Уравнение касательной к графику функции. Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
Поэтому возникает естественное желание свести уравнение порядка выше первого к уравнению более низкого порядка. В некоторых случаях это удаётся сделать. Рассмотрим их.
1. Уравнения вида y (n) =f(x) решаются последовательным интегрированием n раз
, 
,… .
Пример
. Решить уравнение xy""=1 . Можем записать , следовательно, y"=ln|x| + C 1 и, интегрируя ещё раз, окончательно получаем y=∫ln|x| + C 1 x + C 2
2. В уравнениях вида F(x,y (k) ,y (k +1) ,..,y (n))=0 (то есть не содержащих в явном виде неизвестной функции и некоторых её производных) порядок понижается с помощью замены переменной y (k) = z(x). Тогда y (k +1) =z"(x),…,y (n) = z (n - k) (x) и мы получаем уравнение F(x,z,z",..,z (n - k)) порядка n-k. Его решением является функция z = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n) или, вспоминая, что такое z, получаем уравнение y (n- k) = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n - k) рассмотренного в случае 1 типа.
Пример 1
. Решить уравнение x 2 y"" = (y") 2 . Делаем замену y"=z(x) . Тогда y""=z"(x) . Подставляя в исходное уравнение, получаем x 2 z"=z 2 . Разделяя переменные, получаем . Интегрируя, имеем 
, или, что тоже самое, . Последнее соотношение записывается в виде , откуда . Интегрируя, окончательно получаем 
Пример 2
. Решить уравнение x 3 y"" +x 2 y"=1 .Делаем замену переменных: y"=z; y""=z"
x 3 z"+x 2 z=1. Делаем замену переменных: z=u/x; z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u"x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 или u"x 2 -xu+xu=1 или u"x^2=1. Откуда: u"=1/x 2 или du/dx=1/x 2 или u = int(dx/x 2) = -1/x+c 1
Поскольку z=u/x, то z = -1/x 2 +c 1 /x. Поскольку y"=z, то dy/dx=-1/x 2 +c 1 /x
y = int(c 1 dx/x-dx/x 2) =c 1 ln(x) + 1/x + c 2 . Ответ: y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2
3. Следующим уравнением, допускающим понижение порядка, является уравнение вида F(y,y",y"",…,y (n))=0 , не содержащее в явном виде независимой переменной. Порядок уравнения понижается с помощью замены переменной y"=p(y) , где p - новая искомая функция, зависящая от y. Тогда
= и так далее. По индукции имеем y (n) =φ(p,p",..,p (n-1)). Подставляя в исходное уравнение, понижаем его порядок на единицу.
Пример
. Решить уравнение (y") 2 +2yy""=0 . Делаем стандартную замену y"=p(y) , тогда y″=p′·p . Подставляя в уравнение, получаем 
Разделяя переменные, при p≠0, имеем Интегрируя, получаем 
или, что то же самое, . Тогда
или . Интегрируя последнее равенство, окончательно получаем 
При разделении переменных мы могли потерять решение y=C, которое получается при p=0, или, что то же самое, при y"=0, но оно содержится в полученном выше.
4. Иногда удаётся подметить особенность, позволяющую понизить порядок уравнения отличными от рассмотренных выше способами. Покажем это на примерах.
Примеры
.
1. Если обе части уравнения yy"""=y′y″ разделить на yy″, то получим уравнение , которое можно переписать в виде (lny″)′=(lny)′. Из последнего соотношения следует, что lny″=lny+lnC , или, что то же самое, y″=Cy . Получилось уравнение на порядок ниже и рассмотренного ранее типа.
2. Аналогично для уравнения yy″=y′(y′+1) имеем , или (ln(y"+1))" = (lny)" . Из последнего соотношения следует, что ln(y"+1) = lny + lnC 1 , или y"=C 1 y-1. Разделяя переменные и интегрируя, получаем, ln(C 1 y-1) = C 1 x+C 2
Решить уравнения, допускающие понижение порядка
можно с помощью специального сервиса
Пусть дано уравнение f(x) = 0 . Число x называется корнем данного уравнения, если оно, будучи подставленным в уравнение, обращает его в равенство, то есть f(x) = 0 . Число x называют нулем функции f(x) .Нахождение корней уравнения с определенной точностью можно разделить на два этапа:
1) отделение корней, то есть установление промежутков, в которых содержится один корень уравнения;
2) вычисление корня, принадлежащего выбранному промежутку, с заданной точностью.
Известно, что если функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка [a, b ] значения разных знаков, то есть f(a)× f(b) < 0 , то внутри этого отрезка найдется нуль функции.
Для отделения (или локализации) корня уравнения f(x) = 0 для непрерывной в области определения функции f(x) можно составить таблицу значений функции у = f(x) на определенном промежутке изменения аргумента х . Если для некоторых соседних значений аргумента значения функции имеют разные знаки, то нуль функции находится между ними.
Пусть дано уравнение f(x) = 0
, где функция f(x)
непрерывна на отрезке [a, b
]
и f(a)× f(b) < 0
.Для вычислениякорня данного уравнения
x Î
[a, b
]
находится середина этого отрезка x 1 = 0,5(a+b)
. Если f(x 1) ¹ 0
, то для продолжения вычислений выбирается та из частей данного отрезка
[a, х 1
]
или [х 1 , b
]
, на концах которой функция f(x)
имеет противоположные знаки. Концы нового отрезка обозначаются а 1
и b 1
. Новый отрезок [a 1 , b 1
]
снова делится пополам и производятся вычисления по изложенной схеме и так далее. В результате получается либо точный корень заданного уравнения на каком-то этапе, либо последовательность вложенных отрезков [a, b
]
,
[a 1 , b 1
]
, … , [a n , b n
]
, …, таких что:
f(a n)× f(b n) < 0 , n =1, 2, …
Число x - общий предел последовательностей (а n) и (b n) – является корнем уравнения f(x) = 0 .
Оценка погрешности решения на n -ом шаге вычислений имеет вид.
Касательная - это прямая , которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.
Уравнение касательной выводится из уравнения прямой .
Выведем уравнение касательной, а затем - уравнение нормали к графику функции.
y = kx + b .
В нём k - угловой коэффициент.
Отсюда получаем следующую запись:
y - y 0 = k (x - x 0 ) .
Значение производной f "(x 0 ) функции y = f (x ) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f (x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной .
Таким образом, можем заменить k на f "(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции :
y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .
В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде . Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.
Теперь об уравнении нормали. Нормаль - это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали :
(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0
Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет "холодным душем".
Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .
Пример 1.
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции 
, если абсцисса точки
касания .
Найдём производную функции:
Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем
В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:
На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.
Следующий пример - тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг - приведение уравнения к общему виду.
Пример 2.
Решение. Найдём ординату точки касания:
Найдём производную функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
Подставляем все полученные данные в "формулу-болванку" и получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):
Составляем уравнение нормали:
Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
Найдём производную функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Находим уравнение касательной:
Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного "причесать": умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
Найдём производную функции:
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали - не заметить, что функция, данная в примере, - сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры - уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).
Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
Внимание! Данная функция - сложная, так как аргумент тангенса (2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции.
Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной.
F(x,y,y")=0
1. Из уравнения F(x,y,y")=0 выразить y" через x и y . Получится одно или несколько уравнений вида y"=f(x,y), каждое из которых надо решить.
Пример.
у" 2 -y 2 =0
y"=y и y"=-y
dy/y=dx и dy/y=-dx
ln|y|=x+lnC и ln|y|=-xlnD
y=Ce x и y=De -x
2. Метод параметра (простейший вариант метода).
Пусть уравнение F(x,y,y")=0 y .
y=f(x,y") .
Введем параметр p=y"=dy/dx
Тогда y=f(x,p)
Возьмем полный дифференциал от обеих частей, заменив dy через pdx , получим
pdx=f x "dx+f y "dy
Если решение этого уравнения найдено в виде x=φ(p) , то получим решение исходного уравнения в параметрической форме:
Пример
y=ln(1+y" 2)
p=y"=dy/dx, y=ln(1+p 2)
При делении на р потеряли решение у=0
3. Если уравнение F(x,y,y")=0 можно разрешить относительно х :
x=f(y,y") , то также как в 2 вводим параметр p=y"=dy/dx
4. Уравнение Лагранжа
y=xφy"+Ψ(y")
и уравнение Клеро
y=xy"+Ψ(y")
являются частными случаями, рассмотренными в пункте 2.
5) Немного об особых решениях. Решение y=φ(х) уравнения F(x,y,y")=0 называется особым, если через каждую его точку, кроме этого решения, проходит и другое ршение, имеющее в этой точке ту же касательную, что и решение φ(х) , но не совпадающее сним в сколь угодно малой окрестности этой точки. Пусть F(x,y,y"), δF/δy и δF/δy" непрерывны. Тогда любое особое решение уравнения F(x,y,y")=0 удовлетворяет и уравнению δ F(x,y,y")/δy"=0 .
Чтобы отыскать особые решения, надо из системы
исключить y
". Полученное уравнение называется дискриминантной кривой
. Для каждой ветви дискриминантной кривой надо проверить, является ли эта ветвь решением и если является, то будет ли оно особым (т.е. нарушается ли единственность в каждой его точке).
Пример .
y=xy"-y 2 - Уравнение Клеро
p=y"=dy/dx, y=xp-p 2
pdx=pdx+xdp-2pdp
(x-2p)dp=0
dp=0, p=c , следовательно
x=2p, y=xp-p 2
y=Cx-C 2 или y=(x 2 /2)-(x 2 /4)
y=x 2 /4 -особое решение
y=x 2 /4 решение исходного уравнения. Докажем, что особое.
Берем произвольную точку на решении y=x 2 /4 , например (x o ,x 2 o /4 ). найдем С , при котором прямая y=Cx-C 2 также проходила через эту точку x 2 o /4=Cx o -C 2 , следовательно C=x o /2, т.е. y=(x o /2)x-(x 2 o /4) .
