Что значит найти произведение. Разность по модулю и произведение двух чисел

Задача 1.2
Даны два целых числа Х и Т. Если они имеют разные знаки, то присвоить Х значение произведения этих чисел, а Т - значение их разности по модулю. Если числа имеют одинаковые знаки, то присвоить Х значение разности по модулю исходных чисел, а Т - значение произведения этих чисел. Новые значения Х и Т вывести на экран.

Задача тоже несложная. “Непонятки” могут возникнуть только в том случае, если вы забыли, что такое разность по модулю (надеюсь, что такое произведение двух целых чисел, вы всё-таки помните))).

Разность по модулю двух чисел

Разность по модулю двух целых чисел (хотя не обязательно целых - это не имеет значения, просто в нашей задаче числа целые) - это, говоря по простому, когда итогом вычисления является модуль разности двух чисел.

То есть сначала выполняется операция вычитания одного числа из другого. А затем вычисляется модуль результата этой операции.

Математически это можно записать так:

Если кто забыл, что такое модуль или как его вычислить в Паскале, то см. .

Алгоритм определения знаков двух чисел

Решение задачи в целом довольно простое. Трудность у новичков может вызвать лишь определение знаков двух чисел. То есть надо ответить на вопрос: как узнать, имеют числа одинаковые знаки или разные.

Сначала напрашивается поочерёдное сравнение чисел с нулём. Это допустимо. Но исходный код будет довольно большим. Поэтому более правильно использовать такой алгоритм:

  1. Умножить числа друг на друга
  2. Если результат меньше нуля, значит у чисел разные знаки
  3. Если результат равен нулю или больше нуля, то у чисел одинаковые знаки

Этот алгоритм я выполнил в виде отдельной . А сама программа получилась такой, как показано в примерах на Паскале и С++ ниже.

Решение задачи 1.2 на Паскале program checknums; var A, X, T: integer; //**************************************************************** // Проверяет, имеют ли числа N1 и N2 одинаковые знаки. Если да, то // возвращает TRUE, иначе - FALSE //**************************************************************** function ZnakNumbers(N1, N2: integer) : boolean; begin := (N1 * N2) >= 0; end; //**************************************************************** // ОСНОВНАЯ ПРОГРАММА //**************************************************************** begin Write("X = "); ReadLn(X); Write("T = "); ReadLn(T); if ZnakNumbers(X, T) then //Если числа имеют одинаковые знаки begin A:= (X - T); //Получить разность по модулю исходных чисел T:= X * T; end else //Если числа имеют разные знаки begin A:= X * T; T:= Abs(X - T); end; X:= A; //Записать в Х значение А WriteLn("X = ", X); //Вывести Х WriteLn("T = ", T); //Вывести Т WriteLn("The end. Press ENTER..."); ReadLn; end.


Решение задачи 1.2 на С++ #include #include using namespace std; int A, X, T; //**************************************************************** // Проверяет, имеют ли числа N1 и N2 одинаковые знаки. Если да, то // возвращает TRUE, иначе - FALSE //**************************************************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) { return ((N1 * N2) >= 0); } //**************************************************************** // ОСНОВНАЯ ПРОГРАММА //**************************************************************** int main(int argc, char *argv) { cout > X; cout > T; if (ZnakNumbers(X, T)) //Если числа имеют одинаковые знаки { A = abs(X - T); //Получить разность по модулю исходных чисел T = X * T; } else //Если числа имеют разные знаки { A = X * T; T = abs(X - T); } X = A; //Записать в Х значение А cout

Оптимизация

Эту простую программу можно ещё немного упростить, если не использовать функцию и немного переделать исходный код программы. При этом общее количество строк исходного кода немного сократится. Как это сделать - подумайте сами.

    Сумма - это результат сложения, причем слово может относиться не только к цифрам.

    Разность - это то, что получается после вычитания чисел.

    Произведение - то что получается после умножения, слово имеет и другое значение.

    Частное - это то, что получается после деления.

    I . Математические понятия СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ взаимосвязаны с математическими терминами СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ, УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ .

    Все определения даются здесь на множестве натуральных чисел.

    Каждой паре чисел ставится в соответствие число, называемое их СУММОЙ .

    Сумма состоит из стольких единиц, сколько их содержится в числах (слагаемых) из данной пары.

    СУММА есть результат сложения чисел-слагаемых.

    Вычитание - это операция, обратная сложению. Она состоит в нахождении одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Данная сумма называется уменьшаемым, данное слагаемое - вычитаемым, а искомое слагаемое - РАЗНОСТЬЮ .

    РАЗНОСТЬ - это число, являющееся результатом вычитания, остаток вычитания.

    Каждой паре чисел можно поставить в соответствие число, которое состоит из стольких единиц, сколько их содержится в первом числе из пары, взятых столько раз, сколько единиц содержится во втором числе из пары. Это соответствующее таким образом паре чисел (они называются сомножителями) число называется ПРОИЗВЕДЕНИЕМ .

    ПРОИЗВЕДЕНИЕ - это результат умножения.

    Деление есть операция, обратная умножению.

    Деление - это нахождение одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю. Данное произведение называется делимым, данный сомножитель - делителем, а искомый сомножитель - это ЧАСТНОЕ , то есть число, полученное от деления одного числа на другое.

    II . ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СЛОВ СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ .

    Все используемые в качестве математических понятий слова могут иметь и другие лексические значения.

    СУММА в переносном значении означает совокупность, общее количество чего-либо.

    Например. Профессионализм педагога заключается в сумме знаний, умений и навыков, передаваемых им своим ученикам. Отсутствие нужной суммы денег заставило отказаться от покупки.

    РАЗНОСТЬ имеет значения разницы, несходства, отличия в чем-либо.

    Например. Разность интересов намного хуже разницы в возрасте. Дружба может начаться с представления об общности взглядов, а вражда - с разности взглядов.

    ПРОИЗВЕДЕНИЕ означает что-либо произведенное в процессе труда, создание чего-нибудь, продукт труда, творчества, искусства и т.п.

    Например. Высокое художественное произведение заставляет человека думать над своей жизнью. На конкурсе юных пианистов мальчик играл произведение П.И. Чайковского. Эта шкатулка - настоящее произведение искусства.

    ЧАСТНОЕ - это что-то личное, персональное, принадлежащее только одному человеку, это его собственность, его и только его достояние. И будь то самоличные мысли, будь то имущество или что-нибудь другое, но оно принадлежит только ему, частному лицу.

    Например. Подруга подарила мне записную книжку с надписью Частное. Хорошо ли противопоставлять частное общественному?

    По сути, все четыре слова в вопросе, а именно сумма, разность, произведение и частное, отражаю четыре основные математические действия, которые являются азами. Именно с обучения данным действиям начинается увлекательный путь в мир математики. Таким образом,

    Сумма, разность, произведение, частное - это результат математических дейтсвий, с которых мы все начинали свое знакомства с математикой. В жизни эти слова мы тоже используем, но значение вкладываем в них больше математическое, хоть складывать можем и не числа. Произведение еще может быть и художественным. Это совсем другое значение слова, которое мы применяем в жизни.

    Все эти четыре термина употребляются преимущественно в математике.

    Сумма - это когда происходит складывание двух чисел;

    Разность- это вычитание одного числа из другого;

    Частное - это деление одного числа на другое;

    Произведение - это умножение одного числа на другое.

    Частное - результат деления чисел, произведение - результат умножения чисел, сумма - результат сложения чисел, разность - результат вычетания. Это элементарные математические действия, которые можно проводить с числами.

    Это такие математические понятия.

    Сумма - это результат сложения. Числа, которые складывают, называют первое слагаемое и второе слагаемое. Обозначается таким знаком: +.

    Разность - это результат вычитания. Числа, которые вычитают, называют уменьшаемое (то, которое больше) и вычитаемое (то, которое меньше). Обозначается таким знаком: -.

    Произведение - это результат умножения. Числа, которые умножают, называются первым множителем и вторым множителем. Обозначается таким знаком: *.

    Частное - это результат деления. Числа, которые делят, называются делимое (то, которое больше), делитель (то, которое меньше). Обозначается таим знаком: :.

    Эти все понятия проходят в начальной школе.

    В математике есть четыре простые операции, которые можно применить к двум числам и получить такие результаты:

    сумма - это результат сложения чисел,

    разность - это результат вычетания от одного числа другого,

    произведение - это результат умножения чисел,

    частное - это уже результат деления чисел.

    Суммой в математике назовем число, которое получим в результате прибавления одного числа к другом. Разность это число противоположное сложению, это когда отнимают от большего числа меньшее. Произведением назовем число, которое получится в результате умножения одного числа на другое. Разность это противомоложное произведению число. Получаем разность так: делим одно число на другое.

    Я математик по образованию, специальность: учитель математики. Проработала всю жизнь преподавателем математики в педвузе.

    Необходимо оговориться. Речь в дальнейшем пойдет о сумме, разности, произведении, частном чисел.

    Ответы на данные вопросы хотя и простые, но вызывают затруднения у учащихся. Чтобы можно было более подробно рассмотреть эту обобщающую тему, предлагаю вашему вниманию полезный материал по ней. Заметка называется Математика для блондинок.

    Мне понравилась методика изучения.

    Задается провокационный вопрос:

    Разность - это поделить или умножить?

    Пытаются заинтересовать (ни одна предложенная версия не является верной!)))

    Затем отвечают:

    Разность - это отнять. Результат вычитания называется разность.

    Аналогично получают:

    Сумма - это сложить. Результат сложения называется сумма.

    Произведение - это умножить. Результат умножения называется произведение.

    Частное - это деление. Результат деления называется частное.

    Таким простым языком объясняются верные понятия суммы, разности, произедения и частного в математике. Немного упрощенно записаны лишь словосочетания: разность - это отнять, сумма - прибавить, произведение - умножить, частное - разделить. Если быть точными, так не утверждают.

    Итак, результат сложения чисел (слагаемых) - это их сумма , результат вычитания чисел (уменьшаемого и вычитаемого) - это разность , результат умножения чисел (сомножителей) - это произведение , а результат деления чисел (делимого на делитель), причем делитель не должен быть равен нулю, иначе деление нельзя выполнить, есть частное этих чисел.

    О других значениях данных слов не задумываюсь, математика затмевает все.)))

    Слова Сумма, Разность, Произведение и Частное очень знакомо ученикам школ и других учебных заведений веди с этими определениям им приходиться на каждом уроке математики.

    1) Сумма

    Суммой является результат, полученный после сложения (+) двух или более чисел.

    Суммой так же является итоговая стоимость товара (сумма к оплате), общая совокупность знаний, впечатлений и много чего.

    2) Разность

    В математике означает результат вычитания числе (-).

    Слово разность так же может употребляться в качестве слова разницы чего-либо. Например, разность мнений, разность взглядов, разность показателей и т.д.

    3) Произведение

    Произведением является результат, полученный после умножения чисел (*).

    Кроме математики это слово еще употребляется в качестве обозначения результата творческого процесса (произведение искусства), в качестве глагола от производить.

    4) Честное

    Этим словом обозначают результат деления двух чисел (:).

    Слово частное мы так же можем услышать при обозначении принадлежности чего либо одному собственнику (частное лицо, частная собственность, частное дело).

Разберем понятие умножение на примере:

Туристы находились в пути три дня. Каждый день они проходили одинаковый путь по 4200 м. Какое расстояние они прошли за три дня? Решите задачу двумя способами.

Решение:
Рассмотрим задачу подробно.

В первый день туристы прошли 4200м. Во-второй день тот же самый путь прошли туристы 4200м и в третий день – 4200м. Запишем математическим языком:
4200+4200+4200=12600м.
Мы видим закономерность число 4200 повторяется три раза, следовательно, можно сумму заменить умножением:
4200⋅3=12600м.
Ответ: туристы за три дня прошли 12600 метров.

Рассмотрим пример:

Чтобы нам не писать длинную запись можно записать ее в виде умножения. Число 2 повторяется 11 раз поэтому пример с умножением будет выглядеть так:
2⋅11=22

Подведем итог. Что такое умножение?

Умножение – это действие заменяющее повторение n раз слагаемого m.

Запись m⋅n и результат этого выражения называют произведением чисел , а числа m и n называют множителями .

Рассмотрим сказанное на примере:
7⋅12=84
Выражение 7⋅12 и результат 84 называются произведением чисел .
Числа 7 и 12 называются множителями .

В математике есть несколько законов умножения. Рассмотрим их:

Переместительный закон умножения.

Рассмотрим задачу:

Мы отдали по два яблока 5 своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 2⋅5.
Или мы отдали по 5 яблок двум своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 5⋅2.
В первом и втором случаем мы раздадим одинаковое количество яблок равное 10 штукам.

Если мы умножим 2⋅5=10 и 5⋅2=10, то результат не поменяется.

Свойство переместительного закона умножения:
От перемены мест множителей произведение не меняется.
m ⋅ n =n⋅ m

Сочетательный закон умножения.

Рассмотрим на примере:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 или 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 получим,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅(b ⋅ c )

Свойство сочетательного закона умножения:
Чтобы число умно­жить на про­из­ве­де­ние двух чисел, можно его сна­ча­ла умно­жить на пер­вый мно­жи­тель, а затем по­лу­чен­ное про­из­ве­де­ние умно­жить на вто­рой.

Меняя несколько множителей местами и заключая их в скобки, результат или произведение не изменится.

Эти законы верны для любых натуральных чисел.

Умножение любого натурального числа на единицу.

Рассмотрим пример:
7⋅1=7 или 1⋅7=7
a ⋅1=a или 1⋅ a = a
При умножении любого натурального числа на единицу произведением будет всегда тоже число.

Умножение любого натурального числа на нуль.

6⋅0=0 или 0⋅6=0
a ⋅0=0 или 0⋅ a =0
При умножении любого натурального числа на нуль произведение будет равно нулю.

Вопросы к теме “Умножение”:

Что такое произведение чисел?
Ответ: произведением чисел или умножение чисел называется выражение m⋅n, где m – слагаемое, а n – число повторений этого слагаемого.

Для чего нужно умножение?
Ответ: чтобы не писать длинное сложение чисел, а писать сокращенно. Например, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Что является результатом умножения?
Ответ: значение произведения.

Что означает запись умножения 3⋅5?
Ответ: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Если умножить миллион на нуль, чему будет равно произведение?
Ответ: 0

Пример №1:
Замените сумму произведением: а) 12+12+12+12+12 б)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Ответ: а)12⋅5=60 б) 3⋅9=27

Пример №2:
Запишите в виде произведения: а) а+а+а+а б) с+с+с+с+с+с+с
Решение:
а)а+а+а+а=4⋅а
б) с+с+с+с+с+с+с=7⋅с

Задача №1:
Мама купила 3 коробки конфет. В каждой коробке по 8 конфет. Сколько конфет купила мама?
Решение:
В одной коробке 8 конфет, а у нас таких коробок 3 штуки.
8+8+8=8⋅3=24 конфеты
Ответ: 24 конфеты.

Задача №2:
Учительница рисования сказала приготовить своим восемью ученикам по семь карандашей на урок. Сколько всего карандашей вместе было у детей?
Решение:
Можно посчитать суммой задачу. У первого ученика было 7 карандашей, у второго ученика было 7 карандашей и т.д.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Запись получилась неудобная и длинная, заменим сумму на произведение.
7⋅8=56
Ответ 56 карандашей.


В этой статье мы разберемся, как выполняется умножение целых чисел . Сначала введем термины и обозначения, а также выясним смысл умножения двух целых чисел. После этого получим правила умножения двух целых положительных, целых отрицательных и целых чисел с разными знаками. При этом будем приводить примеры с детальным пояснением хода решения. Также затронем случаи умножения целых чисел, когда один из множителей равен единице или нулю. Дальше мы научимся выполнять проверку полученного результата умножения. И, наконец, поговорим об умножении трех, четырех и большего количества целых чисел.

Навигация по странице.

Термины и обозначения

Для описания умножения целых чисел мы будем использовать такие же термины, с помощью которых мы описывали умножение натуральных чисел. Напомним их.

Умножаемые целые числа называются множителями . Результат умножения называется произведением . Действие умножение обозначается знаком умножить вида «·». В некоторых источниках можно встретить обозначение умножения знаками «*» или «×».

Умножаемые целые числа a , b и результат их умножения c удобно записывать с помощью равенства вида a·b=c . В этой записи целое число a – это первый множитель, целое число b – второй множитель, а число c – произведение. вида a·b также будем называть произведением, как и значение этого выражения c .

Забегая вперед, заметим, что произведение двух целых чисел представляет собой целое число.

Смысл умножения целых чисел

Умножение целых положительных чисел

Целые положительные числа – это натуральные числа, поэтому умножение целых положительных чисел проводится по всем правилам умножения натуральных чисел. Понятно, что в результате умножения двух целых положительных чисел получится целое положительное число (натуральное число). Рассмотрим пару примеров.

Пример.

Чему равно произведение целых положительных чисел 127 и 5 ?

Решение.

Первый множитель 107 представим в виде суммы разрядных слагаемых , то есть, в виде 100+20+7 . После этого воспользуемся правилом умножения суммы чисел на данное число : 127·5=(100+20+7)·5=100·5+20·5+7·5 . Остается лишь закончить вычисление: 100·5+20·5+7·5= 500+100+35=600+35=635 .

Таким образом, произведение данных целых положительных чисел 127 и 5 равно 635 .

Ответ:

127·5=635 .

Для умножения многозначных целых положительных чисел удобно использовать метод умножения столбиком .

Пример.

Умножьте трехзначное целое положительное число 712 на двузначное целое положительное число 92 .

Решение.

Выполним умножение данных целых положительных чисел в столбик:

Ответ:

712·92=65 504 .

Правило умножения целых чисел с разными знаками, примеры

Сформулировать правило умножения целых чисел с разными знаками нам поможет следующий пример.

Вычислим произведение целого отрицательного числа −5 и целого положительного числа 3 на основании смысла умножения. Так (−5)·3=(−5)+(−5)+(−5)=−15 . Чтобы сохранилась справедливость переместительного свойства умножения, должно выполняться равенство (−5)·3=3·(−5) . То есть, произведение 3·(−5) также равно −15 . Несложно заметить, что −15 равен произведению модулей исходных множителей, откуда следует, что произведение исходных целых чисел с разными знаками равно произведению модулей исходных множителей, взятому со знаком минус.

Так мы получили правило умножения целых чисел с разными знаками : чтобы перемножить два целых числа с разными знаками, нужно перемножить модули этих чисел и перед полученным числом поставить знак минус.

Из озвученного правила можно заключить, что произведение целых чисел с разными знаками всегда является целым отрицательным числом. Действительно, в результате умножения модулей множителей мы получим целое положительное число, а если перед этим числом поставить знак минус, то она станет целым отрицательным.

Рассмотрим примеры вычисления произведения целых чисел с разными знаками с помощью полученного правила.

Пример.

Выполните умножение целого положительного числа 7 на целое отрицательное число −14 .

Решение.

Воспользуемся правилом умножения целых чисел с разными знаками. Модули множителей равны соответственно 7 и 14 . Вычислим произведение модулей: 7·14=98 . Осталось перед полученным числом поставить знак минус: −98 . Итак, 7·(−14)=−98 .

Ответ:

7·(−14)=−98 .

Пример.

Вычислите произведение (−36)·29 .

Решение.

Нам нужно вычислить произведение целых чисел с разными знаками. Для этого вычисляем произведение абсолютных величин множителей: 36·29=1 044 (умножение лучше провести в столбик). Теперь ставим знак минус перед числом 1 044 , получаем −1 044 .

Ответ:

(−36)·29=−1 044 .

В заключение этого пункта докажем справедливость равенства a·(−b)=−(a·b) , где a и −b - произвольные целые числа. Частным случаем этого равенства является озвученное правило умножения целых чисел с разными знаками.

Другими словами, нам нужно доказать, что значения выражений a·(−b) и a·b – противоположные числа . Чтобы это доказать, найдем сумму a·(−b)+a·b и убедимся, что она равна нулю. В силу распределительного свойства умножения целых чисел относительно сложения справедливо равенство a·(−b)+a·b=a·((−b)+b) . Сумма (−b)+b равна нулю как сумма противоположных целых чисел, тогда a·((−b)+b)=a·0 . Последнее произведение равно нулю по свойству умножения целого числа на нуль . Таким образом, a·(−b)+a·b=0 , следовательно, a·(−b) и a·b являются противоположными числами, откуда вытекает справедливость равенства a·(−b)=−(a·b) . Аналогично можно показать, что (−a)·b=−(a·b) .

Правило умножения отрицательных целых чисел, примеры

Получить правило умножения двух целых отрицательных чисел нам поможет равенство (−a)·(−b)=a·b , которое мы сейчас докажем.

В конце предыдущего пункта мы показали, что a·(−b)=−(a·b) и (−a)·b=−(a·b) , поэтому мы можем записать следующую цепочку равенств (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b)) . А полученное выражение −(−(a·b)) есть не что иное, как a·b в силу определения противоположных чисел. Итак, (−a)·(−b)=a·b .

Доказанное равенство (−a)·(−b)=a·b позволяет сформулировать правило умножения целых отрицательных чисел : произведение двух отрицательных целых чисел равно произведению модулей этих чисел.

Из озвученного правила следует, что результатом умножения двух целых отрицательных чисел является целое положительное число.

Рассмотрим применение этого правила при выполнении умножения целых отрицательных чисел.

Пример.

Вычислите произведение (−34)·(−2) .

Решение.

Нам нужно перемножить два отрицательных целых числа −34 и −2 . Воспользуемся соответствующим правилом. Для этого находим модули множителей: и . Осталось вычислить произведение чисел 34 и 2 , что мы умеем делать. Кратко все решение можно записать так (−34)·(−2)=34·2=68 .

Ответ:

(−34)·(−2)=68 .

Пример.

Выполните умножение целого отрицательного числа −1 041 на целое отрицательное число −538 .

Решение.

По правилу умножения целых отрицательных чисел искомое произведение равно произведению модулей множителей. Модули множителей равны соответственно 1 041 и 538 . Выполним умножение столбиком:

Ответ:

(−1 041)·(−538)=560 058 .

Умножение целого числа на единицу

Умножение любого целого числа a на единицу дает в результате число a . Об этом мы уже упоминали, когда обсуждали смысл умножения двух целых чисел. Так a·1=a . В силу переместительного свойства умножения должно быть справедливым равенство a·1=1·a . Следовательно, 1·a=a .

Приведенные рассуждения приводят нас к правилу умножения двух целых чисел, одно из которых равно единице. Произведение двух целых чисел, в котором одним из множителей является единица, равно другому множителю .

Например, 56·1=56 , 1·0=0 и 1·(−601)=−601 . Приведем еще пару примеров. Произведение целых чисел −53 и 1 равно −53 , а результатом умножения единицы и отрицательного целого числа −989 981 является число −989 981 .

Умножение целого числа на нуль

Мы условились, что произведение любого целого числа a на нуль равно нулю, то есть, a·0=0 . Переместительное свойство умножения заставляет нас принять и равенство 0·a=0 . Таким образом, произведение двух целых чисел, в котором хотя бы один из множителей является нулем, равно нулю . В частности, результатом умножения нуля на нуль является нуль: 0·0=0 .

Приведем несколько примеров. Произведение целого положительного числа 803 и нуля равно нулю; результатом умножения нуля на целое отрицательное число −51 является нуль; также (−90 733)·0=0 .

Отметим также, что произведение двух целых чисел тогда и только тогда равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Проверка результата умножения целых чисел

Проверка результата умножения двух целых чисел осуществляется с помощью деления. Нужно провести деление полученного произведения на один из множителей, если при этом получится число, равное другому множителю, то умножение было выполнено верно. Если же получится число, отличное от другого слагаемого, то где-то была допущена ошибка.

Рассмотрим примеры, в которых проводится проверка результата умножения целых чисел.

Пример.

В результате умножения двух целых чисел −5 и 21 было получено число −115 , правильно ли вычислено произведение?

Решение.

Выполним проверку. Для этого разделим вычисленное произведение −115 на один из множителей, например, на −5 . , выполните проверку результата. (−17)·(−67)=1 139 .

Умножение трех и более целых чисел

Сочетательное свойство умножения целых чисел позволяет нам однозначно определить произведение трех, четырех и большего количества целых чисел. При этом остальные свойства умножения целых чисел позволяют утверждать, что произведение трех и более целых чисел не зависит от способа расстановки скобок и от порядка следования множителей в произведении. Аналогичные утверждения мы обосновали, когда говорили об умножении трех и большего количества натуральных чисел . В случае целых множителей обоснование полностью совпадает.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Вычислите произведение пяти целых чисел 5 , −12 , 1 , −2 и 15 .

Решение.

Мы можем последовательно слева направо заменять два соседних множителя их произведением: 5·(−12)·1·(−2)·15= (−60)·1·(−2)·15= (−60)·(−2)·15= 120·15=1 800 . Этот вариант вычисления произведения соответствует следующему способу расстановки скобок: (((5·(−12))·1)·(−2))·15 .

Также мы могли переставить некоторые множители местами и расставить скобки иначе, если это позволяет провести вычисление произведения данных пяти целых чисел более рационально. Например, можно было переставить множители в следующем порядке 1·5·(−12)·(−2)·15 , после чего расставить скобки так ((1·5)·(−12))·((−2)·15) . В этом случае вычисления будут такими: ((1·5)·(−12))·((−2)·15)= (5·(−12))·((−2)·15)= (−60)·(−30)=1 800 .

Как видите, разные варианты расстановки скобок и различный порядок следования множителей привели нас к одному и тому же результату.

Ответ:

5·(−12)·1·(−2)·15=1 800 .

Отдельно отметим, что если в произведении трех, четырех и т.д. целых чисел хотя бы один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю. Например, произведение четырех целых чисел 5 , −90 321 , 0 и 111 равно нулю; результатом умножения трех целых чисел 0 , 0 и −1 983 также является нуль. Справедливо и обратное утверждение: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Похожие публикации