Квантовые электронные свойства систем. Спектры атомных ядер

В первой и второй частях учебника предполагалось, что частицы, составляющие макроскопические системы, подчиняются законам классической механики. Однако оказалось, что для объяснения многих свойств микрообъектов вместо классической механики мы должны использовать квантовую механику. Свойства частиц (электронов, фотонов и др.) в квантовой механике качественно отличаются от привычных классических свойств частиц. Квантовые свойства микрообъектов, составляющих определенную физическую систему, проявляются и в свойствах макроскопической системы.

В качестве таких квантовых систем мы рассмотрим электроны в металле, фотонный газ и др. В дальнейшем под словом квантовая система или частица мы будем понимать определенный материальный объект, описываемый аппаратом квантовой механики.

Квантовая механцка описывает присущие частбцам микромира свойства и особенности, крторые мы часто не можем объяснить на б^зе классических представлений. К таким особенностям относятся, например, корпускулярно-волновой дуализм микрообъектов в квантовой механике, открытый и подтвержденный на многочисленных опытных фактах, дискретность различных физических параметров, «спиновые» свойства и др.

Особенные свойства микрообъектов не позволяют описывать их поведение обычными методами классической механики. Например, наличие у микрочастицы проявляющихся в одно и то же время и волновых и корпускулярных свойств

не позволяет одновременно точно измерить все параметры, определяющие состояние частицы с классической точки зрения.

Этот факт нашел свое отражение в так называемом соотношении неопределенности, открытом в 1925 г. Гейзенбергом, которое заключается в том, что неточности в определении координаты и импульса микрочастицы оказываются связаны соотношением:

Следствием этого соотношения является целый ряд других соотношений между различными параметрами и, в частности:

где неопределенность в значении энергии системы и неопределенность во времени.

Оба приведенных соотношения показывают, что, если одна из величин определена с большой точностью, то вторая величина оказывается определенной с малой точностью. Неточности здесь определяются через постоянную Планка , что практически не ограничивает точность измерений различных величин для макроскопических объектов. Но для микрочастиц, обладающих малыми энергиями, малыми размерами и импульсами, точность одновременного измерения отмеченных параметров оказывается уже недостаточной.

Таким образом, состояние микрочастицы в квантовой механике нельзя одновременно описывать с помощью координат и импульсов, как это делается в классической механике (канонические уравнения Гамильтона). Точно также нельзя говорить и о значении энергии частицы в данный момент. Состояния с определенной энергией могут быть получены только в стационарных случаях, т. е. они не определены точно во времени.

Обладая корпускулярно-волновыми свойствами, любая микрочастица не имеет абсолютно точно определенной координаты, а оказывается как бы «размазанной» по пространству. При наличии определенной области пространства двух и более частиц мы не можем отличить их друг от друга, так как не можем проследить за движением каждой из них. Отсюда вытекает принципиальная неразличимость или тождественность частиц в квантовой механике.

Далее оказывается, что величины, характеризующие некоторые параметры микрочастиц, могут изменяться только определенными порциями, квантами, откуда и произошло название квантовой механики. Эта дискретность многих параметров, определяющих состояния микрочастиц, также не может быть описана в классической физике.

Согласно квантовой механике, кроме энергии системы дискретные значения могут принимать момент количества движения системы или спин, магнитный момент и их проекции на любое выделенное направление. Так, квадрат момента количества движения может принимать только следующие значения:

Спин может принимать только значения

где может быть

Проекция магнитного момента на направление внешнего поля может принимать значения

где магнетон Бора и магнитное квантовое число, принимающее значение:

Для того чтобы математически описать эти особенности физических величин, пришлось каждой физической величине поставить в соответствие определенный оператор. В квантовой механике, таким образом, физические величины изображаются операторами, а их значения определяются как средние по собственным значениям операторов.

При описании свойств микрообъектов пришлось, кроме свойств и параметров, встречающихся при классическом описании микрочастиц, ввести и новые, сугубо квантовые параметры и свойства. К ним относятся «спин» частицы, характеризующий собственный момент количества движения, «обменное взаимодействие», принцип Паули и др.

Эти особенности микрочастиц не позволяют описывать их с помощью классической механики. Вследствие этого микрообъекты описываются квантовой механикой, которая учитывает отмеченные особенности и свойства микрочастиц.

Квантовые системы и их свойства.

Распределение вероятностей по энергиям в пространстве.

Статистика бозонов. Распределение Ферми-Эйнштейна.

Статистика фермионов. Распределение Ферми-Дирака.

Квантовые системы и их свойства

В классической статистике предполагается, что частицы составляющие систему подчиняются законам классической механики. Но для многих явлений при описании микрообъектов необходимо использовать квантовую механику. Если система состоит из частиц, подчиняющихся квантовой механике, то будем её называть квантовой системой.

К принципиальным отличиям классической системы от квантовой относятся:

1) Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц.

2) Дискретность физических величин, описывающих микрообъекты.

3) Спиновые свойства микрочастиц.

Из первого следует невозможность точного определения всех параметров системы, определяющих её состояние с классической точки зрения. Этот факт нашел отражение в соотношении неопределенностей Гейзендберга:

Для того чтобы математически описать эти особенности микрообъектов в квантовой физике, величине ставится в соответствие линейный эрмитов оператор, который действует на волновую функцию .

Собственные значения оператора определяют возможные численные значения этой физической величины, среднее по которым совпадает со значением самой величины.

Так как импульсы и коэффициенты микрочастиц системы не могут быть измерены одновременно, волновую функцию представляют либо как функцию координат:

Либо, как функцию импульсов:

Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность обнаружения микрочастицы в единице объёма:

Волновая функция, описывающая конкретную систему, находится как собственная функция оператора Гамельтона:

Стационарное уравнение Шредингера.

Нестационарное уравнение Шредингера.

В микромире действует принцип неразличимости микрочастиц.

Если волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера, то функция так же удовлетворяет этому уравнению. Состояние системы не изменится при перестановки 2 частиц.

Пусть первая частица находится в состоянии а, а вторая в состоянии в.

Состояние системы описывается:

Если частицы поменять местами, то: так как перемещение частицы не должно сказаться на поведении системы.

Это уравнение имеет 2 решения:

Оказалось, что первая функция реализуется для частиц с целым спином, а вторая с полуцелым.

В первом случае 2 частицы могут находиться в одном состоянии:

Во втором случае:

Частицы первого типа называются бозонами спин целый), частицы второго типа- фемионами (для них справедлив принцип Паули.)

Фермионы: электроны, протоны, нейтроны…

Бозоны: фотоны, дейтроны…

Фермионы и бозоны подчиняются неклассической статистике. Чтобы увидеть отличия, подсчитаем число возможных состояний системы, состоящий из двух частиц с одной энергией по двум ячейкам в фазовом пространстве.

1) Классические частицы различны. Возможно проследить за каждой частицей в отдельности.

Классические частицы.

Модель атома Бора была попыткой примирить представления классической физики с формирующимися законами квантового мира.

Э.Резерфорд, 1936 г.: «Как расположены электроны во внешней части атома? Я считаю первоначальную квантовую теорию спектра, выдвинутую Бором, одной из наиболее революционных из всех когда-либо созданных в науке; и я не знаю другой теории, которая имела бы больший успех. Он был в то время в Манчестере и, твердо уверовав в ядерную структуру атома, которая выяснилась в экспериментах по рассеянию, старался понять, как надо расположить электроны, чтобы получить известные спектры атомов. Основа его успеха лежит во внесении в теорию совершенно новых идей. Он внес в наши представления идею кванта действия, а также идею, чуждую классической физике, о том, что электрон может вращаться по орбите вокруг ядра, не испуская излучения. Выдвигая теорию ядерного строения атома, я вполне отдавал себе отчет в том, что согласно классической теории электроны должны падать на ядро, а Бор постулировал, что по некоторым неизвестным причинам этого не происходит, и на основе этого предположения он, как вы знаете, сумел объяснить происхождение спектров. Применяя вполне разумные допущения, он шаг за шагом решил вопрос о расположении электронов во всех атомах периодической таблицы. Здесь было много трудностей, так как распределение должно было соответствовать оптическим и рентгеновским спектрам элементов, но в конце концов Бор сумел предложить такое расположение электронов, которое показало смысл периодического закона.
В результате дальнейших усовершенствований, главным образом внесенных самим Бором, и видоизменений, произведенных Гейзенбергом, Шредингером и Дираком, изменилась вся математическая теория и были введены идеи волновой механики. Совершенно независимо от этих дальнейших усовершенствований я рассматриваю труды Бора как величайший триумф человеческой мысли.
Чтобы осознать значение его работ, следует рассмотреть хотя бы только необычайную сложность спектров элементов и представить себе, что в течение 10 лет все основные характеристики этих спектров были поняты и объяснены, так что теперь теория оптических спектров настолько завершена, что многие считают это исчерпанным вопросом, подобно тому, как это было несколько лет назад со звуком».

К середине 20-х годов стало очевидно, что полуклассическая теория атома Н.Бора не может дать адекватное описание свойств атома. В 1925–1926 гг. в работах В.Гейзенберга и Э.Шредингера был разработан общий подход описания квантовых явлений – квантовая теория.

(x,y,z,p x ,p y ,p z)

=∂H/∂p, = -∂H/∂t,

x, y, z, p x , p y , p z

ΔхΔp x ~
ΔyΔp y ~
ΔzΔp z ~

Детерминизм

|(x,y,z)| 2

Состояние классической частицы в любой момент времени описывается заданием ее координат и импульсов (x,y,z,p x ,p y ,p z ,t). Зная эти величины в момент времени t, можно определить эволюцию системы под действием известных сил во все последующие моменты времени. Координаты и импульсы частиц сами являются величинами, непосредственно измеряемыми на опыте. В квантовой физике состояние системы описывается волновой функцией ψ(х,у,z,t). Т.к. для квантовой частицы нельзя одновременно точно определить значения ее координат и импульса, то не имеет смысла говорить о движении частицы по определенной траектории, можно только определить вероятность нахождения частицы в данной точке в данный момент времени, которая определяется квадратом модуля волновой функции W ~ |ψ(x,y,z)| 2 .
Эволюция квантовой системы в нерелятивистском случае описывается волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Шредингера

где – оператор Гамильтона (оператор полной энергии системы).
В нерелятивистском случае − 2 /2m + (r), где т – масса частицы, – оператор импульса, (x,y,z) – оператор потенциальной энергии частицы. Задать закон движения частицы в квантовой механике это значит определить значение волновой функции в каждый момент времени в каждой точке пространства. В стационарном состоянии волновая функция ψ(х,у,z) является решением стационарного уравнения Шредингера ψ = Eψ. Как и всякая связанная система в квантовой физике, ядро обладает дискретным спектром собственных значений энергии.
Состояние с наибольшей энергией связи ядра, т. е. с наименьшей полной энергией Е, называют основным. Состояния с бòльшей полной энергией – возбуждённые. Нижнему по энергии состоянию приписывается нулевой индекс и энергия E 0 = 0.

E 0 → Mc 2 = (Zm p + Nm n)c 2 − W 0 ;

W 0 – энергия связи ядра в основном состоянии.
Энергии E i (i = 1, 2, ...) возбуждённых состояний отсчитываются от основного состояния.

Схема нижних уровней ядра 24 Mg.

Нижние уровни ядра дискретны. При увеличении энергии возбуждения среднее расстояние между уровнями уменьшается.
Рост плотности уровней с увеличением энергии является характерным свойством многочастичных систем. Он объясняется тем, что с увеличением энергии таких систем быстро растет число различных способов распределения энергии между нуклонами.
Квантовые числа – целые или дробные числа, определяющие возможные значения физических величин, характеризующих квантовую систему – атом, атомное ядро. Квантовые числа отражают дискретность (квантованность) физических величин, характеризующих микросистему. Набор квантовых чисел, исчерпывающе описывающих микросистему, называют полным. Так состояние нуклона в ядре определяется четырьмя квантовыми числами: главным квантовым числом n (может принимать значения 1, 2, 3, …), определяющим энергию Е n нуклона; орбитальным квантовым числом l = 0, 1, 2, …, n, определяющим величину L орбитального момента количества движения нуклона (L = ћ 1/2); квантовым числом m ≤ ±l, определяющим направление вектора орбитального момента; и квантовым числом m s = ±1/2, определяющим направление вектора спина нуклона.

Квантовые числа

Наряду с таким набором квантовых чисел, состояние нуклона в ядре можно также характеризовать другим набором квантовых чисел n, l , j, j z . Выбор набора квантовых чисел определяется удобством описания квантовой системы.
Существование сохраняющихся (неизменных во времени) физических величин для данной системы тесно связано со свойствами симметрии этой системы. Так, если изолированная система не изменяется при произвольных поворотах, то у неё сохраняется орбитальный момент количества движения. Это имеет место для атома водорода, в котором электрон движется в сферически симметричном кулоновском потенциале ядра и поэтому характеризуется неизменным квантовым числом l . Внешнее возмущение может нарушать симметрию системы, что приводит к изменению самих квантовых чисел. Фотон, поглощенный атомом водорода, может перевести электрон в другое состояние с другими значениями квантовых чисел. В таблице приведены некоторые квантовые числа, используемые для описа­ния атомных и ядерных состояний.
Помимо квантовых чисел, отражающих пространственно-временную симметрию микросистемы, существенную роль играют так называемые внутренние квантовые числа частиц. Ряд из них, такие как спин и электрический заряд, сохраняются во всех взаимодействиях, другие в некоторых взаимодействиях не сохраняются. Так квантовое число странность, сохраняющееся в сильном и электромагнитном взаимодействиях, не сохраняется в слабом взаимодействии, что отражает разную природу этих взаимодействий.
Атомное ядро в каждом состоянии характеризуется полным моментом количества движения . Этот момент в системе покоя ядра называется спином ядра .
Для ядра выполняются следующие правила:
а) A - чётно J = n (n = 0, 1, 2, 3,...), т. е. целое;
б) A – нечётно J = n + 1/2, т. е. полуцелое.
Кроме того, экспериментально установлено ещё одно правило: у чётно-чётных ядер в основном состоянии J gs = 0. Это указывает на взаимную компенсацию моментов нуклонов в основном состоянии ядра – особое свойство межнуклонного взаимодействия.
Инвариантность системы (гамильтониана ) относительно пространственного отражения – инверсии (замены → -) приводит к закону сохранения чётности и квантовому числу чётности Р. Это означает, что ядерный гамильтониан обладает соответствующей симметрией. Действительно, ядро существует благодаря сильному взаимодействию между нуклонами. Кроме того, существенную роль в ядрах играет и электромагнитное взаимодействие. Оба этих типа взаимодействий инвариантны к пространственной инверсии. Это означает что ядерные состояния должны характеризоваться определенным значением четности Р, т. е. быть либо четными (Р = +1), либо нечетными (Р = -1).
Однако, между нуклонами в ядре действуют и не сохраняющие чётность слабые силы. Следствием этого является то, что к состоянию с данной четностью добавляется (обычно незначительная) примесь состояния с противоположной четностью. Типичная величина такой примеси в ядерных состояниях всего 10 -6 -10 -7 и в подавляющем числе случаев может не учитываться.
Четность ядра Р как системы нуклонов может быть представлена как произведение четностей отдельных нуклонов p i:

Р = p 1 ·p 2 ·...·p A ·,

причем четность нуклона p i в центральном поле зависит от орбитального момента нуклона , где π i - внутренняя четность нуклона, равная +1. Поэтому четность ядра в сферически симметричном состоянии может быть представлена как произведение орбитальных четностей нуклонов в этом состоянии:

На схемах ядерных уровней обычно указывают энергию, спин и чётность каждого уровня. Спин указывается числом, а чётность знаком плюс для чётных и минус для нечётных уровней. Этот знак ставится справа сверху от числа, указывающего спин. Например, символ 1/2 + обозначает чётный уровень со спином 1/2, а символ 3 - обозначает нечётный уровень со спином 3.

Изоспин атомных ядер. Ещё одна характеристика ядерных состояний – изоспин I . Ядро (A, Z) состоит из A нуклонов и имеет заряд Ze, который можно представить в виде суммы зарядов нуклонов q i , выраженных через проекции их изоспинов (I i) 3

− проекция изоспина ядра на ось 3 изоспинового пространства.
Полный изоспин системы нуклонов A

Все состояния ядра имеют значение проекции изоспина I 3 = (Z - N)/2. В ядре, состоящем из A нуклонов, каждый из которых имеет изоспин 1/2, возможны значения изоспина от |N - Z|/2 до A/2

|N - Z|/2 ≤ I ≤ A/2.

Минимальное значение I = |I 3 |. Максимальное значение I равно A/2 и отвечает всем i , направленным в одну сторону. Опытным путём установлено, что энергия возбуждения ядерного состояния тем выше, чем больше значение изоспина. Поэтому изоспин ядра в основном и низковозбужденных состояниях имеет минимальное значение

I gs = |I 3 | = |Z - N|/2.

Электромагнитное взаимодействие нарушает изотропию изоспинового пространства. Энергия взаимодействия системы заряженных частиц изменяется при поворотах в изопространстве, так как при поворотах изменяются заряды частиц и в ядре часть протонов переходит в нейтроны или наоборот. Поэтому реально изоспиновая симметрия не точная, а приближенная.

Потенциальная яма. Для описания связанных состояний частиц часто используется понятие потенциальной ямы. Потенциальная яма - ограниченная область пространства с пониженной потенциальной энергией частицы. Потенциальная яма обычно отвечает силам притяжения. В области действия этих сил потенциал отрицателен, вне – нулевой.

Энергия частицы Е есть сумма её кинетической энергии Т ≥ 0 и потенциальной U (может быть как положительной, так и отрицательной). Если частица находится внутри ямы, то её кинетическая энергия Т 1 меньше глубины ямы U 0 , энергия частицы Е 1 = Т 1 + U 1 = Т 1 - U 0 В квантовой механике энергия частицы, находящейся в связанном состоянии, может принимать лишь определённые дискретные значения, т.е. существуют дискретные уровни энергии. При этом наинизший (основной) уровень всегда лежит выше дна потенциальной ямы. По порядку величины расстояние ΔЕ между уровнями частицы массы m в глубокой яме шириной а даётся выражением
ΔЕ ≈ ћ 2 / mа 2 .
Пример потенциальной ямы – потенциальная яма атомного ядра глубиной 40-50 МэВ и шириной 10 -13 –10 -12 см, в которой на различных уровнях находятся нуклоны со средней кинетической энергией ≈ 20 МэВ.

При таких граничных условиях частица, находясь внутри потенциальной ямы 0 < x < l, не может выйти за ее пределы, т. е.

ψ(x) = 0, x ≤ 0, x ≥ L.

Используя стационарное уравнение Шредингера для области, где U = 0,

получим положение и спектр энергий частицы внутри потенциальной ямы.

Для бесконечной одномерной потенциальной ямы имеем следующее:

Волновая функция частицы в бесконечной прямоугольной яме (а), квадрат модуля волновой функции (б) определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

Уравнение Шредингера играет в квантовой механике такую же роль, как и второй закон Ньютона в классической механике.
Самой поразительной особенностью квантовой физики оказался ее вероятностный характер.

Вероятностный характер процессов, протекающих в микромире, является фундаментальным свойством микромира.

Э.Шредингер: «Обычные правила квантования могут быть заменены другими положениями, в которых уже не вводится каких-либо «целых чисел». Целочисленность получается при этом естественным образом сама по себе подобно тому, как сама по себе получается целочисленность числа узлов при рассмотрении колеблющейся струны. Это новое представление может быть обобщено и, я думаю, что оно тесно связано с истинной природой квантования.
Довольно естественно связывать функцию ψ с некоторым колебательным процессом в атоме, в котором реальность электронных траекторий в последнее время неоднократно подвергалась сомнению. Я сначала тоже хотел обосновать новое понимание квантовых правил, используя указанный сравнительно наглядный путь, но потом предпочел чисто математический способ, так как он дает возможность лучше выяснить все существенные стороны вопроса. Существенным мне кажется, что квантовые правила не вводятся больше как загадочное «требование целочисленности », а определяются необходимостью ограниченности и однозначности некоторой определенной пространственной функции.
Я не считаю возможным, до тех пор, пока не будут успешно рассчитаны новым способом более сложные задачи, подробнее рассматривать истолкование введенного колебательного процесса. Не исключена возможность, что подобные расчеты приведут к простому совпадению с выводами обычной квантовой теории. Например, при рассмотрении по приведенному способу релятивистской задачи Кеплера, если действовать по указанным вначале правилам, получается замечательный результат: полуцелые квантовые числа (радиальное и азимутальное)…
Прежде всего, нельзя не упомянуть, что основным исходным толчком, приведшим к появлению приведенных здесь рассуждений, была диссертация де Бройля, содержащая много глубоких идей, а также размышлений о пространственном распределении «фазовых волн», которым, как показано де Бройлем, всякий раз соответствует периодическое или квазипериодическое движение электрона, если только эти волны укладываются на траектории целое число раз. Главное отличие от теории де Бройля, в которой говорится о прямолинейно распространяющейся волне, заключается здесь в том, что мы рассматриваем, если использовать волновую трактовку, стоячие собственные колебания».

М.Лауэ: «Достижения квантовой теории накоплялись очень быстро. Особенно поражающий успех она имела в применении к радиоактивному распаду при испускании α-лучей. Согласно этой теории существует «туннельный эффект», т.е. проникновение через потенциальный барьер частицы, знергия которой согласно требованиям классической механики, недостаточна для перехода через него.
Г.Гамов дал в 1928 г. объяснение испускания α-частиц, основанное на этом туннельном эффекте. Согласно теории Гамова атомное ядро окружено потенциальным барьером, но α-частицы имеют определенную вероятность его «перешагнуть». Эмпирически найденные Гейгером и Неттолом соотношения между радиусом действия α-частицы и полупериодом распада получили на основе теории Гамова удовлетворительное объяснение».

Статистика. Принцип Паули. Свойства квантовомеханических систем, состоящих из многих частиц, определяются статистикой этих частиц. Классические системы, состоящие из одинаковых, но различимых частиц, подчиняются распределению Больцмана

В системе квантовых частиц одного типа проявляются новые особенности поведения, не имеющие аналогов в классической физике. В отличие от частиц в классической физике, квантовые частицы не просто одинаковы, но и неразличимы – тождественны. Одна из причин состоит в том, что в квантовой механике частицы описываются с помощью волновых функций, позволяющих вычислить лишь вероятность нахождения частицы в какой-либо точке пространства. Если волновые функции нескольких тождественных частиц перекрываются, то невозможно определить, какая из частиц находится в данной точке. Так как физический смысл имеет только квадрат модуля волновой функции, из принципа тождественности частиц следует, что при перестановке двух тождественных частиц волновая функция либо изменяет знак (антисимметричное состояние ), либо не изменяет знак (симметричное состояние ).
Симметричными волновыми функциями описываются частицы с целым спином – бозоны (пионы, фотоны, альфа-частицы. ...). Бозоны подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна

В одном квантовом состоянии может одновременно находиться неограниченное количество тождественных бозонов.
Антисимметричными волновыми функциями описываются частицы с полуцелым спином – фермионы (протоны, нейтроны, электроны, нейтрино). Фермионы починяются статистике Ферми-Дирака

На связь между симметрией волновой функции и спином впервые указал В. Паули.

Для фермионов справедлив принцип Паули – два тождественных фермиона не могут одновременно находиться в одном и том же квантовом состоянии.

Принцип Паули определяет строение электронных оболочек атомов, заполнение нуклонных состояний в ядрах и другие особенности поведения квантовых систем.
С созданием протон-нейтронной модели атомного ядра можно считать завершенным первый этап развития ядерной физики, в котором были установлены основные факты строения атомного ядра. Первый этап начался в фундаментальной концепции Демокрита о существовании атомов – недели­мых частиц материи. Установление периодического закона Менделеевым позволило систематизировать атомы и поставило вопрос о причинах, лежащих в основе этой систематики. Открытие электронов в 1897 г. Дж. Дж. Томсоном разрушило представление о неделимости атомов. Согласно модели Томсона, электроны – составные элементы всех атомов. Открытие А. Беккерелем в 1896 г. явление радиоактивности урана и последующее открытие П.Кюри и М.Склодовской-Кюри радиоактивности тория, полония и радия впервые показали, что химические элементы не являются вечными образованиями, они могут самопроизвольно распадаться, превращаться в другие химические элементы. В 1899 г. Э. Резерфордом было установлено, что атомы в результате радиоактивного распада могут выбрасывать из своего состава α-частицы – ионизованные атомы гелия и электроны. В 1911 г. Э. Резерфорд, обобщив результаты эксперимента Гейгера и Марсдена, разработал планетарную модель атома. Согласно этой модели атомы состоят из положительно заряженного атомного ядра радиусом ~10 -12 см, в котором сосредоточена вся масса атома и вращающихся вокруг него отрицательных электронов. Размер электронных оболочек атома ~10 -8 см. В 1913 г. Н.Бор развил представление планетарной модели атома на основе квантовой теории. В 1919 г. Э. Резерфорд доказал, что в состав атомного ядра входят протоны. В 1932 г. Дж. Чадвик открыл нейтрон и показал, что в состав атомного ядра входят нейтроны. Созданием в 1932 г. Д. Иваненко, В. Гейзенбергом протон-нейтронной модели атомного ядра завершился первый этап развития ядерной физики. Все составные элементы атома и атомного ядра были установлены.

1869 г. Периодическая система элементов Д.И. Менделеева

Ко второй половине XIX столетия усилиями химиков была накоплена обширная информация о поведении химических элементов в различных химических реакциях. Было установлено, что только определенные комбинации химических элементов образуют данное вещество. Было обнаружено, что некоторые химические элементы имеют примерно одинаковые свойства, в то время как их атомные веса сильно различаются. Д. И. Менделеев проанализировал связь между химическими свойствами элементами и их атомным весом и показал, что химические свойства элементов расположенных по мере возрастания атомных весов повторяются. Это послужило основой созданной им периодической системы элементов. При составлении таблицы Менделеев обнаружил, что атомные веса некоторых химических элементов выпадают из полученной им закономерности, и указал, что атомные веса этих элементов определены неточно. Более поздние точные опыты показали, что действительно первоначально опреде­лен­ные веса были неправильны и новые результаты соответствовали пред­ска­за­ниям Менделеева. Оставив в таблице незаполненными некоторые места, Менделеев указал, что здесь должны находиться новые ещё не открытые химические элементы и предсказал их химические свойства. Так были предсказаны и затем открыты галлий (Z = 31), скандий (Z = 21) и германий (Z = 32). Потомкам Менделеев оставил задачу объяснения периодических свойств химических элементов. Теоретическое объяснение периодической системы элементов Менделеева, данное Н. Бором в 1922 г. было одним из убедительных доказательств правильности зарождающейся квантовой теории.

Атомное ядро и периодическая система элементов

Основой успешного построения периодической системы элементов Менделеевым и Логар Мейером явилось представление о том, что атомный вес может служить подходящей константой для систематической классификации элементов. Современная атомная теория подошла, однако, к истолкованию периодической системы, совершенно не затрагивая атомного веса. Номер места какого-нибудь элемента в этой системе и вместе с тем его химические свойства однозначно определяются положительным зарядом атомного ядра, или, что то же самое, числом отрицательных электронов, расположенных вокруг него. Масса и строение атомного ядра не играют при этом никакой роли; так, в настоящее время мы знаем, что существуют элементы или, вернее, виды атомов, которые при одном и том же числе и расположении внешних электронов обладают значительно разнящимися атомными весами. Такие элементы называются изотопами. Так, например, в плеяде изотопов цинка атомный вес распределяется от 112 до 124. Наоборот, есть элементы, обладающие существенно различными химическими свойствами, которые обнаруживают одинаковый атомный вес; их называют изобарами. Примером может служить атомный вес 124, который найден для цинка, теллура и ксенона.
Для определения химического элемента достаточно одной константы, а именно – числа отрицательных электронов, расположенных вокруг ядра, так как все химические процессы протекают среди этих электронов.
Число протонов n 2 , находящихся в атомном ядре, определяют его положительный заряд Z, а тем самим и число внешних электронов, обусловливающих химические свойства этого элемента; некоторое число нейтронов n 1 заключенных в этом же ядре, в сумме с n 2 дает его атомный вес
A = n 1 + n 2 . Обратно, порядковый номер Z дает число содержащихся в атомном ядре протонов, а из разности между атомным весом и зарядом ядра A – Z получается число ядерных нейтронов.
С открытием нейтрона периодическая система получила некоторое пополнение в области малых порядковых номеров, так как нейтрон можно считать элементом с порядковым числом, равным нулю. В области высоких порядковых чисел, а именно от Z = 84 до Z = 92, все атомные ядра неустойчивы, спонтанно радиоактивны; поэтому можно предположить, что атом с зарядом ядра еще более высоким, чем у урана, если он только может быть получен, должен быть также неустойчивым. Ферми и его сотрудники недавно сообщили о своих опытах, в которых при обстреле урана нейтронами наблюдалось появление радиоактивного элемента с порядковым номером 93 или 94. Вполне возможно, что и в этой области периодическая система имеет продолжение. Остается прибавить только, что гениальным предвидением Менделеева рамки периодической системы так широко предусмотрены, что каждое новое открытие, оставаясь в объеме их, еще более укрепляет ее.

Квантовая система

Для объяснения многих свойств микрочастиц (фотонов, электронов и др.) требуются специальные законы и подходы квантовой механики. Квантовые свойства микромира проявляются через свойства макросистем. Микрообъекты составляют определенную физическую систему, которая называется квантовой. Примерами квантовых систем могут служить: фотонный газ, электроны в металлах. Под терминами квантовая система, квантовая частица следует понимать материальный объект, который описывается с помощью специального аппарата квантовой механики.

Квантовая механика исследует свойства и явления мира микрочастиц, которые не может трактовать классическая механика. Такими особенностями, например, стали: корпускулярно-волновой дуализм, дискретность, существование спинов. Методы классической механики не могут описать поведение частиц микромира. Имеющиеся одновременно волновые и корпускулярные свойства у микрочастицы не дают возможности определить состояние частицы с классической точки зрения.

Данный факт отразился в соотношении неопределенности Гейзенберга ($1925г.$):

где $\triangle x$ -- неточность в определении координаты, $\triangle p$ -- погрешность в определении импульса микрочастицы. Подобное соотношение можно записать в виде:

где $\triangle E$ -- неопределенность в величине энергии, $\triangle t$ -- неопределенность по времени. Соотношения (1) и (2) указывают на то, что если одна из величин в этих соотношениях определены с высокой точностью, то другой параметр имеет большую погрешность в определении. В этих соотношениях $\hbar =1,05\cdot {10}^{-34}Дж\cdot с$. Так, состояние микрочастицы в квантовой механике, нельзя описать, одномоментно используя координат и импульс, что является возможным в классической механики. Аналогичная ситуация относится к энергии в данный момент времени. Состояния с конкретным значением энергии можно получить только в стационарных случаях (то есть в случаях, которые не имеют точного определения во времени).

Имея корпускулярные и одновременно волновые свойства, микрочастица не обладает точной координатой, а является «размазанной» в некоторой области пространства. В случае присутствия в некоторой области пространства двух и более частиц не возможно их отличить друг от друга, так как нельзя отследить за движением каждой. Из вышесказанного следует тождественность частиц в квантовой механике.

Некоторые параметры, относящиеся к микрочастицам, принимают дискретные значения, что классическая механика объяснить не может. В соответствии с положениями и законами квантовой механики, помимо энергии системы, дискретными могут быть момент количества движения системы:

где $l=0,1,2,\dots $

спин может принимать значения:

где $s=0,\ \frac{1}{2},\ 1,\ \frac{3}{2},\dots $

Проекция магнитного момента на направление внешнего поля принимает значения:

где $m_z$ -- магнитное квантовое число, которое принимает значения: $2s+1: s, s-1,...0,...,-(s-1), -s.$

${\mu }_B$ -- магнетон Бора.

С целью математического описания квантовых особенностей физических величин в соответствие каждой величине ставят оператор. Так, в квантовой механике физические величины отображаются операторами, при этом их значения определяются средними по собственным значениям операторов.

Состояние квантовой системы

Любое состояние в квантовой системе описывается при помощи волновой функции. Однако данная функция прогнозирует параметры будущего состояния системы с некоторой долей вероятности, а не достоверно, то является принципиальным отличием от классической механики. Таким образом, для параметров системы волновая функция определяет вероятностные значения. Такая неопределенность, неточность предсказаний более всего вызывала споры в среде ученых.

Измеряемые параметры квантовой системы

Самые глобальные различия между классической и квантовой механикой заключены в роли измерения параметров изучаемой квантовой системы. Проблема измерений в квантовой механике заключается в том, что при попытках провести измерения параметров микросистемы исследователь действует на систему макроприбором, чем изменяет состояние самой квантовой системы. Так, при попытке точно измерить параметр микрообъекта (координату, импульс, энергию), мы сталкиваемся с тем, что сам процесс измерения изменяет параметры, которые мы пытаемся измерить, причем существенно. Провести точные измерения в микромире невозможно. Всегда будет иметь место ошибки в соответствии с принципом неопределенности.

В квантовой механике динамические переменные представляют операторы, поэтому говорить о числовых значениях не имеет смысла, так как оператор определяет действие на вектор состояния. Результат представлен, так же вектором пространства Гильберта, а не числом.

Замечание 1

Только в том случае, если вектор состояния - собственный вектор оператора динамической переменной, то его действие на вектор можно свести к умножению на число без изменения состояния. В таком случае оператору динамической переменной можно сопоставить единственное число, которое равно собственному значению оператора. При этом можно считать, что динамическая переменная имеет определенное численное значение. Тогда динамическая переменная имеет количественное значение независимое от измерения.

В том случае, если вектор состояния не собственный вектор оператора динамической переменной, то результат измерения не становится однозначным и говорят только о вероятности того или иного значения получаемого в измерении.

Результатами теории, которые проверяемы эмпирически служат вероятности получения в измерении динамической переменной при большом количестве измерений для одного и того же вектора состояния.

Основной характеристикой квантовой системы является волновая функция, которая введена М. Борном. Физический смысл чаще всего определяют не для самой волновой функции, а квадрат ее модуля, который определяет вероятность того, что квантовая система в указанный момент времени находится в данной точке пространства. Основа микромира -- вероятность. Помимо знания волновой функции для описания квантовой системы необходима информация о других параметрах, например о параметрах поля, с которым система взаимодействует.

Процессы, которые происходят в микромире лежат за пределами чувственного восприятия человека. Следовательно, понятия и явления, которые использует квантовая механика, лишены наглядности.

Пример 1

Задание: Какова минимальная ошибка, с которой можно определить скорость электрона и протона, если координаты частиц известны с неопределенностью $1$ мкм.

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем соотношение неопределенностей Гейзенберга в виде:

\[\triangle p_x\triangle x\ge \hbar \left(1.1\right),\]

где $\triangle x$ -- неопределенность координаты, $\triangle p_x$ -- неопределенность проекции импульса частицы на ось X. Величину неопределенности импульса можно выразить как:

\[\triangle p_x=m\triangle v_x\left(1.2\right).\]

Подставим правую часть выражения (1.2) вместо неопределенности проекции импульса в выражении (1.1), имеем:

Из формулы (1.3) выразим искомую неопределенность скорости:

\[\triangle v_x\ge \frac{\hbar }{m\triangle x}\left(1.4\right).\]

Из неравенства (1.4) следует, что минимальная погрешность при определении скорости частицы равна:

\[\triangle v_x=\frac{\hbar }{m\triangle x}.\]

Зная массу электрона $m_e=9,1\cdot {10}^{-31}кг,$ проведем вычисления:

\[\triangle v_{ex}=\frac{1,05\cdot {10}^{-34}}{9,1\cdot {10}^{-31}\cdot {10}^{-6}}=1,1\cdot {10}^2(\frac{м}{с}).\]

масса протона равна $m_p=1,67\cdot {10}^{-27}кг$, вычислим погрешность в измерении скорости протона при заданных условиях:

\[\triangle v_{px}=\frac{1,05\cdot {10}^{-34}}{1,67\cdot {10}^{-27}\cdot {10}^{-6}}=0,628\cdot {10}^{-1}(\frac{м}{с}).\]

Ответ: $\triangle v_{ex}=1,1\cdot {10}^2\frac{м}{с},$ $\triangle v_{px}=0,628\cdot {10}^{-1}\frac{м}{с}.$

Пример 2

Задание: Какова минимальная погрешность в измерении кинетической энергии электрона, если он находится в области, размер которой l.

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем соотношение неопределенностей Гейзенберга в виде:

\[\triangle p_xl\ge \hbar \to \triangle p_x\ge \frac{\hbar }{l}\left(2.1\right).\]

Из неравенства (2.1) следует, что минимальная погрешность импульса равна:

\[\triangle p_x=\frac{\hbar }{l}\left(2.2\right).\]

Погрешность кинетической энергии можно выразить как:

\[\triangle E_k=\frac{{\left(\triangle p_x\right)}^2}{2m}=\frac{{\left(\hbar \right)}^2}{{\left(l\right)}^22\cdot m_e}.\]

Ответ: $\triangle E_k=\frac{{\left(\hbar \right)}^2}{{\left(l\right)}^22\cdot m_e}.$

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Принцип размерного квантования Весь комплекс явлений, обычно понимаемый под словами «электронные свойства низкоразмерных электронных систем» имеет в основе фундаментальный физический факт: изменение энергетического спектра электронов и дырок в структурах с очень малыми размерами. Продемонстрируем основную идею размерного квантования на примере электронов, находящихся в очень тонкой металлической или полупроводниковой пленке толщиной а.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Принцип размерного квантования Электроны в пленке находятся в потенциальной яме глубиной, равной работе выхода. Глубину потенциальной ямы можно считать бесконечно большой, поскольку работа выхода на несколько порядков превышает тепловую энергию носителей. Типичные значения работы выхода в большинстве твердых тел имеют величину W =4 -5 э. В, на несколько порядков превышающую характерную тепловую энергию носителей, имеющий порядок величины k. T, равную при комнатной температуре 0, 026 э. В. Согласно законам квантовой механики, энергия электронов в такой яме квантуется, т. е. может принимать лишь некоторые дискретные значения En, где n может принимать целочисленные значения 1, 2, 3, …. Эти дискретные значения энергии называют уровнями размерного квантования.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Принцип размерного квантования Для свободной частицы с эффективной массой m*, движение которой в кристалле в направлении оси z ограничено непроницаемыми барьерами (т. е. барьерами с бесконечной потенциальной энергией), энергия основного состояния по сравнению с состоянием без ограничения возрастает на величину Это увеличение энергии называется энергией размерного квантования частицы. Энергия размерного квантования является следствием принципом неопределенности в квантовой механике. Если частица ограничена в пространстве вдоль оси z в пределах расстояния а, неопределенность zкомпоненты ее импульса возрастает на величину порядка ħ/a. Соответственно увеличивается кинетическая энергия частицы на величину E 1. Поэтому рассмотренный эффект часто называют квантово-размерным эффектом.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Принцип размерного квантования Вывод о квантовании энергии электронного движения относятся лишь к движению поперек потенциальной ямы (по оси z). На движение в плоскости xy (параллельно границам пленки) потенциал ямы не влияет. В этой плоскости носители движутся как свободные и характеризуются, как и в массивном образце, непрерывным квадратичным по импульсу энергетическим спектром с эффективной массой. Полная энергия носителей в квантово-размерной пленке носит смешанный дискретно непрерывный спектр

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Принцип размерного квантования Кроме увеличения минимальной энергии частицы квантоворазмерный эффект приводит также к квантованию энергий ее возбужденных состояний. Энергетический спектр квантово-размерной пленки - импульс носителей заряда в плоскости пленки

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Принцип размерного квантования Пусть электроны в системе имеют энергии, меньшие Е 2, и поэтому принадлежат нижнему уровню размерного квантования. Тогда никакой упругий процесс (например, рассеяние на примесях или акустических фононах), равно как и рассеяние электронов друг на друге, не может изменить квантовое число n , переведя электрон на вышележащий уровень, поскольку это потребовало бы дополнительных затрат энергии. Это означает, что электроны при упругом рассеянии могут изменять только свой импульс в плоскости пленки, т. е. ведут себя как чисто двумерные частицы. Поэтому квантово-размерные структуры, в которых заполнен лишь один квантовый уровень, часто называют двумерными электронными структурами.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Принцип размерного квантования Существуют и другие возможные квантовые структуры, где движение носителей ограничено не в одном, а в двух направлениях, как в микроскопической проволоке или нити (квантовые нити или проволоки). В этом случае носители могут свободно двигаться лишь в одном направлении, вдоль нити (назовем его осью х). В поперечном сечении (плоскость yz) энергия квантуется и принимает дискретные значения Emn (как любое двумерное движение, оно описывается двумя квантовыми числами, m и n). Полный спектр при этом тоже является дискретнонепрерывным, но лишь с одной непрерывной степенью свободы:

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Принцип размерного квантования Возможно, также, создание квантовых структур, напоминающих искусственные атомы, где движение носителей ограничено во всех трех направлениях (квантовые точки). В квантовых точках энергетический спектр уже не содержит непрерывной компоненты, т. е. не состоит из подзон, а является чисто дискретным. Как и в атоме, он описывается тремя дискретными квантовыми числами (не считая спина) и может быть записан в виде E =Elmn , причем, как и в атоме, энергетические уровни могут быть вырождены и зависеть лишь от одного или двух чисел. Общей особенностью низкоразмерных структур является тот факт, что, если хотя бы вдоль одного направления движение носителей ограничено очень малой областью, сравнимой по размерам с де-бройлевской длиной волны носителей, их энергетический спектр заметно меняется и становится частично или полностью дискретным.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Определения Квантовые точки – quantum dots – структуры, у которых во всех трех направлениях размеры составляют несколько межатомных расстояний (нульмерные структуры). Квантовые проволоки (нити) – quantum wires – структуры, у которых в двух направлениях размеры равны нескольким межатомным расстояниям, а в третьем – макроскопической величине (одномерные структуры). Квантовые ямы – quantum wells – структуры, у которых в одном направлении размер составляет несколько межатомных расстояний (двумерные структуры).

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Минимальный и максимальный размеры Нижний предел размерного квантования определяется критическим размером Dmin, при котором в квантово-размерной структуре существует хотя бы один электронный уровень. Dmin зависит от разрыва зоны проводимости DEc в соответствующем гетеропереходе, используемом для получения квантово-размерных структур. В квантовой яме хотя бы один электронный уровень существует в том случае, если DEc превышает величину h – постоянная Планка, me* - эффективная масса электрона, DE 1 QW - первый уровень в прямоугольной квантовой яме с бесконечными стенками.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Минимальный и максимальный размеры Если расстояние между энергетическими уровнями становятся сопоставимыми с тепловой энергией k. BT , то возрастает заселенность высоких уровней. Для квантовой точки условие, при котором заселением более высоко лежащих уровней можно пренебречь записывается как E 1 QD, E 2 QD – энергии первого и второго уровня размерного квантования соответственно. Это означает, что преимущества размерного квантования могут быть полностью реализованы, если Это условие устанавливает верхние пределы для размерного квантования. Для Ga. As –Alx. Ga 1 -x. As это значение составляет 12 нм.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Важной характеристикой любой электронной системы наряду с ее энергетическим спектром является плотность состояний g(E) (количество состояний, приходящихся на единичный интервал энергии Е). Для трехмерных кристаллов плотность состояний определяют с использованием цикличных граничных условий Борна-Кармана, из которых следует, что компоненты волнового вектора электрона изменяются не непрерывно, а принимают ряд дискретных значений здесь ni = 0, ± 1, ± 2, ± 3, а – размеры кристалла (в форме куба со стороной L). Объем к-пространства, приходящийся на одно квантовое состояние, равен (2)3/V, где V = L 3 – объем кристалла.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Таким образом, число электронных состояний приходящихся на элемент объема dk = dkxdkydkz, рассчитанное на единицу объема, будет равно здесь множитель 2 учитывает две возможные ориентации спина. Число состояний, приходящихся на единичный объем в обратном пространстве, т. е. плотность состояний) не зависит от волнового вектора Иными словами, в обратном пространстве разрешенные состояния распределены с постоянной плотностью.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Функцию плотности состояний по энергии в общем случае рассчитать практически невозможно, так как изоэнергетические поверхности могут иметь довольно сложную форму. В простейшем случае изотропного параболического закона дисперсии, справедливого для краев энергетических зон можно найти число квантовых состояний, приходящихся на объем сферического слоя, заключенного между двумя близкими изоэнергетическими поверхностями, соответствующим энергиям E и E+d. E.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Объем сферического слоя в к-пространстве. dk – толщина слоя. На этот объем будут приходиться d. N состояний Учитывая связь Е и k по параболическому закону получим Отсюда плотность состояний по энергии будет равна m* - эффективная масса электрона

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Таким образом, в трехмерных кристаллах с параболическим энергетическим спектром при увеличении энергии плотность разрешенных энергетических уровней (плотность состояний) будет увеличиваться пропорционально Плотность уровней в зоне проводимости и в валентной зоне. Площадь заштрихованных областей пропорциональна числу уровней в интервале энергий d. E

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Вычислим плотность состояний для двумерной системы. Полная энергия носителей для изотропного параболического закона дисперсии в квантово-размерной пленке, как показано выше, имеет смешанный дискретно непрерывный спектр В двумерной системе состояния электрона проводимости определяются тремя числами (n, kx, ky). Энергетический спектр разбивается на отдельные двумерные подзоны En, соответствующие фиксированным значениям n.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Кривые постоянной энергии представляют собой в обратном пространстве окружности. Каждому дискретному квантовому числу n соответствует абсолютное значение z-компоненты волнового вектора Поэтому объем в обратном пространстве, ограниченный замкнутой поверхностью данной энергии Е в случае двумерной системы разбивается на ряд сечений.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Определим зависимость плотности состояний от энергии для двумерной системы. Для этого при заданном n найдем площадь S кольца, ограниченного двумя изоэнергетическими поверхностями, соответствующие энергиям E и E+d. E: Здесь Величина двумерного волнового вектора, соответствующая данным n и E; dkr – ширина кольца. Так как одному состоянию в плоскости (kxky) соответствует площадь где L 2 – площадь двумерной пленки толщиной а, число электронных состояний в кольце, рассчитанное на единицу объема кристалла, будет равно с учетом спина электрона

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Поскольку здесь - энергия, соответствующая дну n-ой подзоны. Таким образом, плотность состояний в двумерной пленке где Q(Y) – единичная функция Хевисайда, Q(Y) =1 при Y≥ 0 и Q(Y) =0 при Y

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Плотность состояний в двумерной пленке можно также представить в виде - целая часть, равная числу подзон, дно которых находится ниже энергии Е. Таким образом, для двумерных пленок с параболическим законом дисперсии плотность состояний в любой подзоне постоянна и не зависит от энергии. Каждая подзона дает одинаковый вклад в общую плотность состояний. При фиксированной толщине пленки плотность состояний меняется скачком, когда не изменится на единицу.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Зависимость плотности состояний двумерной пленки от энергии (а) и толщины а (б).

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности В случае произвольного закона дисперсии или при другом виде потенциальной ямы зависимости плотности состояния от энергии и толщины пленки могут отличаться от приведенных выше, однако основная особенность – немонотонный ход – сохранится.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Вычислим плотность состояний для одномерной структуры – квантовой нити. Изотропный параболический закон дисперсии в этом случае можно записать в виде х направлена вдоль квантовой нити, d – толщина квантовой нити вдоль осей y и z, kx - одномерный волновой вектор. m, n – целые положительные числа, характеризующие где ось квантовые подзоны. Энергетический спектр квантовой нити разбивается, таким образом, на отдельные перекрывающиеся одномерные подзоны (параболы). Движение электронов вдоль оси x оказывается свободном (но с эффективной массой), а вдоль двух других осей движение ограничено.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Энергетический спектр электронов для квантовой нити

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Плотность состояний в квантовой нити от энергии Число квантовых состояний, приходящихся на интервал dkx , рассчитанное на единицу объема где энергия, соответствующая дну подзоны с заданными n и m.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Плотность состояний в квантовой нити от энергии Таким образом Следовательно При выводе этой формулы учтено спиновое вырождение состояний и то, что одному интервалу d. E соответствуют два интервала ±dkx каждой подзоны, для которой (E-En, m) > 0. Энергия E отсчитывается от дна зоны проводимости массивного образца.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Плотность состояний в квантовой нити от энергии Зависимость плотности состояний квантовой нити от энергии. Цифры у кривых показывают квантовые числа n и m. В скобках указаны факторы вырождения уровней подзон.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Плотность состояний в квантовой нити от энергии В пределах отдельной подзоны плотность состояний уменьшается с увеличением энергии. Полная плотность состояний представляет собой суперпозицию одинаковых убывающих функций (соответствующих отдельным подзонам), смещенных по оси энергии. При Е = E m, n плотность состояний равна бесконечности. Подзоны с квантовыми числами n m оказываются дважды вырожденными (только для Ly = Lz d).

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Плотность состояний в квантовой точке от энергии При трехмерном ограничении движения частиц мы приходим к задаче о нахождении разрешенных состояний в квантовой точке или нульмерной системе. Используя приближение эффективной массы и параболический закон дисперсии, для края изотропной энергетической зоны спектр разрешенных состояний квантовой точки с одинаковым размерам d вдоль всех трех координатных осей будет иметь вид n, m, l = 1, 2, 3 … - положительные числа, нумерующие подзоны. Энергетический спектр квантовой точки представляет собой набор дискретных разрешенных состояний, соответствующих фиксированным n, m, l.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Плотность состояний в квантовой точке от энергии Число состояний в подзоны, соответствующих одному набору n, m, l , рассчитанное на единицу объема, Полное число состояний, имеющих одинаковую энергию, рассчитанное на единицу объема Вырождение уровней в первую очередь определяется симметрией задачи. g – фактор вырождения уровня

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Плотность состояний в квантовой точке от энергии Вырождение уровней в первую очередь определяется симметрией задачи. Например, для рассматриваемого случая квантовой точки с одинаковыми размерами во всех трех измерениях, уровни будут трехкратно вырождены, если два квантовых числа равны между собой и не равны третьему, и шестикратно вырождены, если все квантовые числа не равны между собой. Конкретный вид потенциала также может приводить к дополнительному, так называемому случайному вырождению. Например, для рассматриваемой квантовой точки, к трехкратному вырождению уровней E(5, 1, 1); E(1, 5, 1); E(1, 1, 5), связанному с симметрией задачи, добавляется случайное вырождение E(3, 3, 3) (n 2+m 2+l 2=27 как в первом, так и во втором случаях), связанное с видом ограничивающего потенциала (бесконечная прямоугольная потенциальная яма).

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМ Распределение квантовых состояний в структурах пониженной размерности Плотность состояний в квантовой точке от энергии Распределение числа разрешенных состояний N в зоне проводимости для квантовой точки с одинаковыми размерами во всех трех измерениях. Цифры обозначают квантовые числа; в скобках указаны факторы вырождения уровней.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМ Статистика носителей в низкоразмерных структурах Трехмерные электронные системы Свойства равновесных электронов в полупроводниках зависят от фермиевской функции распределения, которая определяет вероятность того, что электрон будет находиться в квантовом состоянии с энергией Е EF – уровень Ферми или электрохимический потенциал, Т – абсолютная температура, k –постоянная Больцмана. Вычисление различных статистических величин значительно упрощается, если уровень Ферми лежит в запрещенной зоне энергий и значительно удален от дна зоны проводимости Ес (Ec – EF) > k. T. Тогда в распределении Ферми-Дирака единицей в знаменателе можно пренебречь и оно переходит в распределение Максвелла-Больцмана классической статистики. Это случай невырожденного полупроводника

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМ Статистика носителей в низкоразмерных структурах Трехмерные электронные системы Функция распределения плотности состояний в зоне проводимости g(E), функция Ферми-Дирака для трех температур и функция Максвелла-Больцмана для трехмерного электронного газа. При Т = 0 функция Ферми-Дирака имеет вид разрывной функции. Для Е EF функция равна нулю и соответствующие квантовые состояния совершенно свободны. При Т > 0 функция Ферми. Дирака размывается в окрестности энергии Ферми, где она быстро изменяется от 1 до 0 и это размытие пропорционально k. T, т. е. тем больше, чем выше температура. (Рис. 1. 4. Гуртов)

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМ Статистика носителей в низкоразмерных структурах Трехмерные электронные системы Концентрация электронов в зоне проводимости находится путем суммирования по всем состояниям Отметим, что в качестве верхнего предела в этом интеграле мы должны были бы взять энергию верхнего края зоны проводимости. Но так как функция Ферми-Дирака для энергий E >EF экспоненциально быстро убывает с увеличением энергии, то замена верхнего предела на бесконечность не меняет значения интеграла. Подставляя в интеграл значения функций, получим -эффективная плотность состояний в зоне проводимости

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМ Статистика носителей в низкоразмерных структурах Двумерные электронные системы Определим концентрацию носителе заряда в двумерном электронном газе. Поскольку плотность состояний двумерного электронного газа Получим Здесь также верхний предел интегрирования взят равным бесконечности, учитывая резкую зависимость функции распределения Ферми-Дирака от энергии. Интегрируя где

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМ Статистика носителей в низкоразмерных структурах Двумерные электронные системы Для невырожденного электронного газа, когда В случае сверхтонких пленок, когда можно учитывать заполнение лишь нижней подзоны При сильном вырождении электронного газа, когда где n 0 - целая часть

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМ Статистика носителей в низкоразмерных структурах Следует отметить, что в квантово-размерных системах за счет меньшей плотности состояний условие полного вырождения не требует экстремально высоких концентраций или низких температур и достаточно часто реализуется в экспериментах. Например, в n-Ga. As при N 2 D = 1012 см-2 вырождение будет иметь место уже при комнатной температуре. В квантовых нитях интеграл для расчета, в отличие от двумерного и трехмерного случаев не вычисляется аналитически произвольном вырождении, и простые формулы могут быть написаны лишь в предельных случаях. В невырожденном одномерном электронном газе в случае сверхтонких нитей, когда можно учитывать заполнение лишь наинизшего уровня с энергией Е 11 концентрация электронов где одномерная эффективная плотность состояний