Все треугольники и их названия. Какими бывают треугольники? III

Еще дети дошкольного возраста знают, как выглядит треугольник. А вот с тем, какие они бывают, ребята уже начинают разбираться в школе. Одним из видов является тупоугольный треугольник. Понять, что это такое, проще всего, если увидеть картинку с его изображением. А в теории это так называют "простейший многоугольник" с тремя сторонами и вершинами, одна из которых является

Разбираемся с понятиями

В геометрии различают такие виды фигур с тремя сторонами: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. При этом свойства этих простейших многоугольников одинаковы для всех. Так, для всех перечисленных видов будет соблюдаться такое неравенство. Сумма длин любых двух сторон обязательно будет больше протяженности третьей стороны.

Но для того чтобы быть уверенным, что речь идет именно о законченной фигуре, а не о наборе отдельных вершин, необходимо проверить, чтобы соблюдалось основное условие: сумма углов тупоугольного треугольника равняется 180 о. Это же верно и для других видов фигур с тремя сторонами. Правда, в тупоугольном треугольнике один из углов будет еще больше 90 о, а два оставшихся обязательно будут острыми. При этом именно наибольший угол будет находиться напротив самой длинной стороны. Правда, это далеко не все свойства тупоугольного треугольника. Но и зная лишь эти особенности, школьники могут решать многие задачи по геометрии.

Для каждого многоугольника с тремя вершинами верно и то, что, продолжая любую из сторон, мы получим угол, размер которого будет равен сумме двух несмежных с ним внутренних вершин. Периметр тупоугольного треугольника рассчитывается так же, как и для других фигур. Он равняется сумме длин всех его сторон. Для определения математиками были выведены различные формулы, в зависимости от того, какие изначально присутствуют данные.

Правильное начертание

Одним из важнейших условий решения задач по геометрии является верный рисунок. Часто учителя математики говорят о том, что он поможет не только наглядно представить, что дано и что от вас требуется, но на 80% приблизиться к правильному ответу. Именно поэтому важно знать, как построить тупоугольный треугольник. Если вам нужна просто гипотетическая фигура, то вы можете нарисовать любой многоугольник с тремя сторонами так, чтобы один из углов был больше 90 о.

Если даны определенные значения длин сторон или градусы углов, то чертить тупоугольный треугольник необходимо в соответствии с ними. При этом необходимо стараться максимально точно изобразить углы, высчитывая их при помощи транспортира, и пропорционально данным в задании условиям отобразить стороны.

Основные линии

Зачастую школьникам мало знать только то, как должны выглядеть те или иные фигуры. Они не могут ограничиться лишь информацией о том, какой треугольник тупоугольный, а какой прямоугольный. Курсом математики предусмотрено, что их знания об основных особенностях фигур должны быть более полными.

Так, каждому школьнику должно быть понятно определение биссектрисы, медианы, серединного перпендикуляра и высоты. Кроме того, он должен знать и их основные свойства.

Так, биссектрисы делят угол пополам, а противоположную сторону - на отрезки, которые пропорциональны прилегающим сторонам.

Медиана делит любой треугольник на два равных по площади. В точке, в которой они пересекаются, каждая из них разбивается на 2 отрезка в пропорции 2: 1, если смотреть от вершины, из которой она вышла. При этом большая медиана всегда проведена к его наименьшей стороне.

Не меньше внимания уделяется и высоте. Это перпендикуляр к противоположной от угла стороне. Высота тупоугольного треугольника имеет свои особенности. Если она проведена из острой вершины, то она попадает не на сторону этого простейшего многоугольника, а на ее продолжение.

Серединный перпендикуляр - это отрезок, который выходит из центра грани треугольника. При этом он расположен к ней под прямым углом.

Работа с окружностями

В начале изучения геометрии детям достаточно понять, как начертить тупоугольный треугольник, научиться отличать его от остальных видов и запомнить его основные свойства. А вот старшеклассникам этих знаний уже мало. Например, на ЕГЭ часто встречаются вопросы про описанные и вписанные окружности. Первая из них касается всех трех вершин треугольника, а вторая имеет по одной общей точке со всеми сторонами.

Построить вписанный или описанный тупоугольный треугольник уже намного сложнее, ведь для этого необходимо для начала выяснить, где должен находиться центр окружности и ее радиус. Кстати, необходимым инструментом станет в этом случае не только карандаш с линейкой, но и циркуль.

Те же сложности возникают при построении вписанных многоугольников с тремя сторонами. Математиками были выведены различные формулы, которые позволяют определить их месторасположение максимально точно.

Вписанные треугольники

Как уже было сказано ранее, если круг проходит через все три вершины, то это называется описанной окружностью. Главным ее свойством является то, что она единственная. Чтобы выяснить, как должна располагаться описанная окружность тупоугольного треугольника, необходимо помнить, что ее центр находится на пересечении трех серединных перпендикуляров, которые идут к сторонам фигуры. Если в остроугольном многоугольнике с тремя вершинами эта точка будет находиться внутри него, то в тупоугольном - за его пределами.

Зная, например, что одна из сторон тупоугольного треугольника равна его радиусу, можно найти угол, который лежит напротив известной грани. Его синус будет равен результату от деления длины известной стороны на 2R (где R - это радиус окружности). То есть sin угла будет равен ½. Значит, угол будет равен 150 о.

Если вам необходимо найти радиус описанной окружности тупоугольного треугольника, то вам пригодятся сведения о длине его сторон (c, v, b) и его площади S. Ведь радиус высчитывается так: (c х v х b) : 4 х S. Кстати, неважно, какого именно у вас вида фигура: разносторонний тупоугольный треугольник, равнобедренный, прямо- или остроугольный. В любой ситуации, благодаря приведенной формуле, вы можете узнать площадь заданного многоугольника с тремя сторонами.

Описанные треугольники

Также довольно часто приходится работать со вписанными окружностями. По одной из формул, радиус такой фигуры, умноженный на ½ периметра, будет равняться площади треугольника. Правда, для ее выяснения вам необходимо знать стороны тупоугольного треугольника. Ведь для того чтобы определить ½ периметра, необходимо сложить их длины и разделить на 2.

Чтобы понять, где должен находиться центр круга, вписанного в тупоугольный треугольник, необходимо провести три биссектрисы. Это линии, которые делят углы пополам. Именно на их пересечении и будет находиться центр окружности. При этом он будет равноудален от каждой из сторон.

Радиус такой окружности, вписанной в тупоугольный треугольник, равняется из частного (p-c) х (p-v) х (p-b) : p. При этом p - это полупериметр треугольника, c, v, b - его стороны.

Треугольник (с точки зрения пространства Эвклида) – это такая геометрическая фигура, которая образована тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащими на одной прямой. Три точки, которые образовали треугольник, называются его вершинами, а отрезки соединяющие вершины называются сторонами треугольника. Какие есть треугольники?

Равные треугольники

Существует три признака равенства треугольников. Какие треугольники называются равными? Это те, у которых:

равны две стороны и угол между этими сторонами;
равна одна сторона и два прилежащие к ней угла;
равны все три стороны.

У прямоугольных треугольников существуют следующие признаки равенства:

по острому углу и гипотенузе;
по острому углу и катету;
по двум катетам;
по гипотенузе и катету.

Какие бывают треугольники

По числу равных сторон треугольник может быть:

Равносторонним. Это треугольник с тремя равными сторонами. Все углы в равностороннем треугольнике равны 60 градусов. Кроме этого, совпадают центры описанной и вписанной окружностей.
Неравносторонним. Треугольник, не имеющий равных сторон.
Равнобедренным. Это треугольник с двумя равными сторонами. Две одинаковые стороны – боковые, а третья сторона – основание. В таком треугольнике совпадают биссектриса, медиана и высота, если их опустить на основание.

По величине углов треугольник может быть:

Тупоугольным - когда один из углов имеет величину более 90 градусов, то есть когда он тупой.
Остроугольным – если все три угла в треугольнике острые, то есть они имеют величину менее 90 градусов.
Какой треугольник называется прямоугольным? Это такой, у которого есть один прямой угол равный 90 градусов. Катетами в нем будут назваться две стороны, которыми образован этот угол, а гипотенузой – противолежащая прямому углу сторона.

Основные свойства треугольников

Против меньшей стороны всегда лежит меньший угол, а больший угол всегда лежит против большей стороны.
Равные углы всегда лежат против равных сторон, а против разных сторон всегда лежат разные углы. В частности, в равностороннем треугольнике все углы имеют одинаковое значение.
В любом треугольнике сумма углов равняется 180 градусов.
Внешний угол можно получить, если у треугольника продолжить одну из его сторон. Величина внешнего угла будет равняться сумме не смежных с ним внутренних углов.
Сторона треугольника больше, чем разность его двух других сторон, но меньше, чем их сумма.

В пространственной геометрии Лобачевского сумма углов треугольника будет всегда меньше, чем 180 градусов. На сфере это значение больше 180 градусов. Разность между 180 градусов и суммой углов треугольника называется дефектом.

При изучении математики ученики начинаются знакомиться с различными видами геометрических фигур. Сегодня речь пойдет о различных видах треугольников.

Определение

Геометрические фигуры, которые состоят из трех точек, которые не находятся на одной прямой, называются треугольниками.

Отрезки, соединяющие точки, называются сторонами, а точки – вершинами. Вершины обозначаются большими латинскими буквами, например: A, B, C.

Стороны обозначаются названиями двух точек, из которых они состоят – AB, BC, AC. Пересекаясь, стороны образуют углы. Нижняя сторона считается основанием фигуры.

Рис. 1. Треугольник ABC.

Виды треугольников

Треугольники классифицируют по углам и сторонам. Каждый из видов треугольника имеет свои свойства.

Существует три вида треугольников по углам:

остроугольные;
прямоугольные;
тупоугольные.

Все углы остроугольного треугольника острые, то есть градусная мера каждого составляет не более 90 0 .

Прямоугольный треугольник содержит прямой угол. Два других угла всегда будут острыми, так как иначе сумма углов треугольника превысит 180 градусов, а это невозможно. Сторона, которая, находится напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие катетами. Гипотенуза всегда больше катета.

Тупоугольный треугольник содержит тупой угол. То есть угол, величиной больше 90 градусов. Два других угла в таком треугольника будут острыми.

Рис. 2. Виды треугольников по углам.

Пифагоровым треугольником называется прямоугольник, стороны которого равны 3, 4, 5.

Причем, большая сторона является гипотенузой.

Такие треугольники часто используются для составления простых задач в геометрии. Поэтому, запомните: если две стороны треугольника равны 3, то третья обязательно будет 5. Это упростит расчеты.

Виды треугольников по сторонам:

равносторонние;
равнобедренные;
разносторонние.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны. Все углы такого треугольника равны 60 0 , то есть он всегда является остроугольным.

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого только две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья – основанием. Кроме того, углы при основании равнобедренного треугольника равны и всегда являются острыми.

Разносторонним или произвольным треугольником называется треугольник, у которого все длины и все углы не равны между собой.

Если в задаче нет никаких уточнений по поводу фигуры, то принято считать, что речь идет о произвольном треугольнике.

Рис. 3. Виды треугольников по сторонам.

Сумма всех углов треугольника, независимо от его вида, равна 1800.

Напротив большего угла находится большая сторона. А также длина любой стороны всегда меньше суммы двух других его сторон. Эти свойства подтверждаются теоремой о неравенстве треугольника.

Существует понятие золотого треугольника. Это равнобедренный треугольник, у которого две боковые стороны пропорциональны основе и равны определенному числу. В такой фигуре углы пропорциональны соотношению 2:2:1.

Задача:

Существует ли треугольник, стороны которого равны 6 см., 3 см., 4 см.?

Решение:

Для решения данного задания нужно использовать неравенство a

Что мы узнали?

Из данного материала из курса математики 5 класса, мы узнали, что треугольники классифицируются по сторонам и величине углов. Треугольники имеют определенные свойства, которые можно использовать при решении заданий.

Предмет: математика

Класс: 3 класс

Учебник: «Математика» 2 часть.

Тема: Виды треугольников

Тип урока: открытие новых знаний

Цель: Научить определять виды треугольников по измерениям длин их сторон.

Задачи :

1)Актуализировать знания о геометрических фигурах - прямоугольник, квадрат, треугольник.

2)Актуализировать сложение и вычитание трёхзначных чисел, деление двузначного числа на однозначное, двузначное и круглое; умножение двузначного на однозначное число.

3)Ввести термины: равнобедренный, равносторонний, разносторонний треугольник.

Ход урока

1.Мотивация к учебной деятельности

Посмотрите, скажите, что это такое?

(пирамида)

Скажите, из чего она состоит? (из частей, уровней …)

Можно ли эту пирамиду сравнить с нашим знанием? (да)

Каждый день вы строите всё новые и новые пирамиды, каждый уровень пирамиды- это новое знание, которое вы получаете на уроке. А что будет с пирамидой, если мы уберём синий уровень? (Она разрушиться, станет меньше.)

А как из-за чего может разрушиться наша пирамида знаний? (Из-за не выполненного д/з, пропусков уроков, не внимательно слушать учителя.)

Что нужно делать, чтобы наша пирамида становилась прочнее, росла? (Учить уроки, хорошо работать на уроке, выполнять д/з, не прогуливать школу.)

Ребята, вы сказали всё верно. А теперь давайте представим, что наша пирамида отбросила тень. Скажите, на какую геометрическую фигуру тень похожа?

(На треугольник.)

Сегодня мы продолжим работать с такой геометрической фигурой, как треугольник.

2.Актуальзация знаний и фиксация затруднений в проблемной ситуации

С какими геометрическими фигурами вы знакомы? (квадрат, прямоугольник, треугольник).

На доске таблица, заполните её, опираясь на свои знания (у каждого обучающегося карточка с такой таблицей):

Как называются первые две геометрические фигуры? (прямоугольник и квадрат, одним словом это четырёхугольники.)

Скажите, какие виды четырёхугольников вы знаете? Ответить на этот вопрос вам поможет изображение их на слайде.

Названия четырёхугольников появляются после ответов детей.

(ромб, квадрат, прямоугольник, трапеция, параллелограмм - называют их по изображениям на слайде или доске.)

Можете ли вы сказать, что такое прямоугольник, а что такое квадрат?

(Прямоугольник - четырёхугольник, у которого все углы прямые.

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны)

Найдите лишнюю геометрическую фигуру, опираясь на результаты таблицы. (Треугольник).

Хорошо, четырёхугольники все очень разные, а что вы знаете о треугольнике? (Треугольники бывают: остроугольные, тупоугольные, прямоугольные.)

Что вы ещё знаете о треугольнике? (Определение)

Треугольник - это геометрическая фигура, у которой 3 угла, 3 вершины, 3 стороны.

Заполните следующую таблицу, опираясь на свои знания:

(Учитель заполняет таблицу в соответствии ответам детей. В колонках «название» возникают разные мнения, а некоторые дети оставляют их пустыми.)

3.Выявление места и причины затруднения.

Какое задание вы выполняли? (Заполни таблицу.)

Где возникло затруднение? (При записи названий треугольников)

Почему возникло затруднение? (Не знаем как они называются)

Какую цель урока нужно поставить? (Узнать, какие ещё есть виды треугольников кроме изученных (тупоугольный, остроугольный, прямоугольный) , научиться определять эти виды у треугольников.)

Какая тема нашего урока? (Виды треугольников)

4.Открытие нового знания.

Давайте вернёмся к таблице.

Впишем размеры сторон треугольников. (Вписывают.)

Хорошо, а сейчас посмотрите и скажите, что вы заметили? (У первого треугольника все стороны равны, у второго 2 стороны равны, а у третьего все стороны разные.)

Верно, а можете ли вы придумать названия этим треугольникам, основываясь на том объяснении, которое вы сейчас дали? (Да)

Как вы назовёте треугольник, у которого все стороны равные? Придумай прилагательное, состоящее из 2х слов: равные стороны. (Равносторонний)

Как назвать треугольник, у которого все стороны различные? (Разносторонний)

Как называется треугольник, у которого 2 стороны равные? (Дети сомневаются, чтобы ответить на этот вопрос они пользуются учебником с.73) (Равнобедренный) А какой ещё треугольник можем назвать равнобедренным? (Равносторонний)

Заполните таблицу самостоятельно, опираясь на новые знания.

А можем ли сейчас дать определение видам треугольников? (Да)

Равносторонний - треугольник, у которого все три стороны равны.

Равнобедренный - треугольник, у которого равны хотя бы две стороны. Равнобедренным треугольником является и равносторонний треугольник.

Разносторонний - треугольник, у которого все стороны разные.

Проверьте свои определения с.73 -учебник. (Проверяют.)

Верно ли вы составили определения? (Да.)

5.Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи

Выполните задание из учебника с.74 (под?)

1)Разносторонние: 2,3,5

2)Равнобедренные: 1, 4 , 6, 7

(Учащиеся записывают в тетради. По очереди говорят ответы, аргументируя. Образец фиксируется на доске).

6.Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Выполнение задания самостоятельно. По окончанию работы - самопроверка по образцу (на доске или на индивидуальных карточках).

№1.Заполни таблицу , схематично изобрази треугольники.

№2.Выпиши номера:

1)Разносторонних треугольников.

2)Равнобедренных, из выписанных номеров подчеркни номера равносторонних треугольников.

Эталон:

Задание №1:

Задание №2:

1)Разносторонние треугольники: 2,3,4

2)Равнобедренные треугольники (подчеркнут номер равностороннего треугольника): 1, 5

7.Включение в систему знаний и повторение

На песке мальчик нарисовал треугольники и зашифровал слова, найди значения выражений, записанные в треугольниках. Сначала решай те, которые записаны в разносторонних треугольниках, а потом в равнобедренных треугольниках. И отгадаешь зашифрованные слова.

Подсказка: Запиши числа в порядке возрастания и слова у тебя получатся.

Карточка:

Решение:

Ответ: Виды треугольников

8.Рефлексия учебной деятельности.

Нарисуй соответственно пирамиду знаний, состоящую из 7 уровней. Каждый уровень - это ответ на вопрос.

Ответьте на вопросы:

1)Ребята, что такое вы записали «виды треугольников»? (Тему нашего урока)

2)Какова была наша цель? (Узнать, как называются все 3 вида треугольников, научиться определять эти виды по измерениям длин сторон.)

3)Какие виды треугольников вы узнали? (разносторонний, равнобедренный, равносторонний)

4) А почему они так называются?

( Равносторонний - треугольник, у которого все стороны равны.

Равнобедренный - треугольник, у которого хотя бы две стороны равны, в том числе и равносторонний треугольник, потому что у него есть две равные стороны.)

Разносторонний - треугольник, у которого все стороны разные.)

5) Научились схематично изображать все виды треугольников? (Да, на самостоятельной работе.)

6) Какие открытия вы сегодня сделали? (Новые виды треугольников, их названия.)

7) Ребята, а вы сможете определить вид треугольника по его измерениям? (Да) Я вам сейчас буду говорить измерения, а вы поднимать вверх карточку с названием вида треугольника (карточки выданы дополнительно- по 3 карточки.)

1. 2см, 3см,5 см.- разносторонний

2. 4см, 4см, 2 см - равнобедренный

3.6см, 6см,6см - равносторонний, равнобедренный

Поднимите руки, кто сегодня достиг вершины этого знания? (Поднимают)

А поднимите руки, кому не хватило 1, 2 уровней. (Поднимают.)

(Учитель анализирует «пирамиды знаний у детей, делает выводы - какой уровень западает и на следующем уроке начинает актуализацию знаний с этого.)

Из всех многоугольников треугольники имеют наименьшее количество углов и сторон.

Треугольники можно различать по виду их углов.

Есди все углы треугольника острые, то его называют остроугольным треугольником (рис. 113, а).

Если один из углов треугольника прямой, то его называют прямоугольным треугольником (рис. 113, б).

Если один из углов треугольника тупой, то его называют тупоугольным треугольником (рис. 113, в).

Говорят, что мы классифицировали треугольники по виду их углов.

Треугольники можно классифицировать не только по виду углов, но и по количеству равных сторон.

Если две стороны треугольника равны, то его называют равнобедренным треугольником.

На рисунке 114, а изображен равнобедренный треугольник ABC, у которого AB = BC. На рисунке равные стороны отмечают равным количеством черточек. Равные стороны AB и BC называют боковыми сторонами , а сторону AC − основанием равнобедренного треугольника ABC.

Если стороны треугольника равны, то его называют равносторонним треугольником.

Треугольник, изображенный на рисунке 114, б, − равносторонний, у него MN = NE = EM.

Треугольник, у которого три стороны имеют различную длину, называют разносторонним треугольником.

Треугольники, изображенные на рисунке 113, − разносторонние. Если сторона равностороннего треугольника равна a, то его периметр вычисляют по формуле:

P = 3 a

Пример 1 . С помощью линейки и транспортира постройте треугольник, две стороны которого равны 3 см и 2 см, а угол между ними − 50 °.

С помощью транспортира построим угол A, градусная мера которого 50 ° (рис. 115 ). На сторонах этого угла от его вершины с помощью линейки отложим отрезок AB длиной 3 см и отрезок AC длиной 2 см (рис. 116 ). Соединив отрезком точки B и C, получим искомый треугольник ABC (рис. 117 ).

Пример 2 . С помощью линейки и транспортира постройте треугольник ABC, сторона AB которого равна 2 см, а углы CAB и CBA соответственно равны 40 ° и 110 °.

Решение. С помощью линейки строим отрезок AB длиной 2 см (рис. 118 ). От луча AB с помощью транспортира откладываем угол с вершиной в точке A, градусная мера которого равна 40 °. От луча BA в ту же сторону от прямой AB, в которую был отложен первый угол, откладываем угол с вершиной в точке B, градусная мера которого равна 110 °(рис. 119 ).

Найдя точку C пересечения сторон углов A и B, получаем искомый треугольник ABC (рис. 120 ).