Основные виды неравенств и их свойства.
Урок и презентация на тему: "Основные свойства числовых неравенств и способы их решения."
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Комбинаторика и теория вероятностей
Уравнения и неравенства
Введение в числовые неравенства
Ребята, с неравенствами мы уже сталкивались, например, когда начинали знакомиться с понятием корня квадратного . Интуитивно понятно, что с помощью неравенств можно оценить, какое из данных чисел больше или меньше. Для математического описания достаточно добавить специальный символ, который будет означать либо больше, либо меньше.Запись выражения $a>b$ на математическом языка означает, что число $a$ больше числа $b$. В свою очередь, это значит, что $a-b$ - положительное число. Как и практически все математические объекты неравенства имеют некоторые свойства. Изучением этих свойств мы и займемся на этом уроке. Свойство 1.
Доказательство. Более наглядно данное свойство можно показать, используя числовую прямую. Если $a>b$, то число $a$ на числовой прямой будет лежать правее $b$. Соответственно, если $b>c$, то число $b$ будет лежать правее числа $с$.
Свойство 2.
Свойство 3.
Свойство 4.
Доказательство. Свойство 5.
Доказательство. Определение. Тогда свойство 5 можно перефразировать. При умножение неравенств одного смысла, у которых левые и правые части положительные, получается неравенство того же смысла.
Свойство 6.
Свойство 7.
Доказательство. Мы знаем, что $a-b$ - положительное число, и произведение двух положительных чисел - тоже положительное число, т.е. $ab>0$. Свойство 8.
Доказательство. Свойство 9.
Неравенство Коши (среднее арифметическое больше либо равно среднего геометрического). Доказательство. Решение. Б) Воспользуемся свойством 3. Умножим на отрицательное число, значит знак неравенства меняется. Г) Умножим все части неравенства $3.1 Д) Все части неравенства положительны, возведя их в квадрат, получим неравенство того же смысла. Е) Степень неравенства нечетная, тогда можно смело возводить в степень и не менять знак. Ж) Воспользуемся свойством 7. Пример 2. Решение. С неравенствами мы познакомились в школе, где применяем числовые неравенства. В данной статье рассмотрим свойства числовых неравенств, не которых строятся принципы работы с ними. Свойства неравенств аналогичны свойствам числовых неравенств. Будут рассмотрены свойства, его обоснования, приведем примеры. Yandex.RTB R-A-339285-1
При введении понятия неравенства имеем, что их определение производится по виду записи. Имеются алгебраические выражения, которые имеют знаки ≠ , < , > , ≤ , ≥ . Дадим определение. Определение 1
Числовым неравенством
называют неравенство, в записи которого обе стороны имеют числа и числовые выражения. Числовые неравенства рассматриваем еще в школе после изучения натуральных чисел. Такие операции сравнения изучаются поэтапно. Первоначальные имею вид 1 < 5 , 5 + 7 > 3 . После чего правила дополняются, а неравенства усложняются, тогда получаем неравенства вида 5 2 3 > 5 , 1 (2) , ln 0 . 73 - 17 2 < 0 . Чтобы правильно работать с неравенствами, необходимо использовать свойства числовых неравенств. Они идут из понятия неравенства. Такое понятие задается при помощи утверждения, которое обозначается как «больше» или «меньше». Определение 2
Определение используется при решении неравенств с отношениями «меньше или равно», «больше или равно». Получаем, что Определение 3
Определения будут использованы при доказательствах свойств числовых неравенств. Рассмотрим 3 основные неравенства. Использование знаков < и > характерно при свойствах: Определение 4
Пример 1
Например, при заданном неравенстве 5 < 11 имеем, что 11 > 5 , значит его числовое неравенство − 0 , 27 > − 1 , 3 перепишется в виде − 1 , 3 < − 0 , 27 . Перед тем, как перейти к следующему свойству, заметим, что при помощи ассиметричности можно читать неравенство справа налево и наоборот. Таким образом, числовое неравенство можно изменять и менять местами. Определение 5
Доказательство 1
Первое утверждение можно доказать. Условие a < b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать. Аналогичным образом доказывается вторая часть со свойством транизитивности. Пример 2
Разобранное свойство рассматриваем на примере неравенств − 1 < 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 > 1 8 и 1 8 > 1 32 следует, что 1 2 > 1 32 . Числовые неравенства, которые записываются с помощью нестрогих знаков неравенства, обладают свойством рефлексивности, потому как a ≤ a и a ≥ a могут иметь случай равенства а = а. им присуща ассиметричность и транзитивность. Определение 6
Неравенства, имеющие в записи знаки ≤ и ≥ , имеют свойства: Доказательство производится аналогичным образом. Для дополнения основных свойств неравенств используются результаты, которые имеют практическое значение. Применяется принцип метода оценка значений выражений, на которых и базируются принципы решения неравенств. Данный пункт раскрывает свойства неравенств для одного знака строгого неарвенства. Аналогично производится для нестрогих. Рассмотрим на примере, сформулировав неравенство если a < b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства: Для удобного представления дадим соответствующее утверждение, которое записывается и приводятся доказательства, показываются примеры использования. Определение 7
Прибавление или вычисления числа к обеим сторонам. Иначе говоря, когда a и b соответствуют неравенству a < b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c . Доказательство 2
Чтобы доказать это, необходимо, чтобы уравнение соответствовало условию a < b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с. Пример 3
К примеру, если обе части неравенства 7 > 3 увеличиваем на 15 , тогда получаем, что 7 + 15 > 3 + 15 . Это равно 22 > 18 . Определение 8
Когда обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же число c , получим верное неравенство. Если взять число c отрицательным, то знак поменяется на противоположный. Иначе это выглядит так: для a и b неравенство выполняется, когда a < b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c > b · c . Доказательство 3
Когда имеется случай c > 0 , необходимо составить разность левой и правой частей неравенства. Тогда получаем, что a · c − b · c = (a − b) · c . Из условия a < b , то a − b < 0 , а c > 0 , тогда произведение (a − b) · c будет отрицательным. Отсюда следует, что a · c − b · c < 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом. При доказательстве деление на целое число можно заменить умножением на обратное заданному, то есть 1 c . Рассмотрим пример свойства на определенных числах. Пример 4
Разрешено обе части неравенства 4 < 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 . Теперь сформулируем вытекающие два результата, которые используются при решении неравенств: При делении обеих частей неравенства a < b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 > 3 2 имеем, что 1 5 < 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a > 1 b может получиться неверным. Пример 5
Например, − 2 < 3 , однако, - 1 2 > 1 3 являются неверным равенством. Все пункты объединяет то, что действия над частями неравенства дают верное неравенство на выходе. Рассмотрим свойства, где изначально имеется несколько числовых неравенств, а его результат получим при сложении или умножении его частей. Определение 9
Когда числа a , b , c , d справедливы для неравенств a < b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства. Доказательство 4
Докажем, что (a + c) − (b + d) является отрицательным числом, тогда получим, что a + c < b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности. Свойство применяется для почленного сложения трех, четырех и более числовых неравенств. Числам a 1 , a 2 , … , a n и b 1 , b 2 , … , b n справедливы неравенства a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .
Пример 6
Например, при данных трех числовых неравенствах одного знака − 5 < − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным. Определение 10
Почленное умножение обеих частей дает в результате положительное число. При a < b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым. Доказательство 5
Чтобы доказать это, необходимо обе части неравенства a < b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d . Это свойство считается справедливым для количества чисел, на которые необходимо умножить обе части неравенства. Тогда a 1 , a 2 , … , a n
и b 1 , b 2 , … , b n
являются положительные числами, где a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n < b 1 · b 2 · … · b n
. Заметим, что при записи неравенств имеются неположительные числа, тогда их почленное умножение приводит к неверным неравенствам. Пример 7
К примеру, неравенство 1 < 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством. Следствие:
Почленное умножение неравенств a < b с положительными с a и b , причем получается a n < b n
. Рассмотрим ниже приведенную свойства числовых неравенств. Следствие 1:
если a < b , то - a > - b . Следствие 2:
если a и b - положительные числа и a < b , то 1 a > 1 b . Cледствие 1:
если a < b , a
и b
- положительные числа, то a n < b n . Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I
§ 10 Основные свойства числовых неравенств
1. Если а > b
, то b < а
, и, наоборот, если а < b
, то b > а
.
Доказательство.
Пусть а > b
. По определению это означает, что число (а - b
) положительно. Если мы перед ним поставим знак минус, то полученное число - (а - b
) будет, очевидно, отрицательным. Поэтому - (а - b
) < 0, или b - а
< 0. А это (опять же по определению) и означает, что b < a
. Обратное утверждение предлагаем учащимся доказать самостоятельно. Доказанное свойство неравенств допускает простую геометрическую интерпретацию: если точка А лежит на числовой прямой правее точки В, то точка В лежит левее точки А, и наоборот (см. рис. 20). 2. Если a > b
, a b > c
, то а > с
.
Геометрически это свойство состоит в следующем. Пусть точка А (соответствующая числу а
) лежит правее точки В (соответствующей числу b
), а точка В, в свою очередь, лежит правее точки С (соответствующей числу с
). Тогда точка А и подавно будет лежать правее точки С (рис. 21). Приведем алгебраическое доказательство этого свойства неравенств. Пусть а > b
, a b > с
. Это означает, что числа (а - b
) и (b- с
) положительны. Сумма двух положительных чисел, очевидно, положительна. Поэтому (а - b
) + (b- с
) > 0, или а - с
> 0. Но это и означает, что а
> с
. 3. Если а > b
, то для любого числа с
а + с > b + с
, а - c
> b - с
.
Иными словами, если к обеим частям числового неравенства прибавить или от обеих частей отнять одно и то же число, то неравенство не нарушится.
Доказательство.
Пусть а > b
. Это означает, что а - b
> 0. Но а - b
= (а + с
) - (b + с
). Поэтому (а + с
) - (b + с
) > 0. А по определению это и означает, что а + с > b + с
. Аналогично показывается, что а - c
> b - с
. Например, если к обеим частям неравенства 5 > 4 прибавить 1 1 / 2 , то получим Следствие.
Любое слагаемое одной части числового неравенства можно перенести в другую часть неравенства, поменяв знак этого слагаемого на противоположный.
Пусть, например, а + b > с
. Требуется доказать, что а > с - b
. Для доказательства от обеих частей данного неравенства достаточно отнять число b
. 4. Пусть а > b
. Если с > 0
, то аc > bc
. Если же с < 0
, то ас < bс
. Иными словами, если обе части числового неравенства умножить на положительное число, то неравенство не нарушится;
Короче это свойство формулируется таким образом: Неравенство сохраняется при почленном умножении на положительное число и изменяет знак на противоположный при почленном умножении на отрицательное число.
Например, умножив неравенство 5 > 1 почленно на 7, получим 35 > 7. Почленное умножение того же неравенства на - 7 дает - 35 < - 7. Доказательство 4-го свойства.
Пусть а > b
. Это означает, что число а - b
положительно. Произведение двух положительных чисел а - b
и с
, очевидно, также положительно, т. е. (а - b
) с
> 0, или Аналогично рассматривается случай, когда число с
отрицательно. Произведение положительного числа а - b
на отрицательное число с
, очевидно, отрицательно, т. е. Следствие.
Знак неравенства сохраняется при почленном делении на положительное число и изменяется на противоположный при почленном делении на отрицательное число.
Это вытекает из того, что деление на число с
=/= 0 равносильно умножению на число 1 /
c
. Упражнения
81. Можно ли неравенство 2 > 1 умножить почленно на а) а
2 + 1; б) | а
|; в) а
; г) 1 - 2а +а
2 так чтобы знак неравенства сохранился? 82. Всегда ли 5х
больше 4х
, а - у
меньше у
? 83. Каким может быть число х
, если известно, что -х
> 7? 84. Расположить в порядке возрастания числа: a) а 2 , 5а 2 , 2а 2 ; б) 5а
, 2а
; в) а
, а
2 , а
3 . 85. Расположить в порядке убывания числа а - b
, а
- 2b
, а
- 3b
. 86. Дать геометрическую интерпретацию третьему свойству числовых неравенств. Поле действительных чисел обладает свойством упорядоченности (п. 6, стр. 35): для любых чисел а, b имеет место одно и только одно из трех соотношений: или . При этом запись а > b означает, что разность положительна, а запись разность отрицательна. В отличие от поля действительных чисел, поле комплексных чисел не упорядочивается: для комплексных чисел понятия «больше» и «меньше» не определяются; поэтому в данной главе рассматриваются только действительные числа. Соотношения назовем неравенствами, числа а и b - членами (или частями) неравенства, знаки > (больше) и Неравенства а > b и с > d называются неравенствами одинакового (или одного и того же) смысла; неравенства а > b и с Из определения неравенства сразу следует, что 1) любое положительное число больше нуля; 2) любое отрицательное число меньше нуля; 3) любое положительное число больше любого отрицательного числа; 4) из двух отрицательных чисел больше то, абсолютная величина которого меньше. Все эти утверждения допускают простое геометрическое истолкование. Пусть положительное направление числовой оси идет вправо от начальной точки; тогда, каковы бы ни были знаки чисел, большее из них изображается точкой, лежащей правее точки, изображающей меньшее число. Неравенства обладают следующими основными свойствами. 1. Несимметричность (необратимость): если , то , и обратно. Действительно, если разность положительна, то разность отрицательна. Говорят, что при перестановке членов неравенства надо смысл неравенства изменить на противоположный. 2. Транзитивность: если , то . Действительно, из положительности разностей следует и положительность Кроме знаков неравенства применяют также знаки неравенства и Они определяются следующим образом: запись означает, что либо либо Поэтому, например, можно писать , а также . Обычно неравенства, записанные с помощью знаков называют строгими неравенствами, а записанные с помощью знаков нестрогими неравенствами. Соответственно и сами знаки называют знаками строгого или нестрогого неравенства. Свойства 1 и 2, рассмотренные выше, верны и для нестрогих неравенств. Рассмотрим теперь действия, которые можно производить над одним или несколькими неравенствами. 3. От прибавления к членам неравенства одного и того же числа смысл неравенства не изменяется. Доказательство. Пусть даны неравенство и произвольное число . По определению разность положительна. Прибавим к этому числу два противоположных числа от чего оно не изменится, т. е. Это равенство можно переписать так: Из этого следует, что разность положительна, т. е. что а это и надо было доказать. На этом основана возможность перекоса любого члена неравенства из одной его части в другую с противоположным знаком. Например, из неравенства следует, что 4. При умножении членов неравенства на одно и то же положительное число смысл неравенства не изменяется; при умножении членов неравенства на одно и то же отрицательное число смысл неравенства изменяется на противоположный. Доказательство. Пусть тогда Если то так как произведение положительных чисел положительно. Раскрыв скобки в левой части последнего неравенства, получим , т. е. . Аналогичным образом рассматривается случай . Точно такой же вывод можно сделать и относительно деления частей неравенства на какое-либо отличное от нуля число, так как деление на число равносильно умножению на число а числа имеют одинаковые знаки. 5. Пусть члены неравенства положительны. Тогда при возведении его членов в одну и ту же положительную степень смысл неравенства не изменяется. Доказательство. Пусть этом случае по свойству транзитивности и . Тогда в силу монотонного возрастания степенной функции при и положительном будем иметь В частности, если где -натуральное число, то получим т. е. при извлечении корня из обеих частей неравенства с положительными членами смысл неравенства не изменяется. Пусть члены неравенства отрицательны. Тогда нетрудно доказать, что при возведении его членов в нечетную натуральную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную натуральную степень изменится на противоположный. Из неравенств с отрицательными членами можно также извлекать корень нечетной степени. Пусть, далее, члены неравенства имеют разные знаки. Тогда при возведении его в нечетную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную степень о смысле получающегося неравенства ничего определенного в общем случае сказать нельзя. В самом деле, при возведении числа в нечетную степень знак числа сохраняется и поэтому смысл неравенства не изменяется. При возведении же неравенства в четную степень образуется неравенство с положительными членами, и его смысл будет зависеть от абсолютных величин членов исходного неравенства может получиться неравенство того же смысла, что и исходное, неравенство противоположного смысла и даже равенство! Все сказанное о возведении неравенств в степень полезно проверить на следующем примере. Пример 1. Возвести в указанную степень следующие неравенства, изменив в случае необходимости знак неравенства на противоположный или на знак равенства. а) 3 > 2 в степень 4; б) в степень 3; в) в степень 3; г) в степень 2; д) в степень 5; е) в степень 4; ж) 2 > -3 в степень 2; з) в степень 2, 6. От неравенства можно перейти к неравенству между если члены неравенства оба положительны или оба отрицательны, то между их обратными величинами имеется неравенство противоположного смысла: Доказательство. Если а и b - одного знака, то их произведение положительно. Разделим на неравенство т. е. , что и требовалось получить. Если члены неравенства имеют противоположные знаки, то неравенство между их обратными величинами имеет тот же смысл, так как знаки обратных величин те же, что и знаки самих величин. Пример 2. Проверить последнее свойство 6 на следующих неравенствах: 7. Логарифмирование неравенств можно производить лишь в случае, когда члены неравенств положительны (отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют). Пусть . Тогда при будет а при будет Правильность этих утверждений основана на монотонности логарифмической функции, которая возрастает, если основание и убывает при Итак, при логарифмировании неравенства, состоящего из положительных членов, по основанию, большему единицы, образуется неравенство того же смысла, что и данное, а при логарифмировании его по положительному основанию, меньшему единицы, - неравенство противоположного смысла. 8. Если , то если , но , то . Это сразу следует из свойств монотонности показательной функции (п. 42), которая возрастает в случае и убывает, если При почленном сложении неравенств одного и того же смысла образуется неравенство того же смысла, что и данные. Доказательство. Докажем это утверждение для двух неравенств, хотя оно верно для любого количества складываемых неравенств. Пусть даны неравенства По определению числа будут положительными; тогда положительной оказывается и их сумма, т. е. Группируя иначе слагаемые, получим и, следовательно, а это и надо было доказать. Нельзя сказать Ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при сложении двух или нескольких неравенств разного смысла. 10. Если из одного неравенства почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, то образуется неравенство того же смысла, что и первое. Доказательство. Пусть даны два неравенства разного смысла. Второе из них по свойству необратимости можно переписать так: d > с. Сложим теперь два неравенства одинакового смысла и получим неравенство того же смысла. Из последнего находим а это и надо было доказать. Нельзя сказать ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при вычитании из одного неравенства другого неравенства того же смысла. Множество всех действительных чисел можно представить, как объединение трех множеств: множество положительных чисел, множество отрицательных чисел и множество состоящее из одного числа - число нуль. Для того чтобы указать, что число а
положительно, пользуются записью а > 0
, для указания отрицательного числа используют другую запиь a < 0
. Сумма и произведение положительных чисел также являются положительными числами. Если число а
отрицательно, то число -а
положительно (и наоборот). Для любого положительного числа а найдется такое положительное рациональное число r
, что r < а
. Эти факты и лежат в основе теории неравенств. По определению неравенство а > b (или, что то же самое, b < a) имеет место в том и только в том случае, если а - b > 0, т. е. если число а - b положительно. Рассмотрим, в частности, неравенство а < 0
. Что означает это неравенство? Согласно приведенному выше определению оно означает, что 0 - а > 0
, т. е. -а > 0
или, иначе, что число -а
положительно. Но это имеет место в том и только в том случае, если число а
отрицательно. Итак, неравенство а < 0
означает, что число а отрицательно.
Часто используется также запись аb
(или, что то же самое, bа
). (a b) [(a > b) V (a = b)] Пример 1.
Верны ли неравенства 5 0, 0 0? Неравенство 5 0 - это сложное высказывание состоящее из двух простых высказываний связанных логической связкой "или" (дизъюнкция). Либо 5 > 0 либо 5 = 0. Первое высказывание 5 > 0 - истинно, второе высказывание 5 = 0 - ложно. По определению дизъюнкции такое сложное высказывание истинно. Аналогично обсуждается запись 00. Неравенства вида а > b, а < b
будем называть строгими, а неравенства вида ab, ab
- нестрогими. Неравенства а > b
и с > d
(или а < b
и с < d
) будем называть неравенствами одинакового смысла, а неравенства а > b
и c < d
- неравенствами противоположного смысла. Отметим, что эти два термина (неравенства одинакового и противоположного смысла) относятся лишь к форме записи неравенств, а не к самим фактам, выражаемым этими неравенствами. Так, по отношению к неравенству а < b
неравенство с < d
является неравенством того же смысла, а в записи d > c
(означающей то же самое) - неравенством противоположного смысла. Наряду с неравенствами вида a > b
, ab
употребляются так называемые двойные неравенства, т. е. неравенства вида а < с < b
, ас < b
, a < cb
, а < с < b
(1) а < с
и с < b.
Аналогичный смысл имеют неравенства асb, ас < b, а < сb.
Двойное неравенство (1) можно записать так: (a < c < b) [(a < c) & (c < b)] а двойное неравенство a ≤ c ≤ b
можно записать в следующем виде: (a c b) [(a < c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)] Перейдем теперь к изложению основных свойств и правил действий над неравенствами, договорившись, что в данной статье буквы a, b, с
обозначают действительные числа, а n
означает натуральное число. 1) Если а > b и b > с, то a > с (транзитивность).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как по условию а > b
и b > c
, то числа а - b
и b - с
положительны, и, следовательно, число а - с = (а - b) + (b - с)
, как сумма положительных чисел, также является положительным. Это означает, по определению, что а > с
. 2) Если а > b, то при любом с имеет место неравенство а + с > b + c.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как а > b
, то число а - b
положительно. Следовательно, число (а + с) - (b + с) = a + c - b - c = а - b
также является положительным, т. е. 3) Если a + b > c, то a > b - c ,
т. е. любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный. Доказательство вытекает из свойства 2) достаточно к обеим частям неравенства а + b > с
прибавить число - b.
4) Если а > b и с > d, то а + с > b + d,
т. е. при сложении двух неравенств одного и того же смысла получается неравенство того же смысла. Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу определения неравенства достаточно показать, что разность Следствие. Из правил 2) и 4) вытекает следующее Правило вычитания неравенств: если а > b, с > d
, то a - d > b - с
(для доказательства достаточно к обеим частям неравенства а + с > b + d
прибавить число - c - d
). 5) Если а > b, то при с > 0 имеем ас > bc, а при с < 0 имеем ас < bc.
Иначе говоря, при умножении обеих частей неравенства ни положительное число знак неравенства сохраняется (т. е. получается неравенство, того же смысла), а при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (т. е. получается неравенство противоположного смысла. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если а > b
, то а - b
есть число положительное. Следовательно, знак разности ас-bс
= с(а - b)
совпадает со знаком числа с
: если с
- положительное число, то и разность ас - bc
положительна и потому ас > bс
, а если с < 0
, то эта разность отрицательна и потому bc - ас
положительно, т. е. bc > ас
. 6) Если а > b > 0 и с > d > 0, то ас > bd,
т. е. если все члены двух неравенств одинакового смысла положительны, то при почленном умножении этих неравенств получается неравенство того же смысла. Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем ас - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b{c - d)
. Так как с > 0, b > 0,
a - b > 0, с - d > 0, то ас - bd > 0, т. е. ас > bd.
Замечание.
Из доказательства видно, что условие d > 0
в формулировке свойства 6) несущественно: для справедливости этого свойства достаточно, чтобы были выполнены условия a > b > 0, с > d, с > 0
. Если же (при выполнении неравенств a > b, с > d
) числа а, b, с
не будут все положительными, то неравенство ас > bd
может не выполняться. Например, при а
= 2, b
=1, c
= -2, d
= -3 имеем a > b, с
> d
, но неравенство ас > bd
(т. е. -4 > -3) не выполнено. Таким образом, требование положительности чисел а, b, с в формулировке свойства 6) существенно. 7) Если a ≥ b > 0 и c > d > 0, то(деление неравенств).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем Замечание.
Отметим важный частный случай правила 7), получающийся при а = b = 1: если с > d > 0, то. Таким образом, если члены неравенства положительны, то при переходе к обратным величинам получаем неравенство противоположного смысла. Предлагаем читателям проверить, что это правило сохраняется и в7) Если ab > 0 и c > d > 0, то(деление неравенств). Д о к а з а т е л ь с т в о. то. Мы доказали выше несколько свойств неравенств, записанных с помощью знака >
(больше). Однако все эти свойства можно было бы формулировать с помощью знака <
(меньше), так как неравенство b < а
означает, по определению, то же самое, что и неравенство а > b
. Кроме того, как это нетрудно проверить, доказанные выше свойства сохраняются и для нестрогих неравенств. Например, свойство 1) для нестрогих неравенств будет иметь следующий вид: если аb и bс
, то ас
. Разумеется, сказанным выше не ограничиваются общие свойства неравенств. Существует еще целый ряд неравенств общего вида, связанных с рассмотрением степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций. Общий подход для написания такого рода неравенств заключается в следующем. Если некоторая функция у = f(х)
монотонно возрастает на отрезке [а, b]
, то при x 1 > x 2 (где x 1 и x 2 принадлежат этому отрезку) мы имеем f(x 1) > f(x
2). Аналогично, если функция y = f{x)
монотонно убывает на отрезке [а, b]
, то при х 1 > х
2 (где х 1
и х
2 принадлежат этому отрезку) мы имеем f(x 1) < f(x 2
). Разумеется, сказанное не отличается от определения монотонности, но для запоминания и написания неравенств этот прием очень удобен. Так, например, для любого натурального n функция у = х n
является монотонно возрастающей на луче }
Запись выражения $a
Если $a>b$ и $b>c$, то $a>c$.
Очевидно, что $10>5$, и $5>2$, и конечно $10>2$. Но математика любит строгие доказательства для самого общего случая.
Если $a>b$, то $a-b$ - положительное число. Если $b>c$, то $b-c$ - положительное число. Давайте сложим два полученных положительных числа.
$a-b+b-c=a-c$.
Сумма двух положительных чисел есть положительное число, но тогда $a-c$ также положительное число. Из чего следует, что $a>c$. Свойство доказано.
Как видно из рисунка точка $a$ в нашем случае находится правее точки $c$, а это означает, что $a>c$.
Если $a>b$, то $a+c>b+c$.
Иначе говоря, если число $a$ больше числа $b$, то какое бы мы число не прибавили (положительное или отрицательное) к этим числам, знак неравенства будет также сохраняться. Доказывается данное свойство очень легко. Нужно выполнить вычитание. Та переменная, которую прибавляли, исчезнет и получится верное исходное неравенство.
а) Если обе части неравенства умножить на положительное число, то знак неравенства сохраняется.
Если $a>b$ и $c>0$, тогда $ac>bc$.
б) Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства следует поменять на противоположный.
Если $a>b$ и $c
Если $a
При делении следует действовать тем же образом (делим на положительное число - знак сохраняется, делим на отрицательно число - знак меняется).
Если $a>b$ и $c>d$, то $a+c>b+d$.
Из условия: $a-b$ - положительное число и $c-d$ - положительное число.
Тогда сумма $(a-b)+(c-d)$ - тоже положительное число.
Поменяем местами некоторые слагаемые $(a+с)-(b+d)$.
От перемены мест слагаемых сумма не изменяется.
Значит $(a+с)-(b+d)$ - положительное число и $a+c>b+d$.
Свойство доказано.
Если $a, b ,c, d$ - положительные числа и $a>b$, $c>d$, то $ac>bd$.
Так как $a>b$ и $c>0$, то, используя свойство 3, имеем $ac>bc$.
Так как $c>d$ и $b>0$, то, используя свойство 3, имеем $cb>bd$.
Итак, $ac>bc$ и $bc >bd$.
Тогда, используя свойство 1, получаем $ac>bd$. Что и требовалось доказать.
Неравенства вида $a>b$ и $c>d$ ($a
Если $a>b$ ($a>0$, $b>0$), то $a^n>b^n$, где $n$ – любое натуральное число.
Если обе части неравенства положительные числа и их возвести в одну и ту же натуральную степень, то получится неравенство того же смысла.
Заметим: если $n$ – нечетное число, то для любых по знаку чисел $a$ и $b$ свойство 6 выполняется.
Если $a>b$ ($a>0$, $b>0$), то $\frac{1}{a}
Чтобы доказать данное свойство, необходимо при вычитании $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$ получить отрицательное число.
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}=\frac{-(a-b)}{ab}$.
Тогда $\frac{-(a-b)}{ab}$ - отрицательное число. Свойство доказано.
Если $a>0$, то выполняется неравенство: $a+\frac{1}{a}≥2$.
Рассмотрим разность.
$a+\frac{1}{a}-2=\frac{a^2-2a+1}{a}=\frac{(a-1)^2}{a}$ - неотрицательное число.
Свойство доказано.
Если $a$ и $b$ - неотрицательные числа, то выполняется неравенство: $\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$.
Рассмотрим разность:
$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}$ - неотрицательное число.
Свойство доказано.Примеры решения неравенств
Пример 1.
Известно, что $-1.5
б) $-2b$.
в) $a+b$.
г) $a-b$.
д) $b^2$.
е) $a^3$.
ж) $\frac{1}{b}$.
а) Воспользуемся свойством 3. Умножим на положительное число, значит знак неравенства не меняется.
$-1.5*3
$-2*3.1>-2*b>-2*5.3$.
$-10.3
в) Сложив неравенства одинакового смысла, получим неравенство того же смысла.
$-1.5+3.1
Теперь выполним операцию сложения.
$-1.5-5.3
${3.1}^2
${(-1.5)}^3
$\frac{1}{5.3}<\frac{1}{b}<\frac{1}{3.1}$.
$\frac{10}{53}<\frac{1}{b}<\frac{10}{31}$.
Сравните числа:
а) $\sqrt{5}+\sqrt{7}$ и $2+\sqrt{8}$.
б) $π+\sqrt{8}$ и $4+\sqrt{10}$.
а) Возведем каждое из чисел в квадрат.
$(\sqrt{5}+\sqrt{7})^2=5+2\sqrt{35}+7=12+\sqrt{140}$.
$(2+\sqrt{8})^2=4+4\sqrt{8}+8=12+\sqrt{128}$.
Вычислим разность квадратов этих квадратов.
$(\sqrt{5}+\sqrt{7})^2-(2+\sqrt{8})^2=12+\sqrt{140}-12-\sqrt{128}=\sqrt{140}-\sqrt{128}$.
Очевидно, получили положительное число, что означает:
$(\sqrt{5}+\sqrt{7})^2>(2+\sqrt{8})^2$.
Так как оба числа положительных, то:
$\sqrt{5}+\sqrt{7}>2+\sqrt{8}$.Задачи для самостоятельного решения
1. Известно, что $-2.2
а) $4a$.
б) $-3b$.
в) $a+b$.
г) $a-b$.
д) $b^4$.
е) $a^3$.
ж) $\frac{1}{b}$.
2. Сравните числа:
а) $\sqrt{6}+\sqrt{10}$ и $3+\sqrt{7}$.
б) $π+\sqrt{5}$ и $2+\sqrt{3}$.
Числовые неравенства: определение, примеры
Свойства числовых неравенств
Основные свойства
Другие важные свойства числовых неравенств
Свойства числовых неравенств
a ≤ a , a ≥ a - верные неравенства.
Если a < b и c - отрицательное число, то a · c > b · c .
6 1 / 2 > 5 1 / 2 . Отнимая от обеих частей данного неравенства число 5, получим 0 > - 1.
если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
ас - bс >
0. Поэтому ас > bс
.
(а - b) с <
0; поэтому ас - bс <
0, откуда ас < bс
.
Запись аb
, по определению, означает, что либо а > b
, либо а = b
. Если рассматривать запись аb
как неопределенное высказывание, то в обозначениях математической логики можно записать
a
cb
. По определению запись
означает, что имеют место оба неравенства:
a + с > b + с.
(а + с} - (b + c)
положительна. Эту разность можно записать следующим образом:
(a + c) - (b + d) = {а - b) + (с - d)
.
Так как по условию числа а - b
и с - d
положительны, то (a + с) - (b + d)
также есть число положительное.
Числитель дроби, стоящей в правой части, положителен (см. свойства 5), 6)), знаменатель также положителен. Следовательно,. Этим свойство 7) доказано.
