Построение правильных многоугольников - техническое черчение.

5.В окружность радиуса R вписан квадрат со стороной a и правильный треугольник. Какова сторона

треугольника?

6.В окружность, радиус которой равен 4, вписан правильный треугольник, на стороне которого

построен квадрат. Определите радиус окружности, описанной около квадрата.

7.В окружность радиуса R вписан правильный треугольник, в который вписан круг, а в этот круг

вписан квадрат. Определите сторону этого квадрата.

8.Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и служит для одной окружности

стороной правильного вписанного треугольника, а для другой – стороной вписанного квадрата.

Определите расстояние между центрами окружностей.

9.Сторона правильного 6-угольника равна 84. Вычислите сторону равновеликого ему правильного

треугольника.

10.Найдите отношение площадей двух правильных n – угольников – вписанного в окружность и

описанного около неё (n =3, 4, 6).

11. По данной площади Q правильного вписанного 12-угольника определите площадь правильного

6-угольника, вписанного в ту же окружность.

12. По данной площади Q правильного вписанного 8-угольника определите площадь квадрата,

вписанного в ту же окружность.

Г. Задачи на построение.

1.Можно ли циркулем и линейкой построить правильный n – угольник, если n =7, 9, 15, 360 ?

2.Впишите в данную окружность правильный n – угольник (n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12).

3.Срезая углы, превратите данный правильный треугольник со стороной а в правильный 6-угольник

и определите его сторону.

4.Срезая углы, превратите данный квадрат со стороной а в правильный 8-угольник и определите

его сторону. (Совет: проведите дуги с центрами в вершинах квадрата и радиусами, равными

половине диагонали квадрата, соедините точки, получившиеся на сторонах квадрата). Найдите

площадь получившегося 8-угольника.

5.Дана окружность, указан её центр. Только с помощью циркуля впишите в эту окружность квадрат

(можно воспользоваться тем, что треугольник со сторонами 1,
– прямоугольный).

6.Постройте правильный 5-угольник по его диагонали.

7.В окружности с центром О проводят диаметр АВ и перпендикулярный к нему диаметр CD . Строят

точку Е – середину отрезка ОС . Радиусом ЕО проводят окружность с центром Е , пересекающую

АЕ в точке М . Радиусом АМ строят окружность с центром А , которая пересекает исходную

окружность в точке N . Вычислите длину AN и выясните, стороной какого правильного

вписанного n – угольника она является.

Д. Доказательства и вычисления.

1. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки окружности до вершин правильного

вписанного в эту окружность треугольника есть величина постоянная, не зависящая от положения

точки на окружности.

2. В квадрат ABCD со стороной а вписана окружность, которая касается стороны CD в точке Е .

Найдите хорду, соединяющую точки, в которых окружность пересекается с прямой АЕ .

3.Диагонали АС и BD правильного пятиугольника ABCDE пересекаются в точке М. Докажите,

что
и
.

4.В правильном треугольнике АВС со стороной а проведена высота ВК . В треугольники АВК и

ВСК вписано по окружности и к ним проведена общая внешняя касательная, отличная от стороны

АС . Найдите площадь треугольника, отсекаемого этой касательной от треугольника АВС .

5.Дан квадрат со стороной а. Найдите площадь правильного треугольника, одна вершина которого

расположена в середине стороны квадрата, а две других – на его диагоналях.

Инструкция

Возьмите циркуль и начертите окружность. Затем выберите на этой окружности произвольную точку (назовем ее А). Поставьте циркуль в эту точку и сделайте на окружности засечку ( В), расстояние до которой будет радиусу этой окружности. Переставьте циркуль в полученную точку и вновь отложите на окружности то же расстояние (равное отрезку АВ), а затем повторите операцию еще три раза. В итоге на вашей окружности должны появиться 6 точек (А, В, С, D, E и F), равноудаленных друг от .

Соедините все полученные точки отрезками, а затем отметьте середины каждой из сторон построенного вами шестиугольника АВСDEF. После этого проведите срединные перпендикуляры к из шести отрезков, продляя их до пересечения с окружностью. Вы получите новых точек на окружности – недостающие вершины 12-угольника. Для завершения построения эти точки будет соединить с ближайшими к ним вершинами шестиугольника ABCDEF. В результате вы получите правильный с двенадцатью равными углами и сторонами.

Есть еще один способ построения правильного 12-угольника. После окружности и обозначения на ней произвольной точки (А), проведите из этой точки диаметр окружности (назовем его АD). Затем начертите две окружности того же радиуса, что и исходная, с центрами в концах диаметра (А и D). Каждая из этих двух окружностей пересечет исходную в двух нужных вам точках. Затем проведите еще один диаметр исходной окружности, строго перпендикулярный первому (назовем его МР), и из обоих концов диаметра (М и Р) снова проведите окружности того же радиуса. Каждая из них пересечет исходную окружность еще в двух точках. В итоге вы получите 12 точек: A, D, M, P, а по 2 точки пересечения четырех новых окружностей с исходной. Теперь для завершения построения 12-угольника вам останется соединить эти точки отрезками.

Источники:

• Вписать правильный двенадцатиугольник

Задачи на осуществление построений правильных геометрических фигур тренируют пространственное восприятие и логику. Существует большое количество весьма простых задач подобного рода. Их решение сводится к модифицированию или комбинированию уже известных примеров. Однако есть и такие, над решением которых нужно подумать. Одной из нетривиальных является задача о том, как построить правильный десятиугольник .

Вам понадобится

• - бумага;
• - циркуль;
• - линейка;
• - карандаш.

Инструкция

Постройте окружность произвольного радиуса с известным центром. Обозначьте на поверхности точку O, которая будет являться центром. Выберите оптимальный раствор ножек циркуля. Установите иглу циркуля в точку O. Вычертите окружность.

Постройте отрезок прямой, проходящей через центр окружности и пересекающий ее в двух точках. При помощи линейки вычертите отрезок, проходящий через точку O таким образом, чтобы он дважды пересекал линию окружности. Одну из точек пересечения построенного отрезка обозначьте A, другую - P1.

Постройте отрезок прямой, проходящий через точку O и перпендикулярный отрезку OA. Установите иглу циркуля в точку A установите ножку циркуля с грифелем в точку P1. Вычертите окружность. Не меняя ножек, установите иглу циркуля в точку P1. Вычертите окружность. Постройте отрезок прямой, проходящий через точки пересечения начерченных окружностей. Он пройдет также и через точку O. Обозначьте точки пересечения данного отрезка с окружностью O как B и P2.

Найдите точку, принадлежащую отрезку OB и равноудаленную от его концов. Для этого произведите действия, аналогичные тем, что были описаны в третьем шаге, для построения перпендикуляра к OB, делящего его на две . Обозначьте найденную точку C.

Вычертите окружность с центром в точке C и радиусом CA. Установите иглу циркуля в точку C. Установите ножку циркуля с грифелем в точку A. Постройте окружность. Обозначьте точку пересечения этой окружности с отрезком OP2 как D.

Постройте правильный . Установите ножку с иглой циркуля в точку A. Установите ножку с грифелем циркуля в точку D. Теперь длина между концами ножек циркуля равна стороне правильного

Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 -6, 4-3, 4-5 и 7-2, после чего прово­дим стороны 5-6 и 3-2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника . Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0-1-2 равен 30°, то для нахождения стороны

1-2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0-1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1-2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вер­шины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину-точку 1 и проводим диаметральную линию 1-4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окруж­ностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вер­шинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность . Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пере­секаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные сто­роны квадрата 4-1 и 3-2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1-2 и 4-3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диа­метров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до вза­имного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные пря­мые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересече­ния с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), про­изводим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точ­ках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вер­шины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Получим точку 1-вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведён­ными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиу­сом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с про­должением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, прово­дим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересече­ние которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / - // - /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем после­довательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведе­ния лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоуголь­ников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно произ­водить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэф­фициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

§ 12. Правильные многоугольники .

Обозначения:
п -число сторон правильного многоугольника;
а n -сторона правильного вписанного многоугольника;
b n - сторона правильного описанного многоугольника;
k n -апофема правильного вписанного многоугольника;
R-радиус описанной окружности;
r - радиус вписанной окружности.

1. 1) Вычислить центральный угол правильных 24-угольника и 16-угольника.

2) Какой правильный многоугольник имеет центральный угол, равный 30°? 12°?

2. Центральный угол правильного многоугольника и угол при вершине в сумме составляют 180°. Доказать.

3. Определить величину угла правильного n -угольника (n = 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 25).

4. 1) Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен 135°? 150°?

2) Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внешних углов которого равен 36°? 24°?

5. Конец валика диаметром в 4 см опилен под квадрат. Определить наибольший размер, который может иметь сторона квадрата.

6. Конец винта газовой задвижки имеет правильную трёхгранную форму. Какой наибольший размер может иметь каждая грань, если цилиндрическая часть винта имеет диаметр в 2 см?

7. Вычислить, какой размер отверстия ω должен иметь ключ для правильной шестигранной гайки, если ширина грани гайки а = 2,5 см. Величина зазора между гранями гайки и ключа равна 0,5 мм (черт. 43).

8. 1) Вписать в окружность правильный 12-угольник. 15-угольник.

2) Описать около круга правильный 8-угольник, 10-угольник.

3) По данной стороне а построить правильный 8-угольник, 12-угольник.

9. 1) Хорда, перпендикулярная к радиусу в его середине, равна стороне правильного вписанного треугольника. Доказать.

2) Показать, что k 6 = 0,5a 3 .

10. 1) В правильном треугольнике апофема равна 1 / 3 высоты и 1 / 2 радиуса описанного круга. Доказать.

2) Разность между радиусами окружностей, описанной около правильного треугольника и вписанной в него, равна т . Определить сторону треугольника.

11. 1) Сторона правильного многоугольника равна а ; радиус круга, описанного около этого многоугольника, равен R. Определить радиус вписанного круга.

2) Сторона правильного многоугольника равна а ; радиус вписанного в него круга равен r . Определить радиус описанного круга.

3) R-радиус описанного около многоугольника круга. r - радиус вписанного круга. Определить сторону этого многоугольника.

12. В окружность радиуса R = 4 см вписан правильный 6-угольник. Найти проекции его сторон на каждую диагональ.

13. Доказать, что: l)

14.Доказать,что:1)

15. По данному а n = а определить R, если п равно; 1) 3; 2) 4; 3) 6; 4) 8; 5) 12.

16. По данному а определить: 1) k 3 ; 2) k 4 ; 3) k 6 .

" 17. По данному k n = k определить R, если п равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6; 4) 8.

18. По данному R определить: 1) b 3 ; 2) b 4 ; 3) b 6 .

19. По данному радиусу круга R и данной стороне а n правильного вписанного n -угольника определить сторону b n правильного описанного n -угольника.

20. В круг радиуса R=50 см вписать правильный 7-угольник, воспользовавшись тем, что сторона правильного вписанного 7-угольника равна приблизительно половине стороны правильного вписанного треугольника.

21. Определить длину диагоналей правильного 8-угольника: 1) по данному радиусу R; 2) по данной стороне а .

22. Определить длину диагоналей правильного 12-угольника: 1) по данному радиусу R; 2) по данной стороне а .

23. Построить правильный пятиугольник по диагонали.

24. Самое простое мансардное покрытие образует в вертикальном сечение половину правильного 8-угольника (черт. 44).

Найти ширину перекрытия BD, сторону 8-угольника и высоту мансардной комнатки ABDE. Дано: AE = 6 м.

25. В окружность вписан и около неё описаны правильные n -угольники. Найти отношение сторон этих n -угольников (n = 3; n = 6).

28. В окружность радиуса R вписан правильный n -угольник, и середины его сторон последовательно соединены. Определить сторону нового n -угольника, если n равно:
1) 6; 2) 8.

27. 1) В правильном 8-угольнике со стороной а соединены середины четырёх сторон, взятых через одну так, что получился квадрат. Определить сторону квадрата.

2) В правильном 12-угольнике со стороной а соединены середины шести сторон, взятых через одну так, что получился правильный 6-угольник. Определить его сторону.

28. Построить правильный 8-угольник отсечением углов данного квадрата.

Чтобы превратить данный квадрат отсечением его углов в правильный 8-угольник, засекаем стороны (черт. 45) квадрата дугами, имеющими радиусами половину диагонали квадрата, а центрами - вершины квадрата. Доказать, что полученный 8-угольник будет правильным.

29. Путём срезывания углов превратить данный правильный треугольник со стороной а в правильный 6-угольник и определить его сторону.

30. В окружность радиуса R вписан правильный многоугольник со стороной а n . Удвоить число сторон этого многоугольника и доказать, что .

31. Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна b . Найти радиус круга и сторону вписанного в окружность квадрата.

32. В окружность, радиус которой равен 4 дм, вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Определить радиус окружности, описанной около квадрата.

33. 1) В окружность радиуса R вписан правильный треугольник, в который вписан круг, а в этот круг вписан квадрат. Определить сторону этого квадрата.

2) Около правильного треугольника со стороной а описана окружность; около этой окружности описан квадрат, а около него - окружность. Определить радиус окружности, описанной около квадрата.

34. 1) Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и служит для одной окружности стороной правильного вписанного треугольника, а для другой - стороной вписанного квадрата. Определить расстояние между центрами окружностей.

2) Центры двух пересекающихся окружностей лежат по одну сторону от их общей хорды, имеющей длину а и стягивающей в одной окружности дугу в 60°, а в другой - дугу в 30°. Определить расстояние между центрами.

35. ABC-вписанный правильный треугольник; AD - треть стороны АВ; BE-треть стороны ВС. Доказать, что отрезок DE равен радиусу.

36. Каждая сторона правильного треугольника, равная а , разделена на три равные части, и соответственные точки деления (считая в одном направлении) соединены между собой, отчего получился новый треугольник. Определить радиус вписанного в него круга.

37. Вписать в данный квадрат другой с данной стороной. Всегда ли разрешима задача?

38. В ромб вписать квадрат, стороны которого параллельны диагоналям ромба.

39. Один из двух квадратов со стороной а , наложенных друг на друга, повёрнут около центра на 45°. Определить периметр образовавшейся при этом звезды.

40. 1) Диагонали правильного пятиугольника в свою очередь образуют правильный пятиугольник. Доказать.

2) Если стороны правильного пятиугольника продолжить до взаимного пересечения, то получается звёздчатый пятиугольник с равными сторонами (пентаграмма). Доказать.

41. 1) Окружность радиуса R разделена на шесть равных частей, и точки деления соединены хордами через одну. Определить сторону полученной шестиугольной звезды.

2) Окружность радиуса R разделена на восемь равных частей, и точки деления соединены хордами через одну. Определить сторону восьмиугольной звезды.

42. По данному радиусу R определить хорду дуги, которая содержит: 1) 135°; 2) 150°.

43. Определить отношение между сторонами треугольника, если его углы относятся, как 1:2:3.

44. Середина полуокружности соединена с концами диаметра, и, через середины соединяющих отрезков проведена хорда. Каждый из боковых отрезков хорды равен с . Определить радиус круга.

45. В сегмент с дугой в 120° и высотой h вписан прямоугольник, у которого основание в 4 раза больше высоты. Определить высоту прямоугольника.

46. n равных кругов, касающихся между собой, касаются данного круга, радиус которого равен R. Определить радиус этих кругов, если число их п равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6.

47. На каждой из двух половин данного отрезка построены, как на- диаметрах, два круга, и из каждого конца этого отрезка проведены касательные к кругу, построенному у другого конца. Доказать, что отрезок, соединяющий точки пересечения касательных, равен стороне квадрата, вписанного в один из построенных кругов.