Теория вероятностей для основной и средней школы. Ведение теории вероятностей в школьном курсе математики

В повседневной жизни, в практической и научной деятельности мы часто наблюдаем те или иные явления, проводим определенные эксперименты. Событие, которое может произойти, а может и не произойти в процессе наблюдения или эксперимента, называют случайным событием. Например, под потолком висит лампочка - никто не знает, когда она перегорит. Каждое случайное событие - есть следствие действия очень многих случайных величин (сила, с которой брошена монета, форма монеты и многое другое). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, так как число их велико и законы действия неизвестны. Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей. Теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет - она просто не в силах это сделать. Если же речь идет о массовых однородных случайных событиях, то они подчиняются определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Для начала давайте рассмотрим классификацию событий. Различают события совместные и несовместные. События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными. Например, подбрасываются две игральные кости. Событие A - выпадание трех очков на первой игральной кости, событие B - выпадание трех очков на второй кости. A и B - совместные события. Пусть в магазин поступила партия обуви одного фасона и размера, но разного цвета. Событие A - наудачу взятая коробка окажется с обувью черного цвета, событие B - коробка окажется с обувью коричневого цвета, A и B - несовместные события. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта. Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Например, событие, заключающееся в том, что из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь, является достоверным, а нестандартная - невозможным. Событие называется возможным, или случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться. Примером случайного события может служить выявление дефектов изделия при контроле партии готовой продукции, несоответствие размера обрабатываемого изделия заданному, отказ одного из звеньев автоматизированной системы управления. События называются равновозможными, если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие. Например, пусть магазину поставляют электролампочки (причем в равных количествах) несколько заводов-изготовителей. События, состоящие в покупке лампочки любого из этих заводов, равновозможны. Важным понятием является полная группа событий. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Например, в урне находится десять шаров, из них шесть шаров красных, четыре белых, причем пять шаров имеют номера. A - появление красного шара при одном извлечении, B - появление белого шара, C - появление шара с номером. События A,B,C образуют полную группу совместных событий. Событие может быть противоположным, или дополнительным. Под противоположным событием понимается событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие A. Противоположные события несовместны и единственно возможны. Они образуют полную группу событий. Например, если партия изготовленных изделий состоит из годных и бракованных, то при извлечении одного изделия оно может оказаться либо годным - событие A, либо бракованным - событие. Рассмотрим пример. Бросают игральный кубик (т.е. небольшой куб, на гранях которого выбиты очки 1, 2, 3, 4, 5, 6). При бросании игрального кубика на его верхней грани может выпасть одно очко, два очка, три очка и т.д. Каждый из этих исходов является случайным. Провели такое испытание. Игральный кубик бросали 100 раз и наблюдали, сколько раз произойдет событие «на кубике выпало 6 очков». Оказалось, что в данной серии экспериментов «шестерка» выпала 9 раз. Число 9, которое показывает, сколько раз в этом испытании произошло рассматриваемое событие, называют частотой этого события, а отношение частоты к общему числу испытаний, равное, называют относительной частотой этого события. Вообще пусть определенное испытание проводится многократно в одних и тех же условиях и при этом каждый раз фиксируется, произошло или нет интересующее нас событие A. Вероятность события обозначается большой латинской буквой P. Тогда вероятность события А будем обозначать: Р(А). Классическое определение вероятности: Вероятность события A равна отношению числа случаев m, благоприятствующих ему, из общего числа n единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу n, т. е. Следовательно, для нахождения вероятности события необходимо: рассмотреть различные исходы испытаний; найти совокупность единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев, подсчитать их общее число n, число случаев m, благоприятствующих данному событию; выполнить расчет по формуле. Из формулы следует, что вероятность события является неотрицательным числом и может изменяться в пределах от нуля до единицы в зависимости от того, какую долю составляет благоприятствующее число случаев от общего числа случаев: Рассмотрим еще один пример. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 - зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым. Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара - событие А, появление зеленого - событие В, появление белого - событие С. Тогда в соответствием с записанными выше формулами получаем: ; ; Отметим, что вероятность наступления одного из двух попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов. Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота - после опыта. Так в рассмотренном выше примере, если из коробки наугад извлечено 5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления красного шара равна: Как видно, эта величина не совпадает с найденной вероятностью. При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события. Геометрическая вероятность. Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно, что также ограничивает его применение на практике. В случае, когда имеет место испытание с бесконечным числом исходов, используют определение геометрической вероятности - попадание точки в область. При определении геометрической вероятности полагают, что имеется область N и в ней меньшая область M. На область N наудачу бросают точку (это означает, что все точки области N «равноправны» в отношении попадания туда брошенной случайно точки). Событие A - «попадание брошенной точки на область M». Область M называют благоприятствующей событию A. Вероятность попадания в какую-либо часть области N пропорциональна мере этой части и не зависит от ее расположения и формы. Область, на которую распространяется геометрическая вероятность, может быть: отрезок (мерой является длина) геометрическая фигура на плоскости (мерой является площадь) геометрическое тело в пространстве (мерой является объем) Дадим определение геометрической вероятности для случая плоской фигуры. Пусть область M является частью области N. Событие A состоит в попадании случайно брошенной на область N точки в область M. Геометрической вероятностью события A называется отношение площади области M к площади области N: При этом вероятность попадания случайно брошенной точки на границу области считается равной нулю. Рассмотрим пример: Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 5, но не дошла до отметки 8 часов. Решение. Число исходов бесконечно, применим определение геометрической вероятности. Сектор между 5 и 8 часами составляет часть площади всего циферблата, следовательно, . Операции над событиями: События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой осуществление события В и наоборот. Объединением или суммой событий называется событие A, которое означает появление хотя бы одного из событий. A= Пересечением или произведением событий называется событие А, которое заключается в осуществлении всех событий. A=? Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что происходит событие А, но не происходит событие В. C=AB Пример: A + B - «выпало 2; 4; 6 или 3 очка» A B - «выпало 6 очков» A - B - «выпало 2 и 4 очка» Дополнительным к событию А называется событие, означающее, что событие А не происходит. Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий, также каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить о том, происходит или не происходит это событие. Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий. Свойства вероятностей: Свойство 1. Если все случаи являются благоприятствующими данному событию A, то это событие обязательно произойдет. Следовательно, рассматриваемое событие является достоверным, а вероятность его появления, так как в этом случае Свойство 2. Если нет ни одного случая, благоприятствующего данному событию A, то это событие в результате опыта произойти не может. Следовательно, рассматриваемое событие является невозможным, а вероятность его появления, так как в этом случае m=0: Свойство 3. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице. Свойство 4. Вероятность наступления противоположного события определяется так же, как и вероятность наступления, события A: где (n-m) - число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события. Отсюда вероятность наступления противоположного события равна разнице между единицей и вероятностью наступления события A: Сложение и умножение вероятностей. Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записываем A?B. События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записываем А = В. Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В. Теорема о сложении вероятностей 1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P=P+P Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий: Если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство P+P+…+P=1 Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события. Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле P=P+P-P Примеры задач на теорему сложения. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35. Ответ: 0,35. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение. Рассмотрим события А - «кофе закончится в первом автомате», В - «кофе закончится во втором автомате». Тогда A·B - «кофе закончится в обоих автоматах», A + B - «кофе закончится хотя бы в одном автомате». По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12. События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения: P(A + B) = P(A) + P(B) ? P(A·B) = 0,3 + 0,3 ? 0,12 = 0,48. Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 ? 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52. События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Условной вероятностью P(A|B) события А называется вероятность, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично, через P(B|A) обозначается условная вероятность события В при условии, что А наступило. Для независимых событий по определению P(A|B) = P(A); P(B|A) = P(B) Теорема умножения для зависимых событий Вероятность произведения зависимых событий равна произведению ве0,01 = 0,0198 + 0,0098 = 0,0296. Ответ: 0,0296.

В 2003 г. было принято решение о включении элементов теории вероятностей в школьный курс математики общеобразовательной школы (инструктивное письмо № 03-93ин/13-03 от 23.09.2003 Министерства образования РФ «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы», «Математика в школе», № 9 за 2003 г.). К этому моменту элементы теории вероятностей уже более десяти лет в разнообразном виде присутствовали в известных школьных учебниках алгебры для разных классов (например, И.Ф. «Алгебра: Учебники для 7-9 классов общеобразовательных учреждений» под редакцией Г.В.Дорофеева; «Алгебра и начала анализа: Учебники для 10- 11 классов общеобразовательных учреждений» Г.В.Дорофеев, Л.В.Кузнецова, Е.А.Седова»), и в виде отдельных учебных пособий. Однако изложение материала по теории вероятности в них, как правило, не носило систематического характера, а учителя, чаще всего, не обращались к этим разделам, не включали их в учебный план. Принятый Министерством образования в 2003 г. документ предусматривал постепенное, поэтапное включение этих разделов в школьные курсы, давая возможность преподавательскому сообществу подготовиться к соответствующим изменениям. В 2004-2008 гг. выходит ряд учебных пособий, дополняющих существующие учебники алгебры. Это издания Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. «Теория вероятностей и статистика», Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. «Теория вероятностей и статистика: Методическое пособие для учителя», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. «Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. Пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений», Ткачева М.В., Федорова Н.Е. «Элементы статистики и вероятность: Учеб. Пособие для 7- 9 кл. общеобразоват. учреждений». В помощь учителям также вышли методические пособия. В течение ряда лет все эти учебные пособия проходили апробацию в школах. В условиях, когда переходный период внедрения в школьные программы завершился, и разделы статистики и теории вероятностей заняли свое место в учебных планах 7-9 классов, требуется анализ и осмысление согласованности основных определений и обозначений, используемых в этих учебных пособиях. Все эти учебные пособия создавались в условиях отсутствия традиций преподавания этих разделов математики в школе. Такое отсутствие вольно или невольно провоцировало авторов учебных пособий на сравнение с имеющимися учебниками для вузов. Последние же в зависимости от сложившихся традиций по отдельным специализациям высшей школы часто допускали существенный терминологический разнобой и различия в обозначениях основных понятий и записи формул. Анализ содержания указанных выше школьных учебных пособий показывает, что они на сегодняшний день унаследовали от учебников высшей школы эти особенности. С большей степенью точности можно утверждать, что выбор конкретного учебного материала по новым для школы разделам математики, касающихся понятия «случайного», происходит в настоящий момент самым что ни на есть случайным образом, вплоть до названий и обозначений. Поэтому коллективы авторов ведущих школьных учебных пособий по теории вероятностей и статистики решили объединить свои усилия под эгидой Московского института Открытого Образования для выработки согласованных позиций по унификации основных определений и обозначений, используемых в учебных пособиях для школы по теории вероятностей и статистике. Проведем анализ введения темы «Теория вероятностей» в школьных учебниках. Общая характеристика: Содержание обучения теме "Элементы теории вероятностей", выделенное в "Программе для общеобразовательных учреждений. Математика", обеспечивает дальнейшее развитие у учащихся их математических способностей, ориентации на профессии, существенным образом связанных с математикой, подготовку к обучению в ВУЗе. Специфика математического содержания рассматриваемой темы позволяет конкретизировать выделенную основную задачу углубленного изучения математики следующим образом. 1. Продолжить раскрытие содержания математики, как дедуктивной системы знаний. - построить систему определений основных понятий; - выявить дополнительные свойства введенных понятий; - установить связи введенных и ранее изученных понятий. 2. Систематизировать некоторые вероятностные способы решения задач; раскрыть операционный состав поиска решений задач определенных типов. 3. Создать условия для понимания и осознания учащимися основной идеи практической значимости теории вероятностей путем анализа основных теоретических фактов. Раскрыть практические приложения изучаемой в данной теме теории. Достижению поставленных образовательных целей будет способствовать решение следующих задач: 1. Сформировать представление о различных способах определения вероятности события (статистическое, классическое, геометрическое, аксиоматическое) 2. Сформировать знание основных операций над событиями и умения применять их для описания одних событий через другие. 3. Раскрыть сущность теории сложения и умножения вероятностей; определить границы использования этих теорем. Показать их применения для вывода формул полной вероятности. 4. Выявить алгоритмы нахождения вероятностей событий а) по классическому определению вероятности; б) по теории сложения и умножения; в) по формуле0,99 + 0,98P(A|Bn) Рассмотрим пример: Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована. Решение. Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A - «батарейка действительно неисправна и забракована справедливо» или В - «батарейка исправна, но по ошибке забракована». Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем: P (A+B) = P(A) + P(B) = 0,02P(A|B3) + … + Р(Вn)P(A|B2) + Р(В3)P(A|B1) + Р(В2)роятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое произошло: P(A B) = P(A) P(B|A) P(A B) = P(B) P(A|B) (в зависимости от того, какое событие произошло первым). Следствия из теоремы: Теорема умножения для независимых событий. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: P(A B) = P(A) P(B) Если А и В независимы, то независимы и пары: (;), (; В), (А;). Примеры задач на теорему умножения: Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Решение. Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156. Ответ: 0,156. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Решение. Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025. Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 ? 0,0025 = 0,9975. Ответ: 0,9975. Формула полной вероятности Следствием теорем сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности: Вероятность P(А) события А, которое может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) В1, В2, В3 … Вn, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий (гипотез) В1, В2, В3, …, Вn на соответствующие условные вероятности события А: P(А) = Р(В1) полной вероятности. 5. Сформировать предписание, позволяющее рационально выбрать один из алгоритмов при решении конкретной задачи. Выделенные образовательные цели для изучения элементов теории вероятностей дополним постановкой развивающих и воспитательных целей. Развивающие цели: формировать у учащихся устойчивый интерес к предмету, выявлять и развивать математические способности; в процессе обучения развивать речь, мышление, эмоционально-волевую и конкретностно-мотивационную области; самостоятельное нахождение учащимися новых способов решения проблем и задач; применение знаний в новых ситуациях и обстоятельствах; развивать умение объяснить факты, связи между явлениями, преобразовывать материал из одной формы представления в другую (вербальная, знако-символическая, графическая); учить демонстрировать правильное применение методов, видеть логику рассуждений, сходство и различие явлений. Воспитательные цели: формировать у школьников нравственные и эстетические представления, систему взглядов на мир, способность следовать нормам поведения в обществе; формировать потребности личности, мотивы социального поведения, деятельности, ценностей и ценностных ориентаций; воспитывать личность, способную к самообразованию и самовоспитанию. Проведем анализ учебника по алгебре за 9 класс «Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей» Макарычев Ю.Н. Это учебное пособие предназначено для учащихся 7-9 классов, оно дополняет учебники: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9», под редакцией Теляковского С.А. Книга состоит из четырех параграфов. В каждом пункте содержатся теоретические сведения и соответствующие упражнения. В конце пункта приводятся упражнения для повторения. К каждому параграфу даются дополнительные упражнения более высокого уровня сложности по сравнению с основными упражнениями. Согласно «Программе для общеобразовательных учреждений» на изучение темы «Теория вероятностей и статистика» в школьном курсе алгебры отводится 15 часов. Материал по данной теме приходится на 9 класс и излагается в следующих параграфах: §3 «Элементы комбинаторики» содержит 4 пункта: Примеры комбинаторных задач. На простых примерах демонстрируется решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение дерева возможных вариантов. Рассматривается правило умножения. Перестановки. Вводится само понятие и формула подсчета перестановок. Размещения. Понятие вводится на конкретном примере. Выводится формула числа размещений. Сочетания. Понятие и формула числа сочетаний. Целью данного параграфа является дать учащимся различные способы описания всех возможных элементарных событий в различных типах случайного опыта. §4 «Начальные сведения из теории вероятностей». Изложение материала начинается с рассмотрения эксперимента, после чего вводят понятие «случайное событие» и «относительная частота случайного события». Вводится статистическое и классическое определение вероятности. Параграф завершается пунктом «сложение и умножение вероятностей». Рассматриваются теоремы сложения и умножения вероятностей, вводятся связанные с ними понятия несовместные, противоположные, независимые события. Этот материал рассчитан на учащихся, проявляющих интерес и склонности к математике, и может быть использован для индивидуальной работы или на внеклассных занятиях с учащимися. Методические рекомендации к данному учебнику даны в ряде статей Макарычева и Миндюка («Элементы комбинаторики в школьном курсе алгебры», «Начальные сведения из теории вероятностей в школьном курсе алгебры»). А также некоторые критические замечания по данному учебному пособию содержатся в статье Студенецкой и Фадеевой, которая поможет не допустить ошибок при работе с данным учебником. Цель: переход от качественного описания событий к математическому описанию. Тема «Теория вероятностей» в учебниках Мордковича А.Г., Семенова П.В. за 9-11 классы. На данный момент одним из действующих учебников в школе является учебник Мордковича А.Г., Семенова П.В. «События, вероятности, статистическая обработка данных», к нему также имеются дополнительные главы для 7-9 классов. Проведем его анализ. Согласно «Рабочей программе по алгебре» на изучение темы «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» отводится 20 часов. Материал по теме «Теория вероятностей» раскрывается в следующих параграфах: § 1. Простейшие комбинаторные задачи. Правило умножения и дерево вариантов. Перестановки. Начинается с рассмотрения простых комбинаторных задач, рассматривается таблица возможных вариантов, которая показывает принцип правила умножения. Затем рассматриваются деревья возможных вариантов и перестановки. После теоретического материала идут упражнения по каждому из подпунктов. § 2. Выбор нескольких элементов. Сочетания. Сначала выводится формула для 2-ух элементов, затем для трех, а потом общая для n элементов. § 3. Случайные события и их вероятности. Вводится классическое определение вероятности. Плюсом данного пособия является то, что оно одно из немногих содержит пункты, в которых рассматриваются таблицы и деревья вариантов. Эти пункты необходимы, так как именно таблицы и деревья вариантов учат учащихся представлению и первоначальному анализу данных. Так же в этом учебнике удачно вводится формула сочетаний сначала для двух элементов, затем для трех и обобщается для n элементов. По комбинаторике материал изложен так же удачно. Каждый параграф содержит упражнения, что позволяет закреплять материал. Замечания по данному учебному пособию содержатся в статье Студенецкой и Фадеевой. В 10 классе на данную тему отводится три параграфа. В первом из них «Правило умножения. Перестановки и факториалы», кроме собственно правила умножения, основной акцент делался на вывод из этого правила двух основных комбинаторных тождеств: для числа перестановок и для числа всевозможных подмножеств множества, состоящего из n элементов. При этом факториалы введены как удобный способ сокращенной записи ответа во многих конкретных комбинаторных задачах раньше самого понятия «перестановка». Во втором параграфе 10 класса «Выбор нескольких элементов. Биномиальные коэффициенты»рассматривались классические комбинаторные задачи, связанные с одновременным (или поочередным) выбором нескольких элементов из заданного конечного множества. Наиболее существенным и действительно новым для российской общеобразовательной школы был заключительный параграф «Случайные события и их вероятности». В нем была рассмотрена классическая вероятностная схема, разобраны формулы P(A+B)+P(AB)=P(A)+P(B), P()=1-P(A), P(A)=1-P() и способы их применения. Заканчивался параграф переходом к независимым повторениям испытания с двумя исходами. Это наиболее важная с практической точки зрения вероятностная модель (Испытания Бернулли), имеющая значительное число приложений. Последний материал образовывал переход между содержанием учебного материала в 10 и 11 классах. В 11 классе теме «Элементы теории вероятностей» посвящены два параграфа учебника и задачника. В § 22 речь идет о геометрических вероятностях, в § 23 повторяются и расширяются знания о независимых повторениях испытаний с двумя исходами.

Изучение элементов статистики и теории вероятностей начинается в 7 классе. Включение в курс алгебры начальных сведений из статистики и теории вероятностей направлено на формирование у учащихся таких важных в современном обществе умений, как понимание и интерпретация результатов статистических исследований, широко представленных в средствах массовой информации. В современных школьных учебниках понятие вероятности случайного события вводятся с опорой на жизненный опыт и интуицию учащихся.

Хотелось бы заметить, что в 5-6 классах учащиеся уже должны получить представления о случайных событиях и их вероятностях, поэтому в 7-9 классах можно было бы быстрее знакомить с основами теории вероятности, расширить круг сообщаемых им сведений.

Наше образовательное учреждение апробирует программу «Начальная школа 21 века». И я как учитель математики решила продолжить апробацию этого проекта в 5-6 классах. Курс реализован на базе учебно-методического комплекта М.Б.Воловича «Математика. 5-6 классы». В учебнике «Математика. 6 класс» на изучение элементов теории вероятностей отводится 6 часов. Здесь даются самые первые предварительные сведения о таких понятиях, как испытание, вероятность появления случайного события, достоверные и невозможные события. Но самое главное, что ученики должны усвоить, – при небольшом числе испытаний невозможно предсказать результат случайного события. Однако, если испытаний много, то результаты становятся вполне предсказуемыми. Чтобы учащиеся осознали, что вероятность появления события может быть подсчитана, дается формула, позволяющая вычислить вероятность наступления событий в случае, когда все рассматриваемые исходы «одинаковы».

Тема: «Понятие «вероятность». Случайные события».

Цели урока:

• обеспечить знакомство с понятием «испытание», «исход», «случайное событие», «достоверное событие», «невозможное событие», дать начальное представление о том, что такое «вероятность наступления события», сформировать умение подсчитывать вероятность наступления события;
• развивать умение определять достоверность, невозможность событий;
• повышать познавательный интерес.

Оборудование:

1. М.Б. Волович Математика, 6 класс, М.: Вентана-Граф, 2006.
2. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк Элементы статистики и теории вероятностей, М.: Просвещение, 2008.
3. Монета в 1 рубль, игральная кость.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся

Решите ребус:

(Вероятность)

III. Объяснение нового материала

Если монету, например рубль, подбросить вверх и позволить ей упасть на пол, то возможны только два исхода: «монета упала гербом вверх» и «монета упала решкой вверх». Случай, когда монета падает на ребро, подкатывается к стене и упирается в нее, бывает очень редко и обычно не рассматривается.
Издавна в России играли в «орлянку» – подбрасывали монету, если надо было решить спорную проблему, у которой не было очевидно справедливого решения, или разыгрывали какой-нибудь приз. В этих ситуациях прибегали к случаю: одни загадывали выпадение «орла», другие – «решки».
К подбрасыванию монеты иногда прибегают даже при решении весьма важных вопросов.
Например, полуфинальный матч на первенство Европы в 1968 году между командами СССР и Италии закончился вничью. Не выявился победитель ни в дополнительное время, ни в серии пенальти. Тогда было решено, что победителя определит его величество случай. Бросили монету. Случай был благосклонен к итальянцам.
В повседневной жизни, в практической и научной деятельности мы часто наблюдаем те или иные явления, проводим определенные эксперименты.
Событие, которое может произойти, а может не произойти в процессе наблюдения или эксперимента, называют случайным событием .
Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей .

Проведем опыт 1: Петя 3 раза подбросил монету вверх. И все 3 раза выпал «орел» – монета упала гербом вверх. Догадайтесь, возможно ли это?
Ответ: Возможно. «Орел» и «решка» выпадают совершенно случайно.

Опыт 2: (учащиеся работают в парах) Подбросить монету в 1 рубль 50 раз и подсчитать, сколько раз выпадет орел. Записать результаты в тетради.
В классе подсчитать, сколько всеми учениками было проведено опытов и каково общее число выпадений орла.

Опыт 3: Ту же самую монету подбрасывали вверх 1000 раз. И все 1000 раз выпал «орел». Догадайтесь, возможно ли это?
Обсудим этот опыт.
Подбрасывание монеты называют испытанием . Выпадение «орла» или «решки» – исходом (результатом) испытания. Если испытание повторяют много раз при одних и тех же условиях, то сведения об исходах всех испытаний называют статистикой .
Статистика фиксирует как число m интересующих нас исходов (результатов), так и общее число N испытаний.
Определение: Отношение называется статистической частотой появления интересующего нас результата.

В XVIII веке французский ученый, почетный член петербургской академии наук Бюффон для проверки правильности подсчета вероятности выпадения «орла» подкинул монету 4040 раз. «Орел» у него выпал 2048 раз.
В XIX веке английский ученый Пирсон подкинул монету 24 000 раз. «Орел» у него выпал 12 012 раз.
Подставим в формулу , позволяющую подсчитать статистическую частоту появления интересующего нас результата, m = 12 012, N = 24 000. Получим = 0,5005.

Рассмотрим пример подбрасывания игрального кубика. Будем считать, что этот кубик имеет правильную форму и сделан из однородного материала и поэтому при его бросании шансы выпадения на его верхней грани любого числа очков от 1 до 6 одинаковы. Говорят, что существует шесть равновозможных исходов этого испытания: выпадение очков 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Вероятность того или иного события проще всего подсчитать, если все n возможных исходов «одинаковы» (ни один из них не имеет преимуществ перед остальными).
В этом случае вероятность P вычисляется по формуле Р = , где n – число возможных исходов.
В примере подбрасывании монеты есть лишь два исхода («орел» и «решка»), т.е. п = 2. Вероятность Р выпадения «орла» равна .
Опыт 4: Каковавероятностьтого, что при бросании игральной кости выпадет:
а) 1 очко; б) более 3 очков.
Ответ: а) , б) .

Определение : Если событие при рассматриваемых условиях происходит всегда, то оно называется достоверным . Вероятность появления достоверного события равна 1.

Есть события, которые при рассматриваемых условиях не происходят никогда. Например, Буратино по совету лисы Алисы и кота Базилио решил зарыть свои золотые монеты на поле Чудес, чтобы из них появилось денежное дерево. Какой будет вероятность того, что их посаженных монет вырастет дерево? Вероятность вырастания денежного дерева из монет, «посаженных» Буратино, равна 0.

Определение: Если событие при рассматриваемых условиях не происходит никогда, то оно называется невозможным . Вероятность невозможного события равна 0.

IV. Физкультминутка

«Волшебный сон»

Все умеют танцевать, бегать, прыгать и играть,
Но не все пока умеют расслабляться, отдыхать.
Есть у них игра такая, очень легкая, простая.
Замедляется движенье, исчезает напряженье,
И становится понятно: расслабление приятно.
Реснички опускаются, глазки закрываются
Мы спокойно oтдыxaeм, сном волшебным засыпаем.
Дышится легко, ровно, глубоко.
Напряженье улетело и расслаблено все тело.
Будто мы лежим на травке...
На зеленой мягкой травке...
Греет солнышко сейчас, руки теплые у нас.
Жарче солнышко сейчас, ноги теплые у нас.
Дышится легко, вольно, глубоко.
Губы теплые и вялые, но нисколько не усталые.
Губы чуть приоткрываются, и приятно расслабляются.
И послушный наш язык быть расслабленным привык».
Громче, быстрее, энергичнее:
«Было славно отдыхать, а теперь пора вставать.
Крепко пальцы сжать в кулак,
И к груди прижать – вот так!
Потянуться, улыбнуться, глубоко вдохнуть, проснуться!
Распахнуть глаза по шире – раз, два, три, четыре!»
Дети встают и хором с учителем произносят:
«веселы, бодры мы снова и к занятиям готовы».

V. Закрепление

Задача 1:

Какие из следующих событий являются достоверными, а какие невозможными:

а) Бросили две игральные кости. Выпало 2 очка. (достоверное)
б) Бросили две игральные кости. Выпало 1 очко. (невозможное)
в) Бросили две игральные кости. Выпало 6 очков. (достоверное)
г) Бросили две игральные кости. Выпало число очков, меньше, чем 13. (достоверное)

Задача 2:

В коробке лежит 5 зеленых, 5 красных и 10 черных карандашей. Достали 1 карандаш. Сравните вероятности следующих событий, используя выражения: более вероятное, менее вероятное, равновероятные.

а) Карандаш оказался цветным;
б) карандаш оказался зеленым;
в) карандаш оказался черным.

Ответ :

а) равновероятные;
б) более вероятное, что карандаш оказался черным;
в) равновероятные.

Задача 3: Петя подбросил игральную кость 23 раза. Однако 1 очко выпало 3 раза, 2 очка выпало 5 раз, 3 очка выпало 4 раза, 4 очка выпало 3 раза, 5 очков выпало 6 раз. В остальных случаях выпало 6 очков. Выполняя задание, округлите десятичные дроби до сотых.

1. Посчитайте статистическую частоту появления наибольшего числа очков, вероятность того, что выпадет 6 очков, и поясните, почему статистическая частота существенно отличается от вероятности появления 6 очков, найденной по формуле.
2. Посчитайте статистическую частоту появления четного числа очков, вероятность того, что выпадет четное число очков, и поясните, почему статистическая частота существенно отличается от вероятности появления четного числа очков, найденной по формуле.

Задача 4: Для украшения елки принесли коробку, в которой находится 10 красных, 7 зеленых, 5 синих и 8 золотых шаров. Из коробки наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется: а) красным; б) золотым; в) красным или золотым?

VI. Домашнее задание

1. Из коробки, в которой лежат зеленые и красные шары, достают 1 шар, а потом кладут его обратно в коробку. Можно ли считать, что вынимание шара из коробки – испытание? Что может быть результатом испытания?
2. В коробке лежат 2 красных и 8 зеленых шаров.

а) Найдите вероятность того, что вытащенный наугад шар будет красным.
б) Найдите вероятность того, что вытащенный наугад шар будет зеленым.
в) Из коробки вытащили наугад 2 шара. Может ли так оказаться, что оба шара будут красными?

VII. Итог

– Вы узнали самые сведения из теории вероятностей – что такое случайное событие и статистическая частота результата испытания, как вычислить вероятность случайного события при равновозможных исходах. Но надо помнить, что не всегда удается оценить результаты испытаний со случайным исходом и найти вероятность события даже при большом числе испытаний. Например, нельзя найти вероятность заболевания гриппом: слишком много факторов каждый раз влияет на исход этого события.

Как известно, в сообществе есть две книжные полки, посвященные литературе по теории вероятностей и математической статистике
Литература по теории вероятностей и математической статистике (часть 1)
Литература по теории вероятностей и математической статистике (часть 2)
Однако там размещены в основном книги для студентов и преподавателей вузов.
Данная запись будет посвящена книгам по теории вероятностей и математической статистике для школьников и учителей.
Часть из них уже выкладывалась в сообществе.
Книги размещены в алфавитном порядке.

Книги по теории вероятностей и математической статистике для школьников и учителей

Бунимович Б. А., Булычев В. А. Вероятность и статистика. 5-9 классы: Пособие для общеобразоват. учеб. аведений М.: Дрофа, 2002. - 160 с: ил. - (Темы школьного курса). ISBN 5-7107-4582-0 Пособие содержит необходимый теоретический и практический материал для изучения вероятностно-статистической линии, становящейся сегодня неотъемлемой частью школьного курса математики. Изучение вероятности предполагается в рамках базового курса математики 5-9 классов. Для успешного усвоения достаточно овладения базовым теоретическим материалом и решения задач группы А. Пособие может быть использовано вместе с любым из действующих учебников по математике. Предоставлена Robot Скачать (djvu/rar, 2.41 Мб) ifolder.ru || onlinedisk

Варга Т. Математика 1. Блок-схемы, перфокарты, вероятности: (Математические игры и опыты) Пер. с нем. - М.: Педагогика, 1978. - 112 с, ил. В книге раскрываются эффективные пути внедрения в школьное обучение таких разделов современной математики, как введение в теорию вероятностей, блок-схемы и перфокарты. В центре внимания автора - усвоение детьми 10-14 лет математических понятий в ходе занимательных игр. Найдена в сети Скачать (djvu/rar, 1.74 Мб) ifolder.ru || onlinedisk

Bарга Тамаш, Эстер Нэмени- Червенак, Мария Халмош Математика 2. Плоскость и пространство. Деревья и графы. Комбинаторика и вероятность. (Математические игры и опыты). Пер. с нем. Е.Я. Габович. М.: Педагогика, 1978. – 112 с. с ил. В книге раскрываются эффективные пути раннего введения в школьное обучение ряда понятий геометрии многоугольников и многогранников, внедрения таких понятий современной математики, как простейшие графы деревья и вероятность, а также их простейших применений. Глава 3 книги является продолжением главы 3 книги «Математика 1», вместе составляющих основу введения в теорию вероятностей для учащихся среднего и старшего школьного возраста. В центре внимания автора – усвоение детьми 10 – 14 лет математических понятий в ходе занимательных игр. Издание предназначается для методистов и педагогов, организующих экспериментальную работу по определению эффективных методов обучения математике. За книгу большое спасибо Ak-sakal Скачать (djvu, 2,6 мб) ifolder.ru || onlinedisk

Высоцкий И. Р., Ященко И. В. ЕГЭ 2012. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь М.: МЦНМО, 2012. -48 с. ISBN 978-5-94057-860-4 На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по теме «Теория вероятностей». Рабочая тетрадь ориентирована на один учебный год, однако при необходимости позволит в кратчайшие сроки восполнить пробелы в знаниях выпускника. Тетрадь предназначена для учащихся старшей школы, учителей математики, родителей. Книга предоставлена Robot Скачать (djvu/rar, 690 кб) rghost.ru || onlinedisk

Колмогоров А. Н., Журбенко И. Г., Прохоров А. В. Введение в теорию вероятностей. - М., Наука, 1982. - 160 с. - Библ-ка "Квант". Выпуск 23 В книге на простых примерах вводятся основные понятия теории вероятностей. Наряду с комбинаторным определением вероятности рассматривается статистическое определение. Подробно анализируется случайное блуждание на прямой, описывающее физические процессы одномерного броуновского движения частиц, а также ряд других примеров. Для школьников, студентов, преподавателей, лиц, занимающихся самообразованием. Найдена в сети Скачать (djvu, 1,9 Мб) Рапида || rghost.ru

Кордемский Б. А. Математика изучает случайности. Пособие для учащихся. М., «Просвещение», 1975. -223 с ил. (Мир знаний). Цель, которую поставил перед собой автор предлагаемой книги, состоит в том, чтобы помочь читателю самостоятельно овладеть первоначальными понятиями и методами теории вероятностей и простейшим аппаратом математической статистики. Это - книга для познавательного чтения с карандашом в руке и рабочей тетрадью на столе. В начальной части книги преобладает свободная форма изложения, не стесненная рамками программы, с привлечением занимательного и игрового материала; постепенно книга «серьезнеет», но не теряет доступности для учащихся старших классов и читателей, уже окончивших среднюю школу. Для самопроверки действенности приобретенных знаний и «вероятностного мышления» в предпоследней главе предлагается около пятидесяти задач-этюдов. Некоторые доказательства, выводы и теоретические комментарии вынесены в заключительную главу «Дополнения». Книга предоставлена Robot Скачать (djvu/rar, 4.17 Мб, 600dpi+OCR) ifolder или onlinedisk

Макарычев Ю. Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк; под ред. С. А. Теляковского. 3-е изд.- М. : Просвещение, 2005.- 78 с. : ил.- ISBN 5-09-014164-9. Данное пособие предназначено для изучения вероятностно-статистического материала при работе по учебникам «Алгебра, 7», «Алгебра, 8», «Алгебра, 9» Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Пешкова, С. Б. Суворовой, под ред. С. А. Теляковского. Книга предоставлена acub Скачать (djvu, 1.3 мб)mediafire.com || ifolder.ru

Ф. Мостеллер Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. - Пер. с англ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975.- 112с. Книга в действительности содержит 57 занимательных задач (семь задач скорее обсуждаются, чем решаются). Большинство задач несложно. Лишь совсем немногие из них требуют знания курса анализа, но и в этих случаях неподготовленный читатель все равно сможет понять постановку задачи и ответ. Книга обращена к широкому кругу читателей: ученикам старших классов, педагогам, студентам. Найдена в сети Скачать (djvu, 1,9 mb)alleng.ru || mediafire.com

Тюрин Ю. Н. и др. Теория вероятностей и статистика / Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко. - М: МЦНМО: АО «Московские учебники», 2004.- 256 с: ил. ISBN 5-94057-161-1 djvu-версия найдена Гостем Скачать (djvu, 4,58 Мб) ifolder.ru || mediafire.com || rghost.ru pdf-версия (скопированная постранично с reshlib) предоставлена jagger777 Скачать (pdf, 8,6 Мб) ifolder.ru || rghost.ru

Тюрин Ю. Н. и др. Теория вероятностей и статистика / Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко.-2-е изд., переработанное. - М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2008. -256 с: ил. ISBN 987-5-94057-319-7 Учебное пособие по основам теории вероятностей и статистики рассчитано на учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений. Оно также может быть использовано и в старших классах полной средней школы. В этой книге в равной мере уделяется внимание статистике и теории вероятностей и их роли в изучении явлений окружающего мира. Книга предназначена для первичного знакомства учащихся с формами представления и описания данных в статистике, рассказывает о случайных событиях, вероятностях и их свойствах. В приложениях даны примерные самостоятельные и контрольные работы для 7, 8 и 9 класса, написаны пояснения ко встречающимся терминам. Авторы стремились сделать изложение простым и не злоупотребляли математическим формализмом. Найдена в сети Скачать (djvu, 1.8 мб)mediafire.com ||ifolder.ru

Шевелева Н.В. Т.А. Корешкова, В.В. Мирошин Математика (алгебра, элементы статистики и теории вероятностей). 9 класс М. : Национальное образование, 2011. - 144 с. : ил. - (Краткий курс). ISBN 978-5-905084-55-3 Пособие предназначено для учащихся 9 классов. В нём в краткой и доступной форме представлены сведения по основным темам курса алгебры 9 класса, а также по разделу «Элементы статистики и теории вероятностей». Особое внимание уделяется разбору решения типовых задач. Книга будет полезна учащимся в процессе обучения, а также при повторении материала в целях его систематизации и при подготовке к экзамену. Книга предоставлена Robot Скачать (djvu/rar, 1.96 Мб) ifolder.ru || rghost

Шор Е. В мире случайностей. Кишинев, Издательство «Картя Молдовеняска», 1977. - 90 с. Читатель совершит путешествие в демографию, математическую статистику, психолингвистику, вместе с героями Эдгара По примет участие в разгадке таинственного текста. Для успеха такого экскурса он вначале получит представление о вероятности, методах ее подсчета, причем от него не требуется специальной математической подготовки. Из путешествия читатель возвратится обогащенным понятиями и методами теории вероятностей, знанием областей ее применения. Брошюра будет полезна всем, кто интересуется миром случайного. Найдена в сети Скачать (djvu, 1,05 Мб) ifolder.ru || mediafire.com

Книги по комбинаторике
Подборка книг Н.Я Виленкина
Виленкин Н.Я Комбинаторика. - М., Наука, 1969. -328 с.
Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. -М., Наука, 1975. - 208 с.
Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. - М.: ФИМА, МЦНМО, 2006. - 400 с.
находится в разделе Литература по теории вероятностей и математической статистике (часть 1) .
Следующие книги
Виленкин Н, Я. Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей. М., «Просвещение», 1976
Ежов И. И., Скороход А. В., Ядренко М. К. Элементы комбинаторики. - М., Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1977
Савельев Л.Я. (ред) Олимпиады. Алгебра. Комбинаторика. - Новосибирск, НГУ, 1979.
находятся в разделе Литература по подготовке к математическим олимпиадам (часть II) .

Контрольные работы по математике (теории вероятностей и статистике) для 7 класса



Контрольная работа по теории вероятностей и статистике от 24.04.2008
(содержат варианты 1-2 контрольной работы по теории вероятностей и статистике, ответы и критерии оценивания контрольной работы по теории вероятностей и статистике и демонстрационные версии контрольной работы по теории вероятностей и статистике для 7 класса)
Скачать (pdf/rar, 1.38 Мб) ifolder.ru || onlinedisk

Контрольные работы по математике (теории вероятностей и статистике) для 8 класса , составленные Московским институтом открытого образования (МИОО).
Контрольная работа по теории вероятностей и статистике от 12.05.2011
Контрольная работа по теории вероятностей и статистике от 19.05.2010
Контрольная работа по теории вероятностей и статистике от 19.05.2009
(содержат варианты 1-2 контрольной работы по теории вероятностей и статистике, ответы и критерии оценивания контрольной работы по теории вероятностей и статистике и демонстрационные версии контрольной работы по теории вероятностей и статистике для 8 класса)
Скачать (pdf/rar, 1.01 Мб) ifolder.ru || onlinedisk

Разыскиваются
Афанасьев В. Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей
Ивашев-Мусатов О.С. Начала теории вероятностей для школьников
Просветов Г.И. Теория вероятностей и статистика для школьников: задачи и решения

Школьнику о теории вероятностей. Лютикас В.С.

Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 8-10 классов.

2-е изд., доп. -М.; Просвещение, 1983.-127 с.

Цель данного пособия-попятно изложить самые элементарные сведения из теории вероятностей, научить юного читателя применять их при решении практических задач.

Формат: djvu / zip

Размер: 1 ,7 Мб

/ Download файл

ОГЛАВЛЕНИЕ
Слово к читателю.......................
I. Кое-что из прошлого теории вероятностей............. 4
II. Случайные события и операции над ними............. 10
1. Случайное событие.................... -
2. Множество элементарных событий............ 12
3. Отношения между событиями............... -
4. Операции над событиями................. 14
5. Полная группа событий.................. 21
III. Наука о подсчете числа комбинаций - комбинаторика... 22
1. Общие правила комбинаторики.............. 23
2. Выборки элементов................... 24
3. Выборки с повторениями................. 28
4. Сложная комбинаторика................. 32
IV. Вероятность события..................... 35
V. Операции над вероятностями.................. 42
1. Вероятность суммы несовместимых событий......... -
2. Вероятность суммы совместимых событий.......... 44
3. Условные вероятности.................. 46
4. Вероятность произведения независимых событий....... 48
5. Формула полной вероятности............... 50
VI. Независимые повторные испытания.......... 55
1. Формула Я. Бернулли.................. -
2. Формула Муавра-Лапласа............... 60
3. Формула Пуассона.................... 62
4. Формула Лапласа.................... 65
VII. Дискретные случайные величины и их характеристики.. 68
1. Математическое ожидание................ 70
2. Дисперсия....................... 76
3. Неравенство Чебышева и закон больших чисел....... 80
4. Распределение Пуассона................. 84
VIII. Непрерывные случайные величины и их характеристики. 88
1. Плотность распределения................ 90
2. Математическое ожидание................ 93
3. Дисперсия....................... 95
4. Нормальное распределение................ -
5. Понятие о теореме Ляпунова............... 98
6. Показательное распределение.............. 102
IX. Немножко странно, но интересно.......... 104
1. Умная игла (задача Бюффона) ............... -
2. Задача шевалье де Мере................. 106
3. Отдайте мою шапку................... 108
4. Метеорологический парадокс 110
5. Чтобы покупатели были довольны............. -
6. Парадокс Бертрана................... 111
7. Случайность или система?................. 11З
8. Преступление раскрыто................. 114
9. "Сражение"....................... 115
10. В гости к дедушке.................... 116
Список литературы........................ 118
Приложение........................... 119
Ответы........................... 125

Тарасевич Алёна Константиновна,Студентка Смоленского государственного университета, город Смоленск[email protected];

Морозова Елена Валентиновна,Ученая степень кандидат педагогических наук, должность доцент кафедры информационных и образовательных технологий, Смоленский государственный университет, город Смоленск[email protected]

Особенности изучения основ теории вероятностей в школьном курсе математики

Аннотация. Статья посвящена особенностям изучения основ теории вероятностей в школьном курсе математики. Отдельное внимание вней уделено целям преподавания,особенностям и периодам, а также примерам изучения данной дисциплины с помощью специально созданных программ.

Ключевые слова: методика изучения теории вероятностей в школе, способы изучения основных понятий, методика обучения математике.

Изучение основ теории вероятностей в школьном курсе математикиимеет некоторые особенности. С одной стороны это достаточно емкий и тяжелый процесс, который трудно усваивается порой уже в более сознательном возрасте, не говоря уже о школьном, однако, на данный момент никто не сомневается в необходимостивключения даннойдисциплины в предвузовый курс, так как она помогает развивать у ребенка ряд навыков, которые пригодятся ему не только в дальнейшем обучении, но и в жизни в целом.Нужно научить школьников мыслить, учитывая всякого рода вероятности. То есть нужно научить их получать, анализировать и обрабатывать информацию, совершатьвзвешенные, обдуманныепоступкив различных ситуациях снеожиданными исходами. Школьникив своей жизни каждый день сталкивается с такимиситуациями. Игра и кураж занимают определенное, значимое место вихжизни. Все эти вопросы, связанныес сопоставлением понятий «вероятность» и «достоверность», трудностьвыбора именно лучшего из нескольких вариантов действия, оценка вероятности успеха и фиаско, представление о добре и зле в играх и в настоящихжизненных ситуациях–все это, конечно же, находится в кругу истинных и нужных увлечений подростка.Математическая деятельность школьников обязательно выходить за рамки готовых вероятностных моделей. Выполнение школьниками заданий, которые потом помогают принимать решения в реальных жизненных ситуациях, играет огромную роль и требует правильного и опытного преподавания материалапедагогом. Знание стохастики–один из самых главных факторов перспективнойдеятельности учителя математики. Нужен многосторонний взгляд на стохастику, в том числе как на особеннуюметодологию, включающуювероятностные и статистические выводыв их взаимосвязи.Учитель должен досконально знать и осознаватьпричины появления риска совершения неверных решений в ходе анализасобытий, происходящих в виду случая. Обманчивое понимание, например, может возникать изза малой статистической информации. У учителей появляются необычные подходык обучению. Преподаватель, определяя уровень знания школьниками всякого родастохастических навыков, может столкнуться с некоторыми трудностями,например, при решении задач школьникам часто приходится,так скажем, здраво мыслить, а не действовать строго по алгоритму, правилам, поэтому их ответы на одни и те же вопросымогут быть разными.В данном случае задачей преподавателя будет оценка права на ошибку ученика, поскольку она носит возможный характер. Следует иметь в виду, что наиболее развитые дети быстрее начинают делать вещи, связанные с проведением интересующих нас экспериментов и исследований, берут, такскажем, опеку над своими товарищами.

Поэтому не мало важно разграничение уровня умений и навыков индивидуально и без помощи посторонних делать выводыоб изученном. Приступая к преподаванию ученикам стохастики, педагог обязан осознавать, почему появилось необходимость введения в курс обучения новой программы. Правильное понимание преподавателем в школе целей обучения стохастике, ясное представление их соотношенияс математикой и места стохастики в ряду других тем, знание конечных требований к данной подготовке учеников представляет собой основной базис учителя математики к реализации новой линии.Нельзя не отметить ито, что обучение любому разделуматематики положительносказывается на умственном развитии подростков, потому как наделяет их навыкамиправильногологического мышления, опирающегося исключительно на верные и нужные понятия. Все перечисленное в полномобъеме относится и к обучению теории вероятностей, но преподавание «законаслучая» имеет гораздо больше значение, выходя за область обычного. Изучаякурс теории вероятностей, ученик начинает понимать, как применять приемы логического мышления тогда, когда сталкиваешься с неопределенностью (а таких случаевна практике огромное множество).

Все вышенаписанное можно определить как цели изучения данной дисциплины, а что же именно она преподносит нам в школьном курсе, что изучают учащиесяи какие основные понятия там встречаются?

Если подходить детально и поэтапно, то школьный курс теории вероятностей лучше начинать еще в 5 классе, где будут введены основные дефиниции теории вероятностей на конкретных, «живых», понятных примерах. Началом теории вероятностей являетсякомбинаторика, где задачи будут решены методом перебора,то есть учащиесяисследуютвсе возможные варианты решения. Разумеется,необходимо рассмотреть решение комбинаторных задач с помощью дерева возможных вариантов.

Следующий этап обученияучащиеся эторассмотрение событий: случайных, достоверных, невозможных,равновозможные, равновероятныесобытия, которые иллюстрируются на житейских примерах.Необходимо также рассмотреть правило умножения, которое является новым средством решения комбинаторных задач, которое звучит так: «если первый элемент некоторой пары можно выбрать m способами и для каждого из этих способов второй элемент можно выбрать n способами, то эту пару можно выбрать m*n способами». Необходимо проиллюстрировать возможности данного правила на конкретных примерах.

Отдельной главой необходимо рассмотреть основныестатистическиехарактеристик:среднее арифметическое (средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество), мода (модой называют число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто),размах (размах -это разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда данных),медиана(медиана -это число, которое разделяет ряд данных на две части, одинаковые по количеству членов), которыедолжныиллюстрируются множеством примеров из жизни.Самое важное в обучении это рассматривать примеры, связывающие с практикой, описываются различные жизненные примеры, которые будут полезны и интересны детям.

Проанализировав вышесказанное, мы можем сформулироватьклассическоеопределениетеории вероятностей, которое впервые было дано в трудах французского математика Лапласа, а также рассмотреть элементы комбинаторики: размещения и сочетания. Проиллюстрировать классическое определение можно с помощью таблицы:Таблица 1Решение задач с помощью классического определения

Уже в старших классах изучаются статистические исследования, вводится определение статистики(наука, изучающая, обрабатывающая и анализирующая количественные данные о самых разнообразных массовых явлениях в жизни), рассматриваются новые понятия выборка, репрезентативность, генеральная совокупность, ранжирование, объем выборки. Вводится новый способ графического представления результатов полигоны. Изучаются новыепонятия выборочной дисперсии и среднее квадратичное отклонение.

Изучение последних требует не только понимания основ, данных ранее, но и более детального и внимательного отношения, ибо в математике,как и в жизни –чем дальше, тем сложнее.

Разумеется, что,как и во всех дисциплинах, так и в школьном курсе изучения теории вероятностей существует своя особенная методика изучения теорем, основными из которых являются теорема сложения вероятностей и следствия из них и теорема умножения вероятностей. Изучение теорем необходимо продемонстрировать на конкретных примерах, иллюстрирующих их применение, но это мы предоставим школьным учителям, а сами просто огласим содержание данных теорем, и так, теорема сложения вероятностей звучит так: «вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий», и, соответственно формула к данной теореме Р(А + В) = Р(А) + Р(В). Теорема умножения вероятностей «Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло», формула к ней выглядит так Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А). Наряду с данными теоремами в курсе математики изучается и теория множеств -раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств -совокупностей элементов произвольной природы, обладающих какимлибо общим свойством.Если учащиеся будут обладать знаниями теории множеств, то они смогутувидеть связь междуоперациями над событиямии операциями над множествами. Благодаря этому ученики смогут сделать вывод, что объекты и отношения в теории вероятностей аналогичны объектам и отношениям в теории множеств.Отличие заключается в названиях используемых терминов.На первых порах, необходимо составить сводную таблицу, отражающая основную информацию.ЭкспериментЧисло nвозможных исходов экспериментаСобытие АЧисло т исходов, благоприятных для этого событияВероятность наступления события А:Р(А)=m/nБросаем монету2Выпал орел11/2Вытягиваемэкзаменационныйбилет24Вытянулинесчастливыйбилет11/24Бросаем кубик6На кубике выпалочетное число очков33/6=1/2Играем в лотерею250Выиграли, купив один билет1010/250=1/25

В процессе изученияопераций над событиями необходимоиспользовать как можно большепримеров, которые отражают не только сутьэтих операций, но и отличия в них. Ученики с лёгкостьнайдути сумму, и произведение событий, используя определение. Сложность заключается в том, чтобысформировать у учащихся понимание и осознание сущности операций над событиями. Для этого можно использовать различные задания по работе с операциями над событиями.Проблема,с которой можно столкнутьсяпри объяснении данной темы заключается в сложности выделения простых событий. Решение очевидно, все дело в опыте, чем больше задач решено, тем больше понимания и минимум ошибочных суждений.Изучение данной темыприведет учащихсяк гораздо детальному пониманию и осмыслению таких понятий, как «элементарныесобытия», «несовместные события», «достоверные события», «невозможные события», «противоположные события», так как все эти понятия могут бытьопределены на основе операции над событиями.Разумеется, любая система имеет свои недостатки и замечания. Один изизъянов общепринятого определения вероятности это его ограниченность использовании, так как он пригоден толькодля классических экспериментов, которые не так часто встречаютсяв современнойпрактике.Самое главное убедится, в том, что учащиеся усвоили, что введенноеопределение вероятности очень конкретизировано в своем использовании, именно поэтому возникает необходимость изучениябольшего количества подходов к интерпретации понятия вероятности. Одним из наиболее важных подходов с практической точки зрения является статистический подход к определению понятия «вероятности». Его реализация рассматривается как следующий этап формирования теоретиковероятностных представлений у учащихся. Освоение статистического определения понятия «вероятности» важно для последующего его применения в разделах математической статистики для оценки статистических характеристик широкого класса явлений различного характера.Практика показала,чтоизучения теории вероятностей очень трудоемкий и тяжелый процесс для учащихся в школе, и настолько же тяжел он и для преподавателей, с точки зрения его передачи ученикам. Поэтому он не упрощает какихлибо ошибок и недочетов, какие,скажем, можно допускать на уроках ИЗО и музыки, прежде всего потому, что он последователен, структурен, и каждая частица его структуры дополняет друг друга.

Ссылки на источники1.Морозова Е.В. Пути развития логического мышления и логической рефлексии учащихся в условиях модернизации школьного образования // Современные проблемы науки и образования. –2014. –№ 5; URL: http://www.scienceeducation.ru/ru/article/view?id=14962 (дата обращения: 10.02.2016).2.Г.В. Дорофеев, И.Ф.Шарыгин, С.Б.Суворова. Учебник: Алгебра. 7 класс: учеб.для общеобразоват.учреждений/–М.: Просвещение 2014 г. –288 с.3.Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.Алгебра. 8 класс: учеб, для общеобразоват. учреждений / А45; под ред. Г. В. Дорофеева; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, издво «Просвещение».-5е изд. -М. : Просвещение, 2010.-288 с.4.См.: Г.В. Дорофеев, И.Ф.Шарыгин, С.Б.Суворова. Учебник: Алгебра. 7 класс: учеб.для общеобразоват.учреждений/–М.: Просвещение 2014 г. –288 с.5.

Н. Л. Стефанов, Н. С. Подходов. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов /. -М. : Дрофа, 2005. -416 с.6.

См.: Н. Л. Стефанов, Н. С. Подходов. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов /. -М. : Дрофа, 2005. -416 с.