Расстояние от точки до плоскости определение. Калькулятор онлайн.Вычисление расстояния от точки до плоскости

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

обобщение и систематизация знаний и умений учащихся;
развитие умений анализировать, сравнивать, делать выводы.

Оборудование:

мультимедийный проектор;
компьютер;
листы с текстами задач

ХОД ЗАНЯТИЯ

I. Организационный момент

II. Этап актуализации знаний (слайд 2)

Повторяем как определяется расстояние от точки до плоскости

III. Лекция (cлайды 3-15)

На занятии мы рассмотрим различные способы нахождения расстояния от точки до плоскости.

Первый метод: поэтапно-вычислительный

Расстояние от точки М до плоскости α:
– равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки Р, лежащей на прямой a, которая проходит через точку М и параллельна плоскости α;
– равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки Р, лежащей на плоскости β, которая проходит через точку М и параллельна плоскости α.

Решим следующие задачи:

№1. В кубе А…D 1 найти расстояние от точки С 1 до плоскости АВ 1 С.

Осталось вычислить значение длины отрезка О 1 Н.

№2. В правильной шестиугольной призме А…F 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости DEA 1 .

Следующий метод: метод объемов .

Если объем пирамиды АВСМ равен V, то расстояние от точки М до плоскости α, содержащей ∆АВС вычисляется по формуле ρ(М; α) = ρ(М; АВС) =
При решении задач мы используем равенство объемов одной фигуры, выраженные двумя различными способами.

Решим следующую задачу:

№3. Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и АD, если.

При решении задач координатным методом расстояние от точки М до плоскости α можно вычислить по формуле ρ(М; α) = , где М(х 0 ; у 0 ; z 0), а плоскость задана уравнением ax + by + cz + d = 0

Решим следующую задачу:

№4. В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости ВDC 1 .

Введем систему координат с началом в точке А, ось у пройдет по ребру АВ, ось х – по ребру АD, ось z – по ребру АА 1 . Тогда координаты точек В (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Составим уравнение плоскости, проходящей через точки В, D, C 1 .

Тогда – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Следовательно, ρ =

Следующий метод, который можно использовать при решении задач данного типа – метод опорных задач.

Применение данного метода состоит в применении известных опорных задач, которые формулируются как теоремы.

Решим следующую задачу:

№5. В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки D 1 до плоскости АВ 1 С.

Рассмотрим применение векторного метода.

№6. В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости ВDС 1 .

Итак, мы рассмотрели различные способы, которые можно использовать при решении данного типа задач. Выбор того или иного метода зависит от конкретной задачи и ваших предпочтений.

IV. Работа в группах

Попробуйте решить задачу разными способами.

№1. Ребро куба А…D 1 равно . Найдите расстояние от вершины С до плоскости BDC 1 .

№2. В правильном тетраэдре АВСD с ребром найдите расстояние от точки А до плоскости BDC

№3. В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от А до плоскости ВСА 1 .

№4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от А до плоскости SCD.

V. Итог урока, домашнее задание, рефлексия

Инструкция

Для нахождения расстояния от точки до плоскости методами начертательной : выберите на плоскости произвольную точку; проведите через нее две прямые (лежащие в этой плоскости ); восстановите перпендикуляр к плоскости , проходящий через эту точку (постройте прямую, перпендикулярную одновременно обеим пересекающимся прямым); проведите через заданную точку прямую параллельную, построенному перпендикуляру; найдите расстояние между точкой пересечения этой прямой с плоскостью и заданной точкой.

Если положение точки задано ее трехмерными координатами, а положение плоскости – линейным уравнением, то, чтобы найти расстояние от плоскости до точки , воспользуйтесь методами аналитической геометрии: обозначьте координаты точки через x, y, z, соответственно (х – абсцисса, y – ордината, z – аппликата); обозначьте через А, В, С, D уравнения плоскости (А – параметр при абсциссе, В – при , С – при аппликате, D – свободный член); вычислите расстояние от точки до плоскости по формуле:s = | (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) |,где s – оасстояние между точкой и плоскостью,|| - абсолютного значения (или модуля) .

Пример.Найдите расстояние между точкой А с координатами (2, 3, -1) и плоскостью, заданной уравнением: 7х-6у-6z+20=0.Решение.Из условий следует, что:х=2,у=3,z=-1,A=7,B=-6,C=-6,D=20.Подставьте эти значения в вышеприведенную .Получится:s = | (7*2+(-6)*3+(-6)*(-1)+20)/√(7²+(-6)²+(-6)²) | = | (14-18+6+20)/11 | = 2.Ответ:Расстояние от точки до плоскости равно 2 (условным единицам).

Совет 2: Как определить расстояние от точки до плоскости

Определение расстояния от точки до плоскости - одна из распространенных задач школьной планиметрии. Как известно, наименьшим расстоянием от точки до плоскости будет перпендикуляр, проведенный из этой точки к данной плоскости . Поэтому длина этого перпендикуляра и принимается за расстояние от точки до плоскости .

Вам понадобится

уравнение плоскости

Инструкция

Пусть первая из параллельных f1 задана уравнением y=kx+b1. Переведя выражение в общий вид, у вас получится kx-y+b1=0, то есть A=k, B=-1. Нормалью к ней будет n={k, -1}.
Теперь следует произвольную абсциссу точки х1 на f1. Тогда ее ордината y1=kx1+b1.
Пусть уравнение второй из параллельных прямых f2 будет иметь вид:
у=kx+b2 (1),
где k одинаково для обеих прямых, в силу их параллельности.

Далее вам необходимо составить каноническое уравнение линии перпендикулярной как f2, так и f1, содержащей точку М (x1, y1). При этом полагают, что х0=х1, y0=y1, S={k, -1}. В результате у вас должно получится следующее равенство:
(x-x1)/k =(y-kx1-b1)/(-1) (2).

Решив систему уравнений, состоящую из выражений (1) и (2), вы найдете вторую точку, определяющую искомое расстояние между параллельными N(x2, y2). Само искомое расстояние будет равно d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2.

Пример. Пусть уравнения заданных параллельных прямых на плоскости f1 – у=2x +1 (1);
f2 – y=2x+5 (2). Берем произвольную точку х1=1 на f1. Тогда y1=3. Первая точка, таким образом будет иметь координаты M (1,3). Уравнение общего перпендикуляра (3):
(х-1)/2 = -y+3 или y=-(1/2)x+5/2.
Подставив это значение y в (1), получить:
-(1/2)x+5/2=2х+5, (5/2)х=-5/2, х2=-1, y2=-(1/2)(-1) +5/2=3.
Второе основание перпендикуляра в точке с координатами N (-1, 3). Расстояние между параллельными прямыми составит:
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4,47.

Источники:

Развитие легкой атлетики в России

Вершина любой плоской или объемной геометрической фигуры однозначно определяется своими координатами в пространстве. Точно так же может быть однозначно определена и любая произвольная точка в той же системе координат, а это дает возможность вычислить расстояние между этой произвольной точкой и вершиной фигуры.

Вам понадобится

- бумага;
- ручка или карандаш;
- калькулятор.

Инструкция

Сведите задачу к нахождению длины отрезка между двумя точками, если координаты заданной в задачи точки и вершины геометрической фигуры известны. Эту длину можно вычислить, воспользовавшись теоремой Пифагора применительно к проекциям отрезка на оси координат - она будет равна квадратному корню из суммы квадратов длин всех проекций. Например, пусть в трехмерной системе координат заданы точка A(X₁;Y₁;Z₁) и вершина C фигуры любой геометрической с координатами (X₂;Y₂;Z₂). Тогда длины проекций отрезка между ними на координатные оси можно как X₁-X₂, Y₁-Y₂ и Z₁-Z₂, а длину отрезка - как √((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²+(Z₁-Z₂)²). Например, если координаты точки A(5;9;1), а вершины C(7;8;10), то расстояние между ними будет равно √((5-7)²+(9-8)²+(1-10)²) = √(-2²+1²+(-9)²) = √(4+1+81) = √86 ≈ 9,274.

Вычислите сначала координаты вершины, если в явном виде в условиях задачи они не представлены. Конкретный способ зависит от типа фигуры и известных дополнительных параметров. Например, если известны трехмерные координаты трех вершин A(X₁;Y₁;Z₁), B(X₂;Y₂;Z₂) и C(X₃;Y₃;Z₃), то координаты четвертой его вершины (противоположной вершине B) будут (X₃+X₂-X₁; Y₃+Y₂-Y₁; Z₃+Z₂-Z₁). После определения координат недостающей вершины вычисление расстояния между ней и произвольной точкой вновь сведется к определению длины отрезка между двумя этими точками в заданной системе координат - сделайте это тем же способом, который был описан в предыдущем шаге. Например, для вершины описанного в этом шаге параллелограмма и точки E с координатами (X₄;Y₄;Z₄) формулу вычисления расстояния из предыдущего шага можно так: √((X₃+X₂-X₁-X₄)²+(Y₃+Y₂-Y₁-Y₄)²+(Z₃+Z₂-Z₁-Z₄)²).

Для практических расчетов можно использовать, например, встроенный в поисковую систему Google . Так, чтобы вычислить значение по формуле, полученной на предыдущем шаге, для точек с координатами A(7;5;2), B(4;11;3), C(15;2;0), E(7;9;2), введите такой поисковый запрос: sqrt((15+4-7-7)^2+(2+11-5-9)^2+(0+3-2-2)^2). Поисковик рассчитает и отобразит результат вычислений (5,19615242).

Видео по теме

Восстановление перпендикуляра к плоскости – одна из важных задач в геометрии, она лежит в основе многих теорем и доказательств. Чтобы построить прямую, перпендикулярную плоскости , нужно последовательно выполнить несколько действий.

Вам понадобится

- заданная плоскость;
- точка, из которой требуется провести перпендикуляр;
- циркуль;
- линейка;
- карандаш.

Тип задания: 14

Условие

В правильной треугольной пирамиде DABC с основанием ABC сторона основания равна 6\sqrt{3}, а высота пирамиды равна 8 . На ребрах AB , AC и AD соответственно отмечены точки M , N и K , такие, что AM=AN=\frac{3\sqrt{3}}{2} и AK=\frac{5}{2}.

а) Докажите, что плоскости MNK и DBC параллельны.

б) Найдите расстояние от точки K до плоскости DBC .

Показать решение

Решение

а) Плоскости MNK и DBC параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Докажем это. Рассмотрим прямые MN и KM плоскости MNK и прямые BC и DB плоскости DBC.

В треугольнике AOD : \angle AOD = 90^\circ и по теореме Пифагора AD=\sqrt{DO^2 +AO^2}.

Найдём AO , используя то, что \bigtriangleup ABC правильный.

AO=\frac{2}{3}AO_1, где AO_1 — высота \bigtriangleup ABC, AO_1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}, где a — сторона \bigtriangleup ABC.

AO_1 = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}=9, тогда AO=6, AD=\sqrt{8^2 + 6^2}=10.

1. Так как \frac{AK}{AD}=\frac{5}{2} : 10=\frac{1}{4}, \frac{AM}{AB}=\frac{3\sqrt{3}}{2} : 6\sqrt{3}=\frac{1}{4} и \angle DAB — общий, то \bigtriangleup AKM \sim ADB.

Из подобия следует, что \angle AKM = \angle ADB. Это соответственные углы при прямых KM и BD и секущей AD . Значит KM \parallel BD.

2. Так как \frac{AN}{AC}=\frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 6 \sqrt{3}}=\frac{1}{4}, \frac{AM}{AB}=\frac{1}{4} и \angle CAB — общий, то \bigtriangleup ANM \sim \bigtriangleup ACB.

Из подобия следует, что \angle ANM = \angle ACB. Эти углы соответственные при прямых MN и BC и секущей AC . Значит, MN \parallel BC.

Вывод: так как две пересекающиеся прямые KM и MN плоскости MNK соответственно параллельны двум пересекающимся прямым BD и BC плоскости DBC , то эти плоскости параллельны — MNK \parallel DBC.

б) Найдём расстояние от точки K до плоскости BDC .

Поскольку плоскость MNK параллельна плоскости DBC , то расстояние от точки K до плоскости DBC равно расстоянию от точки O_2 до плоскости DBC и оно равно длине отрезка O_2 H. Докажем это.

BC \perp AO_1 и BC \perp DO_1 (как высоты треугольников ABC и DBC ), значит, BC перпендикулярна плоскости ADO_1, и тогда BC перпендикулярна любой прямой этой плоскости, например, O_2 H. По построению O_2H\perp DO_1, значит, O_2H перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BCD , и тогда отрезок O_2 H перпендикулярен плоскости BCD и равен расстоянию от O_2 до плоскости BCD .

В треугольнике O_2HO_1:O_2H=O_{2}O_{1}\sin\angle HO_{1}O_{2}.

O_{2}O_{1}=AO_{1}-AO_{2}.\, \frac{AO_2}{AO_1}=\frac{1}{4}, AO_{2}=\frac{AO_1}{4}=\frac{9}{4}.

O_{2}O_{1}=9-\frac{9}{4}=\frac{27}{4}.

\sin \angle DO_{1}A= \frac{DO}{DO_{1}}= \frac{8}{\sqrt{64+3^2}}= \frac{8}{\sqrt{73}}.

O_2H=\frac{27}{4} \cdot \frac{8}{\sqrt{73}}=\frac{54}{\sqrt{73}}.

Ответ

\frac{54}{\sqrt{73}}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 14
Тема: Расстояние от точки до плоскости

Условие

ABCDA_1B_1C_1D_1 — правильная четырехугольная призма.

а) Докажите, что плоскость BB_1D_1 \perp AD_1C .

б) Зная AB = 5 и AA_1 = 6 найдите расстояние от точки B_1 до плоскости AD_1C .

Показать решение

Решение

а) Так как данная призма правильная, то BB_1 \perp ABCD , отсюда BB_1 \perp AC . Поскольку ABCD — квадрат, то AC \perp BD . Таким образом, AC \perp BD и AC \perp BB_1 . Так как прямые BD и BB_1 пересекаются, то, согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, AC \perp BB_1D_1D . Теперь по признаку перпендикулярности плоскостей AD_1C \perp BB_1D_1 .

б) Обозначим через О точку пересечения диагоналей AC и BD квадрата ABCD . Плоскости AD_1C и BB_1D_1 пересекаются по прямой OD_1 . Пусть B_1H — перпендикуляр, проведенный в плоскости BB_1D_1 к прямой OD_1 . Тогда B_1H \perp AD_1C . Пусть E=OD_1 \cap BB_1 . Для подобных треугольников D_1B_1E и OBE (равенство соответствующих углов следует из условия BO \parallel B_1D_1 ) имеем \frac {B_1E}{BE}=\frac{B_1D_1}{BO}=\frac{2}1 .

Значит, B_1E=2BE=2 \cdot 6=12. Так как B_1D_1=5\sqrt{2} , то гипотенуза D_1E= \sqrt{B_1E^{2}+B_1D_1^{2}}= \sqrt{12^{2}+(5\sqrt{2})^{2}}= \sqrt{194}. Далее применяем метод площадей в треугольнике D_1B_1E для вычисления высоты B_1H , опущенной на гипотенузу D_1E :

S_{D_1B_1E}=\frac1{2}B_1E \cdot B_1D_1=\frac1{2}D_1E \cdot B_1H; 12 \cdot 5\sqrt{2}=\sqrt{194} \cdot B_1H;

B_1H=\frac{60\sqrt{2}}{\sqrt{194}}=\frac{60}{\sqrt{97}}=\frac{60\sqrt{97}}{97} .

Ответ

\frac{60\sqrt{97}}{97}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 14
Тема: Расстояние от точки до плоскости

Условие

ABCDA_1B_1C_1D_1 — прямоугольный параллелепипед. Ребра AB=24, BC=7, BB_{1}=4 .

а) Докажите, что расстояние от точек B и D до плоскости ACD_{1} одинаковы.

б) Найдите это расстояние.

Показать решение

Решение

а) Рассмотрим треугольную пирамиду D_1ACD .

В данной пирамиде расстояние от точки D до плоскости основания ACD_1-DH — равно высоте пирамиды, проведенной из точки D , к основанию ACD_1 .

V_{D_1ABC}=\frac1{3}S_{ACD_1} \cdot DH , из этого равенства получаем

DH=\frac{3V_{D_1ACD}}{S_{ACD_1}} .

Рассмотрим пирамиду D_1ABC . Расстояние от точки B до плоскости ACD_1 равно высоте, опущенной из вершины B к основанию ACD_1 . Обозначим это расстояние BK . Тогда V_{D_1ABC}=\frac1{3}S_{ACD_1} \cdot BK , из этого получаем BK=\frac{3V_{D_1ABC}}{S_{ACD_1}}.\: Но V_{D_1ACD} = V_{D_1ABC} , так как, если считать в пирамидах основаниямиADC и ABC , то высота D_1D общая и S_{ADC}=S_{ABC} (\bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ABC по двум катетам). Значит, BK=DH .

б) Найдем объем пирамиды D_1ACD .

Высота D_1D=4 .

S_{ACD}=\frac1{2}AD \cdot DC=\frac1{2} \cdot24 \cdot 7=84.

V=\frac1{3}S_{ACD} \cdot D_1D=\frac1{3} \cdot84 \cdot4=112 .

Площадь грани ACD_1 равна \frac1{2}AC \cdot D_1P.

AD_1= \sqrt{AD^{2}+DD_1^{2}}= \sqrt{7^{2}+4^{2}}= \sqrt{65}, \: AC= \sqrt{AB^{2}+BC^{2}}= \sqrt{24^{2}+7^{2}}= 25

Зная, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла, в треугольнике ADC имеем AD^{2}=AC \cdot AP, \: AP=\frac{AD^{2}}{AC}=\frac{7^{2}}{25}=\frac{49}{25}.

В прямоугольном треугольнике AD_1P по теореме Пифагора D_1P^{2}= AD_1^{2}-AP^{2}= 65-\left (\frac{49}{25} \right)^{2}= \frac{38\:224}{25^{2}}, D_1P=\frac{4\sqrt{2\:389}}{25}.

S_{ACD_1}=\frac1{2} \cdot25 \cdot\frac{4\sqrt{2\:389}}{25}=2\sqrt{2\:389} .

DH=\frac{3V}{S_{ACD_1}}=\frac{3 \cdot112}{2\sqrt{2\:389}}=\frac{168}{\sqrt{2\:389}} .

Любая плоскость в декартовой системе координат может быть задана уравнением `Ax + By + Cz + D = 0`, где хотя бы одно из чисел `А`, `В`, `С` отлично от нуля. Пусть дана точка `M (x_0;y_0;z_0)`, найдём расстояние от неё до плоскости `Ax + By + Cz + D = 0`.

Пусть прямая, проходящая через точку `M` перпендикулярно плоскости `alpha`, пересекает её в точке `K` с координатами `(x; y; z)`. Вектор `vec(MK)` перпендикулярен плоскости `alpha`, как и вектор `vecn` `(A;B;C)`, т. е. векторы `vec(MK)` и `vecn` коллинеарны, `vec(MK)= λvecn`.

Так как `(x-x_0;y-y_0;z-z-0)` и `vecn(A,B,C)`, то `x-x_0=lambdaA`, `y-y_0=lambdaB`, `z-z_0=lambdaC`.

Точка `K` лежит в плоскости `alpha` (рис. 6), её координаты удовлетворяют урав-нению плоскости. Подставляем `x=x_0+lambdaA`, `y=y_0+lambdaB`, `z=z_0+lambdaC` в уравнение `Ax+By+Cz+D=0`, получаем

`A(x_0+lambdaA)+(B(y_0+lambdaB)+C(z_0+lambdaC)+D=0`,

откуда `lambda=-(Ax_0+By_0+Cz_0+D)/(A^2+B^2+C^2)`.

Итак, расстояние `h` от точки `M(x_0;y_0;z_0)` до плоскости `Ax + By + Cz + D = 0` таково

`h=(|Ax_0+By_0+Cz_0+D|)/(sqrt(A^2+B^2+C^2))`.

При геометрическом способе нахождения расстояния от точки `A` до плоскости `alpha` находят основание перпендикуляра `A A^"`, опущенного из точки `A` на плоскость `alpha`. Если точка `A^"` находится вне участка плоскости `alpha`, указанного в задаче, то через точку `A` проводят прямую `c`, параллельную плоскости `alpha`, и выбирают на ней более удобную точку `C`, ортогональная проекция которой `C^"` принадлежит данному участку плоскости `alpha`. Длина отрезка `C C^"` будет равна искомому расстоянию от точки `A` до плоскости `alpha` .

В правильной шестиугольной призме `A...F_1`, все рёбра которой равны `1`, найти расстояние от точки `B` до плоскости `AF F_1`.

Пусть `O` - центр нижнего основания призмы (рис. 7). Прямая `BO` параллельна прямой `AF` и, следовательно, расстояние от точки `B` до плоскости `AF F_1` равно расстоянию `OH` от точки `O` до плоскости `AF F_1`. В треугольнике `AOF` имеем `AO=OF=AF=1`. Высота `OH` этого треугольника равна `(sqrt3)/2`. Следовательно, искомое расстояние равно `(sqrt3)/2`.

Укажем ещё один способ (метод вспомогательного объёма) нахождения расстояния от точки до плоскости. Известно, что объём пирамиды `V`, площадь её основания `S` и длина высоты `h` связаны формулой `h=(3V)/S`. Но длина высоты пирамиды есть не что иное, как расстояние от её вершины до плоскости основания. Следовательно, для вычисления расстояния от точки до плоскости достаточно найти объём и площадь основания какой-нибудь пирамиды с вершиной в этой точке и с основанием, лежащим в данной плоскости.

Дана правильная призма `A...D_1`, в которой `AB=a`, `A A_1=2a`. Найти расстояние от точки пересечения диагоналей основания `A_1B_1C_1D_1` до плоскости `BDC_1`.

Рассмотрим тетраэдр `O_1DBC_1` (рис. 8). Искомое расстояние `h` есть длина высоты этого тетраэдра, опущенной из точки `O_1` на плоскость грани `BDC_1` . Для её нахождения достаточно знать объём `V` тетраэдра `O_1DBC_1` и площадь треугольника `DBC_1` . Вычислим их. Заметим, что прямая `O_1C_1` перпендикулярна плоскости `O_1DB` , т. к. она перпендикулярна `BD` и `B B_1` . Значит, объём тетраэдра `O_1DBC_1` равен