Икс принадлежит. Свойства операций над множествами

По определению, функцией z=f(x,y) от двух переменных х и у называется соответствие f, которое каждой паре чисел (х, у) € D сопоставляет одно и только одно число z € R.

По определению, функцией z=f(x,y,z) от трёх переменных х и у и z называется соответствие f, которое каждой тройке чисел (х, у, z) € D сопоставляет одно и только одно число k € R.

поверхностью уровня называется поверхность, для которой выполняется условие f(x, у, z)= =const.

Областью изменения функции f(х, у) двух переменных х и у называется множество значений, принимаемых в области определения. (E(f) или Е).

линией уровня называется линия для кот-ой выполняется условие f(x,y)=const

функция от двух переменных заданная неявно, определяется уравнением f(x,y)=0

графиком ф-ии двух переменных является поверхность

D-область опр-я ф-ии трёх переменных, если каждой упорядоченной тройке чисел (x, y. z) из области D соответствует определенное число k  K  R

D-область опр-я ф-ии двух переменных, если каждой упорядоченной паре чисел (x , y ) из области D соответствует определенное число z  Z  R

(D(x, y) - некоторое множество

точек плоскости Oxy)

ф-я одной переменной, заданная неявно имеет вид f(x)=0

Вопрос 2

по определению, последовательность точек Рn на плоскости сходится к точке Ро, если Хn->Xo, Y->Yo

множество точек P 0 (x 0 ,y 0)€R 2 называется открытым шаром радиуса r с центром в точке Р 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) , если для справедливо √((x-x 0) 2 +(y-y 0) 2 +(z-z 0) 2)

множ-во наз-ся открытым, если оно состоит из одних внутренних точек

окрестностью точки P 0 (x 0 ,y 0)€R 2 называется совокупность всех точек (x,y) , удовлетворяющих нер-ву √((x-x 0) 2 +(y-y 0) 2)

множество точек P(x,y)€R 2 называется открытым прямоугольником, если для a 1

множество Е ограничено, если сущ. Число с>0 такое что для любой точки P(x,y)€E выполняется неравенство x 2 +y 2

Множество точек P(x,y) принадлежит R 2 называется кругом радиуса r с центром в точке P 0 (x 0 ,y 0) если для d=√(x-x 0) 2 +(y-y 0) 2 справедливо d

Множество точек P(x,y) принадлежит R 2 называется замкнутым прямоугольником если для a 1

По определению, точка P 0 (x 0 ,y 0) называется внутренней точкой множества Е если она входит в это множество с какой то окрестностью.

Множество точек P(x,y) принадлежит R 2 называется кругом радиуса r с центром в точке P 0 (x 0 ,y 0) если для d=√(x-x 0) 2 +(y-y 0) 2 справедливо d=

Вопрос 3

по определению ф-я f(x,y) непрерывна в точке P 0 если lim x -> xo , y -> yo f(x,y)=f(x 0 ,y 0)

для z=f(x,y) , δ 2 f(x,y)/δx 2 =∂/∂x(∂f/∂x)

если lim x -> xo , y -> yo f(x,y)=A, lim x -> xo , y -> yo п(x,y)=В, то lim (f(x,y)*g(x,y))= A*B

по определению (на языке ξ-δ) функция f(x,y) непрерывна в точке P 0 (x 0 ,y 0) , если для любого ξ>0 сущ.δ:|MM 0 | <δ ,то |f(M 0)-f(M)|<ξ

по определению (на языке окресностей) функция u=f(x,y,z) имеет предел в точке P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), равный числу А если для любого ξ>0 существует σ т.ч. как только точка Р попадает в окрестность т.Р 0 , то сразу f(P)падает в ξ - окрестность т. А

если lim x->xo,y->yo f(x,y)=A, c=const, то lim cf(x,y)= cA

По определению (на языке ξ-δ) функция f(x,y,z) имеет предел в точке M(x 0 ,y 0 ,z 0) равный числу А если для любого ξ>0 существует δ: как только т.М поподает в окестность т.М 0 то f(M) сразуже попадает в ξ окрестность т.А.

Если limf(x,y)=A, limg(x,y)=B, B неравно нулю то limf(x,y)/limg(x,y) равно А/В

По определению (на языке ξ-δ) предел limf(x,y)=∞ если для любого N>0 существует δ(N)>0:|MM0|<δ=>|f(M)|>N.

Если lim f(x,y)=A, lim g(x,y)=B то lim(f(x,y)+g(x,y)) равен А+В

По определению (на языке прирощения функция f(x,y) непрерывна в точке P 0 (x 0 ,y 0) если безконечномалым прирощением аргументов соответствует безконечномалые прирощения функции.

Предположим что x - это просто действительное число. Записывают это так: x∈ℝ - читается x принадлежит множеству действительных чисел. Всему множеству, элемент 0 тоже туда входит. И никакого подвоха с элементами x тут нет: бесконечность не является частью множества, которому принадлежит x, при этом x не является первообразной.
Предложу ещё один вариант решения, пока не упомянутый здесь:
Для начала введем некоторое определение:
Группой является множество элементов произвольной природы с введённой между ними (единственной!) операцией (обозначаемой в данном случае +), обладающей следующими свойствами:
(Обозначим нашу группу буквой G)
1) Замкнутость: ∀x,y ∈ G ⇒ x+y ∈ G. Читается так: для любых двух элементов x и y из группы G следует что их сумма так же является элементом группы G
2) Ассоциативность: ∀x,y,z ∈ G ⇒ (x+y)+z = x+(y+z). Читается так: для любых трёх элементов x,y,z принадлежащих группе G следует что можно сперва применить групповую операцию к элементам x и y, и в результате получить некоторый элемент (x+y) ∈ G, а затем применить групповую операцию к элементам (x+y) и z. Полученный в результате элемент должен быть равен элементу, который был получен в результате применения операции сперва к y и z, а затем к x и (y+z). То есть говоря проще перестановка скобок не меняет результата: (x+y)+z = x+(y+z)
3) ∀x ∈ G ⇒ ∃e ∈ G: x + e = e+ x = x. Читается так: В группе должен быть элемент e (называемый единицей группы), такой, что если применить групповую операцию e + x, а затем x + e - должен получаться один и тот же элемент x. То есть единица группы при прибавлении слева и справа не "сдвигает" элемент группы.
4) ∀x ∈ G ⇒ ∃x⁻¹: x + x⁻¹ = x⁻¹ + x = e. Читается так: У любого элемента x в группе G есть обратный, такой, что результат операции между x и x⁻¹ слева и справа равен единице группы.
Нужно понимать, что операция + в группе может быть совершенно любой. Символ + это всего лишь обозначение данной операции. Правильнее всего сказать что x+y = f(x,y)
где f - некоторая функция, возвращающая элемент группы.
Примеры групп и не групп. (Этот абзац можно пропустить):
Например множество ℤ (целых чисел) является группой если ввести в ней операцию обычного привычного всем нам сложения. Она замкнута, для любого x ∈ ℤ обратным является элемент -x, т.к. x + (-x) = 0. В качестве единицы группы выступает 0. И ассоциативность, разумеется, выполняется.
Однако если рассматривать множество ℤ с введенной на ней операцией стандартного умножения, то такая структура уже не будет являться группой - несмотря на то что имеется единица: x*1 = x и она ассоциативна: (x*y)*z = x*(y*z), во множестве целых чисел не существует обратных элементов ни для каких эементов кроме единицы. Действительно. Например обратным относительно умножения элементом для числа 4 является 1/4, т.к. 4 * (1/4) = 1. Но 1/4 не входит во множество целых чисел. 1/4 - это рациональное число.
Но если убрать из множества ℚ (рациональных чисел) элемент 0, то если ввести на ℚ операцию стандартного умножения, то ℚ будет группой, т.к. там есть и обратные и единица и она ассоциативна и замкнута.
Таким образом попробуем посмотреть. какой должна быть операция на множестве ℝ (действительных чисел), чтобы в нём существовало решение уравнения x⊕1=x. Где ⊕ - это обозначение групповой операции.
Введём операцию x⊕y = x+y-1
Тогда единицей нашей группы будет элемент 1, т.к. x⊕1 = 1⊕x = x + 1 - 1 = x.
То есть x⊕1 = x.
Обратным будет элемент: (2-x), т.к. x⊕(2-x) = (2-x)⊕x = x + (2-x) - 1 = 1 (единица группы)
Ассоциативность, очевидно. выполнена:
(x⊕y)⊕z = (x + y - 1)⊕z = x + y - 1 + z - 1 = x + y + z - 2
x⊕(y⊕z) = x⊕(y+z-1) = x + y + z - 1 - 1 = x + y + z - 2 = (x⊕y)⊕z
Кроме того легко видеть что наша группа замкнута относительно введённой операции.
Итак, мы проверили что множество с введённой нами операцией является группой, посмотрим, как там поживает наше уравнение, если x принадлежит построенной нами группе.
x⊕1 = x. Но когда мы проверяли является ли построенная нами структура группой уже выяснили, что 1 в нашей группе является единицей группы и свойство x⊕1=x в ней очевидно выполняется для любых элементов построенной нами группы.
Занятно, что в построенной нами группе 0⊕0 = -1:)
Автор, очевидно, намекал, что операция + является сложением. Но с точки зрения теории групп - множество ℝ с введенной в ней операцией обычного сложения ничем не отличается от множества ℝ/{0} (множество действительных чисел, но в нём убрали один элемент - 0) с введённой в ней операцией привычного умножения. И в алгебре + обычно означает что используется именно множество ℝ (без выкидывания нуля). В решении это учтено - в самом начале я упомянул, что 0∈ℝ.
Если бы ни это условие, можно было бы просто считать что x⊕y = x*y.

Математическим анализом называется раздел математики, занимающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно малой функции.

Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.

Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X , то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.
Например, перечислением заданы следующие множества:
А={1,2,3,5,7} — множество чисел

Х={x 1 ,x 2 ,...,x n } — множество некоторых элементов x 1 ,x 2 ,...,x n

N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел

Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел

Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой , а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а .

Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным . Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

Основные числовые множества

N {1,2,3,...,n} Множество всех
Z {0, ±1, ±2, ±3,...} Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных.
Q
Множество рациональных чисел .

Кроме целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь — это выражение вида , где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем "один": 2 = 2/1.

Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической.

R
Множество всех вещественных чисел .

Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся:

Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел.

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø .

Элементы логической символики

Запись ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.
Квантор
При записи математических выражений часто используются кванторы.

Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.

∀- квантор общности , используется вместо слов "для всех", "для любого".

∃- квантор существования , используется вместо слов "существует", "имеется". Используется также сочетание символов ∃!, которое читается как существует единственный.

Операции над множествами
Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства операций над множествами
Свойства перестановочности
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
Сочетательное свойство
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Счетные и несчетные множества

Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.

Если это соответствие взаимооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А В или В А.
Пример 1
Множество точек катета ВС и гипотенузы АС треугольника АВС являются равномощными.

В абстрактной алгебре повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста, а также стандартные обозначения для некоторых групп. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся алгебраических обозначений, соответствующие команды в … Википедия

Математические обозначения это символы, используемые для компактной записи математических уравнений и формул. Помимо цифр и букв различных алфавитов (латинского, в том числе в готическом начертании, греческого и еврейского),… … Википедия

Статья содержит список общеупотребительных аббревиатур математических функций, операторов и др. математических терминов. Содержание 1 Аббревиатуры 1.1 Латиница 1.2 Греческий алфавит … Википедия

Юникод, или Уникод (англ. Unicode) стандарт кодирования символов, позволяющий представить знаки практически всех письменных языков. Стандарт предложен в 1991 году некоммерческой организацией «Консорциум Юникода» (англ. Unicode Consortium,… … Википедия

Список используемых в математике специфических символов можно увидеть в статье Таблица математических символов Математические обозначения («язык математики») сложная графическая система обозначений, служащая для изложения абстрактных… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Плюс минус (значения). ± ∓ Знак плюс минус (±) математический символ, который ставится перед некоторым выражением и означает, что значение этого выражения может быть как положительным, так и … Википедия

Необходимо проверить качество перевода и привести статью в соответствие со стилистическими правилами Википедии. Вы можете помочь … Википедия

Или математические символы знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами. К самым распространённым относятся: Плюс: + Минус: , − Знак умножения: ×, ∙ Знак деления: :, ∕, ÷ Знак возведения в… … Википедия

Знаки операций или математические символы знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами. К самым распространённым относятся: Плюс: + Минус: , − Знак умножения: ×, ∙ Знак деления: :, ∕, ÷ Знак возведения… … Википедия

N	{1,2,3,...,n} Множество всех
Z	{0, ±1, ±2, ±3,...} Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных.
Q	Множество рациональных чисел . Кроме целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь — это выражение вида , где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде . Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем "один": 2 = 2/1. Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической.
R	Множество всех вещественных чисел . Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся: Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел.