомобиля равна 80 км/ч, а скорость автобуса — 40 км/ч?

1) 80-40=40 (км/ч) скорость сближения автомобиля и автобуса

2) 40∙2=80 (км) на таком расстоянии от пункта А находится автобус, когда автомобиль выезжает из А

3) 80:40=2 (ч) время, через которое автомобиль догонит автобус

4) 80∙2=160 (км) расстояние, которое пройдёт автомобиль от пункта А

Ответ: на расстоянии 160 км.

Задача 3

Из села на станцию одновременно вышел пешеход и выехал велосипедист. Через 2 часа велосипедист опережал пешехода на 12 км. Найти скорость пешехода, если скорость велосипедиста 10 км/ч.

Решение:

1) 12:2=6 (км/ч) скорость удаления велосипедиста и пешехода

2) 10-6=4 (км/ч) скорость пешехода.

Ответ: 4 км/ч.

Основные понятия механики. Способы описания движения. Пространство и время.

Физика – наука, занимающаяся изучением фундаментальной структуры материи и основных форм ее движения.

Механика – наука об общих законах движения тел. Механическим движением называется перемещение тел в пространстве относительно друг друга с течением времени.

Законы механики были сформулированы великим английским ученым И.Ньютоном. Было выяснено, что законы Ньютона, как любые другие законы природы, не являются абсолютно точными. Они хорошо описывают движение больших тел, если их скорость мала по сравнению со скоростью света. Механика, основанная на законах Ньютона, называется классической механикой.

Механика включает в себя: статику, кинематику, динамику.

Статика – условия равновесия тел.

Кинематика – раздел механики, изучающий способы описания движений и связь между величинами, характеризующими эти движения.

Динамика – раздел механики, рассматривающий взаимные действия тел друг на друга.

Механическим движением называется изменение пространственного положения тела относительно других тел с течением времени.

Материальная точка – тело, обладающее массой, размером которого можно пренебречь в данной задаче.

Траектория – это воображаемая линия, по которой движется материальная точка.

Положение точки можно задать с помощью радиус-вектора: r = r(t) , где t – время, за которое произошло перемещение материальной точки.

Тело, относительно которого рассматривается движение, называется телом отсчета.

Например, тело находится в состоянии покоя по отношению к Земле, но движется по отношению к Солнцу.

Совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и часов называют системой отсчета.

Направленный отрезок, проведенный из начального положения точки в ее конченое положение, называется вектором перемещения или просто перемещением этой точки .

Δ r = r 2 – r 1

Движение точки называется равномерным, если она за любые равные промежутки времен проходит одинаковые пути.

Равномерное движение может быть как прямолинейным, так и криволинейным. Равномерное прямолинейное движение – самый простой вид движения.

Скоростью равномерного прямолинейного движения точки называют величину, равную отношению перемещения точки к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло. При равномерном движении скорость постоянна.

V = Δ r/ Δt

Направлена так же, как и перемещение:

Графическое представление равномерного прямолинейного движения в различных координатах:

Уравнение равномерного прямолинейного движения точки:

r = r о + Vt

При проекции на ось ОХ уравнение прямолинейного движения можно записать так:

Х = Х 0 + V х t

Путь, пройденный точкой определяется по формуле: S = Vt

Криволинейное движение.

Если траектория движения материальной точки представляет собой кривую линию, то такое движение мы будем называть криволинейным.

При таком движении изменяется как по величине, так и по направлению. Следовательно, при криволинейном движении .

Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной траектории (рис. 2.11). Вектор скорости движения в любой точке траектории направлен по касательной к ней. Пусть в точке M 0 скорость , а в точке М – . При этом считаем, что промежуток времени Dt при переходе из точки М 0 в точку М настолько мал, что изменением ускорения по величине и направлению можно пренебречь.

Вектор изменения скорости . (В данном случае разность 2 х векторов и будет равна ). Разложим вектор , который характеризует изменение скорости как по величине, так и по направлению на две составляющие и . Составляющая , которая является касательной к траектории в точке М 0 ,характеризует изменение скорости по величине за время Dt, в течение которого была пройдена дуга М 0 М и называется тангенциальной составляющей вектора изменения скорости (). Вектор , направленный в пределе, когда Dt ® 0, по радиусу к центру, характеризует изменение скорости по направлению и называется нормальной составляющей вектора изменения скорости ().

Таким образом, вектор изменения скорости равен сумме двух векторов .

Тогда можно записать, что

При бесконечном уменьшении Dt®0 угол Da при вершине DM 0 АС будет стремиться к нулю. Тогда вектором можно пренебречь по сравнению с вектором , а вектор

будет выражать тангенциальное ускорение и характеризовать быстроту изменения скорости движения по величине. Следовательно, тангенциальное ускорение численно равно производной от модуля скорости по времени и направлено по касательной к траектории.

Вычислим теперь вектор , называемый нормальным ускорением . При достаточно малом Dt участок криволинейной траектории можно считать частью окружности. В этом случае радиусы кривизны M 0 O и MO будут равны между собой и равны радиусу окружности R.

Повторим рисунок. ÐМ 0 ОМ = ÐМСD, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами (рис. 2. 12). При малом Dt можно считать |v 0 |=|v|, поэтому DМ 0 ОМ = DМDC подобны как равнобедренные треугольники с одинаковыми углами при вершине.

Поэтому из рис. 2.11 следует

Þ ,

но DS = v ср. ×Dt, тогда .

Переходя к пределу при Dt ® 0 и учитывая, что при этом v ср. = v находим

, т.е. (2.5)

Т.к. при Dt ® 0 угол Da ® 0, то направление этого ускорения совпадает с направлением радиуса R кривизны или с направлением нормали к скорости , т.е. вектор . Поэтому это ускорение часто называют центростремительным . Оно характеризует быстроту изменения скорости движения по направлению.

Полное ускорение определяется векторной суммой тангенциального и нормального ускорений (рис. 2.13). Т.к. вектора этих ускорений взаимно перпендикулярны , то модуль полного ускорения равен ; Направление полного ускорения определяется углом j между векторами и :

Динамические характеристики

Свойства твердого тела при его вращении описываются моментом инерции твёрдого тела. Эта характеристика входит в дифференциальные уравнения, полученные из уравнений Гамильтона или Лагранжа. Кинетическую энергию вращения можно записать в виде:

.

В этой формуле момент инерции играет роль массы, а угловая скорость - роль скорости. Момент инерции выражает геометрическое распределение массы в теле и может быть найден из формулы .

• Момент инерции механической системы относительно неподвижной оси a («осевой момент инерции») - физическая величина J a , равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

где: m i - масса i -й точки, r i - расстояние от i -й точки до оси.

Осевой момент инерции тела является Поворот - геометрическое преобразование

5) Инерциальные системы отсчета. Преобразования Галилея.

При́нцип относи́тельности - фундаментальный физический принцип, согласно которому все физические процессы в инерциальных системах отсчёта протекают одинаково, независимо от того, неподвижна ли система или она находится в состоянии равномерного и прямолинейного движения.

Отсюда следует, что все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта.

Различают принцип относительности Эйнштейна (который приведён выше) и принцип относительности Галилея, который утверждает то же самое, но не для всех законов природы, а только для законов классической механики, подразумевая применимость преобразований Галилея, оставляя открытым вопрос о применимости принципа относительности к оптике и электродинамике.

В современной литературе принцип относительности в его применении к инерциальным системам отсчета (чаще всего при отсутствии гравитации или при пренебрежении ею) обычно выступает терминологически как лоренц-ковариантность (или лоренц-инвариантность) .

Отцом принципа относительности считается Галилео Галилей, который обратил внимание на то, что находясь в замкнутой физической системе, невозможно определить, покоится эта система или равномерно движется. Во времена Галилея люди имели дело в основном с чисто механическими явлениями. В своей книге «Диалоги о двух системах мира» Галилей сформулировал принцип относительности следующим образом:

Для предметов, захваченных равномерным движением, это последнее как бы не существует и проявляет своё действие только на вещах, не принимающих в нём участия.

Идеи Галилея нашли развитие в механике Ньютона. Однако с развитием электродинамики оказалось, что законы электромагнетизма и законы механики (в частности, механическая формулировка принципа относительности) плохо согласуются друг с другом, так как уравнения механики в известном тогда виде не менялись после преобразований Галилея, а уравнения Максвелла при применении этих преобразований к ним самим или к их решениям - меняли свой вид и, главное, давали другие предсказания (например, измененную скорость света) . Эти противоречия привели к открытию преобразований Лоренца, которые делали применимым принцип относительности к электродинамике (сохраняя инвариантной скорость света) , и к постулированию их примененимости также к механике, что затем было использовано для исправления механики с их учетом, что выразилось, в частности, в созданной Эйнштейном Специальной теории относительности. После этого обобщённый принцип относительности (подразумевающий применимость и к механике, и к электродинамике, а также к возможным новым теориям, подразумевающий также преобразования Лоренца для перехода между инерциальными системами отсчета) стал называться «принципом относительности Эйнштейна» , а его механическая формулировка - «принципом относительности Галилея» .

Виды сил в механике.

1) Силы тяготения (гравитационные силы )

В системе отсчета, связанной с Землей, на тело массой действует сила ,

называемая силой тяжести – сила, с которой тело притягивается Землей. Под действием этой силы все тела падают на Землю с одинаковым ускорением , называемым ускорением свободного падения.

Весом тела называется сила, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору или подвес.

Сила тяжести действует всегда , а вес проявляется лишь тогда, когда на тело кроме силы тяжести действуют еще другие силы. Сила тяжести равна весу тела только в том случае, когда ускорение тела относительно земли равно нуля. В противном случае , где - ускорение тела с опорой относительно Земли. Если тело свободно движется в поле силы тяготения, то и вес тела равен нулю, т.е. тело будет невесомым.

2) Сила трения скольжения возникает при скольжении данного тела по поверхности другого: ,

где - коэффициент трения скольжения, зависящий от природы и состояния трущихся поверхностей; - сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу. Сила трения направлена по касательной к трущимся поверхностям в сторону, противоположную движению данного тела относительно другого.

3) Сила упругости возникает в результате взаимодействия тел, сопровождающегося их деформацией. Она пропорциональна смещению частиц из положения равновесия и направлена к равновесному положению. Примером является сила упругой деформации пружины при растяжении или сжатии: ,

где - жесткость пружины; - упругая деформация.

Мощность. КПд

Любая машина, которая используется для выполнения работы, характеризуется особой величиной, которая называется мощностью.

Мощность - это физическая величина, равная отношению работы ко времени, за который эта работа была выполнена. Мощность обозначается буквой N и в Системе Интернациональной измеряется в ваттах, в честь английского ученого 18-19 века Джеймса Уатта. Если мощность известна, то работу, которая выполняется за единицу времени, можно найти как произведение мощности на время. Поэтому за единицу работы можно взять работу, которая выполняется за 1 секунду при мощности 1 ватт. Такая единица работы называется ватт-секундой (Вт с).

Если тело движется равномерно, то его мощность можно рассчитать как произведение силы тяги и скорости движения.

В реальных условиях часть механической энергии всегда теряется, поскольку идет на увеличение внутренней энергии двигателя и других частей машины. Для того чтобы характеризовать эффективность двигателей и устройств, пользуются коэффициентом полезного действия.

Коэффициент полезного действия (КПД) - это физическая величина, равная отношению полезной работы к полной работы. КПД обозначается буквой η и измеряется в процентах. Полезная работа всегда меньше полной. КПД всегда меньше 100%.

Формулировка

Кинетическая энергия механической системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс:

где - полная кинетическая энергия системы, - кинетическая энергия движения центра масс, - относительная кинетическая энергия системы .

Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы в её сферическом движении относительно центра масс.

Вывод

Приведём доказательство теоремы Кёнига для случая, когда массы тел, образующих механическую систему , распределены непрерывно .

Найдём относительную кинетическую энергию системы , трактуя её как кинетическую энергию, вычисленную относительно подвижной системы координат. Пусть - радиус-вектор рассматриваемой точки системы в подвижной системе координат. Тогда :

где точкой обозначено скалярное произведение, а интегрирование ведётся по области пространства, занимаемой системой в текущий момент времени.

Если - радиус-вектор начала координат подвижной системы, а - радиус-вектор рассматриваемой точки системы в исходной системе координат, то верно соотношение:

Вычислим полную кинетическую энергию системы в случае, когда начало координат подвижной системы помещено в её центр масс. С учётом предыдущего соотношения имеем:

Учитывая, что радиус-вектор одинаков для всех , можно, раскрыв скобки, вынести за знак интеграла:

Первое слагаемое в правой части этой формулы (совпадающее с кинетической энергией материальной точки, которая помещена в начало координат подвижной системы и имеет массу, равную массе механической системы) может интерпретироваться как кинетическая энергия движения центра масс.

Второе слагаемое равно нулю, поскольку второй сомножитель в нём получается дифференцированием по времени произведения радиус-вектора центра масс на массу системы , но упомянутый радиус-вектор (а с ним и всё произведение) равен нулю:

так как начало координат подвижной системы находится (по сделанному предположению) в центре масс.

Третье же слагаемое, как было уже показано, равно , т. е. относительной кинетической энергии системы .

инетическую энергию материальной точки массой m, движущейся с абсолютной скоростью , определяют по формуле

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех точек этой системы

Потенциальная инергия

Потенциальная энергия - скалярная физическая величина, представляющая собой часть полной механической энергии системы, находящейся в поле консервативных сил. Зависит от положения материальных точек, составляющих систему, и характеризует работу, совершаемую полем при их перемещении . Другое определение: потенциальная энергия - это функция координат, являющаяся слагаемым в лагранжиане системы, и описывающая взаимодействие элементов системы . Термин «потенциальная энергия» был введен в XIX веке шотландским инженером и физиком Уильямом Ренкином.

Единицей измерения энергии в Международной системе единиц (СИ) является джоуль.

Потенциальная энергия принимается равной нулю для некоторой конфигурации тел в пространстве, выбор которой определяется удобством дальнейших вычислений. Процесс выбора данной конфигурации называется нормировкой потенциальной энергии .

Корректное определение потенциальной энергии может быть дано только в поле сил, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, но не от траектории его перемещения. Такие силы называются консервативными (потенциальными).

Также потенциальная энергия является характеристикой взаимодействия нескольких тел или тела и поля.

Любая физическая система стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией.

Потенциальная энергия упругой деформации характеризует взаимодействие между собой частей тела.

Потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли вблизи поверхности приближённо выражается формулой:

где - масса тела, - ускорение свободного падения, - высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем.

Столкновение двух тел

Закон сохранения энергии позволяет решать механические задачи в тех случаях, когда почему-либо неизвестны действующие на тело хилы. Интересным примером именно такого случая является столкновение двух тел. Этот пример особенно интересен тем, что при его анализе нельзя обойтись одним только законом сохранения энергии. Нужно привлечь еще и закон сохранения импульса (количества движения).
В обыденной жизни и в технике не так уж часто приходится иметь дело со столкновениями тел, но в физике атома и атомных частиц столкновения - очень частое явление.
Для простоты мы сначала рассмотрим столкновение двух шаров массами m 1 и m 2 , из которых второй покоится, а первый движется по направлению ко второму со скоростью v 1 . Будем считать, что движение происходит вдоль линии, соединяющей центры обоих шаров (рис. 205), так что при столкновении шаров имеет место так называемый центральный, или лобовой, удар. Каковы скорости обоих шаров после столкновения?
До столкновения кинетическая энергия второго шара равна нулю, а первого Сумма энергий обоих шаров составляет:

После столкновения первый шар станет двигаться с некоторой скоростью u 1 . Второй шар, скорость которого была равна нулю, также получит какую-то скорость u 2 . Поэтому после столкновения сумма кинетических энергий двух шаров станет равной

По закону сохранения энергии эта сумма должна быть равна энергии шаров до столкновения:

Из этого одного уравнения мы, конечно, не можем найти две неизвестные скорости: u 1 и u 2 . Вот тут-то на помощь и приходит второй закон сохранения - закон сохранения импульса. До столкновения шаров импульс первого шара был равен m 1 v 1 , а импульс второго - нулю. Полный импульс двух шаров был равен:

После столкновения импульсы обоих шаров изменились и стали равными m 1 u 1 и m 2 u 2 , а полный импульс стал

По закону сохранения импульса полный импульс при столкновении измениться не может. Поэтому мы должны написать:

Теперь мы имеем два уравнения:

Такую систему уравнений можно решить и найти неизвестные скорости u 1 и u 2 шаров после столкновения. Для этого перепишем ее следующим образом:

Разделив первое уравнение на второе, получим:

Решая теперь это уравнение совместно со вторым уравнением

(проделайте это самостоятельно), найдем, что первый шар после удара будет двигаться со скоростью

А второй - со скоростью

Если оба шара имеют одинаковые массы (m 1 = m 2), то u 1 = 0, а u 2 = v 1 . Это значит, что первый шар, столкнувшись со вторым, передал ему свою скорость, а сам остановился (рис. 206).
Таким образом, пользуясь законами сохранения энергии и импульса, можно, зная скорости тел до столкновения, определить их скорости после столкновения.
А как обстояло дело во время самого столкновения в тот момент, когда центры шаров максимально сблизились?
Очевидно, что в это время они двигались вместе с некоторой скоростью u. При одинаковых массах тел их общая масса равна 2m. По закону сохранения импульса во время совместного движения обоих шаров их импульс должен быть равен общему импульсу до столкновения:

Отсюда следует, что

Таким образом, скорость обоих шаров при их совместном движении равна половине скорости одного из них до столкновения. Найдем кинетическую энергию обоих шаров для этого момента:

А до столкновения общая энергия обоих шаров была равна

Следовательно, в самый момент столкновения шаров кинетическая энергия уменьшилась вдвое. Куда же пропала половина кинетической энергии? Не происходит ли здесь нарушения закона сохранения энергии?
Энергия, конечно, и во время совместного движения шаров осталась прежней. Дело в том, что во время столкновения оба шара были деформированы и поэтому обладали потенциальной энергией упругого взаимодействия. Именно на величину этой потенциальной энергии и уменьшилась кинетическая энергия шаров.

Момент силы.

Основы СТО.

Специальная теория относительности (СТО ; также частная теория относительности ) - теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света. В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей. Обобщение СТО для гравитационных полей называется общей теорией относительности.

Описываемые специальной теорией относительности отклонения в протекании физических процессов от предсказаний классической механики называют релятивистскими эффектами , а скорости, при которых такие эффекты становятся существенными, - релятивистскими скоростями . Основным отличием СТО от классической механики является зависимость (наблюдаемых) пространственных и временных характеристик от скорости.

Центральное место в специальной теории относительности занимают преобразования Лоренца, которые позволяют преобразовывать пространственно-временные координаты событий при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Специальная теория относительности была создана Альбертом Эйнштейном в работе 1905 года «К электродинамике движущихся тел». Несколько ранее к аналогичным выводам пришел А. Пуанкаре, который впервые назвал преобразования координат и времени между различными системами отсчёта «преобразования Лоренца».

Постулаты СТО

В первую очередь в СТО, как и в классической механике, предполагается, что пространство и время однородны, а пространство также изотропно. Если быть более точным (современный подход) инерциальные системы отсчета собственно и определяются как такие системы отсчета, в которых пространство однородно и изотропно, а время однородно. По сути существование таких систем отсчета постулируется.

Постулат 1 (принцип относительности Эйнштейна ). Любое физическое явление протекает одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Это означает, что форма зависимости физических законов от пространственно-временных координат должна быть одинаковой во всех ИСО, то есть законы инвариантны относительно переходов между ИСО. Принцип относительности устанавливает равноправие всех ИСО.

Учитывая второй закон Ньютона (или уравнения Эйлера-Лагранжа в лагранжевой механике), можно утверждать, что если скорость некоторого тела в данной ИСО постоянна (ускорение равно нулю), то она должна быть постоянна и во всех остальных ИСО. Иногда это и принимают за определение ИСО.

Формально, принцип относительности Эйнштейна распространил классический принцип относительности (Галилея) с механических на все физические явления. Однако, если учесть, что во времена Галилея физика заключалась собственно в механике, то и классический принцип тоже можно считать распространяющимся на все физические явления. В том числе он должен распространяться и на электромагнитные явления, описываемые уравнениями Максвелла. Однако, согласно последним (и это можно считать эмпирически установленным, так как уравнения выведены из эмпирически выявленных закономерностей), скорость распространения света является определённой величиной, не зависящей от скорости источника (по крайней мере в одной системе отсчёта). Принцип относительности в таком случае говорит, что она не должна зависеть от скорости источника во всех ИСО в силу их равноправности. А значит, она должна быть постоянной во всех ИСО. В этом заключается суть второго постулата:

Постулат 2 (принцип постоянства скорости света ). Скорость света в «покоящейся» системе отсчёта не зависит от скорости источника.

Принцип постоянства скорости света противоречит классической механике, а конкретно - закону сложения скоростей. При выводе последнего используется только принцип относительности Галилея и неявное допущение одинаковости времени во всех ИСО. Таким образом, из справедливости второго постулата следует, что время должно быть относительным - неодинаковым в разных ИСО. Необходимым образом отсюда следует и то, что «расстояния» также должны быть относительны. В самом деле, если свет проходит расстояние между двумя точками за некоторое время, а в другой системе - за другое время и притом с той же скоростью, то отсюда непосредственно следует, что и расстояние в этой системе должно отличаться.

Необходимо отметить, что световые сигналы, вообще говоря, не требуются при обосновании СТО. Хотя неинвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Галилея привела к построению СТО, последняя имеет более общий характер и применима ко всем видам взаимодействий и физических процессов. Фундаментальная константа , возникающая в преобразованиях Лоренца, имеет смысл предельной скорости движения материальных тел. Численно она совпадает со скоростью света, однако этот факт, согласно современной квантовой теории поля (уравнения которой изначально строятся как релятивистски инвариантные) связан с безмассовостью электромагнитных полей. Даже если бы фотон имел отличную от нуля массу, преобразования Лоренца от этого бы не изменились. Поэтому имеет смысл различать фундаментальную скорость и скорость света . Первая константа отражает общие свойства пространства и времени, тогда как вторая связана со свойствами конкретного взаимодействия.

В связи с этим второй постулат следует формулировать как существование предельной (максимальной) скорости движения . По своей сути она должна быть одинаковой во всех ИСО, хотя бы потому, что в противном случае различные ИСО не будут равноправны, что противоречит принципу относительности. Более того, исходя из принципа «минимальности» аксиом, можно сформулировать второй постулат просто как существование некоторой скорости, одинаковой во всех ИСО - фактор Лоренца, . В целях упрощения дальнейшего изложения (а также самих конечных формул преобразования) будем исходить из предп

2.СКОРОСТЬ ТЕЛА.ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ.

Скорость – это количественная характеристика движения тела.

Средняя скорость – это физическая величина, равная отношению вектора перемещения точки к промежутку времени Δt, за который произошло это перемещение. Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения . Средняя скорость определяется по формуле:

Мгновенная скорость , то есть скорость в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Иными словами, мгновенная скорость в данный момент времени – это отношение очень малого перемещения к очень малому промежутку времени, за который это перемещение произошло.

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории движения тела (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Вектор мгновенной скорости.

В системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду, то есть единицей скорости принято считать скорость такого равномерного прямолинейного движения, при котором за одну секунду тело проходит путь в один метр. Единица измерения скорости обозначается м/с . Часто скорость измеряют в других единицах. Например, при измерении скорости автомобиля, поезда и т.п. обычно используется единица измерения километр в час:

1 км/ч = 1000 м / 3600 с = 1 м / 3,6 с

1 м/с = 3600 км / 1000 ч = 3,6 км/ч

Сложение скоростей(возможно не обязательно тот же вопрос будет и в 5).

Скорости движения тела в различных системах отсчёта связывает между собой классический закон сложения скоростей .

Скорость тела относительно неподвижной системы отсчёта равна сумме скоростей тела в подвижной системе отсчёта и самой подвижной системы отсчёта относительно неподвижной.

Например, пассажирский поезд движется по железной дороге со скоростью 60 км/ч. По вагону этого поезда идет человек со скоростью 5 км/ч. Если считать железную дорогу неподвижной и принять её за систему отсчёта, то скорость человека относительно системы отсчёта (то есть относительно железной дороги), будет равна сложению скоростей поезда и человека, то есть

60 + 5 = 65, если человек идёт в том же направлении, что и поезд

60 – 5 = 55, если человек и поезд движутся в разных направлениях

Однако это справедливо только в том случае, если человек и поезд движутся по одной линии. Если же человек будет двигаться под углом, то придётся учитывать этот угол, вспомнив о том, что скорость – это векторная величина .

Красным выделен пример + Закон сложения перемещения (думаю это не надо учить, но для общего развития можно и прочитать)

А теперь рассмотрим описанный выше пример более подробно – с деталями и картинками.

Итак, в нашем случае железная дорога – это неподвижная система отсчёта . Поезд, который движется по этой дороге – это подвижная система отсчёта . Вагон, по которому идёт человек, является частью поезда.

Скорость человека относительно вагона (относительно подвижной системы отсчёта) равна 5 км/ч. Обозначим её буквой Ч.

Скорость поезда (а значит и вагона) относительно неподвижной системы отсчёта (то есть относительно железной дороги) равна 60 км/ч. Обозначим её буквой В. Иначе говоря, скорость поезда – это скорость подвижной системы отсчёта относительно неподвижной системы отсчёта.

Скорость человека относительно железной дороги (относительно неподвижной системы отсчёта) нам пока неизвестна. Обозначим её буквой .

Свяжем с неподвижной системой отсчёта (рис. 1.7) систему координат ХОY, а с подвижной системой отсчёта – систему координат X П О П Y П. А теперь попробуем найти скорость человека относительно неподвижной системы отсчёта, то есть относительно железной дороги.

За малый промежуток времени Δt происходят следующие события:

Тогда за этот промежуток времени перемещение человека относительно железной дороги:

Это закон сложения перемещений . В нашем примере перемещение человека относительно железной дороги равно сумме перемещений человека относительно вагона и вагона относительно железной дороги.

Рис. 1.7. Закон сложения перемещений.

Закон сложения перемещений можно записать так:

= Δ Ч Δt + Δ B Δt

Скорость человека относительно железной дороги равна:

Скорость человека относительно вагона:

Δ Ч = Ч / Δt

Скорость вагона относительно железной дороги:

Поэтому скорость человека относительно железной дороги будет равна:

Это закон сложения скоростей :

Равномерное движение – это движение с постоянной скоростью, то есть когда скорость не изменяется (v = const) и ускорения или замедления не происходит (а = 0).

Прямолинейное движение – это движение по прямой линии, то есть траектория прямолинейного движения – это прямая линия.

Равномерное прямолинейное движение – это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Например, если мы разобьём какой-то временной интервал на отрезки по одной секунде, то при равномерном движении тело будет перемещаться на одинаковое расстояние за каждый из этих отрезков времени.

Скорость равномерного прямолинейного движения не зависит от времени и в каждой точке траектории направлена также, как и перемещение тела. То есть вектор перемещения совпадает по направлению с вектором скорости. При этом средняя скорость за любой промежуток времени равна мгновенной скорости:

Скорость равномерного прямолинейного движения – это физическая векторная величина, равная отношению перемещения тела за любой промежуток времени к значению этого промежутка t:

Таким образом, скорость равномерного прямолинейного движения показывает, какое перемещение совершает материальная точка за единицу времени.

Перемещение при равномерном прямолинейном движении определяется формулой:

Пройденный путь при прямолинейном движении равен модулю перемещения. Если положительное направление оси ОХ совпадает с направлением движения, то проекция скорости на ось ОХ равна величине скорости и положительна:

v x = v, то есть v > 0

Проекция перемещения на ось ОХ равна:

s = vt = x – x 0

где x 0 – начальная координата тела, х – конечная координата тела (или координата тела в любой момент времени)

Уравнение движения , то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t), принимает вид:

Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v < 0), и тогда уравнение движения принимает вид.

В предыдущих задачах на движение в одном направлении движение тел начиналось одновременно из одного и того же пункта. Рассмотрим решение задач на движение в одном направлении, когда движение тел начинается одновременно, но из разных пунктов.

Пусть из пунктов А и В, расстояние между которыми 21 км, выходят одновременно велосипедист и пешеход и идут в одном направлении: пешеход со скоростью 5 км в час, велосипедист 12 км в час

12 км в час 5 км в час

А В

Расстояние между велосипедистом и пешеходом в момент начала их движения 21 км. За час их совместного движения в одном направлении расстояние между ними уменьшится на 12-5=7 (км). 7 км в час – скорость сближения велосипедиста и пешехода:

А В

Зная скорость сближения велосипедиста и пешехода, нетрудно узнать, на сколько километров уменьшится расстояние между ними через 2 ч, 3 ч их движения в одном направлении.

7*2=14 (км) – на 14 км уменьшится расстояние между велосипедистом и пешеходом через 2 ч;

7*3=21 (км) – на 21 км уменьшится расстояние между велосипедистом и пешеходом через 3 ч.

С каждым часом расстояние между велосипедистом и пешеходом уменьшается. Через 3 ч расстояние между ними становится равным 21-21=0, т.е. велосипедист догонит пешехода:

А В

В задачах “на догонку” имеем дело с величинами:

1) расстояние между пунктами, из которых начинается одновременное движение;

2) скорость сближения

3) время с момента начала движения до момента, когда одно из движущихся тел догонит другое.

Зная значение двух из этих трех величин, можно найти значение третьей величины.

В таблице записаны условия и решения задач, которые можно составить на “на догонку” велосипедистом пешехода:

Выразим зависимость между этими величинами формулой. Обозначим черезрасстояние между пунктамии,- скорость сближения,время с момента выхода до момента, когда одно тело догонит другое.

В задачах “на догонку” чаще всего скорость сближения не дается, но ее легко можно найти по данным задачи.

Задача. Велосипедист и пешеход вышли одновременно в одном направлении из двух колхозов, расстояние между которыми 24 км. Велосипедист ехал со скоростью 11 км в час, а пешеход шел со скоростью 5 км в час. Через сколько часов после своего выхода велосипедист догонит пешехода?

Чтобы найти, через сколько времени после своего выхода велосипедист догонит пешехода, нужно расстояние, которое было между ними в начале движения, разделить на скорость сближения; скорость сближения равна разности скоростей велосипедиста и пешехода.

Формула решения: =24: (11-5);=4.

Ответ. Через 4 ч велосипедист догонит пешехода. Условия и решения обратных задач записаны в таблице:

Каждая из этих задач может быть решена и другими способами, но они будут по сравнению с данными решениями нерациональными.