Что такое q в теоретической механике. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Кинематика точки.

1. Предмет теоретической механики. Основные абстракции.

Теоретическая механика - это наука, в которой изучаются общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел

Механическим движением называется перемещение тела по отношению к другому телу, происходящее в пространстве и во времени.

Механическим взаимодействием называется такое взаимодействие материальных тел, которое изменяет характер их механического движения.

Статика - это раздел теоретической механики, в котором изучаются методы преобразования систем сил в эквивалентные системы и устанавливаются условия равновесия сил, приложенных к твердому телу.

Кинематика - это раздел теоретической механики, в котором изучаетсядвижение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, независимо от действующих на них сил.

Динамика - это раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве в зависимости от действующих на них сил.

Объекты изучения в теоретической механике:

материальная точка,

система материальных точек,

Абсолютно твердое тело.

Абсолютное пространство и абсолютное время независимы одно от другого. Абсолютное пространство - трехмерное, однородное, неподвижное евклидово пространство. Абсолютное время - течет от прошлого к будущему непрерывно, оно однородно, одинаково во всех точках пространства и не зависит от движения материи.

2. Предмет кинематики.

Кинематика - это раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (т.е. массы) и действующих на них сил

Для определения положения движущегося тела (или точки) с тем телом, по отношению к которому изучается движение данного тела, жестко, связывают какую-нибудь систему координат, которая вместе с телом образует систему отсчета.

Основная задача кинематики состоит в том, чтобы, зная закон движения данного тела (точки), определить все кинематические величины, характеризующие его движение (скорость и ускорение).

3. Способы задания движения точки

· Естественный способ

Должно быть известно:

Траектория движения точки;

Начало и направление отсчета;

Закон движения точки по заданной траектории в форме (1.1)

· Координатный способ

Уравнения (1.2) – уравнения движения точки М.

Уравнение траектории точки М можно получить, исключив параметр времени « t » из уравнений (1.2)

· Векторный способ

(1.3)

Связь между координатным и векторным способами задания движения точки

(1.4)

Связь между координатным и естественным способами задания движения точки

Определить траекторию точки, исключив время из уравнений (1.2);

-- найти закон движения точки по траектории (воспользоваться выражением для дифференциала дуги)

После интегрирования получим закон движения точки по заданной траектории:

Связь между координатным и векторным способами задания движения точки определяется уравнением (1.4)

4. Определение скорости точки при векторном способе задания движения.

Пусть в момент времени t положение точки определяется радиусом-вектором , а в момент времени t 1 – радиусом-вектором , тогда за промежуток времени точка совершит перемещение .


(1.5)

средняя скорость точки,

направлен вектор также как и вектор

Скорость точки в данный момент времени

Чтобы получить скорость точки в данный момент времени, необходимо совершить предельный переход

(1.6)

(1.7)

Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке.

(единица измерения ¾ м/с, км/час)

Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и вектор Δ v , то есть, направлен в сторону вогнутости траектории.

Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

(еденица измерения - )

Как располагается вектор по отношению к траектории точки?

При прямолинейном движении вектор направлен вдоль прямой, по которой движется точка. Если траекторией точки является плоская кривая, то вектор ускорения , также как и вектор ср лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор ср будет направлен в сторону вогнутости траектории и будет лежать в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, параллельную касательной в соседней точке М 1 . В пределе, когда точка М 1 стремится к М эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости. Следовательно, в общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

Теоретическая механика

Теорети́ческая меха́ника - наука об общих законах механического движения и взаимодействия материальных тел. Будучи по существу одним из разделов физики , теоретическая механика, вобрав в себя фундаментальную основу в виде аксиоматики , выделилась в самостоятельную науку и получила широкое развитие благодаря своим обширным и важным приложениям в естествознании и технике, одной из основ которой она является.

В физике

В физике под теоретической механикой подразумевается часть теоретической физики, изучающая математические методы классической механики, альтернативные прямому применению законов Ньютона (так называемая аналитическая механика). Сюда входят, в частности, методы, основанные на уравнениях Лагранжа , принципы наименьшего действия , уравнении Гамильтона-Якоби и др.

Следует подчеркнуть, что аналитическая механика может быть как нерелятивистской - тогда она пересекается с классической механикой , так и релятивистской. Принципы аналитической механики являются настолько общими, что её релятивизация не приводит к фундаментальным трудностям.

В технических науках

В технических науках под теоретической механикой подразумевается набор физико-математических методов, облегчающих расчёты механизмов, сооружений, летательных аппаратов и т. п. (так называемая прикладная механика или инженерная механика) . Практически всегда эти методы выводятся из законов классической механики - в основном, из законов Ньютона, хотя в некоторых технических задачах оказываются полезными некоторые из методов аналитической механики.

Теоретическая механика опирается на некоторое число законов, установленных в опытной механике, принимаемых за истины, не требующих доказательств - аксиомы . Эти аксиомы заменяют собой индуктивные истины опытной механики. Теоретическая механика имеет дедуктивный характер. Опираясь на аксиомы как на известный и проверенный практикой и экспериментом фундамент, теоретическая механика возводит свое здание при помощи строгих математических выводов.

Теоретическая механика как часть естествознания, использующая математические методы, имеет дело не с самими реальными материальными объектами, а с их моделями. Такими моделями, изучаемыми в теоретической механике, являются

  • материальные точки и системы материальных точек,
  • абсолютно твердые тела и системы твёрдых тел,
  • деформируемые сплошные среды .

Обычно в теоретической механике выделяют такие разделы, как

В теоретической механике широко применяются методы

  • векторного исчисления и дифференциальной геометрии ,

Теоретическая механика явилась основой для создания многих прикладных направлений, получивших большое развитие. Это механика жидкости и газа , механика деформируемого твердого тела, теория колебаний , динамика и прочность машин, гироскопия , теория управления , теория полета, навигация и др.

В высшем образовании

Теоретическая механика является одной из фундаментальных механических дисциплин на механико-математических факультетах университетов России. По этой дисциплине проводятся ежегодные всероссийские , национальные и региональные студенческие олимпиады, а также Международная олимпиада .

Примечания

Литература

См. также

  • Тренажер по теоретической механике - программированное пособие по теоретической механике.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Теоретическая механика" в других словарях:

    теоретическая механика - общая механика Раздел механики, в котором излагаются основные законы и принципы этой науки и изучаются общие свойства движения механических систем. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 102. Теоретическая механика. Академия наук СССР. Комитет… …

    См. МЕХАНИКА Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Павленков Ф., 1907 …

    теоретическая механика - теоретическая механика; общая механика Раздел механики, в котором излагаются основные законы и принципы этой науки и изучаются общие свойства движения механических систем … Политехнический терминологический толковый словарь

    Сущ., кол во синонимов: 1 теормех (2) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

    теоретическая механика - teorinė mechanika statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. theoretical mechanics vok. theoretische Mechanik, f rus. теоретическая механика, f pranc. mécanique rationnelle, f … Fizikos terminų žodynas

    - (греч. mechanike, от mechane машина). Часть прикладной математики, наука о силе и сопротивлении в машинах; искусство применять силу к делу и строить машины. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. МЕХАНИКА… … Словарь иностранных слов русского языка

    механика - Наука о механическом движении и механическом взаимодействии материальных тел. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 102. Теоретическая механика. Академия наук СССР. Комитет научно технической терминологии. 1984 г.] Тематики теоретическая… … Справочник технического переводчика

    - (от греч. mechanike (techne) наука о машинах, искусство построения машин), наука о механич. движении матер. тел и происходящих при этом вз ствиях между ними. Под механич. движением понимают изменение с течением времени взаимного положения тел или … Физическая энциклопедия

    Теоретическая физика раздел физики, в котором в качестве основного способа познания природы используется создание математических моделей явлений и сопоставление их с реальностью. В такой формулировке теоретическая физика является… … Википедия

    - (греч. μηχανική искусство построения машин) область физики, изучающая движение материальных тел и взаимодействие между ними. Движением в механике называют изменение во времени взаимного положения тел или их частей в пространстве.… … Википедия

Примеры решения задач по теоретической механике

Статика

Условия задач

Кинематика

Кинематика материальной точки

Условие задачи

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения .
По заданным уравнениям движения точки установить вид ее траектории и для момента времени t = 1 с найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
Уравнения движения точки:
x = 12 sin(πt/6) , см;
y = 6 cos 2 (πt/6) , см.

Кинематический анализ плоского механизма

Условие задачи

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна E. Стержни между собой, с ползунами и неподвижными опорами соединены с помощью цилиндрических шарниров. Точка D расположена в середине стержня AB. Длины стержней равны, соответственно
l 1 = 0,4 м; l 2 = 1,2 м; l 3 = 1,6 м; l 4 = 0,6 м.

Взаимное расположение элементов механизма в конкретном варианте задачи определяется углами α, β, γ, φ, ϑ. Стержень 1 (стержень O 1 A) вращается вокруг неподвижной точки O 1 против хода часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω 1 .

Для заданного положения механизма необходимо определить:

  • линейные скорости V A , V B , V D и V E точек A, B, D, E;
  • угловые скорости ω 2 , ω 3 и ω 4 звеньев 2, 3 и 4;
  • линейное ускорение a B точки B;
  • угловое ускорение ε AB звена AB;
  • положения мгновенных центров скоростей C 2 и C 3 звеньев 2 и 3 механизма.

Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

Условие задачи

В приведенной ниже схеме рассматривается движение точки M в желобе вращающегося тела. По заданным уравнениям переносного движения φ = φ(t) и относительного движения OM = OM(t) определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки в заданный момент времени.

Скачать решение задачи >>>

Динамика

Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил

Условие задачи

Груз D массой m, получив в точке A начальную скорость V 0 , движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в вертикальной плоскости. На участке AB, длина которого l, на груз действует постоянная сила T(ее направление показано на рисунке) и сила R сопротивления среды (модуль этой силы R = μV 2 , вектор R направлен противоположно скорости V груза).

Груз, закончив движение на участке AB, в точке B трубы, не изменяя значения модуля своей скорости, переходит на участок BC. На участке BC на груз действует переменная сила F, проекция F x которой на ось x задана.

Считая груз материальной точкой, найти закон его движения на участке BC, т.е. x = f(t), где x = BD. Трением груза о трубу пренебречь.


Скачать решение задачи >>>

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Условие задачи

Механическая система состоит из грузов 1 и 2, цилиндрического катка 3, двухступенчатых шкивов 4 и 5. Тела системы соединены нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Каток (сплошной однородный цилиндр) катится по опорной плоскости без скольжения. Радиусы ступеней шкивов 4 и 5 равны соответственно R 4 = 0,3 м, r 4 = 0,1 м, R 5 = 0,2 м, r 5 = 0,1 м. Массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу. Опорные плоскости грузов 1 и 2 шероховатые, коэффициент трения скольжения для каждого груза f = 0.1.

Под действием силы F, модуль которой изменяется по закону F = F(s), где s - перемещение точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкив 5 действуют силы сопротивления, момент которых относительно оси вращения постоянный и равен M 5 .

Определить значение угловой скорости шкива 4 в тот момент времени, когда перемещение s точки приложения силы F станет равным s 1 = 1,2 м.

Скачать решение задачи >>>

Применение общего уравнения динамики к исследованию движения механической системы

Условие задачи

Для механической системы определить линейное ускорение a 1 . Считать, что у блоков и катков массы распределены по наружному радиусу. Тросы и ремни считать невесомыми и нерастяжимыми; проскальзывание отсутствует. Трением качения и трением скольжения пренебречь.

Скачать решение задачи >>>

Применение принципа Даламбера к определению реакций опор вращающегося тела

Условие задачи

Вертикальный вал AK, вращающийся равномерно с угловой скоростью ω = 10 с -1 , закреплен подпятником в точке A и цилиндрическим подшипником в точке D.

К валу жестко прикреплены невесомый стержень 1 длиной l 1 = 0,3 м, на свободном конце которого расположен груз массой m 1 = 4 кг, и однородный стержень 2 длиной l 2 = 0,6 м, имеющий массу m 2 = 8 кг. Оба стержня лежат в одной вертикальной плоскости. Точки прикрепления стержней к валу, а также углы α и β указаны в таблице. Размеры AB=BD=DE=EK=b, где b = 0,4 м. Груз принять за материальную точку.

Пренебрегая массой вала, определить реакции подпятника и подшипника.

Введение

Теоретическая механика является одной из важнейших фундаментальных общенаучных дисциплин. Она играет существенную роль в подготовке инженеров любых специальностей. На результатах теоретической механики базируются общеинженерные дисциплины: сопротивление материалов, детали машин, теория механизмов и машин и другие.

Основной задачей теоретической механики является изучение движения материальных тел под действием сил. Важной частной задачей представляется изучение равновесия тел под действием сил.

Курс Лекций. Теоретическая механика

    Структура теоретической механики. Основы статики

    Условия равновесия произвольной системы сил.

    Уравнения равновесия твёрдого тела.

    Плоская система сил.

    Частные случаи равновесия твёрдого тела.

    Задача о равновесии бруса.

    Определение внутренних усилий в стержневых конструкциях.

    Основы кинематики точки.

    Естественные координаты.

    Формула Эйлера.

    Распределение ускорений точек твёрдого тела.

    Поступательное и вращательное движения.

    Плоскопараллельное движение.

    Сложное движение точки.

    Основы динамики точки.

    Дифференциальные уравнения движения точки.

    Частные виды силовых полей.

    Основы динамики системы точек.

    Общие теоремы динамики системы точек.

    Динамика вращательного движения тела.

    Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. М., Высшая школа, 1983.

    Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики, ч.1 и 2. М., Высшая школа, 1971.

    Петкевич В.В. Теоретическая механика. М., Наука, 1981.

    Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Под ред. А.А.Яблонского. М., Высшая школа, 1985.

Лекция 1. Структура теоретической механики. Основы статики

В теоретической механике изучается движение тел относительно других тел, представляющие собой физические системы отсчёта.

Механика позволяет не только описывать, но и предсказывать движение тел, устанавливая причинные связи в определённом, весьма широком, круге явлений.

Основные абстрактные модели реальных тел:

    материальная точка – имеет массу, но не имеет размеров;

    абсолютно твёрдое тело – объём конечных размеров, сплошь заполненный веществом, причём расстояния между любыми двумя точками среды, заполняющей объём, не изменяются во время движения;

    сплошная деформируемая среда – заполняет конечный объём или неограниченное пространство; расстояния между точками такой среды могут меняться.

Из них – системы:

Система свободных материальных точек;

Системы со связями;

Абсолютно твёрдое тело с полостью, заполненной жидкостью, и т.п.

«Вырожденные» модели:

Бесконечно тонкие стержни;

Бесконечно тонкие пластины;

Невесомые стержни и нити, связывающие между собой материальные точки, и т.д.

Из опыта: механические явления протекают неодинаково в разных местах физической системы отсчёта. Это свойство – неоднородность пространства, определяемого физической системой отсчёта. Под неоднородностью здесь понимается зависимость характера протекания явления от места, в котором мы наблюдаем это явление.

Ещё свойство – анизотропность (неизотропность) движение тела относительно физической системы отсчёта может быть различным в зависимости от направления. Примеры: течение реки по меридиану (с севера на юг - Волга); полёт снаряда, маятник Фуко.

Свойства системы отсчёта (неоднородность и анизотропность) затрудняют наблюдение за движением тела.

Практически свободна от этого – геоцентрическая система: центр системы в центре Земли и системы не вращается относительно «неподвижных» звёзд). Геоцентрическая система удобна для расчётов движений на Земле.

Для небесной механики (для тел солнечной системы): гелиоцентрическая система отсчёта, которая движется с центром масс Солнечной системы и не вращается относительно «неподвижных» звёзд. Для этой системы пока не обнаружены неоднородность и анизотропность пространства

по отношению к явлениям механики.

Итак, вводится абстрактная инерциальная система отсчёта, для которой пространство однородно и изотропно по отношению к явлениям механики.

Инерциальная система отсчёта – такая, собственное движение которой не может быть обнаружено никаким механическим опытом. Мысленный эксперимент: «точка, одинокая во всём мире» (изолированная) либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно.

Все системы отсчёта движущиеся относительно исходной прямолинейно, равномерно будут инерциальными. Это позволяет ввести единую декартовую систему координат. Такое пространство называется евклидовым .

Условное соглашение – берут правую систему координат (рис. 1).

Время – в классической (нерелятивистской) механике абсолютно , единое для всех систем отсчёта то есть начальный момент – произволен. В отличие релятивистской механики, где применяется принцип относительности.

Состояние движения системы в момент времени t определяется координатами и скоростями точек в этот момент.

Реальные тела взаимодействуют при этом возникают силы, которые меняют состояние движения системы. Это и есть суть теоретической механики.

Как изучается теоретическая механика?

    Учение о равновесии совокупности тел некоторой системы отсчёта – раздел статика.

    Раздел кинематика : часть механики, в которой изучаются зависимости между величинами, характеризующими состояние движения систем, но не рассматриваются причины, вызывающие изменение состояния движения.

После этого рассмотрим влияние сил [ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ].

    Раздел динамика : часть механики, в которой рассматривается влияние сил на состояние движения систем материальных объектов.

Принципы построения основного курса – динамики:

1) в основе – система аксиом (на основе опыта, наблюдений);

Постоянно – безжалостный контроль практики.Признак точной науки – наличие внутренней логики (без неё - набор не связанных рецептов) !

Статикой называется та часть механики, где изучаются условия, которым должны удовлетворять силы, действующие на систему материальных точек, для того чтобы система находилась в равновесии, и условия эквивалентности систем сил.

Будут рассмотрены задачи о равновесии в элементарной статике с применением исключительно геометрических методов, основанных на свойствах векторов. Такой подход применяется в геометрической статике (в отличие от аналитической статики, которая здесь не рассматривается).

Положения различных материальных тел будем относить к системе координат, которую примем за неподвижную.

Идеальные модели материальных тел:

1) материальная точка – геометрическая точка с массой.

2) абсолютно твёрдое тело – совокупность материальных точек, расстояния между которыми не могут быть изменены никакими действиями.

Силами будем называть объективные причины, являющиеся результатом взаимодействия материальных объектов, способные вызвать движение тел из состояния покоя или изменить существующее движение последних.

Так как сила определяется вызываемым ею движением, то она также имеет относительный характер, зависящий от выбора системы отсчёта.

Вопрос о природе сил рассматривается в физике .

Система материальных точек находится в равновесии, если, будучи в покое, она не получает никакого движения от сил, на неё действующих.

Из повседневного опыта: силы имеют векторный характер, то есть величину, направление, линию действия, точку приложения. Условие равновесия сил, действующих на твёрдое тело, сводится к свойствам систем векторов.

Обобщая опыт изучения физических законов природы, Галилей и Ньютон сформулировали основные законы механики, которые могут рассматриваться как аксиомы механики, так как имеют в своей основе экспериментальные факты.

Аксиома 1. Действие на точку твёрдого тела нескольких сил равносильно действию одной равнодействующей силы, строящейся по правилу сложения векторов (рис.2).

Следствие. Силы, приложенные к точке твёрдого тела, складываются по правилу параллелограмма.

Аксиома 2. Две силы, приложенные к твёрдому телу, взаимно уравновешиваются тогда и только тогда, когда они равны по величине, направлены в противоположные стороны и лежат на одной прямой.

Аксиома 3. Действие на твёрдое тело системы сил не изменится, если добавить к этой системе или отбросить от неё две силы, равные по величине, направленные в противоположные стороны и лежащие на одной прямой.

Следствие. Силу, действующую на точку твёрдого тела, можно переносить вдоль линии действия силы без изменения равновесия (то есть, сила является скользящим вектором, рис.3)

1) Активные – создают или способны создать движение твёрдого тела. Например, сила веса.

2) Пассивные – не создающие движения, но ограничивающие перемещения твёрдого тела, препятствующие перемещениям. Например, сила натяжения нерастяжимой нити (рис.4).

Аксиома 4. Действие одного тела на второе равно и противоположно действию этого второго тела на первое (действие равно противодействию ).

Геометрические условия, ограничивающие перемещение точек, будем называть связями.

Условия связи: например,

- стержень непрямой длины l.

- гибкая нерастяжимая нить длиной l.

Силы, обусловленные связями и препятствующие перемещениям, называются силами реакций.

Аксиома 5. Связи, наложенные на систему материальных точек, можно заменить силами реакций, действие которых эквивалентно действию связей.

Когда пассивные силы не могут уравновесить действие активных сил, начинается движение.

Две частные задачи статики

1. Система сходящихся сил, действующих на твёрдое тело

Системой сходящихся сил называется такая система сил, линии действия которой пересекаются в одной точке, которую всегда можно принять за начало координат (рис.5).

Проекции равнодействующей:

;

;

.

Если , то сила вызывает движение твёрдого тела.

Условие равновесия для сходящейся системы сил:

2. Равновесие трёх сил

Если на твёрдое тело действуют три силы, и линии действия двух сил пересекаются в некоторой точке А, равновесие возможно тогда и только тогда, когда линия действия третьей силы тоже проходит через точку А, а сама сила равна по величине и противоположно направлена сумме(рис.6).

Примеры:

Момент силы относительно точки О определим как вектор ,по величине равный удвоенной площади треугольника, основанием которого является вектор силы с вершиной в заданной точке О; направление – ортогонально плоскости рассмотренного треугольника в ту сторону, откуда вращение, производимое силой вокруг точки О, виднопротив хода часовой стрелки. является моментом скользящего вектора и являетсясвободным вектором (рис.9).

Итак: или

,

где ;;.

Где F – модуль силы, h – плечо (расстояние от точки до направления силы).

Моментом силы относительно оси называется алгебраическое значение проекции на эту ось вектора момента силы относительно произвольной точки О, взятой на оси (рис.10).

Это скаляр, не зависящий от выбора точки. Действительно, разложим :|| и в плоскости.

О моментах: пусть О 1 – точка пересечения с плоскостью. Тогда:

а) от - момент => проекция = 0.

б) от - момент вдоль => является проекцией.

Итак, момент относительно оси – это момент составляющей силы в перпендикулярной плоскости к оси относительно точки пересечения плоскости и оси.

Теорема Вариньона для системы сходящихся сил:

Момент равнодействующей силы для системы сходящихся сил относительно произвольной точки А равен сумме моментов всех составляющих сил относительно той же точки А (рис.11).

Доказательство в теории сходящихся векторов.

Пояснение: сложение сил по правилу параллелограмма => результирующая сила даёт суммарный момент.

Контрольные вопросы:

1. Назовите основные модели реальных тел в теоретической механике.

2. Сформулируйте аксиомы статики.

3. Что называется моментом силы относительно точки?

Лекция 2. Условия равновесия произвольной системы сил

Из основных аксиом статики следуют элементарные операции над силами:

1) силу можно переносить вдоль линии действия;

2) силы, линии действия которых пересекаются, можно складывать по правилу параллелограмма (по правилу сложения векторов);

3) к системе сил, действующих на твёрдое тело, можно всегда добавить две силы, равные по величине, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны.

Элементарные операции не изменяют механического состояния системы.

Назовём две системы сил эквивалентными, если одна из другой может быть получена с помощью элементарных операций (как в теории скользящих векторов).

Система двух параллельных сил, равных по величине и направленных в противоположные стороны, называется парой сил (рис.12).

Момент пары сил - вектор, по величине равный площади параллелограмма, построенного на векторах пары, и направленный ортогонально к плоскости пары в ту сторону, откуда вращение, сообщаемое векторами пары, видно происходящим против хода часовой стрелки.

, то есть момент силы относительно точки В.

Пара сил полностью характеризуется своим моментом.

Пару сил можно переносить элементарными операциями в любую плоскость, параллельную плоскости пары; изменять величины сил пары обратно пропорционально плечам пары.

Пары сил можно складывать, при этом моменты пар сил складываются по правилу сложения (свободных) векторов.

Приведение системы сил, действующих на твёрдое тело, к произвольной точке (центру приведения) - означает замену действующей системы более простой: системой трёх сил, одна из которых проходит через наперёд заданную точку, а две другие представляют пару.

Доказывается с помощью элементарных операций (рис.13).

Система сходящихся сил и система пар сил.

- результирующая сила .

Результирующая пара .

Что и требовалось показать.

Две системы сил будут эквивалентны тогда и только тогда, когда обе системы приводятся к одной результирующей силе и одной результирующей паре, то есть при выполнении условий:

Общий случай равновесия системы сил, действующих на твёрдое тело

Приведём систему сил к (рис.14):

Результирующая сила через начало координат;

Результирующая пара, причём, через точку О.

То есть привели к и- две силы, одна из которыхпроходит через заданную точку О.

Равновесие, если ина одной прямой, равны, направлены противоположно (аксиома 2).

Тогда проходит через точку О, то есть.

Итак , общие условия равновесия твёрдого тела:

Эти условия справедливы для произвольной точки пространства.

Контрольные вопросы:

1. Перечислите элементарные операции над силами.

2. Какие системы сил называются эквивалентными?

3. Напишите общие условия равновесия твёрдого тела.

Лекция 3. Уравнения равновесия твёрдого тела

Пусть О – начало координат; – результирующая сила;– момент результирующей пары. Пусть точка О1 – новый центр приведения (рис.15).

Новая система сил:

При изменении точки приведения => меняется только (в одну сторону с одним знаком, в другую – с другим). То естьточка:совпадают линиии

Аналитически: (колинеарность векторов)

; координаты точки О1.

Это уравнение прямой линии, для всех точек которой направление результирующего вектора совпадает с направлением момента результирующей пары – прямая называется динамой.

Если на оси динамы => , то система эквивалентна одной результирующей силе, которую называютравнодействующей силой системы. При этом всегда , то есть.

Четыре случая приведения сил:

1.) ;- динама.

2.) ;- равнодействующая.

3.) ;- пара.

4.) ;- равновесие.

Два векторных уравнения равновесия: главный вектор и главный момент равны нулю ,.

Или шесть скалярных уравнений в проекциях на декартовые оси координат:

Здесь:

Сложность вида уравнений зависит от выбора точки приведения => искусство расчётчика.

Нахождение условий равновесия системы твёрдых тел, находящихся во взаимодействии <=> задача о равновесии каждого тела в отдельности, причём на тело действуют внешние силы и силы внутренние (взаимодействие тел в точках соприкосновения с равными и противоположно направленными силами – аксиома IV, рис.17).

Выберем для всех тел системы один центр приведения. Тогда для каждого тела с номером условия равновесия:

, , (= 1, 2, …, k)

где ,- результирующая сила и момент результирующей пары всех сил, кроме внутренних реакций.

Результирующая сила и момент результирующей пары сил внутренних реакций.

Формально суммируя по и учитывая по IV аксиоме

получаем необходимые условия равновесия твёрдого тела:

,

Пример.

Равновесие: = ?

Контрольные вопросы:

1. Назовите все случаи приведения системы сил к одной точке.

2. Что такое динама?

3. Сформулируйте необходимые условия равновесия системы твёрдых тел.

Лекция 4. Плоская система сил

Частный случай общей поставки задачи.

Пусть все действующие силы лежат в одной плоскости – например, листа. Выберем за центр приведения точку О – в этой же плоскости. Получим результирующую силу и результирующую парув этой же плоскости, то есть(рис.19)

Замечание.

Систему можно привести к одной результирующей силе.

Условия равновесия:

или скалярные:

Очень часто встречаются в приложениях, например, в сопротивлении материалов.

Пример.

С трением шара о доску и о плоскость. Условие равновесия: = ?

Задача о равновесии несвободного твёрдого тела.

Несвободным называется такое твёрдое тело, перемещение которого стеснено связями. Например, другими телами, шарнирными закреплениями.

При определении условий равновесия: несвободное тело можно рассматривать как свободное, заменяя связи неизвестными силами реакции.

Пример.

Контрольные вопросы:

1. Что называется плоской системой сил?

2. Напишите условия равновесия плоской системы сил.

3. Какое твёрдое тело называется несвободным?

Лекция 5. Частные случаи равновесия твёрдого тела

Теорема. Три силы уравновешивают твёрдое тело только в том случае, когда все они лежат в одной плоскости.

Доказательство.

Выберем за точку приведения точку на линии действия третьей силы. Тогда (рис.22)

То есть плоскости S1 иS2 совпадают, причём для любой точки на оси силы, ч.т.д. (Проще:в плоскоститолько там же для уравновешивания).

Поиск в библиотеке по авторам и ключевым словам из названия книги:

Теоретическая и аналитическая механика

  • Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М.. Руководство к решению задач по теоретической механике (6-е издание). М.: Высшая школа, 1968 (djvu)
  • Айзерман М.А. Классическая механика (2-е изд.). М.: Наука, 1980 (djvu)
  • Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Механика твердого тела. Лекции. М.: Физфак МГУ, 1997 (djvu)
  • Амелькин Н.И. Кинематика и динамика твердого тела, МФТИ, 2000 (pdf)
  • Аппель П. Теоретическая механика. Том 1. Статистика. Динамика точки. М.: Физматлит, 1960 (djvu)
  • Аппель П. Теоретическая механика. Том 2. Динамика системы. Аналитическая механика. М.: Физматлит, 1960 (djvu)
  • Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике. Успехи математических наук т. XVIII, вып. 6 (114), с91-192, 1963 (djvu)
  • Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ, 1985 (djvu)
  • Баринова М.Ф., Голубева О.В. Задачи и упражнения по классической механике. М.: Высш. школа, 1980 (djvu)
  • Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Том 1: Статика и кинематика (5-е издание). М.: Наука, 1967 (djvu)
  • Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Том 2: Динамика (3-е издание). М.: Наука, 1966 (djvu)
  • Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Том 3: Специальные главы мехники. М.: Наука, 1973 (djvu)
  • Бекшаев С.Я., Фомин В.М. Основы теории колебаний. Одесса: ОГАСА, 2013 (pdf)
  • Беленький И.М. Введение в аналитическую механику. М.: Высш. школа, 1964 (djvu)
  • Березкин Е.Н. Курс теоретической механики (2-е изд.). М.: Изд. МГУ, 1974 (djvu)
  • Березкин Е.Н. Теоретическая механика. Методические указания (3-е изд.). М.: Изд. МГУ, 1970 (djvu)
  • Березкин Е.Н. Решение задач по теоретической механике, часть 1. М.: Изд. МГУ, 1973 (djvu)
  • Березкин Е.Н. Решение задач по теоретической механике, часть 2. М.: Изд. МГУ, 1974 (djvu)
  • Березова О.А., Друшляк Г.Е., Солодовников Р.В. Теоретическая механика. Сборник задач. Киев: Вища школа, 1980 (djvu)
  • Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. М.: Высш. школа, 1980 (djvu)
  • Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А., Самойленко А.М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев: Наук. думка, 1969 (djvu)
  • Бражниченко Н.А., Кан В.Л. и др. Сборник задач по теоретической механике (2-е издание). М.: Высшая школа, 1967 (djvu)
  • Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику. М.: Наука, 1971 (djvu)
  • Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Том 1. Статика и кинематика (3-е издание). М.: Наука, 1979 (djvu)
  • Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Том 2. Динамика (2-е издание). М.: Наука, 1979 (djvu)
  • Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Том 1: Кинематика, статика, динамика материальной точки (6-е издание). М.: Наука, 1965 (djvu)
  • Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Том 2: Динамика системы материальных точек (4-е издание). М.: Наука, 1966 (djvu)
  • Бухгольц Н.Н., Воронков И.М., Минаков А.П. Сборник задач по теоретической механике (3-е издание). М.-Л.: ГИТТЛ, 1949 (djvu)
  • Валле-Пуссен Ш.-Ж. Лекции по теоретической механике, том 1. М.: ГИИЛ, 1948 (djvu)
  • Валле-Пуссен Ш.-Ж. Лекции по теоретической механике, том 2. М.: ГИИЛ, 1949 (djvu)
  • Вебстер А.Г. Механика материальных точек твердых, упругих и жидких тел (лекции по математической физике). Л.-М.: ГТТИ, 1933 (djvu)
  • Веретенников В.Г., Синицын В.А. Метод переменного действия (2-е издание). М.: Физматлит, 2005 (djvu)
  • Веселовский И.Н. Динамика. М.-Л.: ГИТТЛ, 1941 (djvu)
  • Веселовский И.Н. Сборник задач по теоретической механике. М.: ГИТТЛ, 1955 (djvu)
  • Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. М.: Мир, 1980 (djvu)
  • Воронков И.М. Курс теоретической механики (11-е издание). М.: Наука, 1964 (djvu)
  • Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел. М.: Наука, 1976 (djvu)
  • Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1966 (2-е издание) (djvu)
  • Гернет М.М. Курс теоретической механики. М.: Высш.школа (3-е издание), 1973 (djvu)
  • Геронимус Я.Л. Теоретическая механика (очерки об основных положениях). М.: Наука, 1973 (djvu)
  • Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи. М.: АН СССР, 1959 (djvu)
  • Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Гостехиздат, 1957 (djvu)
  • Голубева О.В. Теоретическая механика. М.: Высш. школа, 1968 (djvu)
  • Диментберг Ф.М. Винтовое исчисление и его приложения в механике. М.: Наука, 1965 (djvu)
  • Добронравов В.В. Основы аналитической механики. М.: Высшая школа, 1976 (djvu)
  • Жирнов Н.И. Классическая механика. М.: Просвещение, 1980 (djvu)
  • Жуковский Н.Е. Теоретическая механика (2-е издание). М.-Л.: ГИТТЛ, 1952 (djvu)
  • Журавлев В.Ф. Основания механики. Методические аспекты. М.: Институт проблем механики РАН (препринт N 251), 1985 (djvu)
  • Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики (2-е издание). М.: Физматлит, 2001 (djvu)
  • Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988 (djvu)
  • Зубов В.И., Ермолин В.С. и др. Динамика свободного твердого тела и определение его ориентации в пространстве. Л.: ЛГУ, 1968 (djvu)
  • Зубов В.Г. Механика. Серия "Начала физики". М.: Наука, 1978 (djvu)
  • История механики гироскопических систем. М.: Наука, 1975 (djvu)
  • Ишлинский А.Ю. (ред.). Теоретическая механика. Буквенные обозначения величин. Вып. 96. М: Наука, 1980 (djvu)
  • Ишлинский А.Ю., Борзов В.И., Степаненко Н.П. Сборник задач и упражнений по теории гироскопов. М.: Изд-во МГУ, 1979 (djvu)
  • Кабальский М.М., Кривошей В.Д., Савицкий Н.И., Чайковский Г.Н. Типовые задачи по теоретической механике и методы их решения. Киев: ГИТЛ УССР, 1956 (djvu)
  • Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики, т.1: кинематика, статика, динамика точки, (2-е изд.), М.: Наука, 1977 (djvu)
  • Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики, т.2: динамика системы, аналитическая механика, элементы теории потенциала, мехаиики сплошной среды, специальной и общей теории относительности, М.: Наука, 1977 (djvu)
  • Кирпичев В.Л. Беседы о механике. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (djvu)
  • Климов Д.М. (ред.). Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского. М.: Физматлит, 2003 (djvu)
  • Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела (2-е изд.). Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000 (djvu)
  • Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. университета, 1995 (djvu)
  • Космодемьянский А.А. Курс теоретической механики. Часть I. М.: Просвещение, 1965 (djvu)
  • Космодемьянский А.А. Курс теоретической механики. Часть II. М.: Просвещение, 1966 (djvu)
  • Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике (2-е изд.). М.: Наука, 1977 (djvu)
  • Крагельский И.В., Щедров В.С. Развитие науки о трении. Сухое трение. М.: АН СССР, 1956 (djvu)
  • Лагранж Ж. Аналитическая механика, том 1. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (djvu)
  • Лагранж Ж. Аналитическая механика, том 2. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (djvu)
  • Ламб Г. Теоретическая механика. Том 2. Динамика. М.-Л.: ГТТИ, 1935 (djvu)
  • Ламб Г. Теоретическая механика. Том 3. Более сложные вопросы. М.-Л.: ОНТИ, 1936 (djvu)
  • Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. Том 1, часть 1: Кинематика, принципы механики. М.-Л.: НКТЛ СССР, 1935 (djvu)
  • Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. Том 1, часть 2: Кинематика, принципы механики, статика. М.: Из-во иностр. литературы, 1952 (djvu)
  • Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. Том 2, часть 1: Динамика систем с конечным числом степеней свободы. М.: Из-во иностр. литературы, 1951 (djvu)
  • Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. Том 2, часть 2: Динамика систем с конечным числом степеней свободы. М.: Из-во иностр. литературы, 1951 (djvu)
  • Лич Дж.У. Классическая механика. М.: Иностр. литература, 1961 (djvu)
  • Лунц Я.Л. Введение в теорию гироскопов. М.: Наука, 1972 (djvu)
  • Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: ГИФМЛ, 1961 (djvu)
  • Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (djvu)
  • Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992 (djvu)
  • Маркеев А.П. Теоретическая механика, 2-е издание. Ижевск: РХД, 1999 (djvu)
  • Мартынюк А.А. Устойчивость движения сложных систем. Киев: Наук. думка, 1975 (djvu)
  • Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити. М.: Наука, 1980 (djvu)
  • Механика в СССР за 50 лет. Том 1. Общая и прикладная механика. М.: Наука, 1968 (djvu)
  • Метелицын И.И. Теория гироскопа. Теория устойчивости. Избранные труды. М.: Наука, 1977 (djvu)
  • Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (34-е издание). М.: Наука, 1975 (djvu)
  • Мисюрев М.А. Методика решения задач по теоретической механике. М.: Высшая школа, 1963 (djvu)
  • Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969 (djvu)
  • Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967 (djvu)
  • Некрасов А.И. Курс теоретической механики. Том 1. Статика и кинематика (6-е изд.) М.: ГИТТЛ, 1956 (djvu)
  • Некрасов А.И. Курс теоретической механики. Том 2. Динамика (2-е изд.) М.: ГИТТЛ, 1953 (djvu)
  • Николаи Е.Л. Гироскоп и некоторые его технические применения в общедоступном изложении. М.-Л.: ГИТТЛ, 1947 (djvu)
  • Николаи Е.Л. Теория гироскопов. Л.-М.: ГИТТЛ, 1948 (djvu)
  • Николаи Е.Л. Теоретическая механика. Часть I. Статика. Кинематика (издание двадцатое). М.: ГИФМЛ, 1962 (djvu)
  • Николаи Е.Л. Теоретическая механика. Часть II. Динамика (издание тринадцатое). М.: ГИФМЛ, 1958 (djvu)
  • Новоселов В.С. Вариационные методы в механике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1966 (djvu)
  • Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. М.: МГУ, 1978 (djvu)
  • Ольховский И.И., Павленко Ю.Г., Кузьменков Л.С. Задачи по теоретической механике для физиков. М.: МГУ, 1977 (djvu)
  • Парс Л.А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971 (djvu)
  • Перельман Я.И. Занимательная механика (4-е издание). М.-Л.: ОНТИ, 1937 (djvu)
  • Планк М. Введение в теоретическую физику. Часть первая. Общая механика (2-е издание). М.-Л.: ГТТИ, 1932 (djvu)
  • Полак Л.С. (ред.) Вариационные принципы механики. Сборник статей классиков науки. М.: Физматгиз, 1959 (djvu)
  • Пуанкаре А. Лекции по небесной механике. М.: Наука, 1965 (djvu)
  • Пуанкаре А. Новая механика. Эволюция законов. М.: Современные проблемы: 1913 (djvu)
  • Розе Н.В. (ред.) Теоретическая механика. Часть 1. Механика материальной точки. Л.-М.: ГТТИ, 1932 (djvu)
  • Розе Н.В. (ред.) Теоретическая механика. Часть 2. Механика материальной системы и твердого тела. Л.-М.: ГТТИ, 1933 (djvu)
  • Розенблат Г.М. Сухое трение в задачах и решениях. М.-Ижевск: РХД, 2009 (pdf)
  • Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.-Ижевск: РХД, 2003 (pdf)
  • Самсонов В.А. Конспект лекций по механике. М.: МГУ, 2015 (pdf)
  • Сахарный Н.Ф. Курс теоретической механики. М.: Высш. школа, 1964 (djvu)
  • Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 1. М.: Высш. школа, 1968 (djvu)
  • Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 2. М.: Высш. школа, 1971 (djvu)
  • Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 3. М.: Высш. школа, 1972 (djvu)
  • Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 4. М.: Высш. школа, 1974 (djvu)
  • Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 5. М.: Высш. школа, 1975 (djvu)
  • Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 6. М.: Высш. школа, 1976 (djvu)
  • Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 7. М.: Высш. школа, 1976 (djvu)
  • Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 8. М.: Высш. школа, 1977 (djvu)
  • Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 9. М.: Высш. школа, 1979 (djvu)
  • Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 10. М.: Высш. школа, 1980 (djvu)
  • Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 11. М.: Высш. школа, 1981 (djvu)
  • Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 12. М.: Высш. школа, 1982 (djvu)
  • Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 13. М.: Высш. школа, 1983 (djvu)
  • Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 14. М.: Высш. школа, 1983 (djvu)
  • Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 15. М.: Высш. школа, 1984 (djvu)
  • Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Выпуск 16. М.: Высш. школа, 1986
Похожие публикации