Числовая прямая. Координатная прямая (числовая прямая), координатный луч

Данная статья посвящена разбору таких понятий, как координатный луч и координатная прямая. Мы остановимся на каждом понятии и подробно рассмотрим примеры. Благодаря этой статье вы сможете освежить свои знания или ознакомиться с темой без помощи преподавателя.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Для того, чтобы определить понятие координатного луча, следует иметь представление о том, что такое луч.

Определение 1

Луч - это геометрическая фигура, которая имеет начало отсчета координатного луча и направление движения. Прямую обычно изображают горизонтально, указывая направление направо.

На примере мы видим, что O является началом луча.

Пример 1

Координатный луч изображается по той же схеме, но существенно отличается. Мы ставим точку отсчета и отмеряем единичный отрезок.

Пример 2

Определение 2

Единичный отрезок - это расстояние от 0 до точки, выбранной для измерения.

Пример 3

От конца единичного отрезка нужно отложить несколько штрихов и сделать разметку.

Благодаря манипуляциям, которые мы проделали с лучом, он стал координатным. Подпишите штрихи натуральными числами в последовательности от 1 - например, 2 , 3 , 4 , 5 ...

Пример 4

Определение 3

– это шкала, которая может длиться до бесконечности.

Зачастую его изображают лучом с началом в точке O , и откладывают единственный единичный отрезок. Пример указан на рисунке.

Пример 5

Мы в любом случае сможем продолжить шкалу до того числа, которое нам необходимо. Вы можете записывать числа как удобно – под лучом или над ним.

Пример 6

Для отображений координат луча могут использоваться как заглавные, как и строчные буквы.

Принцип изображения координатной прямой практически не отличается от изображения луча. Все просто - прочертите луч и дополните до прямой, придав положительное направление, которое указывается стрелочкой.

Пример 7

Проведите луч в противоположную сторону, дополнив его до прямой

Пример 8

Отложите единичные отрезки по примеру, указанному выше

С левой стороны запишите натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... с противоположным знаком. Обратите внимание на пример.

Пример 9

Вы можете отметить только начало отсчета и единичные отрезки. Смотрите на примере, как это будет выглядеть.

Пример 10

Определение 4

– это прямая, которая изображается с определенной точкой отсчета, которая принимается за 0 , единичным отрезком и заданным направлением движения.

Соответствие между точками координатной прямой и действительными числами

Координатная прямая может содержать множество точек. Они напрямую связаны с действительными числами. Это можно определить, как взаимно однозначное соответствие.

Определение 5

Каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.

Для того, чтобы лучше понять правило, следует отметить точку на координатной прямой и посмотреть, какое натуральное число соответствует отметке. Если эта точка совпадает с началом отсчета, она будет отмечена нулем. Если точка не совпадает с началом отсчета, мы откладываем нужное количество единичных отрезков до тех пор, пока не достигнем указанной отметки. Число, записанное под ней, и будет соответствовать данной точке. На примере, указанном внизу, мы покажем вам это правило наглядно.

Пример 11

Если мы не можем найти точку, откладывая единичные отрезки, следует отмечать также точки, составляющие одну десятую, сотую или тысячную долю единичного отрезка. На примере можно подробно рассмотреть данное правило.

Отложив несколько подобных отрезков, мы сможем получить не только целое, но и дробное число – как положительное, так и отрицательное.

Отмеченные отрезки помогут нам отыскать на координатной прямой необходимую точку. Это могут быть как целые, так и дробные числа. Однако на прямой существуют точки, которые очень сложно найти с помощью единичных отрезков. Этим точкам соответствуют десятичные дроби. Для того, чтобы искать подобную точку, придётся откладывать единичный отрезок, десятую, сотую, тысячную, десятитысячную и другие его доли. Одной точке координатной прямой отвечает иррациональное число π (= 3 , 141592 . . .) .

Множество действительных чисел включается в себя все числа, которые можно записать в виде дроби. Это позволяет выявить правило.

Определение 6

Каждой точке координатной прямой соответствует конкретное действительное число. Разные точки определяют разные действительные числа.

Это соответствие однозначно –каждой точке соответствует определенное действительное число. Но это работает также и в обратном направлении. Мы также можем указать определенную точку на координатной прямой, которая будет относиться конкретному действительному числу. Если число не является целым, то нам необходимо отметить несколько единичных отрезков, а также десятых, сотых долей в заданном направлении. Например, числу 400350 отвечает точка на координатной прямой, в которую из начала отсчета можно попасть, отложив в положительном направлении 400 единичных отрезков, 3 отрезка, составляющих десятую долю единичного, и 5 отрезков – тысячную долю.

Здесь нам понадобится понятие о соответствии множеств. Булем говорить. что между множествами X и У установлено cootmumrmeue если по какому-либо закону иди правилу каждому элементу.пи множествах (обозначение.V є X) соответствует елемент // є Y.

Соответствие называется кшчмно оЛптначиым, если любому Д f Y ооотпетову- ет только один элемент из Г и наоборот - любому // с Есоответствует только один элемент.г о X

Оказывается, что между множеством вещественных чисел и ыТЮЖеСТ- вом точек на прямой мажет быть установлено взаимно однозначное соответствие. Это дает возможность наглядного геометрического изображения вещественных чисел на числовой оси На прямої і нужно выбрать »точку 0 нач та отсчет а у ({Якать яа правлен* с отс чета (ооы чно

слева направо) н единицу измерения или масштаб (рис. 3-І). Эти три действия полностью определяют числовую (координатную) ось. На ней вещественны? чиста изображаются в виде точек.

Укажем некоторые наиболее часто используемые числовые множества. Пусть а и А - два числа, причел, а 1) множество всех чисел, удовлетворяющих неравенств1/ а 2) множество всех чисеа, удовлетворяющих Строгому неравенству а 3) м 11 ожес тво всех веществеї і в ых (действ! і тел ы і их) ч і іссл будем обозначать - Г» А) аналогично можно определить числовые множества тина

(о. А], [я, А), (а. + го), (-ос. А), [и, + та) и (-со, А].

Все зтн множества называются промежутками промежутки типов 1 и 2 и первые два из п. 4 называются конечными, а числа а и А их концами; остальные промежутки называются бесконечными. Промежутки первых двух типов из п. 4 также называются полуинтервалами

Числовым промежуткам соответствуют промежутки на координатной оси. Сегмент [а, А| изображается отрезком А/,Л/, таким, что точка Л*, имеет координату\" а, точка Л/, - координату Ь. Вся координатная прямая является изображением множества всех вещественных чисел, и потому множество (-аз, оо) Называется числовой прямой (осью), а любое число называется точкой згой прямой.

Между положительными числами из R и множеством отрезков можно установить взаимно-однозначное соответствие. Действительно, если дан произвольный отрезок , то ему можно поставить в соответствие число d= . Необходимо отметить тот факт, что этому числу будут соответствовать и другие отрезки, длины которых равны d . Таким образом, в действительности мы рассматриваем множество, состоящее из совокупностей отрезков одинаковой длины.

Обратно, если дано положительное число d , то каждому такому числу можно поставить в соответствие совокупность отрезков вида , . При таком соответствии число d удовлетворяет следующим условиям:

1. Равным отрезкам соответствуют равные числа;

2. Если В точка отрезка [А,С] и отрезкам [А,В] и [В,С] соответствуют числа a и b , то отрезку [А,С] соответствует число a + b ;

3. Некоторому отрезку соответствует число 1 .

Первое и третье условия очевидны. Второе свойство легко доказывается. По определению a=B-A, b=C-B , тогда C-A=B+b-(B-a)=a+b ч.т.д.

Теперь можно установить взаимно-однозначное соответствие между точками прямой и числами из R . Возьмем произвольную прямую на плоскости. На этой прямой произвольно выберем точку и поставим ее в соответствие нулевому элементу множества R . Точка О разделила прямую на две части. Договоримся правую часть от точки О (если смотреть на эту точку) называть положительным лучем, а левую – отрицательным лучем. При этом будем говорить, что на прямой выбрано направление.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовой осью будем называть прямую, на которой заданы:

1. Точка О, называемая началом отсчета или началом координат.

3. Отрезок единичной длины.

Действительно для такой прямой можно установить взаимно-однозначное соответствие между числами и точками прямой. Пусть задано число a из R . Рассмотрим отрезок длина этого отрезка будет . Числу a сопоставим точку A на прямой, которая расположена на расстоянии равном длине отрезка прямой и в численном выражении совпадает с . При этом если a>0 , то точка А располагается на положительном луче, если a<0 , то на отрицательном луче. Обратно, если дана точка на прямой, то используя единичный отрезок, можно построить систему стягивающихся отрезков, границы которых будут сходится к числу, соответствующего данной точке. Ясно, что двум разным числам будут соответствовать разные точки и наоборот – двум разным точкам соответствуют разные числа.

Числовую прямую (ось) будем также называть вещественной прямой (осью). Отсюда также следует геометрический смысл модуля вещественного числа: модуль числа равен расстоянию от начала координат до точки, изображающей это число на числовой оси. Отметим еще одно замечательное геометрическое свойство модуля вещественного числа. Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками, соответствующими этим числам на вещественной оси.

(a, b) = { x | x ∈ R, a < x < b} - интервал;

[ a, b] = { x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b} - отрезок;

(a, b] = { x | x ∈ R, a < x ≤ b} или = { x | x ∈ R, x ≤ b} - замкнутые лучи.