Урок-лекция «Применение производной к исследованию и построению графиков функций» - презентация. Применение производной к построению графиков функций

Если на некотором промежутке график функции представляет собой непрерывную линию, иными словами, такую линию, которую можно провести без карандаша от листа бумаги, то такая функция называется непрерывной на этом промежутке. Существуют также функции, которые непрерывными не являются. В качестве примера рассмотрим график функции, которая на промежутках и [с; b] непрерывна, но в точке
х = с разрывна и поэтому на всем отрезке не является непрерывной. Все функции, изучаемые нами в школьном курсе математики, – это функции непрерывные на каждом промежутке, на котором они определены.

Отметим, что если на некотором промежутке функция имеет производную, то на этом промежутке она непрерывна.

Обратное утверждение является неверным. Функция, которая непрерывна на промежутке, может не иметь производной в некоторых точках этого промежутка. Например, функция
у = |log 2 x| непрерывна на промежутке х > 0, но в точке х = 1 не имеет производной, в силу того что в этой точке график функции касательной не имеет.

Рассмотрим построение графиков с помощью производной.

Построить график функции f(x) = x 3 – 2x 2 + x.

Решение.

1) Эта функция определена при всех х € R.

2) Найдем промежутки монотонности рассматриваемой функции и ее точки экстремума с помощью производной. Производная равна f "(x) = 3x 2 – 4x + 1. Найдем стационарные точки:
3x 2 – 4x + 1 = 0, откуда х 1 = 1/3, х 2 = 1.

Для определения знака производной разложим квадратные трехчлен 3x 2 – 4x + 1 на множители:
f "(x) = 3(х – 1/3)(х – 1). Следовательно, на промежутках х < 1/3 и х > 1 производная положительна; значит, функция возрастает на этих промежутках.

Производная отрицательна при 1/3 < х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

Точка х 1 = 1/3 является точкой максимума, так как справа от этой точки функция убывает, а слева – возрастает. В этой точке значение функции равно f (1/3) = (1/3) 3 – 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27.

Точкой минимума является точка х 2 = 1, так как слева от этой точки функция убывает, а справа возрастает; ее значение в этой точке минимума равняется f (1) = 0.

3) При построение графика обычно находят точки пересечения графика с осями координат. Так как f(0) = 0, то график проходит через начало координат. Решая уравнение f(0) = 0, находим точки пересечения графика с осью абсцисс:

x 3 – 2x 2 + x = 0, х(x 2 – 2х + 1) = 0, х(х – 1) 2 = 0, откуда х = 0, х = 1.

4) Для более точного построение графика найдем значения функции еще в двух точках: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) Используя результаты исследования (пункты 1 – 4), строим график функции у = x 3 – 2x 2 + x.

Для построения графика функции обычно сначала исследуют свойства этой функции с помощью ее производной по схеме, аналогичной схеме при решении задачи 1.

Таким образом, при исследовании свойств функции необходимо найти:

1) область ее определения;

2) производную;

3) стационарные точки;

4) промежутки возрастания и убывания;

5) точки экстремума и значения функции в этих точках.

Результаты исследования удобно записывать в виде таблицы. Затем, используя таблицу, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат и – при необходимости – еще несколько точек графика.

Если же мы сталкиваемся с четной или нечетной функцией, то для построения ее графика достаточно исследовать свойства и построить ее график при х > 0, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат). Например, анализируя функцию f(x) = х + 4/х, мы приходим к выводу о том, что данная функция нечетная: f(-x) = -х + 4/(-х) = -(х + 4/х) = -f(x). Выполнив все пункты плана, строим график функции при х > 0, а график этой функции при х < 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х > 0 относительно начала координат.

Для краткости решения задач на построение графиков функции большую часть рассуждений проводят устно.

Также отметим, что при решении некоторых задач мы можем столкнуться с необходимостью исследования функции не на всей области определения, а только на некотором промежутке, например, если нужно построить график, скажем, функции f(x) = 1 + 2x 2 – x 4 на отрезке [-1; 2].

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Если на некотором промежутке график функции представляет собой непрерывную линию, иными словами, такую линию, которую можно провести без карандаша от листа бумаги, то такая функция называется непрерывной на этом промежутке. Существуют также функции, которые непрерывными не являются. В качестве примера рассмотрим график функции, которая на промежутках и [с; b] непрерывна, но в точке
х = с разрывна и поэтому на всем отрезке не является непрерывной. Все функции, изучаемые нами в школьном курсе математики, – это функции непрерывные на каждом промежутке, на котором они определены.

Отметим, что если на некотором промежутке функция имеет производную, то на этом промежутке она непрерывна.

Обратное утверждение является неверным. Функция, которая непрерывна на промежутке, может не иметь производной в некоторых точках этого промежутка. Например, функция
у = |log 2 x| непрерывна на промежутке х > 0, но в точке х = 1 не имеет производной, в силу того что в этой точке график функции касательной не имеет.

Рассмотрим построение графиков с помощью производной.

Построить график функции f(x) = x 3 – 2x 2 + x.

Решение.

1) Эта функция определена при всех х € R.

2) Найдем промежутки монотонности рассматриваемой функции и ее точки экстремума с помощью производной. Производная равна f "(x) = 3x 2 – 4x + 1. Найдем стационарные точки:
3x 2 – 4x + 1 = 0, откуда х 1 = 1/3, х 2 = 1.

Для определения знака производной разложим квадратные трехчлен 3x 2 – 4x + 1 на множители:
f "(x) = 3(х – 1/3)(х – 1). Следовательно, на промежутках х < 1/3 и х > 1 производная положительна; значит, функция возрастает на этих промежутках.

Производная отрицательна при 1/3 < х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

Точка х 1 = 1/3 является точкой максимума, так как справа от этой точки функция убывает, а слева – возрастает. В этой точке значение функции равно f (1/3) = (1/3) 3 – 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27.

Точкой минимума является точка х 2 = 1, так как слева от этой точки функция убывает, а справа возрастает; ее значение в этой точке минимума равняется f (1) = 0.

3) При построение графика обычно находят точки пересечения графика с осями координат. Так как f(0) = 0, то график проходит через начало координат. Решая уравнение f(0) = 0, находим точки пересечения графика с осью абсцисс:

x 3 – 2x 2 + x = 0, х(x 2 – 2х + 1) = 0, х(х – 1) 2 = 0, откуда х = 0, х = 1.

4) Для более точного построение графика найдем значения функции еще в двух точках: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) Используя результаты исследования (пункты 1 – 4), строим график функции у = x 3 – 2x 2 + x.

Для построения графика функции обычно сначала исследуют свойства этой функции с помощью ее производной по схеме, аналогичной схеме при решении задачи 1.

Таким образом, при исследовании свойств функции необходимо найти:

1) область ее определения;

2) производную;

3) стационарные точки;

4) промежутки возрастания и убывания;

5) точки экстремума и значения функции в этих точках.

Результаты исследования удобно записывать в виде таблицы. Затем, используя таблицу, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат и – при необходимости – еще несколько точек графика.

Если же мы сталкиваемся с четной или нечетной функцией, то для построения ее графика достаточно исследовать свойства и построить ее график при х > 0, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат). Например, анализируя функцию f(x) = х + 4/х, мы приходим к выводу о том, что данная функция нечетная: f(-x) = -х + 4/(-х) = -(х + 4/х) = -f(x). Выполнив все пункты плана, строим график функции при х > 0, а график этой функции при х < 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х > 0 относительно начала координат.

Для краткости решения задач на построение графиков функции большую часть рассуждений проводят устно.

Также отметим, что при решении некоторых задач мы можем столкнуться с необходимостью исследования функции не на всей области определения, а только на некотором промежутке, например, если нужно построить график, скажем, функции f(x) = 1 + 2x 2 – x 4 на отрезке [-1; 2].

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Достаточное условие возрастания функции

Если в каждой точке интервала (a, b) f"(x)>0, то функция f(x) возрастает на этом интервале.

Достаточное условие убывания функции.

Если в каждой точке интервала (a, b) f"(x)

Определение:

x 0 называется критической точкой функции f(x), если

1) x 0 – внутренняя точка области определения f(x) ;

2) f"(x 0)=0 или f"(x 0) не существует.

Необходимое условие экстремума:

Если x 0 – точка экстремума функции f(x), то эта точка является критической точкой данной функции.

Достаточное условие экстремума:

Если при переходе через точку x 0 производная функции меняет знак, то x 0 – точка экстремума функции f(x).

Примеры экстремумов:

Схема исследования функции.

1. Найти область определения функции.
2. Проверить, не является ли функция четной или нечетной; проверить также, не является ли она периодической.
3. Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции. Иногда для уточнения построения графика следует найти две три дополнительные точки.
4. Найти производную функции и ее критические точки.
5. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
6. Построить график функции, используя полученные результаты исследования.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке .

1. Найти значения функции в концах отрезка, т.е. f(a) и f(b) ;
2. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a,b) ;
3. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Задачи и тесты по теме "Применение производной к исследованию функций"

• Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы - Производная 10 класс

  Уроков: 3 Заданий: 10 Тестов: 1

• Производная и первообразная

  Заданий: 3

• Определение производной - Производная 10 класс

  Уроков: 4 Заданий: 9 Тестов: 1

• Применение производной для отыскания наибольших и наименьших величин - Производная 10 класс

  Уроков: 2 Заданий: 9 Тестов: 1

• Наибольшее и наименьшее значение функций - Подготовка к ЕГЭ по математике ЕГЭ по математике

  Заданий: 5

Проработав данную тему, Вы должны научиться применять производную для исследования функций на монотонность и экстремумы, для нахождения наибольших и наименьших значений функций. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах. Обратите внимание, что решение всегда начинается с нахождения области определения исследуемой функции.

Примеры.

1. Найти промежутки убывания и возрастания функции

Решение:

4)

(для определения знаков производной использовали метод интервалов)

Ответ: при функция убывает, при функция возрастает.

2. Исследовать функцию f(x)=x 3 -3x 2 +4 с помощью производной и построить ее график.

Решение:

4)

x=0 – точка максимума, x=2 – точка минимума.

5) f(0)=4; f(2)=0

Используя результаты исследования, строим график функции: f(x)=x 3 -3x 2 +4

Алгоритм решения задачи на построение графика функции.

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3.Найти стационарные точки.

4. Определить знак производной на полученных интервалах.

5. Определить промежутки монотонности.

6. определить точки экстремумов и найти значение функции в этих точках.

7.Составить таблицу.

8. Найти дополнительные точки.

9. Построить график функции.

Например. Исследовать функцию с помощью производной и построить её график.

1. ООФ:

2.

9. .___+____.___-____.___+_______

9. , то функция возрастает;

То функция убывает;

То функция возрастает;

6. – точка максимума, т.к. производная сменила знак с + на - ;

Точка минимума, т.к. производная сменила знак с - на +.

8. Дополнительные точки:

9. Построение графика.

2.3 . Варианты контрольных работ.

Контрольная работа № 1 по теме «Производная» В-1

а) f(x) = 4x 2 +6x+3, x 0 = 1;

б) ;

в) f(x) = (3x 2 +1) (3x 2 -1), х 0 =1;

г) f(x) =2x·cosx,

а) f(x)= 5 3x-4 ;

б) f(x) = sin (4x-7);

г) f(x) = ln (x 3 +5x).

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = 4 - x 2 в точке х 0 = -3.

В точке с абсциссой х 0 = -1.

f(x) = x 2 - 2x в точке с абсциссой х 0 =-2.

6. Уравнение движения тела имеет вид s(t) = 2,5t 2 + 1,5t. Найдите скорость тела через 4 с после начала движения.

7.

Контрольная работа № 1по теме «Производная» В-2

а) f(x) = х 4 -3x 2 +5, x 0 = -3;

б) ;

в) f(x) = (2x 2 +1) (4+х 3), х 0 = 1;

г) f(x) =2x·sinx-1,

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 4 2 x -1 ;

б) f(x) = сos(4x+5);

г) f(x) = +2x.

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = - x 4 + x 3 в точке х 0 = - 1.

4. В какой точке касательная к графику функции

f(x) =3x 2 -12х +11 параллельна оси абсцисс?

5. Напишите уравнение касательной к графику функции

f(x) = x 3 - 3x 2 + 2х - 1 в точке с абсциссой х 0 = 2.

6. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 2,5t 2 -10t + 11. В какой момент времени скорость тела будет равна 20? (координата измеряется в метрах, время – в секундах).

7. Исследовать функцию с помощью производной и построить график:

Контрольная работа №1 по теме «Производная» В-3

1. Найти значение производной в точке х 0

а) f(x) = 7x 2 -56x+8, x 0 = 4;

б) ;

в) f(x)

г) f(x) =3x·sinx,

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 2 5 x +3 ;

б) f(x) = сos(0,5x+3);

г) f(x) = +5x.

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = 2x 2 + x в точке х 0 = -2.

4. В какой точке касательная к графику функции f(x) =x 2 +4х - 12 параллельна оси абсцисс?

5. Напишите уравнение касательной к графику функции

f(x) = -x 2 -3x + 2 в точке с абсциссой х 0 = -1.

6. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 3t 2 + t + 4. В какой момент времени скорость тела будет равна 7? (координата измеряется в метрах, время – в секундах)

Контрольная работа № 1 по теме «Производная» В-4

1. Найти значение производной в точке х 0

а) f(x) = x 5 -4x+8, x 0 = 2;

б) ;

в) f(x) = (x 3 +7) (3x 2 -1), х 0 = –1;

г) f(x) =5x·cosx+2,

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 3 4 x- 1 ;

б) f(x) = 2sin (2,5x-2);

г) f(x) = ln (2x 3 +x).

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = 0,5x 2 + 1 в точке х 0 = 3.

4. Найти угол наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 = 1.

5. Напишите уравнение касательной к графику функции

f(x) = x 2 +2x+1 в точке с

абсциссой х 0 = - 2.

6. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 4t + t 2 - . Найдите ее скорость в момент времени t=2 (координата измеряется в метрах, время – в секундах.)

7. Исследовать функцию с помощью производной и построить график:

Контрольная работа № 1 по теме «Производная» В-5

1. Найти значение производной в точке х 0

а) f(x) = 3x 5 -12x 2 +6х+2, x 0 = 1;

б) ;

в) f(x) = (2x+1) (x-5), х 0 = 2;

г) f(x) =2x·cos3x,

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 2 3x-4 ;

б) f(x) = sin (3x 2 - 2);

г) f(x) = ln (x 2 +5x).

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = 3х 2 +40х -10 в точке х 0 = -1.

4. Найти угол наклона касательной к графику функции

f(x) = в точке с абсциссой х 0 = - 1.

5. Напишите уравнение касательной к графику функции

f(x) = x 2 -2x +3в точке с абсциссой х 0 = - 2.

6. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 3t 3 +2t+1. Найдите ее скорость в момент времени t = 2 (координата измеряется в метрах, время – в секундах.)

7. Исследовать функцию с помощью производной и построить график:

Контрольная работа № 1 по теме «Производная» В-6

1. Найти значение производной в точке х 0

а) f(x) = 5x 3 -6x 4 +3х 2 +1, x 0 = 1;

б) ;

в) f(x) = (x 2 +1) (x 3 -2), х 0 = 1;

г) f(x) =2x·sin5x,

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 2 3 x+ 5 ,

б) f(x) = сos(3x-1);

г) f(x) = -2x.

3. Найти угол наклона касательной к графику функции

f(x) = 3x 3 -35x+8 в точке х 0 = 2.

4. В какой точке касательная к графику функции f(x) =x 3 -3х+1 параллельна оси абсцисс?

5. Напишите уравнение касательной к графику функции

f(x) = x 2 +3x-2 в точке с абсциссой х 0 = -1.

6. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 3t 2 -2t+4. В какой момент времени скорость тела будет равна 4? (координата измеряется в метрах, время – в секундах)

7. Исследовать функцию с помощью производной и построить график:

Контрольная работа №3 по теме «Производная» В-7

1. Найти значение производной в точке х 0

а) f(x) = x 6 -3x 2 +2, x 0 = 2;

б) ;

в) f(x) = (x 3 -4) (3x 2 +1), х 0 = 2;

г) f(x) =5x·cosx+2,

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 3 4 x + 2 ;

б) f(x) = 2sin (5х+2);

г) f(x) = ln (3x 2 - x).

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = 0,5x 2 -1 в точке х 0 = - 3.

4. Найти угол наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 = -1.

5. Напишите уравнение касательной к графику функции

f(x) = x 2 +2x+1 в точке с абсциссой х 0 = - 2.

6. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 4t - t 2 + . Найдите ее скорость в момент времени t = 2 (координата измеряется в метрах, время – в секундах.)

7. Исследовать функцию с помощью производной и построить график:

Контрольная работа № 1 по теме «Производная» В-8

1. Найти значение производной в точке х 0

а) f(x) = х 4 -2x 3 +5х-1, x 0 = 2;

б) ;

в) f(x) = (2x 2 +1) (1+х 3), х 0 = 2;

г) f(x) =2x·sinx-1,

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 5 2 x +3 ,

б) f(x) = сos(5x 2 +1);

г) f(x) = +5x.

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = x 4 -x 2 в точке х 0 = 1.

4. Найти угол наклона касательной к графику функции

f(x) = в точке с абсциссой х 0 = 2.

5. Напишите уравнение касательной к графику функции

f(x) = x 3 -3x 2 +2х в точке с абсциссой х 0 = 2.

6. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 2,5t 2 - 10t +6. Найти скорость тела в момент времени t = 4 (координата измеряется в метрах, время – в секундах).

7. Исследовать функцию с помощью производной и построить график:

Математический диктант Вариант 1. 1.(Cu)=… 2.…=(uv-vu)/v² 3.(cos x)=… 4.…=1/cos² x 5.(e x)=… Вариант 2. 1.C=… 2.…=(uv+vu) 3.(sin x)=… 4.…=-1/sin² x 5.(x n)=… Вариант 1. 1.(Cu)=Cu 2.(u/v)=(uv-vu)/v² 3.(cos x)=-sin x 4. tg x=1/cos² x 5.(e x)=e x Вариант 2. 1.C=0 2.(uv)=(uv+vu) 3.(sin x)=cos x 4. ctg x=-1/sin² x 5.(x n)=n*x n-1

1. Находим область определения функции f(x). 2. Вычисляем производную f(x) данной функции. 3. Находим точки, в которых f(x)=0 или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x). 4. Делим область определения функции этими точками на интервалы. Они являются интервалами монотонности. 5. Исследуем знак f(x) на каждом интервале. Если f(x)0, то на этом интервале f(x) возрастает; если f(x)0, то на таком интервале функция f(x) убывает. Правило нахождения интервалов монотонности

1. Область определения: R. Функция непрерывна. 2. Вычисляем производную: y=6x²-6x Находим критические точки: y=0. x²-x-6=0 Д=1-4*(-6)*1=1+24=25 4. Делим область определения на интервалы: 5. Функция возрастает при xϵ(-;-2]υ. Пример 1. Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x

1. Область определения: R. Функция непрерывна. 2. Вычисляем производную: y=3x²-6x. 3. Находим критические точки: y=0. x²-2x=0 x(x-2)=0 x1=0 и x2=2 4. Делим область определения на интервалы: 5. Функция возрастает при xϵ(-;0]υ. Пример 2. Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x²

Точку x=x 0 называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)f(x 0). Точку x=x 0 называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)f(x 0).

Если производная f(x) при переходе через точку x 0 меняет знак, то точка x 0 является точкой экстремума функции f(x). Если производная меняет знак с + на –, то точка будет являться точкой максимума, если с – на +, то точка будет точкой минимума Теорема 4.

1. Область определения: R. Функция непрерывна. 2. Вычисляем производную: y=-6x²-6x Находим критические точки: y=0. -x²-x+2=0 Д=1-4*(-1)*2=1+8=9 x 1 =1; x 2 =-2 4. Делим область определения на интервалы: 5.x=-2 – точка минимума. Найдём минимум функции y min =-24. x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции: y max =3. Пример 3. Найти экстремумы функции y=-2x³-3x²+12x

Работа на уроке: Исследовать на экстремум функцию y=x Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(x 2 +2)=2x. 3. Приравниваем её к нулю: 2x=0, откуда x=0 – критическая точка. 4. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: 5.x=0 – точка минимума. Найдём минимум функции y min =

Исследовать на экстремум функцию y=1/3x 3 -2x 2 +3x+1. Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(1/3x 3 -2x 2 +3x+1)=x 2 -4x Приравниваем её к нулю: x 2 -4x+3=0, откуда x 1 =1, x 2 =3 – критические точки. 4. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: 5.x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции y max =7/3. x=3 – точка минимума. Найдём минимум функции: y min =

Исследовать на экстремум функцию y=x 3 +3x 2 +9x-6. Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(x 3 +3x 2 +9x-6)=3x 2 +6x Приравниваем её к нулю: 3x 2 +6x+9=0, откуда D 0:

Исследовать на экстремум функцию y=x 2 -x-6. Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(x 2 -x-6)=2x Приравниваем её к нулю: 2x-1=0, откуда x=1/2 – критическая точка. 4. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: 5.x=1/2 – точка минимума. Найдём минимум функции: y min =-6, /2